Baudynamik: Einführung in die Dynamik mit Anwendungen aus dem Bauwesen

305 Pages·1989·12.41 MB·German

by  Prof. Dr. rer. nat. Hans Günther Natke (auth.)

Hans Günther N atke
Baudynamik
Leitfäden der augewandten
Mathematik und Mechanik
Unter Mitwirkung von
Prof. Dr. G. Hotz, Saarbrücken
Prof. Dr. P. Kali, Zürich
Prof. Dr. Dr.-Ing. E. h. K. Magnus, München
Prof. Dr. E. Meister, Darmstadt
Band 66
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH
Baudynamik
Einführung in die Dynamik
mit Anwendungen aus dem Bauwesen
Von Prof. Dr. rer. nat. Hans Günther Natke
Universität Hannover
Mit 150 Bildern, 11 Tafeln, 75 Beispielen,
86 Aufgaben und Lösungen
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 1989
Prof. Dr. rer. nat. Hans Günther Natke
Geboren 1933 in E1bing, Studium der Mathematik an der TH Han
nover, Diplom 1958, von 1958 bis 1976 Industrietätigkeit im Flug
zeugbau und in der Raumfahrttechnik. Promotion 1968 an der TH
München und Habilitation 1971 an der TU Berlin für Aeroelastik.
Seit 1976 o. Professor für Schwingungs-und Meßkunde und Direktor
des Curt-Risch-Institutes für Dynamik, Schall-und Meßtechnik der
Universität Hannover.
CIP-Titelaufnahme der Deutscnen Bibliothek
Natke, Hans Günther: Baudynamik
Einf. i. d. Dynamik mit Anwendungen aus d. Bauwesen /
von Hans Günther Natke.
(Leitfaden der angewandten Mathematik und
Mechanik; Bd. 66)
ISBN 978-3-663-09344-2 ISBN 978-3-663-09343-5 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-09343-5
NE:GT
Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt.
Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist
ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt besonders für
Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung
und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
© Springer Fachmedien Wiesbaden 1989
Ursprünglich erschienen bei B. G. Teubner Stuttgart 1989
Satz: Elsner & Behrens GmbH, Oftersheim
Vorwort
Das Buch wendet sich an Studierende und Praktiker, die sich mit Dynamik beschäftigen
wollen oder müssen und die mit dynamischen Aufgaben aus dem Bauwesen in Berührung
kommen. Es entstand aus der Pflichtvorlesung "Baudynarnik", die ich seit 197 6 für Stu
denten der konstruktiven Fachrichtung des Bauingenieurwesens an der Universität Han
nover halte, also ftir Hörer nach dem Vorexamen mit "üblichen" Kenntnissen der Statik,
Mechanik und Mathematik. Trotz dieser Voraussetzungen werden einleitend die Schwin
gungen von Einfreiheitsgradmodellen und Stäben recht ausfUhrlieh behandelt. Einerseits
bilden sie die Grundlage des hier behandelten Teilgebietes der Dynamik, und anderer
seits zeigt die Erfahrung, daß diese Grundlagen nicht ständig verftigbar sind.
Die Bezeichnung des Buches als "Einführung" ergab sich aus der Stoffbeschränkung auf
determinierte Vorgänge, lineares dynamisches Verhalten und viskose oder strukturelle
Dämpfung. Damit sind z. B. Erdbebenvorgänge, deren Modeliierung der Statistik bedür
fen, nicht behandelt.
Von der Aufgabenstellung bis zur Lösung wird der Weg in einzelnen Schritten dargelegt:
Aus realen Systemen werden unter Be~cksichtigung der Aufgabenstellung vereinfachte
physikalische Modelle und daraus mathematische Modelle gebildet. Für diese Modelle
werden analytische und numerische Lösungswege aufgezeigt, wobei verschiedene mathe
matische Methoden sich als nützlich erweisen. Auf Schwierigkeiten der Modellbildung
wird dabei hingewiesen; Anwendungsgrenzen, Vor-und Nachteile einzelner Modellie
rungsarten werden genannt. Die Lösungen werden schließlich physikalisch gedeutet und
die Simulation dynamischer Vorgänge wird beschrieben.
Das erste Kapitel enthält einleitend die Schwingungsursachen und -probleme.
Im zweiten Kapitel wird der Schwinger mit einem Freiheitsgrad ausfUhrlieh behandelt,
um die auftretenden Vorgänge zu verstehen und das formale Vorgehen der Lösung von
Schwingungsaufgaben kennenzulernen.
Im dritten Kapitel werden Mehrfreiheitsgradmodelle eingehend diskutiert, da fast alle
Näherungsverfahren auf Mehrfreiheitsgradmodelle zurückfUhrbar sind, und die Mehr
heit der Schwingungsprobleme mit Näherungsverfahren auf Rechnern gelöst werden.
Das vierte Kapitel ist der Dynamik einfacher kontinuierlicher Schwinger gewidmet.
Diese sind grundlegend ftir das Verständnis dynamischer Vorgänge, besonders solcher
mit endlicher Wellenausbreitungsgeschwindigkeit. Stäbe konstanten Querschnitts und
Stabtragwerke werden hier behandelt. Zweidimensionale Kontinua werden nur erwähnt,
da der bis hierher vorgedrungene Leser sich fortfUhrende Literatur selbständig erarbeiten
kann.
Das ftinfte Kapitel ftihrt in die Verwendung von Energiemethoden zur angenäherten
(Rayleigh-Prinzip) und strengen Lösung (Variationsrechnung) von Schwingungspro
blemen ein.
Das sechste Kapitel beschreibt die numerische Berechnung kontinuierlicher Systeme,
Modellierungsmethoden und Näherungsverfahren. Ein Näherungsverfahren ist das der
direkten Diskretisierung des Kontinuums (z.B. über finite Elemente). Es werden Appro-
6 Vorwort
ximationen der Bewegungsgleichungen, formuliert als Differential- und Integralgleichun
gen (numerische Differentiation und Integration), behandelt und solche der Lösung
selbst (Rayleigh-Ritz).
Das siebte Kapitel ist den diskreten Modellen mit sehr vielen Freiheitsgraden gewidmet,
deren vollständige Berechnung trotz moderner und schneller Rechenanlagen und verbes
serter Lösungsroutinen oft unwirtschaftlich und unnötig sein kann.
Langwierige mathematische Beweise und Ableitungen sind, sofern sie nur unwesentlich
zum Verständnis dynamischer Vorgänge und ihrer Modeliierungen beitragen, unter
drückt. Jedem Kapitel ist ein Verzeichnis mit verwendetem und weiterführendem Schrift
tum beigefligt. Beispiele und Aufgaben mit Lösungshinweisen und Lösungen in jedem
Kapitel erläutern den Stoff und vertiefen das Verständnis.
Das Manuskript habe ich mit meinen Mitarbeitern im Curt-Risch-Institut flir Dynamik,
Schall-und Meßtechnik der Universität Hannover durchgearbeitet. Ich danke ihnen
daflir herzlich, denn sie trugen wesentlich zu einer klaren Darstellung des Stoffes bei.
Dem Verlag sei flir die gute Zusammenarbeit gedankt.
Hannover, im Frühjar 1988 H. G. Natke
Inhalt
1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1 Schwingungsursachen und -probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 ldealisierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Klassifizierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Schrifttum und Normen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Einfreiheitsgradmodelle (EFGM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1 Bewegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Freie Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.1 Das ungedämpfte Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.2 Das viskos gedämpfte Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 Erzwungene Schwingungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.1 Harmonische Erregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.2 Periodische Erregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3.3 Nichtperiodische Erregung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.3.1 Lösung im Zeitraum: Das Duhamel-lntegral. 2.3.3.2 Lö
sung im Frequenzraum: Die Fouriertransformation (FT). 2.3.3.3
Lösung im Bildraum: Die Laplacetransformation (LT)
2.3.4 Formale Zusammenhänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.4 Das strukturell gedämpfte Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.6 Schrifttum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3 Mehrfreiheitsgradmodelle (MFGM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.1 Bewegungsgleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.1.1 Energieausdrücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3 .1.2 Lagrangesche Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 5
3.2 Eigenschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.2.1 Das konservative Modell ohne Kreiselkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.2.2 Das gedämpfte Modell ohne Kreiselkräfte und mit
speziellen Dämpfungseigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.2.3 Ergänzende Bemerkungen zum Eigenschwingungsproblem
und zu seiner Berechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.3 Freie Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.3.1 Das konservative Modell ohne Kreiselkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.3.2 Das gedämpfte Modell mit BE und ohne Kreiselkräfte . . . . . . . . . . . 89
3.4 Die Modaltransformation der inhomogenen Bewegungsgleichung . . . . . . . . 92
8 Inhalt
3.5 Erzwungene Schwingungen des gedämpften Modells mit BE ohne
Kreiselkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.5.1 Lösung im Zeitraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.5.2 Lösung im Frequenzraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.6 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.6.1 Praxis-Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.6.2 Schwingungstilgung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.7 Zusammenfassung hinsichtlich des Rechenganges . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.9 Schrifttum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4 Einfache kontinuierliche Schwinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.1 Dehn-und Torsionsschwingungen von Stäben: Eindimensionale
Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.1.1 Bewegungsgleichung des Dehnstabes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.1.2 Bewegungsgleichung des Torsionsstabes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.1.3 Freie Schwingung des Stabes konstanten Querschnitts als
d' Alembertsche Lösung: Wellenfortpflanzung . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.1.4 Freie Schwingung des Stabes konstanten Querschnitts nach
Bernoulli (Eigenschwingungen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.1.5 Der Stab konstanten Querschnitts unter Randlast . . . . . . . . . . . . . 133
4.1.6 Der Stab konstanten Querschnitts unter Streckenlast . . . . . . . . . . . 135
4.1.7 Der Stab mit veränderlichem Querschnitt: Energieausdrücke,
Rayleighscher Quotient, verallgemeinerte Orthogonalität . . . . . . . . . 140
4.1.8 Dämpfungseinfluß ftir den Stab konstanten Querschnitts . . . . . . . . . 143
4.2 Querschwingungen eines Stabes: Biegebalken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.2.1 Bewegungsgleichung und Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.2.2 Freie Schwingung des Bernoulli-Balkens (Eigenschwingungen) . . . . . 152
4.2.3 Der Biegebalken konstanten Querschnitts unter harmonischer
Einzellast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
4.2.4 Der Bernoulli-Balken unter Streckenlast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.2.5 Der Biegestab mit veränderlichem Querschnitt: Energieausdrücke,
Rayleighscher Quotient und Abschätzungen zum Schubeinfluß
(Timoshenko) und zur Rotationsträgheit (Rayleigh) . . . . . . . . . . . . 172
4.2.6 Schnittkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
4.2.7 Der Einfluß von axialen Kräften auf die Balkenbiegung . . . . . . . . . . 178
4.3 Ergänzungen: Stabtragwerke, Trägheitskopplung und ebene Flächen-
tragwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
4.3.1 Stabtragwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
4.3.2 Biege-und Torsionsbeanspruchung von Stäben infolge
Trägheitskopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
4.3.3 Anmerkungen zur Scheibe und Platte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
4.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
4.5 Schrifttum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Inhalt 9
5 Energiemethoden: Rayleighsches Prinzip und Herleitung der
Gleichungen des Randwertproblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
5 .I Rayleighscher Quotient und Rayleighsches Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
5.2 Herleitung der Gleichungen der Randwertaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
5.3 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
5 .4 Schrifttum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
6 Die numerische Berechnung kontinuierlicher Systeme . . . . . . . . . . . . . . . 204
6.1 Hinweise zur Modeliierung und Parameterermittlung . . . . . . . . . . . . . . . . 205
6.2 Direkte Diskretisierung des Kontinuums: A-priori-Ersatzsystem . . . . . . . . . 207
6.3 Differenzenverfahren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
6.4 Numerische Integration der Bewegungsgleichungen des Dehn-bzw.
Torsionsstabes und des Bernoulli-Balkens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
6.4.1 Dehn-, Torsionsstab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
6.4.1.1 Die Integrodifferentialgleichung. 6.4.1.2 Die Integralglei-
chung. 6.4.1.3 Die numerische Integration der Integralgleichung
6.4.2 Bernoulli-Balken ........................... ·. . . . . . . . 226
6.4.2.1 Die Integrodifferentialgleichungen. 6.4.2.2 Die Integral
gleichungen. 6.4.2.3 Die numerische Integration der Integralglei-
chungen
6.4.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
6.5 Ritzverfahren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
6.5.1 Das Rayleigh-Ritzverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
6.5.2 Freie Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
6.5.3 Erzwungene Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
6.6 Aufgaben ............. : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
6.7 Schrifttum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
7 Diskrete Modelle mit sehr vielen Freiheitsgraden:
Teilsystemmethode und Reduktion von Freiheitsgraden . . . . . . . . . . . . . . 24 7
7.1 Subsystemsynthese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
7.2 Koordinatenreduktion durch statische Kondensation und ihre
Anwendung auf das Matrizeneigenwertproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 I
7.3 Dynamische Kondensation und ihre Approximationen . . . . . . . . . . . . . . . 255
7.3.1 Theoretische Grundlage: Entwicklung nach Ansatzvektoren. . . . . . . 255
7.3 .2 Dynamische Kondensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
7.3.3 Angenäherte dynamische Kondensationsverfahren . . . . . . . . . . . . . 257
7.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
7.5 Schrifttum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262