BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini, diuraikan mengenai landasan teori yang akan digunakan

30 Pages·2015·0.46 MB·Indonesian

BAB II
LANDASAN TEORI

Pada bab ini, diuraikan mengenai landasan teori yang akan digunakan
dalam bab selanjutnya. Landasan teori yang dibahas adalah matriks, matriks data
multivariat, analisis komponen utama, analisis faktor, keputusan pembelian dan
pemasaran.
2.1 Matriks
Dalam matematika, matriks sering digunakan untuk menyederhanakan
penulisan dan perhitungan. Suatu matriks dapat mewakili suatu himpunan
bilangan yang merupakan entri dari matriks tersebut yang disusun dalam baris dan
kolom.
2.1.1 Definisi matriks
Sebuah matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-
bilangan. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam
matriks (Anton, 1997: 22)
Entri dalam matriks berupa bilangan atau elemen disusun secara mendatar
(disebut baris) dan disusun secara tegak (disebut kolom). Banyaknya kolom dan
baris menunjukkan ukuran dari suatu matriks. , merupakan

matriks berukuran dan menunjukkan entri matriks dengan

menunjukkan nomor baris dan adalah nomor kolom. Jika direpresentasikan
adalah sebagai berikut :
8
[ ]

Jika sebuah matriks memiliki baris dan kolom, maka matriks tersebut
disebut matriks persegi berordo- .
2.1.2 Transpose matriks
Jika adalah sebarang matriks maka transpose dari matriks
ditulis dan didefinisikan sebagai matriks yang kolom pertamanya adalah
baris pertama dari , kolom keduanya adalah baris kedua dari , demikian juga
kolom ketiga adalah baris ketiga dari dan seterusnya. (Anton, 1997:27)

Jadi, bila [ ] maka transpose dari matriks A adalah

sebagai berikut :

[ ]

Sifat-sifat transpose matriks :
1.
2.
3.
2.1.3 Matriks diagonal
Matriks diagonal adalah suatu matriks persegi dengan semua entrinya yang
tidak terletak pada diagonal utama adalah nol (Anton, 1997: 74). Suatu matriks
diagonal dapat ditulis sebagai berikut :

9
[ ]

2.1.4 Matriks identitas
Menurut Suryanto (1998: 24), matriks identitas adalah matriks diagonal
yang setiap entri pada diagonal utamanya adalah 1 (bilangan 1). Suatu matriks
identitas I, berordo dapat ditulis sebagai berikut :

[ ]

2.1.5 Determinan
Menurut Anton (1997: 63) misalkan adalah matriks persegi, fungsi
determinan dinyatakan dengan det dan didefinisikan det sebagai jumlah semua
hasil perkalian elementer bertanda dari .
Untuk [ ] maka det | | .

Untuk , | |

Untuk | |

Menurut Anton (1997:79) untuk maka determinannya dapat

dihitung dengan mengalikan entri-entri dalam suatu baris dengan kofaktor-
kofaktornya dan menambahan hasil-hasil perkalian tersebut.
det ∑

10
dengan diperoleh dari dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j

yang disebut matriks minor, dan hasil yang disebut kofaktor.

Kofaktor dapat dinyatakan dengan .

Misalkan matriks berordo , [ ], dengan menghilangkan

baris kedua maka determinan matriks maka ∑

.

| |

| |

| |

| |

Jadi ∑

2.1.6 Invers matriks
Menurut Anton (1997: 34), jika A adalah matriks persegi, dan jika terdapat
matriks B yang ukurannya sama sedemikian rupa sehingga , maka A
dikatakan mempunyai invers dan B disebut invers dari A.
Jika A invertible (dapat dibalik), maka inversnya dapat dinyatakan dengan
simbol . Jadi ,
11
dan (2.1)
Menurut Anton (1997: 35) Jika dan adalah matriks-matriks yang invertible
dan ukurannya sama, maka
1.
2.
Menurut Anton (1997:37) Jika matriks invertible maka :
1.
2. untuk
3. Untuk setiap skalar yang tak sama dengan 0, maka invertible dan
( )

2.2 Matriks Data Multivariat
Dalam analisis multivariat sering kali dihadapkan pada masalah
pengamatan yang dilakukan pada suatu periode waktu dengan variabel.
Menurut Johnson dan Winchern (2002: 5), secara umum sampel data multivariat
dapat disajikan dalam bentuk sebagai berikut :
Var-1 Var-2 Var-j Var-p
Objek-1

Objek-2

Objek-i

Objek-n

Atau dapat dituliskan dalam bentuk matriks sebagai berikut :
12
[ ]
dengan
adalah objek ke-i pada variabel ke-j

adalah banyaknya item atau objek
adalah banyaknya variabel
Dapat juga dinotasikan dengan ( )

2.3 Rata-rata
Ukuran pemusatan yang paling banyak digunakan adalah rata-rata.
Misalkan adalah pengukuran pada variabel pertama yang tidak

semuanya berbeda. Rata-rata pengukuran disebut juga rata-rata (mean) sampel
ditulis dengan ̅.
Secara umum, rata-rata sampel untuk variabel ke-j dengan p variabel dan
n objek adalah
̅ ∑ (2.2)

dengan
Misalkan matriks random [ ] berorde untuk setiap

merupakan sebuah vektor random. Rata–rata dari vektor random untuk
populasi adalah :

[ ] [ ] [ ] (2.3)

13
Jika adalah matriks , dengan n merupakan jumlah objek dan p
adalah banyaknya variabel maka matriks baris rata-rata ditulis dengan ̅ disebut
centroid atau nilai tengah. Matriks ̅ dihitung dengan menggunakan operasi
matriks berikut :
̅ [ ̅ ̅ ̅ ]

[ ∑ ∑ ∑ ]

[ ] [ ]

[ ][ ] (2.4)

didapat
̅ (2.5)

dengan adalah matriks dengan entri 1.

2.4 Data Terkoreksi
Data terkoreksi terhadap rata-rata adalah data yang nilainya telah
dikurangi dengan nilai rata-rata masing-masing variabel yang bersesuaian.
Dengan mendefinisikan sebagai matriks yang berisi data terkoreksi

maka didapat :
̅ (2.6)

14
2.5 Varians
didefinisikan sebagai varians sampel yang merupakan estimator dari
varians populasi . Varians sampel variabel pertama dengan pengamatan
adalah
∑ ̅̅̅ (2.7)

Sedangkan secara umum, varians sampel untuk variabel ke-j adalah
∑ ̅ (2.8)

Dengan mengambil sebesar vektor kolom dari matriks didapat :

* + (2.9)

[ ]

Varians populasi dinyatakan dalam dan simpangan baku populasi
adalah . Untuk menghitung nilai varians populasi digunakan rumus berikut :
∑ ( ) (2.10)

dengan
menyatakan variansi untuk variabel-variabel

menyatakan nilai ke-i dari variabel

menyatakan rataan populasi dari variabel

menyatakan ukuran populasi
2.6 Varians- Kovarians
Kovarians merupakan ukuran keterikatan dua variabel, misal dan .

Menurut Johnson & Wichern (2002: 8) kovariansi sampel untuk variabel ke-1 dan
variabel ke- adalah
15
∑ ̅ ̅ (2.11)

Secara umum, kovariansi sampel untuk variabel ke-j dan k adalah

∑( ̅ ) ̅

(∑ ̅ ̅ ) (2.12)

dengan

menyatakan kovariansi antara dua variabel yaitu variabel dan

menyatakan nilai ke-i dari variabel

menyatakan nilai ke-i dari variabel

̅ menyatakan rataan nilai variabel

̅ menyatakan rataan nilai variabel

menyatakan ukuran sampel
Sehubungan dengan kovariansi, variansi sampel dapat pula diartikan
sebagai kovariansi variabel ke-k dan variabel ke-j. Suatu matriks yang entri-
entrinya terdiri atas variansi dan kovariansi dari sekumpulan variabel disebut
dengan matriks variansi-kovariansi dinotasikan dengan S dapat dinyatakan dalam
bentuk

[ ]

̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅

̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅
[ ]

̅ ̅ ̅ [ ̅ ̅ ̅ ]
16
( ) ( ),

karena ̅ dan ̅

( ̅ ) ( ̅ )

(2.13)

Untuk menghitung nilai kovariansi populasi ditentukan dengan rumus sebagai
berikut :
∑ ∑ ( ) (2.14)

dengan
menyatakan kovariansi antara dua variabel yaitu variabel dan

menyatakan nilai ke-i dari variabel

menyatakan nilai ke-r dari variabel

menyatakan rataan nilai variabel

menyatakan rataan nilai variabel

menyatakan ukuran populasi
Entri-entri diagonal matriks varians-kovarians disimbolkan dengan adalah nilai
varians sedangkan entri matriks yang bukan diagonal adalah nilai kovarians atau
dapat ditulis sebagai berikut :

[ ] (2.15)

Oleh karena , maka untuk setiap dan dengan

berlaku :
17