Automatic Control Systems, 9th Edition - Solutions Manual

947 Pages·2009·26.63 MB·English

Ninth Edition
ll
aa
uu
nn
aa
MM

ss
nn
oo
ii
tt
uu
ll
oo
SS
Farid Golnaraghi • Benjamin C. Kuo
AAutomatic Control Systems, 9th Edition   Chapter 2 Solutionns  Golnarraghi, Kuo 

CChapter 2
22‐1  (a)  Poless:  s = 0, 0, −1, −−10;      (b) Poles:  s = −2,, −2; 
    Zeross:  s = −2, ∞, ∞, ∞.             Zeros:  s = 0.
                   The pole and zero at s = −1 ccancel each otther. 

((c)  Poles:  s = 0, −1 + j, −1 − j;    (d)  Poles:  s= 0, −1, −2, ∞. 
    Zeross:  s = −2. 

(cid:4666)(cid:3046)(cid:2878)(cid:2869)(cid:4667)
22-2) a) (cid:1833)(cid:4666)(cid:1871)(cid:4667) (cid:3404)
(cid:3046)(cid:3046)(cid:4666)(cid:3046)(cid:2878)(cid:2870)(cid:4667)(cid:4666)(cid:3046)(cid:2878)(cid:2871)(cid:4667)(cid:3118)
(cid:3046)(cid:3118)
b) (cid:1833)(cid:4666)(cid:1871)(cid:4667) (cid:3404)
(cid:4666)(cid:4666)(cid:3046)(cid:2878)(cid:2869)(cid:4667)(cid:4666)(cid:3046)(cid:2878)(cid:2872)(cid:4667)
(cid:3046)(cid:3118)(cid:2879)(cid:2869)
c) (cid:1833)(cid:4666)(cid:1871)(cid:4667) (cid:3404)
(cid:3046)(cid:3046)(cid:3118)(cid:4666)(cid:3046)(cid:2878)(cid:2871)(cid:4667)(cid:4666)(cid:3046)(cid:2878)(cid:2869)(cid:4667)(cid:3118)

22-3)
MMATLAB codee: 
2‐1
Automatic Control Systems, 9th Edition   Chapter 2 Solutions   Golnaraghi, Kuo 

clear all;
s = tf('s')

'Generated transfer function:'
Ga=10*(s+2)/(s^2*(s+1)*(s+10))
'Poles:'
pole(Ga)
'Zeros:'
zero(Ga)

'Generated transfer function:'
Gb=10*s*(s+1)/((s+2)*(s^2+3*s+2))
'Poles:';
pole(Gb)
'Zeros:'
zero(Gb)

'Generated transfer function:'
Gc=10*(s+2)/(s*(s^2+2*s+2))
'Poles:';
pole(Gc)
'Zeros:'
zero(Gc)

'Generated transfer function:'
Gd=pade(exp(-2*s),1)/(10*s*(s+1)*(s+2))
'Poles:';
pole(Gd)
'Zeros:'
zero(Gd)
2‐2
Automatic Control Systems, 9th Edition   Chapter 2 Solutions   Golnaraghi, Kuo 

Poles and zeros of the above functions:  
(a)  
Poles:     0     0   ‐10    ‐1 
Zeros:    ‐2 
(b)    
Poles:     ‐2.0000   ‐2.0000   ‐1.0000 
Zeros:     0    ‐1 
(c) 
Poles: 
     0           
  ‐1.0000 + 1.0000i 
  ‐1.0000 ‐ 1.0000i 
Zeros:    ‐2 
Generated transfer function: 
(d) using first order Pade approximation for exponential term 
Poles: 
        0           
  ‐2.0000           
  ‐1.0000 + 0.0000i 
  ‐1.0000 ‐ 0.0000i 

Zeros: 
     1 

2‐3
Automatic Control Systems, 9th Edition   Chapter 2 Solutions   Golnaraghi, Kuo 

2-4) Mathematical representation:
In all cases substitute (cid:1871) (cid:3404) (cid:1862)(cid:2033) and simplify. The use MATLAB to verify.
10 22 +ω2 1+ω2 102 +ω2
R = ;
−ω2(ω2 +1)(ω2 +100)
ω
10(jω+2)
−ω2(jω+1)(jω+10) φ1 =tan−1 22 +ω2 2
10(jω+2) (−jω+1)(−jω+10) 22 +ω2
= ×
−ω2(jω+1)(jω+10) (−jω+1)(−jω+10) −ω
a)  =10(jω+2)(−jω+1)(−jω+10) φ = tan−1 1+ω2  
−ω2(ω2 +1)(ω2 +100) 2 1
jω+2 −jω+1 −jω+10 1+ω2
= R
−ω
22 +ω2 1+ω2 102 +ω2
= R(ejφ1ejφ2ejφ3) φ =tan−1 102 +ω2
3 10
102 +ω2
φ=φ+φ +φ
1 2 3

10 1+ω2 9+ω2
R= ;
(ω2 +1)2(ω2 +9)
−ω
10
(jω+1)2(jω+3) φ1 = tan−1 1+ω2 1
10 (−jω+1)(−jω+1)(−jω+3) 1+ω2
= ×
(jω+1)(jω+1)(jω+3) (−jω+1)(−jω+1)(−jω+3) −ω
b) =10(−jω+1)(−jω+1)(−jω+3) φ =tan−1 1+ω2  
(ω2 +1)2(ω2 +9) 2 1
−jω+1 −jω+1 −jω+3 1+ω2
= R
−ω
1+ω2 1+ω2 9+ω2
= R(ejφ1ejφ2ejφ3) φ = tan−1 9+ω2
3 3
9+ω2
φ=φ+φ +φ
1 2 3
2‐4
Automatic Control Systems, 9th Edition   Chapter 2 Solutions   Golnaraghi, Kuo 

10
jω(j2ω+2−ω2)
−10j (2−ω2 − j2ω)
= ×
ω(j2ω+2−ω2) (2−ω2 − j2ω)
10(−2ω−(2−ω2)j)
c) =
ω(4ω2 +(2−ω2)2)
−2ω−(2−ω2)j
= R
4ω2 +(2−ω2)2
 = R(ejφ)   
10 4ω2 +(2−ω2)2 10
R = = ;
ω(4ω2 +(2−ω2)2) ω 4ω2 +(2−ω2)2
−2−ω2

4ω2 +(2−ω2)2
φ= tan−1
−2ω
4ω2 +(2−ω2)2
1
R = ;
10ω 22 +ω2 1+ω2
e−2jω
−ω
10jω(jω+1)(jω+2)
φ=tan−1 22 +ω2
−j(−jω+1)(−jω+2) 1 2
= e−2jω
d) 10ω(ω2 +1)(ω2 +2) 22 +ω2  
−jω+2 −jω+1 −ω
= R e−2jω−jπ/2
22 +ω2 1+ω2 φ = tan−1 1+ω2
2 1
= R(ejφ1ejφ2ejφ3)
1+ω2

φ=φ+φ +φ
1 2 3
MATLAB code: 
clear all;
s = tf('s')

'Generated transfer function:'
Ga=10*(s+2)/(s^2*(s+1)*(s+10))
figure(1)
2‐5
Automatic Control Systems, 9th Edition   Chapter 2 Solutions   Golnaraghi, Kuo 

Nyquist(Ga)

'Generated transfer function:'
Gb=10*s*(s+1)/((s+2)*(s^2+3*s+2))
figure(2)
Nyquist(Gb)

'Generated transfer function:'
Gc=10*(s+2)/(s*(s^2+2*s+2))
figure(3)
Nyquist(Gc)

'Generated transfer function:'
Gd=pade(exp(-2*s),1)/(10*s*(s+1)*(s+2))
figure(4)
Nyquist(Gd)

Nyquist plots (polar plots):  
Part(a) 
2‐6
Automatic Control Systems, 9th Edition   Chapter 2 Solutions   Golnaraghi, Kuo 

Nyquist Diagram
15
10
5
s
xi
A
ary 0
n
gi
a
m
I
-5
-10
-15
-300 -250 -200 -150 -100 -50 0
Real Axis

Part(b) 
Nyquist Diagram
1.5
1
0.5
s
xi
A
ary 0
n
gi
a
m
I
-0.5
-1
-1.5
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
Real Axis

Part(c) 
2‐7
Automatic Control Systems, 9th Edition   Chapter 2 Solutions   Golnaraghi, Kuo 

Nyquist Diagram
80
60
40
20
s
xi
A
ary 0
n
gi
a
m
I -20
-40
-60
-80
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
Real Axis

Part(d) 
Nyquist Diagram
2.5
2
1.5
1
0.5
s
xi
A
ary 0
n
gi
a
m -0.5
I
-1
-1.5
-2
-2.5
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4
Real Axis

2‐8
Automatic Control Systems, 9th Edition   Chapter 2 Solutions   Golnaraghi, Kuo 

2-5) In all cases find the real and imaginary axis intersections.
10 10(−jω+2) 10 2− jω
G(jω)= = = ;
(jω−2) (ω2 +4) (ω2 +4) (ω2 +4)
2
Re{G(jω)}=cosφ= ,
(ω2 +4)
−ω
a) Im{G(jω)}=sinφ= ,
(ω2 +4)
2
(ω2 +4)
φ= tan−1
−ω
(ω2 +4)
10
R=
(ω2 +4)

lim G(jω)=5;φ= tan−1 1 =−90o
ω→0 −0
lim G(jω)=0;φ=tan−10 =−180o
ω→∞ −1
Real axis intersection @ jω=0
Imaginary axis intersection does not exist.
b&c) (cid:1864)(cid:1861)(cid:1865) (cid:1833)(cid:4666)(cid:1862)(cid:2033)(cid:4667) = 1 (cid:1505) 0o
(cid:3104)(cid:1372)(cid:2868)
(cid:1864)(cid:1861)(cid:1865) (cid:1833)(cid:4666)(cid:1862)(cid:2033)(cid:4667) = 0 (cid:1505) -180o
(cid:3104)(cid:1372)∞
(cid:3352) (cid:3118) (cid:3352)
(cid:4678)(cid:2869)(cid:2879)(cid:4672) (cid:4673) (cid:2879)(cid:2870)(cid:3093)(cid:4672)(cid:3037) (cid:4673)(cid:4679)
(cid:1833)(cid:4666)(cid:1862)(cid:2033)(cid:4667) (cid:3404) (cid:2869) (cid:3404) (cid:3352)(cid:3289) (cid:3352)(cid:3289)
(cid:2869)(cid:2879)(cid:4672)(cid:3352)(cid:4673)(cid:3118)(cid:2878)(cid:2870)(cid:3093)(cid:4672)(cid:3037)(cid:3352)(cid:4673) (cid:3436)(cid:2869)(cid:2879)(cid:4672)(cid:3352)(cid:4673)(cid:3118)(cid:3440)(cid:3118)(cid:2878)(cid:2872)(cid:4672)(cid:3352)(cid:4673)(cid:3118)
(cid:3352)(cid:3289) (cid:3352)(cid:3289) (cid:3352)(cid:3289) (cid:3352)(cid:3289)
Therefore:
(cid:3352) (cid:3118)
(cid:2869)(cid:2879)(cid:4672) (cid:4673)
Re{ G(jω) } = (cid:3352)(cid:3289)
(cid:3352) (cid:3118) (cid:3118) (cid:3352) (cid:3118)
(cid:3436)(cid:2869)(cid:2879)(cid:4672) (cid:4673) (cid:3440) (cid:2878)(cid:2872)(cid:4672) (cid:4673)
(cid:3352)(cid:3289) (cid:3352)(cid:3289)
(cid:3352)
(cid:2870)(cid:3093)(cid:4672)(cid:3037) (cid:4673)
Im {G(jω)} = (cid:3398) (cid:3352)(cid:3289)
(cid:3352) (cid:3118) (cid:3118) (cid:3352) (cid:3118)
(cid:3436)(cid:2869)(cid:2879)(cid:4672) (cid:4673) (cid:3440) (cid:2878)(cid:2872)(cid:4672) (cid:4673)
(cid:3352)(cid:3289) (cid:3352)(cid:3289)

2‐9