Bases of Temperley-Lieb algebras

168 Pages·2014·1.18 MB·French

Thèse de Doctorat
Spécialité: Mathématiques
Présentée à
L’Université de Picardie Jules Verne
par
Thomas GOBET
Pour obtenir le grade de Docteur de l’Université de Picardie Jules
Verne
Bases des algèbres de Temperley-Lieb
Bases of Temperley-Lieb algebras
Soutenuele29septembre2014,aprèsavisdesrapporteurs,devantlejuryd’examen:
M. Frédéric Chapoton Rapporteur CR à l’Université Lyon 1,
M. François Digne Directeur Pr. à l’Université de Picardie,
M. Christian Kassel Président du jury DR à l’Université de Strasbourg,
M. Ivan Marin Examinateur Pr. à l’Université de Picardie,
M. Jean Michel Examinateur DR à l’Université Paris 7,
M. Wolfgang Soergel Examinateur Pr. Dr. à l’Université de Freiburg,
M. Geordie Williamson Examinateur Adv. Res. au MPI, Bonn.
Rapporteur non présent le jour de la soutenance:
M. Matthew John Dyer Assoc. Pr. à l’Université de Notre Dame, Indiana.
Remerciement
Remercier les personnes qui ont, scientifiquement ou humainement, directement ou
indirectement, consciemment ou non, joué un rôle au cours de la réalisation d’un
travail de thèse est une opération délicate. Je prie les personnes que j’aurais la
maladresse d’oublier de bien vouloir m’excuser.
Merci à François Digne qui a proposé ce sujet et l’a encadré. Sa curiosité pour
toutes sortes de mathématiques et son horizon très large m’ont permis une certaine
liberté et m’ont aidé à oser explorer des pistes nouvelles et incertaines. Le travail
sous sa direction a rendu ces années amiénoises enrichissantes.
Bases des algèbres de Temperley-Lieb
Bases of Temperley-Lieb algebras
Thomas Gobet
Remerciemen
Remercier les personnes qui ont, scientifiquement ou humainement, directement ou
indirectement, consciemment ou non, joué un rôle au cours de la réalisation d’un
travail de thèse est une opération délicate. Je prie les personnes que j’aurais la
maladresse d’oublier de bien vouloir m’excuser.
Merci à François Digne qui a proposé ce sujet et l’a encadré. Sa curiosité pour
toutes sortes de mathématiques et son horizon très large m’ont permis une certaine
liberté et m’ont aidé à oser explorer des pistes nouvelles et incertaines. Le travail
sous sa direction a rendu ces années amiénoises enrichissantes.
Remerciements
Remercier les personnes qui ont, scientifiquement ou humainement, directement ou
indirectement, consciemment ou non, joué un rôle au cours de la réalisation d’un
travail de thèse est une opération délicate. Je prie les personnes que j’aurais la
maladresse d’oublier de bien vouloir m’excuser.
Merci à François Digne qui a proposé ce sujet et l’a encadré. Sa curiosité pour
toutes sortes de mathématiques et son horizon très large m’ont permis une certaine
liberté et m’ont aidé à oser explorer des pistes nouvelles et incertaines. Le travail
sous sa direction a rendu ces années amiénoises enrichissantes.
C’est unhonneur debénéficier d’unjurycomposéd’aussiéminents spécialistes de
domaines si différents bien que connexes. Merci à Frédéric Chapoton et à Matthew
Dyer d’avoir accepté de rapporter cette thèse. J’en profite pour remercier également
Frédéric pour diverses discussions. Merci à Wolfgang Soergel et Geordie Williamson
d’avoir accepté de faire partie de mon jury, de s’être déplacés, ainsi que pour des dis-
cussions enrichissantes. Merci à Jean Michel d’avoir accepté de faire partie du jury,
de son enthousiasme et de plusieurs discussions mathématiques. Merci à Christian
Kassel d’avoir également accepté de faire partie du jury, de s’être déplacé, et de son
invitation pour un exposé à Strasbourg en mars 2014.
Ces lignes n’existeraient pas si je n’avais obtenu de bourse de thèse à Amiens.
Je me dois donc de remercier ceux qui ont appuyé et encouragé ma candidature, en
particulier(etoutredespersonnes déjàcitées) Olivier Goubet,FabienDurand, Jean-
Paul Chehab, Donna Testerman, Jacques Thévenaz, Serge Bouc et Radu Stancu.
Je souligne la gentillesse de ces deux derniers, qui contribue à faire régner une
atmosphèreconvivialeetpropiceautravailauseindel’équipedethéoriedesgroupes.
Merci à Alexander Zimmermann et Yann Palu d’avoir répondu à mes questions et
à Sungsoon Kim d’avoir manifesté de l’intérêt pour mes travaux. Merci aux deux
directeurs de laboratoire successifs déjà cités plus haut d’avoir toujours favorisé la
mobilitédesdoctorantsetànosdeuxsecrétairesChristelleCalimezetIsabelleWallet
de leur gentillesse et leur efficacité. Merci à Sabine Evrard, Karine Sorlin, Samuel
Petite et Thomas Gauthier pour de sympathiques moments.
Merci à Olivier Dudas pour des discussions enrichissantes et pour sa disponibil-
ité. MerciàPhilippe Nadeaudesoninvitationenséminaire àLyon enfévrier 2014et
des deux jours intenses passés en sa compagnie à faire des mathématiques. Outre les
personnes déjà citées où à citer, merci (par ordre alphabétique) à Sadek Alharbat,
Pierre Baumann, Stéphane Gaussent, Jérôme Germoni, Christophe Hohlweg, Luis
Paris, Vivien Ripoll, Louis-Hadrien Robert, Raphaël Rouquier, Catharina Stroppel,
Anne-Laure Thiel, Aladin Virmaux et Nathan Williams pour des discussions à di-
verses occasions, et à Olivier Brunat, Caroline Lassueur, Nicolas Ressayre, Christian
Stump et Jay Taylor pour des invitations à présenter des résultats de cette thèse
lors de séminaires ou conférences.
Merci à mes collègues doctorants. Merci à Céline, Dellavita, Georges, Pierre,
Meng, Malal. Merci à Maxime de la résolution de bugs informatiques. Merci à
Eirini de ta bonne humeur. Merci à Vianney pour les apéros de fin de journée.
Merci à Aktham de ton sourire constant qui a rendu le travail dans notre bureau
plus agréable. Merci à Giulia de ta gentillesse. Merci à Baptiste de ton accueil
à l’arrivée à Amiens, de ton enthousiasme à discuter de maths et d’avoir lancé le
groupe de travail des doctorants en algèbre. Merci à Mohamed de ton amitié, des
nombreux couscous que tu m’as cuisinés, des sorties et de nos discussions sans fin;
l’hiver 2013-2014n’en aété queplus chaleureux. Merci àNicola pour nosdiscussions
sur les difficultés de faire de la recherche loin de ses proches, pour tes succulents
plats italiens et pour m’avoir appris qu’on ne met pas de crème dans les spaghettis
carbonara.
Merci à Ivan pour les discussions mathématiques et non mathématiques quasi
quotidiennes, pour ta culture ahurissante, pour tes conseils et accompagnements
ainsique pourlesnombreuses soirées passées àmanger descacahuètes. Mercid’avoir
enrichi scientifiquement et humainement mes dernières années amiénoises et d’avoir
favorisél’importationdeCoca ZeroenPicardie. Mercid’avoir acceptédefairepartie
de mon jury et enfin merci ainsi qu’à Christine pour les cartons de déménagement,
les ampoules 40 et 60 Watts qui ont permis que la lumière fût à nouveau dans une
pièce importante de mon studio, ainsi que pour de sympathiques moments qui ne
sont plus à compter.
Merci à mes amis musiciens, en particulier à Isabelle, ainsi qu’à Virginie et
Patrick pour les hébergements parisiens permettant d’arriver à l’heure au séminaire
Chevalley(cequin’empêchapasunexcèsdeconfianceunjouroùilauraitmieuxfallu
arriver à l’heure). Merci à toute l’équipe de Musiques en Herbe de leur gentillesse et
de la mise à disposition d’un piano. Merci à la troupe de théâtre Histoires de Voir
d’avoir accepté un débutant. Merci à Claudine de ta gentillesse. Et merci à Sophie,
parce qu’enseigner nous donne aussi un autre regard sur la recherche. Merci à mes
amis suisses, particulièrement à Alexandre de ne m’avoir jamais tenu rigueur du peu
de temps que j’avais à disposition. Merci également à Raphaël, Boris, Romain et
Antonio. Merci à ma soeur et à mon frère.
Merci à mes parents de leur soutien sans faille. Merci d’avoir accepté mes choix
et mon départ de Suisse malgré des circonstances difficiles, et de m’avoir toujours
soutenu dans cette voie.
Enfin merci à Sumiko, sans qui tout ça n’aurait jamais vu le jour.
A mes parents.
Le temps nous est compté
Mais pas toujours autant qu’on le croit.

Contents
Introduction 7
1 Préliminaires 17
1.1 Eléments totalement commutatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2 Algèbres de Hecke et de Temperley-Lieb . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.1 Algèbres de Hecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.2 Algèbres de Temperley-Lieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3 Bimodules sur des algèbres Z-graduées . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.1 Modules sur des algèbres Z-graduées . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.2 Bimodules sur des algèbres Z-graduées . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.3 Bimodules de Soergel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4 Partitions non croisées et monoïde dual . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.1 Monoïde dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.2 Partitions non croisées classiques . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4.3 Représentation géométrique des partitions non croisées clas-
siques et des éléments simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 A categorification of the diagram basis of the Temperley-Lieb al-
gebra by analogues of Soergel bimodules 29
2.1 Combinatorics of Weyl lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.1 Weyl lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.2 Noncrossing and dense sets of reflections . . . . . . . . . . . . 32
2.2 Quasi-coherent sheaves on Weyl lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.1 Regular functions on Weyl lines . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.2 Gradings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2.3 Elementary bimodules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2.4 A product of bimodules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2.5 Associativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3 Realization of the Temperley-Lieb algebra . . . . . . . . . . . . . . . 49
3
4 CONTENTS
2.3.1 The Temperley-Lieb algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3.2 Temperley-Lieb relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3.3 Link with dense sets of reflections . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3.4 Indecomposability of fully commutative bimodules . . . . . . . 57
2.3.5 Categorification of the diagram basis . . . . . . . . . . . . . . 68
2.4 Fully commutative bimodules as rings of regular functions . . . . . . 69
2.4.1 Regular functions on twisted diagonals . . . . . . . . . . . . . 69
2.4.2 Morphisms between elementary bimodules . . . . . . . . . . . 74
3 Combinatorics of Zinno basis 81
3.1 Geometry of noncrossing partitions for arbitrary Coxeter elements . . 82
3.2 Bijections between noncrossing partitions and fully commutative ele-
ments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.2.1 Noncrossing partitions and fully commutative elements . . . . 84
3.2.2 Bijections generalizing Zinno’s bijection . . . . . . . . . . . . . 86
3.3 Zinno basis and diagram basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.3.1 Zinno basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.3.2 A new basis of the Temperley-Lieb algebra . . . . . . . . . . . 101
3.3.3 Application: change of basis matrix between the diagram and
Zinno bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.4 Noncrossing partitions and vectors with parity conditions . . . . . . . 113
3.4.1 Vectors with parity conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.5 A criterion for Bruhat order on noncrossing partitions . . . . . . . . . 117
3.5.1 The criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.5.2 Covering relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.6 New lattice structure on P and related combinatorial considerations 123
c
3.6.1 Lattice property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.6.2 Bijection with Dyck paths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.6.3 Alternative direct proof of the lattice property . . . . . . . . . 126
3.7 Changing the Coxeter element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.7.1 Failure of the lattice property . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.7.2 Standard forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.7.3 Bijections between Pc′ and Pc and lattice structure on Pc′ . . 133
3.8 Triangularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.8.1 Order of the polygons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.8.2 Canonical forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.8.3 Fully commutative subword . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.8.4 Triangularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149