BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas mengenai definisi-definisi dan teorema ...

35 Pages·2015·0.44 MB·Indonesian

BAB II
LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan dibahas mengenai definisi-definisi dan teorema-teorema
yang akan menjadi landasan untuk pembahasan pada bab III nanti, di antaranya
model matematika penyebaran penyakit, sistem persamaan linear, sistem
persamaan diferensial, titik ekuilibrium, linearisasi sistem persamaan diferensial
nonlinier, nilai eigen dan vektor eigen, kriteria kestabilan sistem persamaan
diferensial, kriteria Routh-Hurwitz, dan bilangan reproduksi dasar.
Berikut akan dibahas tiap definisi dan teorema tersebut di atas.
A. Model Matematika Penyebaran Penyakit
Model matematika merupakan representasi matematika yang dihasilkan dari
pemodelan matematika. Pemodelan matematika merupakan suatu proses
merepresentasikan dan menjelaskan permasalahan pada dunia nyata ke dalam
pernyataan matematis (Widowati & Sutimin, 2007: 1). Suatu model matematika
dikatakan baik jika model matematika yang terbentuk dapat merepresentasikan
atau mewakili suatu permasalahan dalam kehidupan nyata.
Berikut diberikan langkah-langkah dalam pemodelan matematika menurut
Widowati & Sutimin (2007: 3-5).
1. Menyatakan permasalahan nyata ke dalam pengertian matematika.
Langkah ini membutuhkan pemahaman pada permasalahan yang akan
dimodelkan sehingga pada langkah ini dapat dilakukan identifikasi variabel-
variabel dalam masalah dan membentuk beberapa hubungan antar variabel yang
dihasilkan dari permasalahan tersebut.
9
2. Menentukan asumsi yang akan digunakan.
Pada dasarnya asumsi mencerminkan bagaimana proses berpikir
sehingga diperoleh suatu model. Asumsi yang diterapkan oleh setiap individu
dapat berbeda dari individu lainnya dalam suatu permasalahan yang sama.
Hal ini yang nantinya akan menyebabkan adanya perbedaan pada model yang
dihasilkan.
3. Membentuk model matematika.
Dengan pemahaman hubungan antar variabel dan asumsi, langkah
selanjutnya yaitu memformulasikan persamaan atau sistem persamaan.
Formulasi model merupakan langkah yang paling penting dan sulit sehingga
suatu saat diperlukan adanya pengujian kembali asumsi-asumsi agar dalam
proses pembentukan formulasi dapat sesuai dan realistik.
4. Menentukan solusi atau menyelidiki sifat solusi.
Tidak semua model matematika dapat dengan mudah ditentukan hasil
atau solusinya sehingga pada langkah ini dapat dilakukan analisis atau
menyelidiki mengenai sifat atau perilaku dari solusi model matematika
tersebut.
5. Interpretasi solusi atau sifat solusi model matematika.
Hal ini menghubungkan kembali formula matematika dengan
permasalahan dalam kehidupan nyata. Interpretasi ini dapat diwujudkan
dalam bentuk grafik yang digambarkan berdasarkan solusi yang diperoleh dan
selanjutnya diinterpretasikan sebagai solusi dalam dunia nyata.
10
Untuk lebih mudahnya, diberikan diagram alur langkah-langkah pemodelan
matematika menurut Widowati & Sutimin (2007: 3) pada Gambar 2.1.

Masalah Masalah Dalam Asumsi

Dunia Nyata Matematika

Formulasi

Persamaan/
Pertidaksamaan

Solusi Dunia Interpretasi Menentukan
Nyata Solusi atau Solusi atau Sifat
Sifat Solusi dari Solusi

Gambar 2.1. Proses pemodelan matematika menurut Widowati & Sutimin

Beberapa model matematika yang sering digunakan dalam penyebaran
penyakit memiliki konsep yang sama yaitu compartmental epidemiologi
(pembagian kelas) yang menggambarkan penyebaran penyakit pada masing-
masing kelas. Suatu populasi akan terbagi menjadi beberapa kelas yang masing-
masing kelas mewakili tahapan berbeda. Beberapa istilah yang sering kita dengar
dalam model epidemiologi di antaranya adalah epidemik dan endemik. Epidemik
merupakan fenomena suatu penyakit tiba-tiba muncul dalam suatu populasi dan
menjangkit secara cepat sebelum penyakit tersebut menghilang dan kemudian
akan muncul kembali dalam interval waktu tertentu, sedangkan endemik
11
merupakan fenomena suatu penyakit yang muncul akan selalu dalam suatu
populasi.
Model penyebaran penyakit pertama kali dikemukakan oleh Kermark &
McKendrick pada tahun 1927 yang terdiri atas kelas susceptible (S), infection (I),
dan recovered (R) sehingga dikenal sebagai model epidemik SIR. Kelas
susceptible (S) merupakan kelas individu yang rentan terhadap suatu penyakit.
Kelas infection (I) merupakan kelas individu yang terinfeksi suatu penyakit
terinfeksi dan mampu menularkan atau menyebarkan penyakit ke individu pada
populasi rentan. Kelas recovered (R) merupakan kelas individu yang telah sembuh
dari suatu penyakit. Untuk pemodelan penyebaran suatu penyakit, penambahan
atau pengurangan suatu kelas dapat terjadi sesuai dengan karakteristik penyebaran
penyakit yang akan dibahas.
Pada model-model epidemik yang memperhatikan adanya periode laten
(masa inkubasi) seperti model SEIR dan MSEIR, terdapat kelas E (exposed) yang
digunakan untuk mewakili individu-individu yang baru terinfeksi dan memasuki
periode laten, dalam periode ini individu tersebut tidak memiliki kemampuan
untuk menularkan penyakit ke individu lain. Kelas M (maternal antibody)
digunakan untuk mewakili individu-individu yang baru lahir dan memiliki
kekebalan pasif yang didapatkan dari ibunya, namun hal ini hanya berlangsung
sementara dan kemudian individu pada kelas ini akan memasuki kelas rentan
(susceptible). Model matematika epidemik di antaranya SIR, SIRS, SEIR, MSEIR
dan termasuk model SVID.
12
Berikut diberikan beberapa model matematika berdasarkan penelitian yang
telah dilakukan sebelumnya dan akan dijadikan sebagai acuan dalam
pembentukan model matematika pada skripsi ini.
Penelitian mengenai model penyebaran penyakit tuberkulosis dilakukan oleh
Fredlina, Oka, & Dwipayana (2012) dalam jurnal matematika yang berjudul
Model SIR (Susceptible, Infectious, Recovery) untuk Penyebaran Penyakit
Tuberkulosis yang menjelaskan tentang model penyebaran penyakit TB dan
menghasilkan persamaan model penyebaran penyakit TB pada kelas susceptible
(S), infectious (I), dan recovered (R).
Jumlah populasi akan bertambah karena kelahiran sebesar , dengan
adalah konstan dan berkurang karena kematian dengan laju , kontak langsung
dengan individu yang terinfeksi menyebabkan individu pada populasi rentan akan
ikut terinfeksi dan masuk menjadi populasi dengan laju penularan penyakit TB
sebesar . Kelas menyatakan individu yang terinfeksi dan dapat menularkan TB
kepada orang lain. Berkurangnya populasi ini disebabkan oleh kematian alami
dengan laju dan kematian karena penyakit TB dengan laju . Individu yang

terinfeksi TB dapat sembuh dengan laju dan masuk dalam populasi . Hal ini
juga menyebabkan berkurangnya populasi . Individu dalam kelas diasumsikan
tidak akan kambuh kembali menjadi penderita TB. Berkurangnya populasi ini
disebabkan oleh kematian dengan laju .
Berdasarkan pernyataan-pernyataan diatas diperoleh diagram alir sebagai
berikut

13
Gambar 2.2. Diagram alir model matematika SIR menurut Fredlina, Oka, &
Dwipayana
sehingga diperoleh model matematika sebagai berikut

( )

dengan .
Pada kenyataannya, dalam penyebaran penyakit TB terdapat individu yang
terinfeksi TB namun tidak menunjukkan gejala dan belum bisa menularkan
penyakit TB kepada individu lain yang disebut dengan penderita TB laten,
sehingga penelitian yang dilakukan oleh Adetunde (2008) yang berjudul On the
Control and Eradication Strategies of Mathematical Models of the Tuberculosis
in A Community membahas model matematika SLIR yang membagi populasi
menjadi empat kelas, yaitu kelas susceptible, kelas latent, kelas infectives, dan
kelas recoveries.
Populasi pada kelas rentan akan bertambah karena adanya kelahiran ( ) dan
akan berkurang karena adanya kematian alami ( ). Kontak langsung antara
individu ini dengan individu yang terinfeksi ( ) mengakibatkan individu ikut
terinfeksi sehingga populasi kelas ini berkurang dengan laju sebesar .

14
Kelas menyatakan individu yang telah terdeteksi TB tetapi belum
menginfeksi. Populasi ini bertambah oleh masuknya individu dari kelas
susceptible yang telah terinfeksi, sedangkan berkurangnya populasi disebabkan
oleh kematian alami ( ) pengobatan hingga sembuh ( ) dan berkembangnya

bakteri TB sehingga individu ini dapat menularkan ke individu lain ( )
Kelas menyatakan individu yang terinfeksi dan dapat menularkan TB
kepada individu lain. Bertambahnya populasi kelas ini dikarenakan masuknya
individu dari kelas yang disebabkan bakteri TB telah menjadi aktif ( )
Berkurangnya kelas ini dikarenakan adanya kematian alami ( ) dan kematian
akibat penyakit TB ( ) dan adanya pengobatan hingga sembuh ( )

Kelas menyatakan populasi individu yang telah sembuh dari penyakit TB
dan diasumsikan dapat terjangkit TB lagi sehingga masuk kembali ke kelas
sebesar Populasi kelas ini bertambah karena masuknya individu yang telah

sembuh dari kelas dan kelas sebesar dan Populasi ini berkurang karena

adanya kematian alami ( )
Berdasarkan pernyataan-pernyataan tersebut menghasilkan model
matematika yang diberikan dalam diagram alir sebagai berikut

_2

Gambar 2.3. Diagram alir model matematika SLIR menurut Adetunde
15
sehingga diperoleh model matemamatika sebagai berikut

( )

( )

dengan menyatakan total area yang ditempati populasi dan
menyatakan jumlah total populasi.
Penelitian selanjutnya dilakukan oleh Rosadi (2014) dalam tesis yang
berjudul Model Dua Strain Penyakit Tuberculosis menjelaskan tentang model
penyebaran penyakit TB pada kelas susceptible (S), infectious (I), dan susceptible
(S) dengan kelas infectious yang terdiri dari dua strain/jenis, yaitu strain kelas
infeksi TB yang resisten terhadap obat anti TB ( ) dan strain kelas infeksi TB

yang sensitif terhadap obat anti TB ( ).

Berikut diberikan diagram alir model penyebaran penyakit TB menurut
Rosadi.

Gambar 2.4. Diagram alir model matematika SIS menurut Rosadi
sehingga diperoleh model matematika sebagai berikut
16
( ) ( )

( )

( )

dengan merupakan laju kelahiran dan kematian, merupakan laju penularan
penyakit TB, merupakan laju kontak antara penderita TB antar strain, dan
merupakan laju sembuh.
Pada penelitian-penelitian tersebut, belum ada yang membahas mengenai
adanya maternal antibody sehingga Wulandari (2013) dalam skripsinya yang
berjudul Analisis Model Epidemik MSEIR pada Penyebaran Penyakit Difteri
menggunakan model matematika dengan adanya kelas maternal antibody dan
dalam skripsi ini model tersebut akan digunakan untuk penyebaran penyakit TB.
Berikut diberikan diagram alir model matematika menurut Wulandari.
MM

Gambar 2.4. Diagram alir model matematika MSEIR menurut Wulandari
Berdasarkan diagram alir tersebut diperoleh model matematika sebagai
berikut

17
dengan ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
adalah laju kelahiran populasi yang dilindungi oleh kekebalan tubuh,
adalah laju transisi dari kelas maternal antibody ke susceptible, adalah laju
transisi dari kelas susceptible ke expose, adalah laju transisi dari kelas exposed
ke infected, adalah laju transisi dari kelas infected ke recovered. Laju kematian
alami untuk tiap kelas dinyatakan dengan .
B. Sistem Persamaan Linear
Sebuah garis dalam bidang secara aljabar dapat dinyatakan oleh sebuah
persamaan garis yang berbentuk . Persamaan semacam ini

dinamakan persamaan linear dengan dua variabel dan . Secara umum untuk
variabel yang berhingga ( ), persamaan linear dapat dinyatakan

sebagai

dengan dan adalah konstanta-konstanta real.

Berikut akan diberikan definisi mengenai sistem persamaan linear homogen.
Definisi 2.2.1 (Anton, 1988: 19) Diberikan variabel dan persamaan. Sistem
persamaan linear dikatakan homogen apabila semua suku konstanta sama
dengan nol.
18