Automatic counterfort retaining wall desing by simulated annealing and extreme value estimation

17 Pages·2016·0.81 MB·English

Auttomatic coounterfortt retainingg wall dessign by simmulated aannealing and 
extremee value estimation
Yepes, VVíctor1; Martí, José V.2 
ABSTRACT 
This papper focusses on the autoomatic desiggn and cost minimization of reinforcced concretee buttress 
earth‐retaining wallss using a Simmulated Anneealing (SA) algorithm andd the Extremme Value Theeory (EVT). 
The studdy involves a counterfoort earth‐rettaining wall which meaasures 11.000 m in heigght, which 
includes 32 discrete design variaables. An objjective methhodology bassed on the EEVT and the bootstrap 
techniquue is used too determine the number of experimeental tests reequired to provide a soluution with 
user‐deffined accuraccy as compared to a globbal optimumm solution. Analysis of thhe results inddicate that 
the local optima fouund by SA fiits a three‐pparameter WWeibull distriibution so thhe estimated location 
parametter γ can bee used as aan estimatioon of the gloobal minimuum cost solution. The difference 
betweenn the minimuum value obttained after 1400 runs and the extreme value esttimated wass €16.11, a 
differencce of just 0.662% compareed to the theeoretical minnimum valuee. 
Keywordds: Optimization, reinforced concretee; Weibull ddistribution, eextreme valuue theory, coounterfort 
retainingg walls. 
1. INTROODUCCIÓN 
Los murros de hormigón armadoo para el sostenimiento de rellenoss de tierra coonstituyen uuna de las 
estructuras más commúnmente uutilizadas en las obras civiles y en la edificación.. El proyectoo de estos
elementtos de conteención constituye un prooblema de innteracción entre el sueloo y la estrucctura cuya 
finalidadd consiste enn retener un material de forma suficiientemente ssegura y ecoonómica. Sin embargo, 
cuando la altura de un muro ménsula empiieza a ser immportante, eel canto del alzado y por tanto, el 
volumenn de hormigóón requeridoo, empiezan a ser considerables. A paartir de unoss 8‐10 m de altura, los 
muros ccon contrafuuertes comppiten económmicamente con los muros ménsulaa, a pesar dde que el 
ferralladdo, el encofraado, el hormigonado y ell relleno de ttierras sea mmás complejoo. 
La pantaalla de estoos muros resiste los emmpujes del tterreno trabbajando commo una losa continua 
apoyadaa en los contrafuertes. Loos contrafueertes suelen ssituarse en la zona del trrasdós, puess en ella la 
losa  froontal  funcionna  como  caabeza  de  unna  sección  en  T  para  resistir  los  momentos flectores 
produciddos por los eempujes [1]. La opción de contrafuerrtes en el inttradós, ademmás, presentta un claro 
inconvenniente estétiico. Las apliccaciones de eesta estructuura son muy diversas. Soon abundantees en obra 
1 ICITECHH. Departamennto de Ingenieería de la Consstrucción y Prroyectos de Inggeniería Civil.  Universitat PPolitècnica 
de Valènccia (España). [email protected] (Correessponding authhor) 
2 ICITECHH. Departamennto de Ingenieería de la Consstrucción y Prroyectos de Inggeniería Civil.  Universitat PPolitècnica 
de Valènccia (España). [email protected]

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civil paraa pasos supeeriores e infeeriores de caarreteras, o como muros de contencción de taludes. Otras 
aplicacioones se tienen en obrass de ferrocaarril, como eestribos de pasos a disttinto nivel, muros de 
contenciión de taludes o de la plataforma feerroviaria, ettc. Además, es un ejempplo de estrucctura muy 
empleadda en la industria de la prrefabricaciónn. 
El métoddo empleadoo habitualmeente en el prroyecto de eestructuras reequiere la vaalidación de un diseño 
inicial que se modiffica sucesivaamente hastta cumplir ccon todas las condicionees requeridaas; y cuya 
mejora  posterior  depende  de la  experienncia  del  proyectista.  Estte  procedimmiento  es  ell  utilizado 
habitualmente en el proyecto dee muros, si bbien el empleo de reglass prácticas o tablas ha faacilitado el 
predimeensionamientto estructuraal (ver Figuraa 1). Es frecuuente disponer juntas dee dilatación ccada tres o 
cuatro vanos, y para que los mommentos de laa losa en su aapoyo en los contrafuerttes debidos aa la flexión 
horizonttal de la mismma sean iguaales, se dispone una luz entre contraafuertes en los vanos dee junta del 
orden dee 0,82 vecess la separacióón entre conntrafuertes [[1]. Sin embaargo, aún coon buenas fórmulas de 
dimensioonamiento pprevio, es poosible realizaar una optimmización estructural que reduzca los costes sin 
comprommeter los esttados límite ni las restriccciones a los que está sommetida la esttructura. 
Figura 1. Predimensionamieento habitual een un muro dee contrafuertees.
Si bien laas primeras aportacionees en el diseñño de mínimmo peso de eestructuras mmetálicas emmpiezan en 
el siglo XXIX con Maxwwell y Levy, yy a comienzoos del siglo XXX, con Mitchhell, es con la aparición dde medios 
informátticos baratoss y masivos cuando estaas técnicas sse emplean dde forma haabitual en las ciencias, 
las  ingeenierías  y  loos  negocios  [2].  Al  priincipio  se  ttrataba  de  procedimienntos  de  opttimización 
matemática exacta, pero prontoo se comproobó la limitacción de estoos métodos aa problemass de pocas 
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variables, al crecer el tiempo de cálculo de forma exponencial con la dimensión del problema. Sin 
embargo, es posible utilizar en el ámbito de la optimización estructural técnicas aproximadas de 
optimización heurística, que proporcionan buenas soluciones en tiempos de cálculo razonables. Este 
grupo de técnicas comprende procedimientos basados en procesos físicos o bioinspirados, tales como 
los algoritmos genéticos [3], el recocido simulado [4], las colonias de hormigas [5] o las nubes de 
partículas [6], entre otros. Cohn y Dinovitzer [7] tras revisar los métodos empleados en la optimización 
de  estructuras  destacan  el  vacío  existente  entre  los  estudios  teóricos  y  las  aplicaciones  reales, 
indicando además que numerosos estudios se han centrado en las estructuras de acero mientras que 
una porción muy pequeña de estos se ha ocupado del hormigón estructural. 
Tanto los primeros trabajos de optimización de las estructuras de hormigón [8] como gran parte de los 
estudios posteriores, han empleado los algoritmos evolutivos. Una revisión de la aplicación de este 
tipo de algoritmos al diseño estructural puede consultarse en el trabajo de Kicinger et al. [9]. Sin 
embargo, nuestro grupo de investigación ha presentado recientemente trabajos tanto con técnicas 
evolutivas [10,11], como no evolutivas [12‐21], donde se han optimizado estructuras de hormigón 
armado y pretensado. En particular, se han optimizado económicamente y desde el punto de vista de 
las emisiones de CO  muros ménsula de contención de tierras [22,23]. 
2
Este tipo de algoritmos, debido a que incluyen un gran número de decisiones aleatorias, alcanzan un 
resultado distinto en cada ejecución. Así, un problema añadido radica en determinar las veces que el 
algoritmo se debería ejecutar para que la mejor solución obtenida tuviera una calidad suficiente. 
Además, sería de gran interés conocer lo alejada que se encuentra dicha solución del óptimo global 
del problema. Ello supone encontrar un criterio objetivo de parada para un algoritmo multiarranque 
que conciliase la calidad de la solución con el tiempo de cálculo necesario para su obtención. Si se 
acepta que el óptimo local encontrado por un algoritmo de búsqueda estocástico puede considerarse 
como una solución extrema de una muestra aleatoria simple constituida por las soluciones visitadas, 
entonces se podría aplicar la teoría del valor extremo (Extreme Value Theory: EVT) para estimar el 
óptimo global del problema. El empleo de la EVT a los métodos heurísticos ya ha sido descrita en 
trabajos preliminares como en McRoberts [24] y Golden et al. [25]. Giddings et al. [26] han realizado 
una revisión muy reciente de las técnicas de estimación estadística de los óptimos en los problemas 
de optimización combinatoria. 
En la comunicación se describe una metodología que determina el número de veces que un algoritmo 
heurístico debe reiniciarse para que  el mejor resultado obtenido no difiera más de  un umbral 
predeterminado respecto al valor teórico obtenido mediante la EVT. Para ello, se ha desarrollado una 
aplicación que diseña de forma automática y optimiza muros de contrafuertes empleados en la 
contención de tierras, donde las dimensiones, los materiales y las armaduras de refuerzo son dadas de 
antemano y son variables discretas. Este módulo evalúa el coste de la solución y comprueba que se 
cumplen con las restricciones impuestas por todos los estados límite relevantes. 
El artículo se organiza de la siguiente forma: en la sección 2 se describe el problema de optimización, 
en la sección 3 se analiza la aplicabilidad de la distribución de Weibull, los resultados se discuten en la 
sección 4, y por último, en la sección 5 se recogen las conclusiones principales. 
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2. OPTIMIZACIÓN DEL COSTE DE LOS MUROS DE CONTRAFUERTES
El problema consiste en minimizar el coste de un muro de contrafuertes de hormigón armado, 
representado  por  la  función  objetivo  F  de  la  Eq.  (1),  de  modo  que  satisfaga  las  restricciones 
formuladas en la Eq. (2). 

F(x,x ,...x )p m(x,x ,...,x )
1 2 n i i 1 2 n (1)
i1,r
g (x ,x ,.....x )0 (2)
j 1 2 n  
x (d ,d ,.....d )  (3)
i i1 i2 iqi
Obsérvese que x , x ,..., x  son las variables de diseño del problema, que pueden tomar uno de los 
1 2 n
valores discretos indicados en la Eq. (3). La función objetivo es el coste por metro lineal de muro de 
contrafuertes definido en la Eq. (1), donde p son los precios unitarios (Tabla 1) mientras que m son 
i i
las mediciones de las unidades de obra necesarias. La Eq. (2) indica las restricciones geométricas y de 
constructibilidad, así como todos los estados últimos y de servicio que la estructura ha de cumplir. El 
esfuerzo principal en computación se requiere para evaluar las restricciones impuestas por los estados 
límites. Es importante resaltar que en este trabajo no se aceptan soluciones que incumplan las 
condiciones impuestas por los estados límite. 
Tabla 1. Precios unitarios de la función de coste 
Unidad de obra  Coste (€) 
m2 encofrado 23,31
kg acero B400 1,29
kg acero B500 1,31
m3 relleno de tierras 4,81
m3 hormigón HA‐25 79,10
m3 hormigón HA‐30 82,71
m3 hormigón HA‐35 98,47
m3 hormigón HA‐40 106,50
m3 hormigón HA‐45 113,45
m3 hormigón HA‐50 119,40
Los costes unitarios incluyen los costes de la mano de obra, materiales, medios auxiliares y los costes 
indirectos. La unidad de excavación incluye los costes de las operaciones de excavación, carga, 
transporte a vertedero y hormigón de limpieza. El coste de los encofrados comprende su colocación, 
sujeción y la retirada tras el fraguado del hormigón. El coste de la ferralla incluye el material, su 
elaboración, su transporte a obra y su colocación. El coste del hormigón incluye los costes de los 
materiales, la fabricación, la colocación, el vibrado y el curado. Finalmente, la unidad de rellenos 
comprende la preparación del material, su transporte, el extendido por tongadas y la compactación. 
No  se  incluyen  unidades  comunes  que  sean  independientes  de  la  geometría  del  muro  por  no 
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introduccir diferenciaas en la compparación de los costes de las diversaas solucioness (drenajes, ttaludes de 
excavaciión y relleno, juntas, etc.). 
2.1. Varriables de disseño y parámmetros 
Cada sollución quedaa completammente definidda por 32 varriables de diseño. Estas vvariables sonn discretas 
para faccilitar la consstrucción efeectiva de la estructura rreal optimizaada. Las variiables representan un 
número desorbitadoo de posibless soluciones,, debido a la explosión combinatoriaa generada, qque es del 
orden de 1,64∙1015, lo que justtifica el usoo de algoritmmos heurístiicos. Se inclluyen entre ellas seis 
variabless geométricaas (Figuras 22 y 3), una vaariable que indica el tipo de hormiggón, otra quee indica el 
tipo de aacero y 24 vvariables quee indican la ddisposición ddel armado. El canto de la zapata osscila entre 
H/20 a HH/6, con incrrementos dee 1 cm. El esppesor del muuro y de los contrafuertees, entre 25 y 224 cm, 
con increementos de 1 cm. La punntera, entre 20 y 219 cmm, con incremmentos de 1 ccm. El talón entre 20 y 
619  cm,,  con  incremmentos  de 1  cm.  La  distancia  enttre  los  contrafuertes,  eentre  H/4  y H/2,  con 
incrementos de 1 cmm. Las variabbles que defiinen la resisttencia caractterística de llos hormigones varían 
entre 255 MPa a 50 MMPa, en escaalones de 5 MMPa. Las armmaduras pueeden ser B4000 o B500. PPor último, 
son neceesarias 24 vaariables para definir la dissposición del armado (Figuras 4 y 5).  
Figura 2.VVariables geommétricas (I).
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Figura 3.VVariables geommétricas (II).
Figura 4.VVariables de aarmado (I).
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Figura 5.VVariables de aarmado (II).
Los paráámetros del análisis son las magnituddes fijas y que, por tanto, no son obbjeto de optimización. 
Son los vvalores geommétricos, de carga, de coeeficientes dee seguridad yy de exposiciión. La Tablaa 2 resume 
los parámmetros empleados. 
Tabla 2. Paarámetros del problema
Parámetroos  Valoores 
Altura del alzado  11,000 m 
Altura de tierras en punntera  0,500 m 
Tensión addmisible del terreno  0,30 N//mm2 
Ángulo dee rozamiento iinterno del reelleno 300º 
Coeficientte de rozamiento zapata‐suuelo 200º 
Peso espeecífico del relleeno  18,00 kkN/m3 
Sobrecargga de coronación en el trasddós 10,00 kkN/m2 
Coeficientte de seguridaad al deslizammiento 1,550 
Coeficientte de seguridaad al vuelco 1,880 
Coeficientte de seguridaad del hormigóón en estado límite último 1,550 
Coeficientte de seguridaad del acero een estado límitte último 1,115 
Nivel de control  normmal 
Tipo de exxposición de laa estructura IIaa 
2.2. Resstricciones esstructurales 
El artículo se centra en los muroos de contraffuertes que contienen teerraplenes dde obras viarrias. Tanto 
la  estructura  como  el  relleno del  terrapléén  se  ejecutan  “in  situu”.  La  zapatta  presenta un  plano 
horizonttal de cimenntación (seccción constaante) y no ddispone de tacón. El eespesor del alzado se 
mantiene constantee. No se considera la poosibilidad de un nivel freeático actuando sobre eel muro ni 
supresioones bajo la cimentaciónn. Se admite que existe uun terreno con capacidaad portante ssuficiente. 
No se coonsideran las acciones ssísmicas y sí una sobrecarga única repartida sobbre la superficie de la 
coronaciión del trasddós en una longitud inffinita. Estas hipótesis noo modifican la metodoloogía de la 
optimizaación presentada. 
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Cada combinación de las 32 variables que define una solución debe comprobarse para validar su 
diseño. El muro puede fallar por vuelco y deslizamiento, por agotamiento de la capacidad portante del 
terreno de cimentación y por fallos en el comportamiento estructural. No se consideran otro tipo de 
mecanismos de fallo como la rotura por deslizamiento profundo del terreno que dependerá de 
consideraciones geotécnicas que escapan a los objetivos del artículo. La magnitud de los empujes del 
terreno sobre el paramento que lo contiene depende de la deformabilidad de éste. En los muros el 
terreno ejerce sobre el alzado el denominado empuje activo, al tratarse de estructuras con suficiente 
deformabilidad.  La  obtención  de  estos  empujes  puede  realizarse  con  el  modelo  de  Coulomb 
admitiendo que el terreno es granular, suficientemente drenado y que la coronación del relleno es un 
plano. Por otra parte, en el terreno frente a la puntera se moviliza un empuje pasivo trapezoidal que 
actúa sobre el canto de la zapata, oponiéndose al movimiento de la estructura. Su evaluación se ha 
realizado según la teoría de Rankine para materiales granulares sin cohesión. La comprobación de las 
tensiones sobre el terreno de cimentación en condiciones de servicio se realiza considerando una 
distribución rectangular. Sin embargo, la incertidumbre en la determinación de ángulo de rozamiento 
interno del material de relleno puede provocar un incremento no despreciable del empuje sobre el 
muro. Se ha comprobado además, según propone Calavera [1], que un incremento del 50% en los 
empujes  no  supera  en  dos  veces  la  presión  admisible  del  terreno.  La  Eq.  (2)  representa  las 
restricciones impuestas por las normas [27] para el diseño de este tipo de estructuras de hormigón e 
incluyen la comprobación de los estados límites últimos de flexión y cortante para la envolvente de 
esfuerzos  originados.  El  cálculo  de  la  estructura  se  ha  realizado  siguiendo  las  consideraciones 
recogidas por Calavera [1] y por la guía de cimentaciones en obras de carretera[28]. 
2.3. Algoritmo de recocido simulado 
El  algoritmo  empleado  en  este  estudio  es  el  “recocido  simulado”  (simulated  annealing  –SA‐). 
Kirkpatrick et al. [4] y Černy [29] propusieron de forma independiente esta técnica inspirándose en los 
trabajos sobre Mecánica Estadística de Metrópolis et al. [30]. El nombre “recocido” al que hace 
referencia  el  método  es  el  proceso  consistente  en  calentar  y  enfriar  un  material  de  manera 
controlada. La energía de un sistema termodinámico se compara con la función de coste evaluada 
para una solución admisible de un problema de optimización. Si existe un descenso suave de la 
temperatura,  el  metal  adquirirá  una  estructura  cristalina  que  corresponderá  a  un  estado 
termodinámico de mínima energía. Si se enfría demasiado rápido, las moléculas pueden llegar a 
estados meta‐estables, sin alcanzar configuraciones adecuadas. Este símil termodinámico es el que ha 
permitido  el  diseño  de  un  algoritmo  de  optimización  heurística,  considerando  que  los  estados 
alcanzados son cada una de las soluciones y que la energía es la función objetivo. 
El criterio de aceptación de nuevas soluciones está gobernado por la expresión de Glauber [31] 
1/(1+exp(‐ΔE/T)), donde ΔE es el incremento del coste y T es un parámetro denominado temperatura. 
El algoritmo comienza con una solución generada aleatoriamente y con una temperatura inicial 
elevada. La solución de trabajo inicial se modifica por un pequeño movimiento al azar de los valores 
de las variables. La nueva solución se comprueba en términos de coste, aceptándose algunas de 
mayor coste cuando un número aleatorio entre 0 y 1 es más pequeño que la expresión exp(‐ΔE/T). 
Dicha solución se comprueba estructuralmente, y si es factible se adopta como nueva solución. La 
temperatura inicial se reduce geométricamente (T=kT) por medio de un coeficiente de enfriamiento k. 
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Víctor Yepes1 and José V. Martí2
En cada paso de temperatura se ejecutan un número determinado de iteraciones denominado cadena 
de Markov. El algoritmo se detiene cuando la temperatura queda reducida a un porcentaje pequeño 
de la temperatura inicial y, simultáneamente, no hay mejoras en un número consecutivo de cadenas 
de Markov. Este método, es capaz de sobrepasar óptimos locales en temperaturas de rango alto‐
medio para converger gradualmente cuando la temperatura se reduce a cero. 
El método del SA requiere la calibración de la temperatura inicial, de la longitud de las cadenas de 
Markov y del coeficiente de enfriamiento. En este caso, la calibración para el problema del muro de 
contrafuertes de 11 m de altura, llevó a un coeficiente de enfriamiento de 0,95, una longitud de 
50000 en la cadena de Markov y un movimiento de variación simultánea del 15% de las variables. La 
temperatura inicial se calcula siguiendo el método propuesto por Medina [32]. Como criterio de 
parada se eligió el cumplimiento de una reducción mínima del 10% de la temperatura inicial y seis 
cadenas sin mejora. 
3. LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL
La función de distribución de Weibull puede expresarse como: 
  
 x  
FXx01exp 0  , x0   (3)

0, x 
0
con 
(cid:2015),(cid:2010) (cid:3408) 0  (4)
donde γ es el parámetro de posición, η es el parámetro de escala y β es el parámetro de forma. 
Esta función fue desarrollada por Weibull [33] para estimar el comportamiento tensional de los 
materiales. La función pertenece a la familia de distribuciones de valores extremos. Fisher y Tippett 
[34] demostraron que si se extraen muestras de tamaño m de una población cuyo valor extremo es γ, 
conforme crece el valor de m, la distribución formada por los valores extremos de dichas muestras 
tienden a una distribución Weibull de tres parámetros, donde γ es el parámetro de posición de la 
función. 
La aplicación de esta función de distribución se basa en que el óptimo local alcanzado por el algoritmo 
constituye un mínimo respecto a un amplio conjunto de soluciones consideradas durante el proceso 
de  búsqueda.  La  población  de  soluciones  del  problema  de  optimización  considerado  es 
extraordinariamente alto, pero finito, por lo que se asume que el espacio discreto de soluciones se 
aproxima suficientemente bien a esta distribución continua. Si es posible ajustar el conjunto de 
óptimos  locales  obtenidos  mediante  la  heurística  SA  a  una  distribución  Weibull,  entonces  el 
parámetro γ puede estimar el óptimo global del problema. Para ello, se va a utilizar una metodología 
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Automattic counterforrt retaining wwall design byy simulated aannealing annd extreme vvalue estimattion
Third Intternational Conference on Mechanicaal Models in SStructural Enngineering
Universitty of Seville. 24-26 june 22015.
similar aa la propuestta por nuestrro grupo en lla optimizaciión de pórticcos de edificaación [35], bóvedas de 
pasos infferiores en ccarreteras [13]y estructuuras realizadas con hormigón de muyy alta resistencia [20]. 
4. RESUULTADOS Y DDISCUSIÓN 
El algorittmo fue programado enn MATLAB veersión R20133a. Un ordennador personnal con un procesador 
INTEL© Core TMi7 CCPU X980 con 3,33 GHz nnecesitó alreededor de 177 minutos dee media paraa procesar 
el algorittmo. La Figuura 6 muestrra el histograama obteniddo para los 11400 óptimoos locales encontrados 
con el allgoritmo SA para el muro de contraffuertes de 11 m de alturra. La descrippción estadística de la 
muestra es la siguiennte: los valorres máximoss y mínimos son 2697,86€ y 2610,71€€, respectivaamente; la 
media mmuestral valee 2642,48€, ccon un intervvalo de conffianza de ± 00,816€; la meediana vale 2642,04€. 
La desviación típica muestral ess de 15,564€€, mientras qque la desviación entre la media y el mínimo 
apenas ssupera el 1,222%. La distrribución es pplaticúrtica ((coeficiente de curtosis dde 0,148) y aasimétrica 
negativaa (coeficientee de asimetríía de 0,426).. El percentil del 5% vale 2618,39€. 
Figura 66.Histogramaa de 1400 óptiimos locales oobtenidos meddiante el algorritmo SA.
En la Tabbla 3 se han recogido loss resultados ddel muro de menor costee encontradoo.Se puede ver que el 
muro prresenta un ccanto de zappata y de alzzado que liggeramente innferior a H/225, lo cual representa 
mayor eesbeltez que las fórmulaas de predimmensionamieento habituaales de H/122. La separacción entre 
contrafuuertes es aprroximadameente H/2, lo cual es coheerente con eel predimensionamientoo habitual;
también es coherennte la longittud de la zaapata, que es aproximaadamente 2//3H. En cuaanto a los 
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