Bachelorarbeit Die Kunita-Watanabe Zerlegung und ihre Anwendungen in der Finanzmathematik

43 Pages·2011·0.18 MB·German

Bachelorarbeit
zum Thema
Die Kunita-Watanabe Zerlegung
und ihre Anwendungen in der
Finanzmathematik
The Kunita-Watanabe decomposition and its
applications in Finance
von
Sven Gohlke
Matrikelnummer: 356033
zur Erlangung des akademischen Grades: Bachelor of Science
am Institut für Mathematische Statistik
der Mathematisch- Naturwissenschaftliche Fakultät
der Westfälische Wilhelms-Universität Münster
Datum: 15. August 2011
Erstgutachter: PD Dr. Volkert Paulsen
Die Kunita-Watanabe Zerlegung und ihre Anwendungen in der
Finantmathematik
Eidesstattliche Erklärung
Hiermit versichere ich, dass ich die vorliegende Arbeit mit dem Titel
Die Kunita-Watanabe Zerlegung und ihre Anwendungen in der
Finanzmathematik (The Kunita-Watanabe decomposition and its
applications in Finance)
selbständig und lediglich unter Benutzung der angegebenen Quellen und Hilfs-
mittel verfasst habe.
Ich erkläre weiterhin, dass die vorliegende Arbeit noch nicht im Rahmen eines
anderen Prüfungsverfahrens eingereicht wurde.
............................................ ..................................................
Ort, Datum Unterschrift
Seite 2
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung / Motivation 4
2 Erste Defintionen 5
3 Verallgemeinerte Handelsstrategien 7
4 Die Kunita-Watanabe Zerlegung 16
5 Das Minimale Martingalmaß 20
5.1 Martingale unter Maßwechseln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.2 Das minimale Martingalmaß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6 Das Trinomialmodell 36
7 Anhang 42
8 Quellen 43
3
Kapitel 1
Einleitung / Motivation
In dieser Bachelorarbeit geht es um die Kunita-Watanabe Zerlegung und ihre
Anwendungen in der Finanzmathematik. Wir befinden uns dafür in unvollstän-
digen Finanzmarktmodellen, sodass wir gegebene Claims mit den klassischen
Handelsstrategien nicht hedgen können. Das bedeutet, dass die Anfangsprei-
se solcher Claims nicht eindeutig bestimmt werden können. Wir werden daher
das Konzept der verallgemeinerten Handelsstrategien kennenlernen, mit deren
Hilfe man auch in unvollständigen Modellen, sofern sie gewissen Bedingungen
genügen, Claims vollständig hedgen kann, sodass ihr Anfangspreis eindeutig
bestimmbar wird. Wir werden für den Fall eines eindimensionalen risky assets
auch ein rekursiven Verfahren erarbeiten, dass uns Hedgingstrategie und An-
fangspreis für gegeben Claim H ausgibt.
Die Kunita-Watanabe Zerlegung von Martingalen unter Martingalmaßen, die
wir daraufhin ausarbeiten werden, liefert uns dann die Existenz einer solchen
verallgemeinertenHandelsstrategieindemFall,dassdaszugrundeliegendeMaß
ein Martingalmaß ist. Ist das in einem unvollständigen Modell nicht der Fall,
so kann man sich überlegen, ob nicht ein äquivalentes Martingalmaß Pˆ aus der
nicht-trivialen Menge der äquivalenten Martingalmaße existiert, unter dem der
arbitragefreie Anfangspreis eines Claims eindeutig via Eˆ [H] = V bestimmbar
0
ist. Dieses Maß heißt Minimales Martingalmaß und existiert, falls das Finanz-
marktmodell bestimmte Bedingungen erfüllt, und wir werden sehen, dass des-
sen Dichte im eindimensionalen recht einfach bestimmbar ist, sodass auch der
Erwartungswert eines Claims unter diesem Maß bestimmbar ist. Diese beiden
Möglichkeiten, Anfangspreise im unvollständigen Modell zu berechnen, werden
dann abschließend am Beispiel des Trinomialmodells verglichen.
4
Kapitel 2
Erste Defintionen
Wir wollen zuerst ein paar wichtige Definitionen vornehmen, die im Laufe des
Vortrags benötigt werden:
Definition. Seien X,Y Zufallsvariablen bzgl. P. Dann ist die bedingte Kovari-
anz von X und Y definiert durch
cov(X,Y|F )=E [XY|F ]−E [X|F ] E [Y|F ],
t t t t
wenn die bedingten Erwartungswerte definiert sind.
Die bedingte Varianz einer Zufallsvariablen X bzgl. P ist analog zur nicht be-
dingten Varianz wie folgt definiert:
var(X|F )=E [X2|F ]−E [X|F ]2, was auch cov(W,W|F ) entspricht
t t t t
Definition. Seien W und Z zwei adaptierte Prozesse. Ist
cov(W −W ,Z −Z |F ) ∀ t=0,...,T −1 definiert und
t+1 t t+1 t t
cov(W −W ,Z −Z |F )=0 P −fast sicher,
t+1 t t+1 t t
soheißenW undZ stark orthogonal.ImFolgendenisteinerderbeidenProzesse
immer ein P-Martingal. Dadurch reduziert sich die Bedingung auf:
cov(W −W ,Z −Z |F )=E [(W −W )(Z −Z )|F ]=0,
t+1 t t+1 t t t+1 t t+1 t t
5
Die Kunita-Watanabe Zerlegung und ihre Anwendungen in der
Finantmathematik
denn wenn Z ein Martingal ist, gilt:
cov(W −W ,Z −Z |F )
t+1 t t+1 t t
= E [(W −W )(Z −Z )|F ]−E [W −W |F ]E [Z −Z |F ]
t+1 t t+1 t t t+1 t t t+1 t t
= E [(W −W )(Z −Z )|F ]=0
t+1 t t+1 t t
Des Weiteren gehen wir ab jetzt von einem festen Claim H ∈ L2(P) und
einem Aktienpreisprozess X aus mit
X ∈L2(Ω,F ,P,Rd) ∀ t
t t
Seite 6
Kapitel 3
Verallgemeinerte
Handelsstrategien
In diesem Kapitel wollen wir das Konzept der verallgemeinerten Handelsstrate-
gien kennenlernen. Diese brauchen nicht mehr selbstfinanzierend sein, sondern
sie erlauben, den Wert eines Claims durch Investition in das numeraire asset zu
berichtigen. Der Claim besteht dann nicht mehr nur aus einer Anfangszahlung
undeinerEndzahlung,sondernauchausZahlungsströmenzudeneinzelnenPe-
rioden t ≤ T. Wir werden sehen, wie ein quadratischer Hedgefehler für eine
solcheStrategieaussiehtunddanndieHandelsstrategieherausfiltern,diediesen
Fahlerminimiert.SolchelokalrisikominimierendenHandelsstrategienexistieren
allerdings nicht immer, also werden wir auch Kriterien ermittelt, unter welchen
Bedingungen sie einsetzbar sind.
Beginnen wir mit der Definition für die allgemeineren Handelsstrategien, die
wir im Folgenden betrachten wollen:
Definition. Ein Paar (ξ0,ξ) bestehend aus einem adaptierten Prozess
ξ0 =(ξ0) und einem d-dimensionalen vorhersehbaren Prozess
t t=0,...,T
ξ =(ξ ) heißt verallgemeinerte Handelsstrategie. Mit
t t=0,...,T
V :=ξ0 und V :=ξ0+ξ ·X ∀ t≥1
0 0 t t t t
wird dann der diskontierte Werteprozess V von (ξ0,ξ) bezeichnet.
Die kumulierten Gewinne und Verluste einer solchen verallgemeinerten Han-
delsstrategie bis zum Zeitpunkt t, die man beim Investieren in das risky asset
7
Die Kunita-Watanabe Zerlegung und ihre Anwendungen in der
Finantmathematik
erhält, sind dann durch
∑t
ξk·(Xk−Xk−1)
k=1
gegeben und die kumulierten Kosten bis t durch
∑t
Vt− ξk·(Xk−Xk−1).
k=1
Wir erhalten dadurch folgende
Definition. ZueinerverallgemeinertenHandelsstrategie(ξ0,ξ)existiertimmer
ein Gewinnprozess G und ein Kostenprozess C. Diese sind definiert durch
∑t
G0 :=0 und Gt := ξk·(Xk−Xk−1) für t=1,...,T
k=1
bzw
C :=V −G für t=1,...,T
t t t
Definition. Eine verallgemeinerte Handelsstrategie (ξ0,ξ) heißt L2-zulässige
Handelsstrategie für einen Claim H ∈ L2(P), wenn für ihren Werteprozess V
und ihren Gewinnprozess G folgendes gilt:
V =H P −f.s. und V ∈L2(P) ∀t
T t
und G ∈L2(P) ∀t.
t
KommenwirnunzuderlokalenVersioneinesquadratischenHedgefehlersfür
eine L2-zulässige Handelsstrategie.
Definition. Der lokale Risikoprozess für eine L2-zulässige Handelsstrategie
(ξ0,ξ) ist definiert durch:
Rloc(ξ0,ξ):=E [(C −C )2|F ], t=0,...,T −1.
t t+1 t t
Eine risikominimierende Handelsstrategie ist eine L2-zulässige Handelsstrategie
(ξˆ0,ξˆ), für die für alle t gilt:
Rloc(ξˆ0,ξˆ)≤Rloc(ξ0,ξ) P −f.s
t t
für jede L2-zulässige Handelsstrategie (ξ0,ξ), deren Werteprozess V = Vˆ
t+1 t+1
erfüllt.
DieNotwendigkeitderletztenBedingungwirddeutlich,wennwirunseinesol-
cherisikominimierendeHandelsstrategievomZeitpunktT anrückwärtskonstru-
Seite 8
Die Kunita-Watanabe Zerlegung und ihre Anwendungen in der
Finantmathematik
ieren.UminT einesolchefürRTlo−c1 zufinden,müssenwirξˆT0−1,ξˆT0,ξˆT−1 undξˆT
bestimmen. Im Beweis den nächsten Satzes werden wir sehen, dass ξˆ0,ξˆ und
T T
VˆT−1 durch die Minimalität von RTlo−c1 bereits festgelegt sind. Es bleiben al-
so nur noch ξˆT0−1 und ξˆT−1 zu wählen. Diese müssen aus allen ξT0−1,ξT−1 mit
ξT0−1+ξT−1·XT−1 =VT−1 gewählt werden.
Wir halten nun den Claim H ∈ L2(P) für den Rest des Vortrags fest und
versuchen unter der Bedingung V = H den quadratischen Hedgefehler zu mi-
T
nimieren. Dadurch liegen wir mit unserer verallgemeinerten Handelsstrategie
recht nahe an einer Hedgingstrategie, die keine Investitionen in das numeraire
asset benötigt.
KommenwirerstzueinerDefintion,dieeinenpassendenErsatzfürselbstfinan-
zierende Handelsstrategien bietet:
Definition. Eine L2-zulässige Handelsstrategie, deren Kostenprozess C ein P-
Martingal ist, d.h. für die gilt
E [C −C |F ]=0 P −f.s. ∀t,
t+1 t t
heißt durchschnittlich selbstfinanzierend.
Mithilfe der dieser Eigenschaft und der starken Ortogonalität aus Kapitel 2
können wir nun folgenden wichtigen Satz formulieren, der uns Auskunft gibt,
wann eine L2-zulässige Handelsstrategie risikominimierend ist.
Satz 1. Eine L2-zulässige Handelsstrategie ist genau dann lokal risikominimie-
rend, wenn sie durchschnittlich selbstfinanzierend und ihr Kostenprozess stark
orthogonal zu X ist.
Beweis. Sei (ξ0,ξ) eine L2-zulässige Handelsstrategie. Dann gilt mit dem Ver-
schiebungssatz für die (bedingte) Varianz:
Rloc(ξ0,ξ)=var(C −C |F )+E [C −C |F ]2
t t+1 t t t+1 t t
Seite 9
Die Kunita-Watanabe Zerlegung und ihre Anwendungen in der
Finantmathematik
Zerlegen wir nun die rechte Seite, so fällt auf, dass:
var(C −C |F )
t+1 t t
∑t+1 ∑t
= var(Vt+1− ξk(Xk−Xk−1)−Vt+ ξk(Xk−Xk−1)|Ft)
k=1 k=1
= var(V −ξ ·(X −X )−V |F )
t+1 t+1 t+1 t t t
= var(V −ξ ·(X −X )|F ) (3.1)
t+1 t+1 t+1 t t
und
E [C −C |F ]2
t+1 t t
= (E [V |F ]−ξ E [X −X |F ]−V )2 (3.2)
t+1 t t+1 t+1 t t t
Halten wir nun vorerst t und V fest und betrachten ξ und V als Para-
t+1 t+1 t
meter. Nun sollten wir konstatieren, dass man ξ0 und ξ so abändern kann,
t t
dass V jeden gegebenen Wert annehmen kann, dass wir es dann immernoch
t
mit einer L2-zulässigen Handelsstrategie zu tun haben und dass ξ und V
t+1 t+1
beibehalten werdenkönnen.Dasbedeutet, dass (3.1)durcheine etwaigeVerän-
derung erhalten bleibt und damit, dass V notwendigerweise (3.2) minimieren
t
muss, damit wir das optimale Rloc(ξ0,ξ) bekommen. Da (3.2) als Funtion von
t
V den Grad 2 besitzt und V2 positives Vorzeichen hat, müssen wir also nur die
t t
Ableitung von (3.2) nach V annulieren, um (3.2) zu minimieren:
t
((E [V |F ]−ξ ·E [X −X |F ]−V )2)′ =0
t+1 t t+1 t+1 t t t
⇔ 2·(E [V |F ]−ξ ·E [X −X |F ]−V )·(−1)=0
t+1 t t+1 t+1 t t t
⇔ V =E [V |F ]−ξ ·E [X −X |F ]. (3.3)
t t+1 t t+1 t+1 t t
Analog ist (3.1) genau dann minimal, wenn gilt:
(var(V −ξ ·(X −X )|F ))′ =0
t+1 t+1 t+1 t t
⇔ (E [(V −ξ ·(X −X ))2|F ]
t+1 t+1 t+1 t t
−E [V −ξ ·(X −X )|F ]2)′ =0
t+1 t+1 t+1 t t
⇔ E [2(V −ξ ·(X −X ))·(−(X −X ))|F ]
t+1 t+1 t+1 t t+1 t t
− 2·E [V −ξ ·(X −X )|F ]·(−1)·E [X −X |F ]=0
t+1 t+1 t+1 t t t+1 t t
⇔ cov(V −ξ ·(X −X ),X −X |F )=0. (3.4)
t+1 t+1 t+1 t t+1 t t
(3.3) ist nun äquivalent zu
E [C −C |F ]=E [V −ξ ·(X −X )|F ]−V =0
t+1 t t t+1 t+1 t+1 t t t
( (ξ0,ξ) ist durchschnittlich selbstfinanzierend) Ist jetzt (3.3) gegeben, so ist
Seite 10