Baldor - Geometria Y Trigonometria

623 Pages·2007·61.89 MB·English

GEOMETRIA

PLANA Y DEL ESPACIO

Yy
TRIGONOMETRIA
Geometria plana
=
del espacio
con una introduccién a la
Trigonometria
GEOMETRIA PLANA
Y DELESPACIO

CON UNA INTRGDUCCION ALA

TRIGONOMETRIA
DR. J. A. BALDOR PRESENTA UN NUEVO TEXTO DE
GEOMETRIA PLANA Y DEL ESPACIO
TEXTO REVISADO POR LOS
PROFESORES DE MATEMATICAS. CONTIENE REPASOS ALGEBRAICOS,
MARCELO SANTALO SORS Y TABLAS TRIGONOMETRICAS Y
PABLO E, SUARDIAZ CALVET -EJERCICIOS ADICIONALES

VIGESIMA REIMPRESION
MEXICO, 2004

COMPARIA CULTURAL BDITORA ¥ DISTRIBUIDORA DE TEXTOS AMERICANOS,
'S.A. (CCEDTA) ¥ CODICE AMERICA, S.A, MIAMI, FLORIDA; USA
‘PUBLICACIONES CULTURAL, S.A. de C.V, MEXICO

PUBLICACIONES,

CULTURAL
Prdlogo

Er estudio de la Geometria en la ensefianza media es uno de los puntos que
mis se ha discutide y se diteute en Ins conferencias nacionales ¢ internacionales,
que sobre la enscfianza de la matemitica se celebran en tndo el mundo.

En primer lugar, debemos precisar a qué cielo dainos el nombre de ensevianea
media y para ello lo mejor seri indiear la edad que camprende, y que de una
‘manera general ton kos estudios realizados de los 12 a los 1? 6 18 aos, divididos
en das elapas: ensefianza secundaria o prevocacional de los 12 a los 15 aos (tres
afios) y ensefianza proparatoria * de los 15 a los 18 (tres afios). En muchos paises
Jog sels aftos forman el bachillerato,

En segundo lugar, debemos seialar lo qut entendemos por “netenvitiea mo
depme” yopor “revwhueidn de las matemitieas eseolares”, Las caracteristicas de la
nuova miatemética som, dice el Dr: Luis A, Santalé (Argentina) “su poder de sinte-
sis y la-variedad de nuevos dominios en que es aplicable, consecuencias de su gran
penevalidad y de sv construccién aviomética”. El poder de kintexis permite que tea
ras de distinto origen, y desarvolladas indepenidientemente, se vean englobadss como
‘casos particulares de teor‘as ms amplias. La variedad de nuevos dominios se ha
Jogrado com teorlas modemas qué, como la teorla de juegos de J. von Neumann,
han petmitide tratar maternaticamente disciplinas del campo de la economia, Is
sociologgia, la estrategia, ete, que antes se mantenian al ymargen de las ciencias exac-
tas, La biologia también necesita de raimas matemiticas como la extadistica

Al hablar de “‘rovolucién de las matenvitiras escalares” sios referimos, pinch
palmente, a la bisqueda de lo que hay que suprimir de la matemitiea tradicional
para poder dedicar un tiempo a la enseiianza de temas que antafis se reservaban
4 estudios en un nivel superior. También la revolucién sc refiere a la manera de
censefiar Jos temas tradicionales y los nuevos, sin perder dle vista que Ia mayor parte
de To que se llama ‘‘atemitieas antiguas” sigue siendo lo més importante y debe
continuar ensefiéndese,

Al aplicar estos conceptos a la Geometrfa, nox encontramos con una’ situacién
bien curiosa: al decir muchos matemdticos que la Geometria de Ruckides debe des
‘parecer, porque no tiene nada que ver con la matemitica moderna, qué es estéril
¥ qite se halla fuera del camino principal de los adelantos matematicos, pudiendo
relegarie a los archivos para uso de los historiadores del ruaana, criterios, que se
resumen en la eélebie frase de Dicudonné en el Seminario de Rayaunwant (Fran
Ga) “abajo Euclides, basta de triangilos!”, han lograds, al ser mal interpectados,
‘que no se ensefie geametria sintética y, en consecuencia, son ya rnuchos les paises
Tatinoamericanas en los que, précticaments, el estudiante no canoce esta disciplina,
con lo que su formacién matematica presenta serias deficiencias, Peco som muchos
Jos profesores de América Latina que opinan como el Prof, Omar Catunda (Brie
il) “quien, en la Primera Conferencia Interamericana sobre Enseftanza de ta Ma

(LE8 Mésico también tenet cielo woearonal dow fn event & and pre
panitoria,
fertica exlebeada ea Dogovi (Colorabia) en 1961, dijo: en mi pais no debe decise
abajo Btelides” ino “yal menos Buelites!™

La mala interpretacion que ha conducido al estado de cosas que seiialamos
procede principalmente de no haber precisado lo que sp entiende par enseiianza me-
dia, Le dicho por Dieudonné y ottos, profesones universitarios sabre: Euclides, s¢
refiere a la ensefianza de la Geomtria en el grado superior de Ja segunda ensefian~
za (15 a 18 alos), Es en este grado donde, después de haber ailquizie los conoct.
ientos bisioos de Algebra modema, ha de volverse « la Geonielsia pero con tra.
tamiento analitico y en forma vectorial, Un tratamiento analitico a partir del con.
cepto de espacio vectorial, permitiré volver a la axionidtica jor e!. camino algebraico
de los expacias vectoriales

Pero en la entciianza, primaria (6 2 12 afins) lot alummos deben adquirle la
cantidad de ideas geowtiricar que sirvan de hase para aprender, de lox 12a los
415 afios, la pane de geometria cuslidiana necesaria, para llegar a los eouepten de
Punto, figura, rela, plano y espacio, came construcciones puramente mentales y
generalirar las relaciones cntie estos elementos hasta el punto, como dier el Dr. Feb
GEE. UU.) #é poder cstablecer covtas cadtimat dedustivas de tenrrreas sobre alye
tienes. que ne base exiomstica

Este criterio viene apoyado en, cl becho de que si pensarnos en todos loa aluen=
not que carian la segunda ensefianza, no solamentr en. jos fututos, materastices, 1a
geometria euclidiana crea isn habito de raciocinio quo In hace importante jira Ia
eonformacién del individuo organizado. ¥ no es vilida Ia apinién de algunes pro.
fesores de que ex més dtl iniciar a Jas mentes jévercs en una estructura niatemética
axiomiética ensefando las estructuras del Algebra, porque la introduccisn del alge:
bra moderna se: ha visto que es diffedl y hay que hacerlo en una etapa siperion {de
Joe 16. lot 18 afios) y siempre que se haya alcanaado una formacién materatica
bastante completa.

El texto dle! Prof, Baldor tiende al comcepto acwial de la enseiianza de In Geo-
metria en ef ciclo sccundario (12a 15 afios). No te trata de ensefiar una Geome-
‘tia euclidiana al estilo clision sino aprovechar el valor formativo de esta materia
en el sentido axiomiticn, que constitnye 1a exencia de tnda la materastica, etable-
ciendlo’ Ios teoremas como “coriss cadengs cledactivas sobue algo menos gue una
base estrictaentevasismstica” La obra sefiala. un, pmvechoso sérmino inedio entre
| enwnanza de tipo elisien y lo que podviamies llamar un enfoque contempordsien
de la Geometiia que debe iniviarse en el grado superior del bachillerata y en la
Universidad

Este es.e] punto de visa que actualmente se ests dando a los textos de Geome-
tris euctidiana en. la mayoria de los paises. En cl Seminario de Aarhus organizado
por la Trtemational Commision for Mathematical Instruction (1.C.M.I.) clebra-
do del 90 de. riayo al 2 de junio de 1960-en Dinumarca y en Ia rennién eclebrada
en Bolonia (Italia) del 4 al 7 de cetubie de 1961, concentraron principaimente sus
trabajos on el estudio de los sesiomas que permnitan consenur la geomettia de
Euclites,

‘De los textor tradicional el autor ha suprimido un gran miimero de teoremas,
léxnas, escolios, y corolarios, principalmente en la geometria del espacio, Ha conser:
vado el enunciado de muchas propiedades pues el alumno debe aprender lo més
posible, También ha procurado que cl slumno yea en 1x deduccién matermstica un
mitado para comprender cosas no evidentes, soslayando las demostraciones cosipli-
cades dle propiesiciones, cuyo enunciado, parezea al aluinno de una claridad tal que
no sienta la necesidad de una justificacién. El supcimir demostraciones complicadas
de propiedades evidentes, hace mis agradable el estudio de Ig matesnitica y per
mite hacer ver al alumno, con mayor Facilidad, los fines que: la matematica persigue.
Muchas de estas propiedades se pueden aceptar coma pastulades cuya comprobacién
suelo see sencilla,

La inclusiin de la Trigonometsfa puede sor debido a la necesidad de ajustarse
4 Ta mayoria de les programas oficiales de la materia, En realidad, la Trigonomettia
tiende a desaparecer como disciplina independiente y as\ debe entenderio el Prof
Baldor al incluirla como unos capitulos de laGeometria, La iniportancia de la Tri-
gonometria en ef siglo pasada, en América, era por la nevesidad de su aplicacién
fen la navegacién, la agrimensura y Ia asironoania En Ja actualidad, lo més impor-
lane de la Trigonomietria es el estudio de las propiedades de las funciones trigono-
mnétricas y por esto su estudio, en nivel superior, ha pasado a formar parte de Ia
Teoria de funciones. La parte elemental que incluye e! Prof. Baldor ea sn texto,
‘es.un buen fundamento para los estudios vosteriores.

Sobre ia diddctica del libro se puede decir que el autor utiliza en esta obra,
muy aerrtadariente, el color, como eficaz ayuda para desarrollar el espiritu estético
yen algunos casos, descubrit, de manera Sptica, ciertos conceptos y relaciones.

Para que el alumne pueda aprovechar el testo a su méxiino, necesita de Ix ayu-
da del profesor, Es éste quien tendré que decidir, en cada easo, lo que debe supri-
mine y lo que debe amplivew. Lat experiencia le iniieari el valor efectivo de la
cobra para el fin que le ott acialado: catahleccr las bases para una mejor compren-
sitin de los temas de Geometia que le serin enseviados en el ciclo superior, segin
Jas nuevas, normas sefialadas en las distintas reumiones internacionales de los orga-
nismes dedicadns al estudio de la ensefianza de la matematica en nurstra época

México, julio de 1966,

Mancrno Saterars

Proferor de la Escuela Nacional Preparatoria de
Ia Universidad Nacional Auténorna de México
ularidad y paralelismo.
ides per una secante,
Angulos que se formen
Angulos con lados parclelos © perpendiculares
Tridngulos y generalidade:
igualded de tridngulos

Poligonos
Cuadriléteros
Segmentos proporcionales

métricas en los tiéngulos
incia.y cireule

on los poligonas reguleres
Poligonos semejantes.
aciin de i reonteone

fess ¥ planos
ismas y pirémides

Gearon te poliedros

Guerpos redondos

Trigonometria

Funciones trigonemétricas de éngulas

complementaries, suplementaries, ete

Relaciones entre las funciones trigonométricas,

identidades y ecuaciones trigonométricas

Funciones trigonométrieas de fa suma y de la

diferencia de dos éngulos

Funciones trigonométricas del dngulo duplo

Resolucién de tridngulos

Logaritmos. Logaritmes de las funciones

trigonométricas

Aplicaciones de los logaritmos

Tablas mateméticas

Repase de digebra

Ejercicios adicionales
Geometria plana

BREVE RESENA HISTORIGA

Los primeros conocimientas geamétricos que tuvo el hombre cunsistinn
en un conjunto de reglas précticas. Para que la Geometria fuera considerada
como cientia tavieron que pasar muchos siglos, hosta llegar a los griegos.

Es on Grecia dande se ordenan los conocimiento: empirices adquiridos
por el hombre a través del tiempo y, al reemplazar la observacién y la ex-
yperiencia por deducciones racionales, so eleva la Geometria al plano rigure-
samente cientifico,

BARILONIA. En la Mesopotamia, regién situada entre el Tigris y el
ufrates, Mlorecié una civilizacién cuya antigiiedad se remonta « 57 siglos
aproximnadamente.
2 GROMBTRIA PLANA Y DEL ESPAGIO

Los babilonios fueron, hace cerca de 6000 aitos, los inventores de Ja
mueila. Tal vez de ahi provino su afin por descubrir las propiedades de la
Gireunferencia y to los condujo a que la relacién entre la longitud de la
cireunferencia y su diimetro era igual a 3. Este valor os famoso porque tam-
Dido se da en el Antiguo Testamento (Primer Libro de las Reyes)

Los babilonias Ja hallaron considerando que la longitud de la circunferencia
‘era un valor intermedio entre los perimetros de los cuadrados inscrito y cir-
cumscrito a una circunferencia,

Cultivaron Ia Astronomia y conociendo que el aiio tiene aproximadamente
360 dias, dividieron la circunferencia en 360 partes iguales obteniendo el
grado soxagesimal

‘También sabian trazar el hexéyono regular inscrito y conocian una
férmula para hallar el dren del trapecio recténgulo.

EGIPTO. La base de la civilizacién egipcia fue la ugricultura, La apli-
cacién de los conocimientos geemétricos a Ja medida de Ja tiecra fue Ta causa
de que se diera a esta parte de la matemiticn el nombre de Geometria que
significa medida de la tierra.

Los reyes de Egipto dividieron las tierras en parcelas. Cuando el Nilo
fon sus crecidas periddicas se evaba parte de las tierras, los agrimensores
tenian que rehacer Tas divisiones y calcular cudnto debla pager ol dueho
de Tx parcela por concepto de ienpuesto, yx que éste cra proporcional a la
superficie cultivada,

Pero la necesidad de modir las tierras no fue el iinico motive que tuvieran
Jos egipcias para estudiar las mateméticas, pues sus sacerdotes cultivaron la
Geomettia aplicéndola a la construccién.

Hace mix de 20 siylos fue consteuida ls “Gran Pirémide”, Un pucblo que
‘emprendié una obra de tal magnitod poseia, sin lugar a dudas, extensos cono-
cimientos de Geometria y de Astronomia ya que se ha comprobada que, ade-
mis de Ja precisién con que estén determinadas sus dimensiones, la Gran
Pirémide de Exipto esta perfectamente orientada

La matemética egipeia la conocemos principalmente a traves de los papirin
Entre los prublemas goométricos que aparecen resveltos en ellos se encuentran
Jos siguientes:

1. Area det tridinguilo iséscele
2. Arca del trapecio isésceles
3: Area deb circule

‘Ademis, en lot papiros hay un estudio sobre lus cundrados que hace

pensar que los egipeios comocian algumos casos particulares de la propiedad
del triéngulo recténgulo, que mAs tarde inmortalizé a Pitagoras.
BREVE RESERA HISTORICA 8

GREGIA. La Geometria. de los. egipcios era eminentemente empirica,
ya que no se basaba enum sistema, légico. deducido a partir de axiomas y
postulados

Los griegos, grandes, pensadares, no se contentaron con saber reglas
resolver “problemas perticulares’; no se sintierun satisfechos hasta obtener: ex-
plicaciones racianales de Jas cuestiones en general y, especialmente, de las
geométricas,

En Grecia comienza la Geomotria como ciencin deductiva, Aunque es
probable que algunes matemsétioes griegos como Tales, Herodoto, Pitzgaras,
etc, fueran a Egipty a iniciarse en los conocimientos geométricos ya existentes
en dicha pais, sa gran mérito esté em que os a ellos a quienes se debe Ta
transformacién de Ja Geometria en ciencia deductiva,

‘Taurs vx Museo, Sigh VIT A.C. Representa tos comienzos de la
Geometria como ciencia racional, Fue tno de los “siete subios” y fundador de
Ja escuela j6nica a la que pertenecieron Anaximandru, Anaxdgoras, etc,

En su edad madura, se dedieé al estudio de Ia Tilosofia y de las Ciencias,
especialmente la Geometria

Sus estudios Jo condujeron a resolver ciortas chiestiones vomo la deter-
‘minacién de distancias inaccesibles; la igualded de los angulos de la. base en
@l tridngulo iséscoles; ol valor del Angulo inserito y la demostracién de los
conocidos teoremas que llevan su nombre, relatives a la proporcionalidad de
seymentos determinados en dos rectas cortadas por un tistema de paralelas

Puriconas pr Santos. Sigh VIA. G. Se itice que fue diseiymlo
de Tales. pero aparténdose de la escuela jénica, funds en Crotona, Italia,
Ja escuela pitagérica

Hemios dicho que los egipcios conocieron la propiedad del tridngu
Jo reetingulo cuyos Indoé miden 3, 4 y 5 unidades, en los que se
vorifica a relaciin 5? = 3* 4-4, pero el descubrimiento de Ta relacién
8 = Bp e pare cualitier trlinjarlo reeténgulo 'y sa demosteaciin @ Asbon
indiscutiblemente a Pitdgoras.

Se-atribuye también a la escucla pitagérica la demostracién We la pro-
piedad de la suma de- los Angulos internas de un triimgulo y ta construccién
ycométrica del. poligona estrellado de cinon lados.

Eveuines. Siglo TV A. G. Escribié uma’ de Jas ‘obras) mils) famosas
de todos los tiempos: los “Elementos”, que consta de 13 capitulos Mamados
“libros”, De esta ubra. se han hecho tantas ediciones. que sélo la aventaja
ta Bibli