Autour des algèbres de battages quantiques : idéaux de définition, spécialisation et cohomologie [PhD thesis]

165 Pages·2012·0.96 MB·French

by  Xin Fang

Université Paris Diderot - Paris VII
École Doctorale Paris Centre
Thèse de doctorat
Discipline : Mathématique
présentée par
FANG
Xin
Autour des algèbres de battages
quantiques : idéaux de définition,
spécialisation et cohomologie
ROSSO
dirigée par Marc
Soutenue le 25 octobre 2012 devant le jury composé de :
M. Philippe Caldero Université Claude Bernard Lyon I examinateur
M. David Hernandez Université Paris Diderot examinateur
M. Patrick Polo Université Marie et Pierre Curie examinateur
M. Marc Rosso Université Paris Diderot directeur
M. Olivier Schiffmann Université Paris-Sud rapporteur
M. Jean-Yves Thibon Université Paris-Est Marne-la-Vallée examinateur
Rapporteur non présent à la soutenance :
M. Nicolás Andruskiewitsch (Universidad Nacional de Córdoba)
2
Institut de Mathématiques de Jussieu École doctorale Paris centre Case 188
175, rue du chevaleret 4 place Jussieu
75 013 Paris 75 252 Paris cedex 05
Remerciements
Je tiens en tout premier lieu à exprimer ma profonde gratitude à mon directeur de
thèse Marc Rosso pour avoir encadré mon stage de M2 et cette thèse, pour partager
avec moi ses idées et ses connaissances, pour le temps qu’il m’a consacré, pour les
suggestions et prévoyances pertinentes, pour sa gentillesse, patience, disponibilité et
encouragement.
Je suis reconnaissant à Olivier Schiffmann, non seulement parce qu’il a accepté de
rapporter cette thèse, faire partie de mon jury et ses soutiens, mais aussi les discus-
sions que j’ai eu avec lui pendent les divers périodes de ma thèse. Je remercie Nicolás
Andruskiewitsch sincèrement pour rapporter ma thèse, pour ses suggestions concrètes
qui l’a amélioré et ses travaux en tant qu’éditeur de mon article.
Je souhaite remercier Philippe Caldero, Patrick Polo et Jean-Yves Thibon de faire
partie de mon jury. Je voudrais remercier David Hernandez d’accepter de faire partie
de mon jury et de tout ce que j’ai profité des discussions avec lui. Je voudrais passer
mon remerciement à Bernhard Keller de m’a appris les algèbres amassées, de répondre
mes questions patiemment et m’a soutenu.
Je suis fortement influencé par le Master 2 cours donné par Michel Broué, à qui je
tiens à exprimer mes remerciements.
I would like to give my sincere thank to Yi Zhang, without whom I would not
have continued my postgraduate studies on maths. His encouragements and optimism
influenced me a lot during the past seven years.
J’ai beaucoup profité des discussions avec Alexandre Bouayad, Runqiang Jian,
Victoria Lebed, Mathieu Mansuy, Fan Qin et Peng Shan, je tiens à les en remercier.
Merci également aux créateurs des bon moments à partager : Thibaut Allemand,
Vincent Calvez, Lingyan Guo, Yong Lu, Christophe Prange, Botao Qin et Fei Sun.
Cette période m’a aussi donner l’occasion de saluer mes compagnons en route : R3
à Ulm et 7C à Chevaleret. Merci donc à Alfredo, Benben, Daniel, Dragoş, Elodie, Fa-
rid, Haoran, Hoël, Huafeng, Ismaël, Jialin, Jiao, Johan, Jyun-ao, Kai, Louis-Hadrien,
Lukas, Mouchira, Mounir, Paloma, Pierre-Guy, Qiaoling, Qizheng, Robert, Taiwang,
Tiehong, Wen et bien d’autres.
I want to convey my heartfelt gratitudes to my dearest parents : this thesis would
never be finished without their support. A special thank should be given to Can, ma
chérie, for her constant support, and the glorious time we shared.

Résumé
La partie principale de cette thèse est consacrée à l’étude de certaines constructions
et de structures liées aux algèbres de battages quantiques : algèbres différentielles et les
opérateurs de Kashiwara; idéaux de définition et le problème de spécialisation; homo-
logie de coHochschild et théorème de type Borel-Weil-Bott. Dans le dernier chapitre,
on obtient une famille d’identités entre les puissances de la fonction η de Dedekind et
la trace de l’élément de Coxeter du groupe de tresses d’Artin agissant sur les algèbres
de coordonnées quantiques.
Mots-clefs
Algèbres q-Bosons, algèbres de Nichols, algèbres de battages quantiques, algèbres
de Weyl quantiques, fonction η de Dedekind, homologie de coHochschild, groupes
quantiques.
Around quantum shuffle algebras: defining ideals,
specializations and cohomology
Abstract
The main part of this thesis is devoted to study some constructions and struc-
tures around quantum shuffle algebras: differential algebras and Kashiwara operators;
defining ideals and specialization problem; coHochschild homology and an analogue of
Borel-Weil-Bott theorem. In the last chapter we prove a family of identities relating
powers of Dedekind η-function and the trace of the Coxeter element in the Artin braid
groups acting on quantum coordinate algebras.
Keywords
q-Boson algebras, coHochschild homology, Dedekind η-function, Nichols algebras,
quantum groups, quantum shuffle algebras, quantum Weyl algebras.

Table des matières
1 Introduction 9
1.1 Les algèbres q-Bosons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 L’idéal de définition d’une algèbre de Nichols . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Un théorème du type Borel-Weil-Bott pour les algèbres de battages
quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Fonction η de Dedekind et groupes quantiques . . . . . . . . . . . . . . 16
2 q-Boson algebras 19
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Hopf pairings and double constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Construction of quantum algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4 Modules over q-Boson algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 q-Boson algebras of Schubert cells and Kashiwara operators 37
3.1 General results for relative Hopf modules . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Application to U<0[w] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
q
3.3 Kashiwara operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4 On defining ideals and differential algebras of Nichols algebras 45
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 Recollections on Hopf algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3 Dynkin operators and their properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.4 Decompositions in braid groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.5 The study of the ideal I(V) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.6 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.7 Differential algebras of Nichols alegbras . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.8 Applications to Nichols algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.9 Primitive elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5 Specialization of quantum groups : non-symmetrizable case 79
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.2 Recollections on Nichols algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.3 Identities in braid groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.4 Another characterization of I(V) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.5 Defining relations in the diagonal type . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.6 Generalized quantum groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8 Table des matières
5.7 On the specialization problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.8 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6 A Borel-Weil-Bott type theorem of quantum shuffle algebras 103
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.2 Recollections on quantum shuffle algebras . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.3 Construction of quantum groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.4 Main Construction and Rosso’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.5 Coalgebra homology and module structures . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.6 A Borel-Weil-Bott type theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.7 On the study of coinvariants of degree 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.8 Examples and PBW basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.9 Inductive construction of quivers and composition algebras . . . . . . . 138
7 Dedekind η-function and quantum groups 141
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.2 Quantum groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
7.3 Quantum Weyl groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.4 R-matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.5 Action of central element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.6 Main theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Bibliographie 161
Chapitre 1
Introduction
Cette thèse est dédiée à l’étude de quelques constructions autour des objets prove-
nant des algèbres enveloppantes quantiques : les algèbres de battages quantiques (ou
dualement, les algèbres de Nichols) et les liens avec les q-séries. Elle contient quatre
parties dont les trois premières sont reliées. Les résultats principaux sont expliqués
brièvement ci-dessous.
1.1 Les algèbres q-Bosons
Cette partie reprend les chapitres 2 et 3.
1.1.1 Motivation
Lesalgèbresq-BosonsB (g),commelesextensionsdesalgèbresdeWeylquantiques
q
W (g), sont construites initialement dans les travaux de M. Kashiwara [44] sur les
q
bases cristallines, ayant pour but de définir les «opérateurs de Kashiwara» agissant
sur la partie négative U<0(g) d’un groupe quantique associé à une algèbre de Kac-
q
Moody symétrizable g. C’est dans ce même article que la simplicité de U<0(g) comme
q
un W (g)-module est démontrée en utilisant les calculs concernant les relations de
q
commutation entre les générateurs et l’élément de Casimir; la semi-simplicité de la
catégorie O(W (g)) y est conjecturée être un exercice simple.
q
Or, ce problème n’est pas aussi simple que l’indication donnée par Kashiwara peut
le laisser croire : l’article [65] donne une «preuve» insuffisante.
La première démonstration complète est publiée dans [66] plus tard environ dix
ans, en appliquant un outil de «projecteurs extrêmaux», avec de gros calculs pour
vérifier ses propriétés.
1.1.2 Une esquisse
L’essentiel de la première partie de cette thèse est dédiée à donner une démons-
tration conceptuelle du théorème structurel de la catégorie O(W (g)) : on expliquera
q
pourquoi la semi-simplicité de O(W (g)) provient de la dualité intrinsèque de l’algèbre
q
W (g).
q
10 Chapitre 1. Introduction
Dans notre approche, la trivialité de la catégorie O(W (g)) dépend fortement d’une
q
construction plus fonctorielle de l’algèbre W (g) comme un double. En voici une ex-
q
plication rapide.
Soient A et B deux algèbres de Hopf et ϕ : A×B → k un accouplement de Hopf
généralisé. Le double quantique et le double de Heisenberg associés sont notés par
D (A,B) et H (A,B) respectivement. Munis des structures de D (A,B)-module et
ϕ ϕ ϕ
comodule sur H (A,B) définies dans la Section 2.2.8, on a
ϕ
Proposition 1 (Proposition 2.3). H (A,B) est un D (A,B)-Yetter-Drinfel’d module
ϕ ϕ
algèbre.
L’avantage d’avoir la structure de Yetter-Drinfel’d provient de l’existence d’un
tressage
σ : H (A,B)⊗H (A,B) → H (A,B)⊗H (A,B)
ϕ ϕ ϕ ϕ
qui munit l’espace vectoriel H (A,B) ⊗ H (A,B) d’une structure d’algèbre en rem-
ϕ ϕ
plaçant le flip usuel par le tressage ci-dessus. On le notera H (A,B)⊗H (A,B) pour
ϕ ϕ
souligner cette structure d’algèbre.
LorsqueA = U≥0(g)etB = U≤0(g)sontlespartiespositiveetnégatived’ungroupe
q q
quantique, en identifiant les deux parties tores et faisant un changement de variables,
le double de Heisenberg n’est rien d’autre que B (g). À ce moment, la proposition
q
ci-dessus s’écrit comme
Proposition 2 (Proposition2.7). W (g)estunU (g)-Yetter-Drinfel’dmodulealgèbre.
q q
Comme conséquence immédiate, le tressage
σ : W (g)⊗W (g) → W (g)⊗W (g)
q q q q
qui munit W (g)⊗W (g) d’une structure d’algèbre, est bien défini. De plus, l’algèbre
q q
W (g) se retrouve ainsi : soient B<0(g) et B>0(g) les images de U<0(g) et U>0(g) dans
q q q q q
W (g), alors
q
Proposition 3 (Proposition 2.8). Il existe un isomorphisme d’algèbre
B<0(g)⊗B>0(g) ∼= W (g).
q q q
En utilisant cette construction, une version tressée du théorème structurel des
modules de Hopf peut être appliqué aux W (g)-modules dans O(W (g)) et finalement
q q
on obtient
Théorème 1 (Theorem 2.1). Il existe une équivalence de catégorie
O(W (g)) ∼ Vect
q
où Vect est la catégorie des espaces vectoriels. Plus précisément, cette équivalence est
donnée par :
M 7→ Mcoρ, V 7→ B<0 ⊗V
q
pour M ∈ O(W (g)) et V ∈ Vect, où Mcoρ = {m ∈ M| ρ(m) = m⊗1} est l’ensemble
q
des coinvariants à droite dans M.
Le théorème structurel de la catégorie O(B (g)) provient du même principe, voir
q
Theorem 2.2 pour un énoncé complet. De plus, la semi-simplicité de O(B (g)) et la
q
classification des objets simples en sont des corollaires immédiats.