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Automorphisms of right-angled Artin groups Emmanuel Toinet To cite this version: EmmanuelToinet. Automorphismsofright-angledArtingroups. GroupTheory[math.GR].Université de Bourgogne, 2012. English. NNT: . tel-00698614v2 HAL Id: tel-00698614 https://theses.hal.science/tel-00698614v2 Submitted on 24 May 2012 HAL is a multi-disciplinary open access L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est archive for the deposit and dissemination of sci- destinée au dépôt et à la diffusion de documents entific research documents, whether they are pub- scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, lished or not. The documents may come from émanant des établissements d’enseignement et de teaching and research institutions in France or recherche français ou étrangers, des laboratoires abroad, or from public or private research centers. publics ou privés. UNIVERSITE DE BOURGOGNE UFR Sciences et Techniques Institut de Math´ematiques de Bourgogne ` THESE Pour obtenir le grade de Docteur de l’Universit´e de Bourgogne Discipline : Math´ematiques par Emmanuel Toinet le vendredi 11 mai 2012 Automorphisms of right-angled Artin groups Directeur de th`ese Luis Paris Jury de th`ese Ruth Charney Brandeis University Rapporteur Franc¸ois Dahmani Universit´e Joseph Fourier Rapporteur Martin Lustig Universit´e Aix-Marseille III Pr´esident Ashot Minasyan University of Southampton Examinateur Soyoung Moon Universit´e de Bourgogne Examinateur Luis Paris Universit´e de Bourgogne Directeur de th`ese A mon oncle Acknowledgments Many people have been a source of inspiration at various points in my life. I would like to take the opportunity to thank: Professor Luis Paris, my thesis advisor, for his ongoing encouragement and guidance over the past three years. The entire staff of the Universit´e de Bourgogne, for providing a stimu- lating, creative environment in which to work. My parents, Josette and Andr´e Toinet, for their constant love and sup- port throughout my life. Finally, a special thanks to Ruth Charney, Franc¸ois Dahmani, Martin Lustig, Ashot Minasyan and Soyoung Moon for their time and interest in my work. i R´esum´e Cette th`ese a pour objet l’´etude des automorphismes des groupes d’Artin `a angles droits. Etant donn´e un graphe simple fini Γ, le groupe d’Artin `a angles droits G associ´e `a Γ est le groupe d´efini par la pr´esentation dont Γ les g´en´erateurs sont les sommets de Γ, et dont les relateurs sont les com- mutateurs [v,w], ou` {v,w} est une paire de sommets adjacents. Le premier chapitre est con¸cu comme une introduction g´en´erale `a la th´eorie des groupes d’Artin a` angles droits et de leurs automorphismes. Dans un deuxi`eme chapitre, on d´emontre que tout sous-groupe sous-normal d’indice une puis- sancedepd’ungrouped’Artin`aanglesdroitsestr´esiduellementp-s´eparable. Comme application de ce r´esultat, on montre que tout groupe d’Artin `a an- gles droits est r´esiduellement s´eparable dans la classe des groupes nilpotents sans torsion. Une autre application de ce r´esultat est que le groupe des automorphismes ext´erieurs d’un groupe d’Artin `a angles droits est virtuelle- ment r´esiduellement p-fini. On montre ´egalement que le groupe de Torelli d’un groupe d’Artin `a angles droits est r´esiduellement nilpotent sans tor- sion, et, par suite, r´esiduellement p-fini et bi-ordonnable. Dans un troisi`eme chapitre, on ´etablit une pr´esentation du sous-groupe Conj(G ) de Aut(G ) Γ Γ form´e des automorphismes qui envoient chaque g´en´erateur sur un conjugu´e de lui-mˆeme. ii Abstract The purpose of this thesis is to study the automorphisms of right-angled Artingroups. GivenafinitesimplicialgraphΓ, theright-angledArtingroup G associatedtoΓisthegroupdefinedbythepresentationwhosegenerators Γ aretheverticesofΓ,andwhoserelatorsarecommutatorsofpairsofadjacent vertices. Thefirstchapterisintendedasageneralintroductiontothetheory of right-angled Artin groups and their automorphisms. In a second chapter, we prove that every subnormal subgroup of p-power index in a right-angled Artingroupisconjugacyp-separable. Asanapplication,weprovethatevery right-angled Artin group is conjugacy separable in the class of torsion-free nilpotent groups. As another application, we prove that the outer automor- phism group of a right-angled Artin group is virtually residually p-finite. We also prove that the Torelli group of a right-angled Artin group is resid- ually torsion-free nilpotent, hence residually p-finite and bi-orderable. In a third chapter, we give a presentation of the subgroup Conj(G ) of Aut(G ) Γ Γ consisting of the automorphisms that send each generator to a conjugate of itself. iii
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