Beiträge zu Gegenwartsproblemen der Angewandten Statistik: Festgabe für Professor Dr. Jakob Breuer. Universität Köln

127 Pages·1960·3.512 MB·German

by  Karl Dörge (auth.)

BEITRÄGE ZU GEGENWARTSPROBLEMEN
DER ANGEWANDTEN STATISTIK
Beiträge zu Gegenwartsproblemen
der Angewandten Statistik
Festgabe
für Professor Dr. Jakob Breuer
Universität Köln
Herausgegeben von
Statistische Vereinigung Köln e. V.
WESTDEUTSCHER VERLAG . KÖLN UND OPLADEN
1960
ISBN 978-3-663-00434-9 ISBN 978-3-663-02347-0 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-02347-0
Alle Rechte vorbehalten
© 1960 Westdeutscher Verlag, Köln und Opladen
INHALTSVERZEICHNIS
Vorwort ......................................................... 7
Prof. Dr. Kar! Dörge, Köln
über die Begriffe des Mittelwertes und der Streuung 9
Dr. Jakob Gugumus, Köln
Sterblichkeitsbeobachtungen bei Risiken mit erhöhtem Blutdruck
oder Erkrankungen des Herzmuskels in der Lebensversicherung . . . . . . . . . 17
Dr. Liesel Karus-Daiber, Wuppertal
Internationaler Vergleich der Kaufkraft des Lohnes mit Hilfe
von Regressions- und Korrelationsrechnung .......................... 29
Dipl.-Kfm. Horst Karus, Wuppertal
Vereinfachung von Sequential-Plänen durch gleiche Entscheidungsrisiken . 39
Dr. Gerhard 0110, Frankfurt a. M.
über die Theorie der Abschreibungen ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 45
Dipl.-Kfm. Horst van Randenborgh, Wiesbaden
Die Ausschaltung der unterschiedlichen Länge der Berichtszeiträume
bei nichtlinearer Verteilung der Ereignisse ............................ 65
Dr. Erwin A. Scheuch, z. Z. New York, USA
Einige Probleme statistischer Verfahrensweisen in der Sozialforschung 83
Dipl.-Volkswirt Hans H. Statwald, Düsseldorf
Statistics in den USA .............................................. 115
Dipl.-Kfm. Friedhelm Stöcker, Köln
über Toleranzen bei zusammengesetzten Massenfabrikaten 127
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VORWORT
Am 9. März 1960 vollendet Dr. rer. pol. Jakob Breuer, emeritierter ordentlicher
Professor für Statistik an der Universität Köln, sein 70. Lebensjahr. Seine
Freunde und Schüler widmen ihm zu diesem Anlaß, wie es auch zur Vollendung
seines 65. Lebensjahres geschah, als Ausdruck ihrer Verehrung diese Festschrift.
Das Thema der vorliegenden Festschrift ist enger gefaßt als das der voran
gegangenen. Dort war es das Ziel, die Fülle der Anregungen, die seine Schüler
von ihm empfingen, durch wissenschaftliche Beiträge zu den verschiedensten
Problemen deutlich zu machen. Sie enthält auch den wissenschaftlichen Lebens
weg und ein Verzeichnis der Publikationen von Professor Breuer.
In diese Festschrift wurden nur Beiträge zu Gegenwartsproblemen der
Angewandten Statistik aufgenommen. Es war nicht immer einfach, die Auswahl
zu treffen und eine Grenze, die in Wirklichkeit wegen der ständigen Wechsel
beziehung nicht besteht, zwischen Problemen der Angewandten und Theoreti
schen Statistik auf der einen und Problemen des jeweiligen Sachgebietes auf der
anderen Seite zu ziehen. Die Beiträge, die verschiedenste Themen behandeln,
können wiederum nur versuchen, die vielseitigen Anregungen, die Professor
Breuer seinen Schülern und Freunden aus seiner wissenschaftlichen Arbeit gab,
deutlich zu machen. Selbstverständlich ist es, daß die Verfasser allein für den
Inhalt ihrer Aufsätze verantwortlich sind.
Wenn die Statistische Vereinigung Köln nach fünf Jahren wiederum eine Fest
schrift herausgibt, so will sie damit nicht nur die wissenschaftliche Arbeit von
Professor Breuer als Forscher und Lehrer ehren, sondern in besonderer Weise
auch die persönliche Verehrung zum Ausdruck bringen, in der seine Schüler sich
mit ihm verbunden fühlen. Professor Breuer hat bei aller Kompromißlosigkeit
und Strenge in seinen wissenschaftlichen Anforderungen nie nur die sachlichen
Fragen, sondern stets auch den Menschen gesehen. So erklärt es sich, daß in der
Statistischen Vereinigung Köln seine Schüler und Freunde sich seit über drei Jahr
zehnten zusammengeschlossen haben.
Möge es dem Jubilar vergönnt sein, mit der gleichen Freude und Lebendigkeit,
die ihn stets auszeichnete, sich noch viele Jahre wissenschaftlichen Problemen
widmen zu können.
Im Namen der Vereinigung
H. Karus
Köln, Wuppertal-Elberfcld, den 9. März 1960 Vorsitzer des Vorstandes
üBER DIE BEGRIFFE
DES MITTELWERTES UND DER STREUUNG
Von Karl Dörge, Köln
Das Ziel der vorliegenden Betrachtung ist es, für die beiden wichtigsten statisti
schen Maße, den Mittelwert und die Streuung, einige Eigenschaften anzugeben,
die teils sachlich fast selbstverständlich sind, teils die mathematische Einfachheit
betreffen, und zu zeigen, daß Mittelwert und Streuung durch sie eindeutig
charakterisiert sind.
Hat ein Physiker eine physikalische Größe, etwa eine Strecke, k mal gemessen
und die Resultate Xl' ••• , Xk erhalten, so setzt er die Größe gleich dem arith
Lk
metischen Mittel ~ an. Will der Statistiker ein System von k Zahlen
x=1
Xl' ••• , Xk durch eine einzige repräsentieren, so tut er es in (so gut wie) allen
Fällen ebenfalls durch das arithmetische Mittel. Weshalb? Durch welche Eigen-
L
schaften ist die Funktion ~ vor anderen Funktionen, durch welche man
vielleicht ebenfalls das k-tupel Xl' ••• , Xk repräsentieren könnte, ausgezeichnet?
Falls, was meist der Fall ist, von den gewonnenen k Zahlen Xl' ••• , Xk keine
vor den anderen ausgezeichnet ist, ist es ohne weiteres plausibel, daß die re
präsentierende Funktion f(xl, ••• , Xk) symmetrisch in den Variablen gewählt
werden muß, d. h. daß für jede Permutation f(xl, ••• , Xk) = f(xcxl' ... , XCXk)
sein soll. Wir erhalten also als erste Forderung an die repräsentierende Funktion
die der Symmetrie.
Es gibt aber weitere sachlich zwingende Forderungen. Denken wir uns z. B.
den Maßstab, mit dem gemessen wird, geändert, indem man z. B. von der
Einheit des Meters zum Zentimeter übergeht, so multipliziert sich jede Maßzahl
der zu messenden Strecke mit 100, allgemeiner etwa mit der Zahl C. Offenbar
ist es dann so gut wie zwingend, zu fordern, daß dann die repräsentierende
Funktion sich auch mit C multipliziert. Wir fordern also für jedes C:
(I) f(Cxl> . "., CXk) = C· f(xl> .. "' Xk),
mit den Worten des Mathematikers heißt das, die repräsentierende Funktion
f(xl, ••• , Xk) soll homogen vom 1. Grade sein.
Handelt es sich etwa um die Messung der Entfernung von Punkten einer
Geraden, und will man, nachdem man die Entfernung der Punkte A, B k mal
9
gemessen und die Ergebnisse Xl' ••• , Xk erhalten hat, etwa die Entfernung le B I
haben, wo e zu A, B liegen möge, wie es in der Figur angedeutet ist,
Figur: C A B
J I I
d
wobei schon bekannt sein möge, daß die Entfernung von e nach A die Zahl d
sein möge, so können wir uns offenbar ersparen, neu zu messen, da wir ja die
Zahlen Xl' ••• , Xk schon haben. Vielmehr können wir offenbar so tun, als ob
wir für leB I die Maßzahlen Xl + d, ... , X k + d hätten. Nachdem wir nun die
Zahlen Xl' ••• , Xk durch den Wert f(xl, ••• , Xk) repräsentiert haben, ergibt es
+ +
sich so fast als zwingend, daß wir die Zahlen Xl d, ... , Xk d durch die
+
Zahl f(xl, ••• , Xk) d repräsentieren müssen. Wir fordern also für jedes d
+ + +
(II) f(xI d, ... , Xk d) = f(xl, •.. , Xk) d.
Wir wollen jetzt unsere zwei Forderungen I und II etwas besprechen, um zu
sehen, daß die analogen Forderungen auch sonst, z. B. in der Physik und in der
Geometrie, eine wesentliche Rolle spielen müssen. Man operiere auf einer
Geraden g. Hat man einen Anfangspunkt J!) und einen Meßpunkt E festgelegt,
so sagen wir, daß wir auf g ein (euklidisches) Koordinatensystem festgelegt
haben. Jeder Punkt von g erhält dann in bekannter Weise eine Maßzahl als
Koordinate, und diese Zuordnung ist eine eineindeutige Abbildung der Menge
der Punkte von g auf die Menge aller Zahlen. Man habe nun eine Vorschrift,
welche jedem k-tupel PI' ... , PI< von Punkten von g einen weiteren Punkt
P von g zuordnet. Hat man dann ein Koordinatensystem gegeben, so erhält
man eine Zuordnung, die dem k-tupel Xl' ••• , Xk der Koordinaten von PI'
... , P k eine weitere Zahl zuordnet. Wählt man ein neues Koordinatensystem,
so bekommt man aber nun natürlich im allgemeinen nicht die gleiche Zuord
nung, sondern eine andere. Wann aber ergibt sich die - dann natürlich bedeu
tungsvolle - Tatsache, daß diese Zuordnung nicht davon abhängt, welches
(euklidische) Koordinatensystem zugrunde gelegt worden ist? Das heißt, wann
ist die Zuordnung PI' ... , P k ...... P so beschaffen, daß ihr Ausdruck als
Zuordnung der Koordinaten nicht von dem zugrunde gelegten Koordinaten
system abhängig ist? Wann also ist, wie wir auch sagen wollen, die Zuordnung
koordinatensystems-unabhängig? Offenbar gilt dies dann und nur dann, wenn
folgendes gilt: In irgendeinem Koordinatensystem sei die Zuordnung Xl'
••• , Xk ...... cP (Xl' ••• , Xk). Dann gilt Koordinatensystems-Unabhängigkeit
dann und nur dann, wenn cp die Bedingungen I und 11 erfüllt, denn die
Bedingung I bedeutet die Unabhängigkeit von der Vorwahl des Maßstabes
und 11 bedeutet die Unabhängigkeit von der Neuwahl des Anfangspunktes. Wir
können auch sagen: Dann und nur dann, wenn die Forderungen I und 11
erfüllt sind, ist die Zuordnung Xl' .•• , Xk ...... cP (Xl' ••• , Xk), die jedem Zahlen
k-tupel eine Zahl cp zuordnet, so beschaffen, daß sie unabhängig von dem zugrunde
10
gelegten Koordinatenrystem jedem Punkt-k-tupel von 9 einen Punkt zuordnet. Es ist also,
um es zu wiederholen, so: Jede Funktion q> (Xl' ... , Xk) hat natürlich folgende
Eigenschaft: Wählt man auf 9 ein (euklidisches) Koordinatensystem, so ordnet
sie jedem System von k Punkten Xl' ... , Xk nach Wahl des Koordinatenrystems
einen Punkt zu. Hat tp aber die Eigenschaften I und II, so ordnet sie unabhängig
von dem gewählten Koordinatenrystem jedem Punkt-k-tupel PI' ... , P k einen Punkt P
zu. Man könnte sagen, daß tp (Xl' ... , Xk), wenn es die Eigenschaften I und II
besitzt, nicht nur eine Funktion reeller Zahlen, sondern eine Funktion der
Punkte von 9 liefert. Dies ist die entscheidende Bedeutung der Forderungen I
und 11.
In die entscheidenden wichtigen Sätze der Physik und Geometrie geht ein
Koordinatensystem nicht ein, vielmehr haben sie nichts mit Koordinaten
systemen zu tun. Daher sind die wichtigsten physikalischen und geometrischen
Zuordnungen vom Koordinatensystem unabhängig.
Wir haben gesehen, daß es zweckmäßig ist, k erhaltene Meßresultate Xl' ... , Xk
durch Funktionen f(xl, ... , Xk) zu repräsentieren, welche symmetrisch sind,
und die Forderungen I und II erfüllen. Diese Forderungen erscheinen uns als
zwingend durch den Sachverhalt bestimmt. Es kann nun auch sehr komplizierte
Funktionen geben, welche diese Forderungen erfüllen. Da es kein Vorteil sein
kann, eine komplizierte Funktion statt einer einfachen zu benutzen, stellen wir
nun schließlich die Forderung auf, eine mathematisch einfache Funktion zu
wählen. Die einfachsten der mathematischen Funktionen sind gewiß die ganz
rationalen Funktionen. Wir fordern also schließlich: f(xl, ... , Xk) soll eine ganz
rationale Funktion sein. Es zeigt sich nun sofort, daß jetzt f(xl, ... , Xk) ein
deutig bestimmt ist.
Denn daß f ganz rational und wegen I homogen vom Grade 1 ist, bedeutet, es
hat die Form al Xl + ... + ak Xk. Aus I: ax (xx + d) = I: ax Xx + (I: ax) . d
folgt dann wegen II : I: ax = 1 und daraus wegen der Symmetrie:
al = .. , = ak = k1 ' l.n sgesamt also f(xl, ... , Xk) = .~L.Jx kx '
x
Wir haben also erhalten: Die Funktion f(xl> ... , Xk), mit der wir das k-tupel
erhaltener Resultate repräsentieren wollen, ist eindeutig als das arithmetische Mittel
bestimmt durch die Forderungen der Symmetrie, der Forderungen I und II (Unabhängigkeit
vom Koordinatenrystem) und die Forderung, daß f eine ganz rationale Funktion sei.
Von diesen Forderungen sind die außer der letzten, der nach mathematischer
Einfachheit, durch die sachlichen Anforderungen zwingend. Die letzte ist es
natürlich nicht. Die Forderung, daß f ganz rational sei, kann natürlich etwas
abgeschwächt werden, indem man hinreichend viel über eine Potenzreihen
entwicklung für f fordert. Es ist eine - für mich jedenfalls - sehr überraschende
Tatsache, daß diese so rein spekulativ gewonnene eindeutig bestimmte Funktion
11
in der Physik die grundlegende Rolle spielt, indem sie den Schwerpunkt des
Systems bestimmt, welches man erhält, wenn man in den Punkten Xl' ••• , Xk
der Geraden 9 gleiche Massen anbringt. Das rein spekulativ ohne jedes Eingehen
auf physikalische Erfahrung gewonnene spielt nun diese Rolle in der Physik!
Übrigens ist im Falle k = 1 und k = 2 die Forderung, daß f ganz rational
sein soll, logisch völlig überflüssig. Es folgt nämlich im Falle k = 1 und k = 2
von selbst: Jede symmetrische Funktion, die die Bedingungen I und 11 erfüllt,
ist gleich dem arithmetischen Mittel.
Denn im Falle k = 1 folgt, indem wir statt Xl nur X schreiben: Wegen I:
+ +
(x) = X • f(l) und dann fex d) = X • f(l) d· f(l) und wegen 11 hieraus
f(l) = 1, also tatsächlich fex) = x.
Im Falle k = 2 kann man so schließen: Ist dem Paar ~, i;; die Zahl ~ zu
geordnet, so folgt wegen 11 und der Symmetrie: f(-~, - i;;) = f(- i;; , -~)
+
= ~ - (~ i;;); andererseits folgt aus I mit C = -1: f(-~, -~) = -~,
+
also folgt X-a - (X- l + -x2) = - -Xa, also -Xa = Xl 2 X2 ,Wi. e b eh auptet.
Analoge Fragen sind gewiß in der Geometrie von Bedeutung. Man betrachte
nämlich jetzt die Xl' ••• , Xk als Punkte einer mit einem euklidischen Koordi
natensystem versehenen Ebene. Ist dann jedem Punktsystem Xl' ••• , Xk ein
Punkt der Ebene zugeordnet, so schreibt man das "vektoriell" als Funktion
f(x1, ••• , Xk). Das ist also dann ein Paar von Funktionen von den 2k Variablen,
die die k Abszissen und die k Ordinaten der Punkte xl> ... , Xk sind. Daß diese
Zuordnung dann von (euklidischen) Koordinatensystemen unabhängig ist,
bedeutet, daß die Forderungen erfüllt sind, die den Forderungen I und 11, die
wir in einer Dimension hatten, nun in zwei Dimensionen entsprechen. Ist nun
k = 3 (und fallen nicht gerade zwei der drei Punkte Xl' X2, X3 zusammen), so
ist das arithmetische Mittel der Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden, also,
der Schwerpunkt des von Xl' X2, X3 bestimmten Dreiecks. Dieser Punkt ist also
wie wir oben gesehen haben, zwar der einzige Punkt, wo die Abszisse bzw. die
Ordinate symmetrische koordinatensystems-unabhängige, ganz rationale Funk
tionen der Abszissen bzw. der Ordinaten der drei Eckpunkte des Dreiecks sind,
er ist aber keineswegs die einzige symmetrische koordinatensystems-unabhängige
Funktion der drei Eckpunkte. Denn z. B. der Höhenschnittpunkt hat auch diese
Eigenschaft. Es ist wohl eine lohnende Aufgabe im Hinblick auf Geometrie und
Physik, eine Übersicht über alle koordinatensystems-unabhängigen Funktionen,
insbesondere die symmetrischen unter ihnen zu besitzen. Für die Dreiecks
geometrie z. B. bedeutet dies im Spezialfall k = 3 die Frage, welches sind die
Punkte der Ebene, die, wie der Schwerpunkt und der Höhenschnittpunkt,
symmetrische koordinatensystems-unabhängige Funktionen der drei Eckpunkte
sind? Meines Wissens sind diese Fragen nicht erledigt.
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Wir haben manchmal das Gefühl, daß wir das System von k Maßzahlen
manchmal mehr, manchmal weniger verstreut nennen müssen. Wir suchen nun
nach einem Maß für das, was wir die Verstreutheit oder die Streuung einer Mes
sung nennen können. Wir bezeichnen eine solche allerdings erst zu suchende
Funktion mit X (Xl' ... , Xk). Wenn, wie fast immer, die k Messungen nicht vor
einander wesentlich ausgezeichnet sind, werden wir verlangen, daß X symmetrisch
in den Xl' ... , Xk ist. Da es nun sehr plausibel ist, k Meßresultaten, die aus den
Xl' ... , Xk durch Addition einer Konstanten d hervorgehen, das gleiche Maß
von Verstreutheit zuzuordnen, verlangen wir nun das Erfülltsein der Forderung
+ +
(*) x(x1 d, ... , Xk d) = x(x1, ••. , Xk)
für jedes d. Wir überlegen uns, welche der einfachsten Funktionen, nämlich welche
ganz rationalen Funktionen die Funktionalgleichung (*) erfüllen.
Nun läßt sich jede ganz rationale Funktion als Summe ihrer homogenen
Bestandteile darstellen. Wir sehen dann leicht folgendes ein: Die Zerlegung von X
in seine homogenen Bestandteile sei X = ho + hl + .. " wo also hv der homogene
Bestandteil v-ten Grades von X sei.
Dann erfüllt X dann und nur dann die Forderung (*), wenn jeder homogene
Bestandteil hv von X die Forderung (*) erfüllt.
Denn der eine Teil der Aussage ist klar, und es ist nur noch zu beweisen:
X erfülle die Forderung (*). Dann trifft dies auch für jedes hv zu. Für jedes C
und d folgt nämlich:
X [C(x1 + d), ... , C(Xk + d)] = ~ hv [C(x1 + d), ... , C(Xk + d)].
+
Die rechte Seite ist, weil hv homogen vom Grade v ist, gleich ~ Cv hv (Xl d, ... ,
+
Xk d). Ferner ist, weil X die Forderung (*) für jedes d, also auch für Cd erfüllt,
x[C(x + d), ... , C(Xk + d)] = x(Cx + Cd, ... , CXk + Cd) = x(Cxl> ... ,
l I
+ +
CXk). Weil hv homogen vom Grade v ist, folgt ~ CVhv(xl d, ... , Xk d)
+ +
= ~ CVhV(xl, ... , Xk)' Weil dies für alle C gilt, folgt hv(xi d, ... , Xk d)
= hV(xl, ... , Xk) für v = 1, ... , also erfüllt jedes hv einzeln die Forderung (*),
was bewiesen werden sollte.
Nun ist klar, daß X dann und nur dann symmetrisch ist, wenn jeder seiner
homogenen Bestandteile hv symmetrisch ist. Wir fragen daher nun nach den
ganz rationalen symmetrischen homogenen Funktionen, die die Funktional
gleichung (*) erfüllen.
Haben wir eine ganz rationale Funktion Oten Grades, also eine Konstante,
so erfüllt sie gewiß die Forderung (*).
Wir nehmen nun eine ganz rationale symmetrische homogene Funktion
+ ... +
1. Grades. Sie hat also die Form al Xl ak Xk. Aus der Symmetrie
folgt dann al = a2 = ... = ak, und aus der Forderung (*) folgt ~ alt = 0,
also ~ = 0 für x = 1, ... , k. Außer der trivialen Funktion 0 gibt es also keine
ganz rationale symmetrische homogene Funktion 1. Grades, die unsere Forderung
erfüllt.
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