Table Of ContentWilfried Brauer
Automatentheorie
Leitfäden und Monographien
der Informatik
Herausgegeben von
Prof. Dr. Volker Claus, Dortmund
Prof. Dr. Günter Hotz, Saarbrücken
Prof. Dr. Peter Raulefs, Kaiserslautern
Prof. Dr. Klaus Waldschmidt, Frankfurt
Die Leitfäden und Monographien behandeln Themen aus der Theoreti
schen, Praktischen und Technischen Informatik entsprechend dem aktuellen
Stand der Wissenschaft. Besonderer Wert wird auf eine systematische und
fundierte Darstellung des jeweiligen Gebietes gelegt. Die Bücher dieser
Reihe sind einerseits als Grundlage und Ergänzung zu Vorlesungen der In
formatik und andererseits als Standardwerke für die selbständige Einarbei
tung in umfassende Themenbereiche der Informatik konzipiert. Sie sprechen
vorwiegend Studierende und Lehrende in Informatik-Studiengängen an
Hochschulen an, dienen aber auch den in Wirtschaft, Industrie und Verwal
tung tätigen Informatikern zur Fortbildung im Zuge der fortschreitenden
Wissenschaft.
Automatentheorie
Eine Einführung in die
Theorie endlicher Automaten
Von Dr. rer. nato Wilfried Brauer
Professor an der Universität Hamburg
Mit 90 Figuren, 60 Beispielen
und 111 Übungsaufgaben
B. G. Teubner Stuttgart 1984
Prof. Dr. rer. nato Wilfried Brauer
Geboren 1937 in Berlin. Von 1956 bis 1961 Studium der Mathematik an der
Freien Universität Berlin. Von 1961 bis 1963 Mitarbeiter im Zentralinstitut
für Angewandte Mathematik der KF A Jülich und von 1964 bis 1969 Wissen
schaftlicher Assistent, Universität Bonn, 1969 Promotion. Von 1969 bis
1971 Mitarbeiter der GMD, Bonn, 1970 Habilitation an der Universität
Bonn. Seit 1971 O. Professor für Informatik an der Universität Hamburg.
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Brauer, Wilfried:
Automatentheorie : e. Einf. in d. Theorie end!.
Automaten / von Wilfried Brauer. - Stuttgart :
Teubner, 1984.
(Leitfäden und Monographien der Informatik)
ISBN 978-3-519-02251-0 ISBN 978-3-322-92151-2 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-92151-2
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© B. G. Teubner, Stuttgart 1984
Softcover reprint ofthe hardcover 1st edition 1984
Gesamtherstellung: Zechnersche Buchdruckerei GmbH, Speyer
Umschlaggestaltung: W. Koch, Sindelfingen
VOnNort
Der endliche Automat und eng mit ihm verwandte Begriffe, wie
z.B. lineare Grammatik und rationaler Ausdruck, gehören zu
den wichtigen Grundbegriffen der Informatik. Endliche Automa
ten in verschiedenen Varianten und die mit ihnen verwandten
Begriffe dienen zur Beschreibung und Analyse von technischen
Geräten, von Systemen und Prozessen unterschiedlichster Art,
von Algorithmen und Programmen. Viele komplexe Konzepte der
theoretischen Informatik - nicht nur höhere Automatenmodelle,
wie Kellerautomaten und Turingmaschinen - bauen auf der Theo
rie der endlichen Automaten auf. Die Automatentheorie liefert
eine Reihe einfach zu formulierender aber nicht trivialer Pro
bleme, die auf recht komplizierte Algorithmen führen und z.T.
schon Anfängern die Notwendigkeit systematischer Programment
wicklung mit begleitenden Korrektheitsbeweisen und Komplexi
tätsuntersuchungen deutlich machen können. Die Theorie der end
lichen Automaten hat viele Anwendungen in der technischen und
der praktischen Informatik und bildet einen wesentlichen Teil
der theoretischen Informatik, so daß Grundkenntnisse der Auto
matentheorie von jedem Informatiker benötigt werden.
Dieses Buch gibt eine einführende Darstellung der wichtigen
klassischen Grundmodelle, Konzepte, Konstruktionsmethoden und
Resultate der Theorie endlicher Automaten.
Da die Automatentheorie eines der ältesten Teilgebiete der theo
retischen Informatik und in vielen Richtungen sehr weit ent
wickelt ist, sind eine Reihe unterschiedlicher Zugänge und Dar
stellungsweisen unter verschiedenen Aspekten und mit verschiede
nen Methoden und Zielrichtungen möglich. In diesem Buch wird ein
"mittlerer Weg" zwischen einer rein mathematischen und einer nur
anwendungsorientierten Vorgehensweise eingeschlagen.
Endliche Automaten werden aufgefaßt als abstrakte Modelle ein
facher datenverarbeitender Maschinen; das Hauptaugenmerk liegt
auf dem Ein/Ausgabeverhalten, d.h. der durch den Automaten de
finierten Abbildung oder Korrespondenz bzw. der vom Automaten
6 Vo~ort
akzeptierten oder erzeugten Wortmenge. Dabei wird auf konstruk
tive und algorithmische Aspekte besonderer Wert gelegt.
Die Darstellungsweise orientiert sich vor allem an der Theorie
formaler Sprachen, jedoch ohne diesbezüglich irgendwelches wis
sen vorauszusetzen. Auch sonst werden keine besonderen Kennt
nisse aus der Mathematik oder anderen Teilen der Informatik be
nötigt, die über das hinausgehen, was Studierende der Informa
tik im ersten S~mester lernen.
Die verwendeten mathematischen Begriffe, Notationen und Beweis
methoden sind in Kapitel 1 kurz zusammengestellt, die weniger
üblichen Dinge werden außerdem auch an der Stelle im Text kurz
erläutert, an der sie zum ersten Mal gebraucht werden, so daß
man, nach der Einleitung zu Kapitel I, gleich mit der Lektüre
des zweiten Kapitels beginnen kann und nur im Notfall in Kapi
tel nachzuschlagen braucht.
Jedes der Kapitel 2 bis 8 ist eine relativ geschlossene Einheit:
Es behandelt eines der Grundmodelle (Kapitel 2 bis 5 und 8),
befaßt sich mit speziellen Konstruktionen (Kapitel 6) oder
stellt andersartige Zugänge dar (Kapitel 7); es beginnt jeweils
mit einem oder mehreren einführenden Beispielen und schließt
mit einer Aufgabensammlung, einem Abschnitt mit Literaturhin
weisen und historischen Bemerkungen sowie dem Literaturver
zeichnis.
Mit den einführenden und einer Reihe weiterer Beispiele im
Text, die aus verschiedenen Bereichen der Informatik stammen,
sollen einerseits die abstrakten Begriffe und theoretischen
Konstruktionen motiviert und andererseits Anwendungsbezüge auf
gezeigt werden.
Alle Sätze, Hilfssätze und Folgerungen (bis auf die Sätze über
das Postsehe Korrespondenzproblem und die Vollständigkeit des
Axiomensystems für rationale Gleichungen) werden ausführlich
bewiesen. Dabei wird möglichst wenig Formalismus (z.B. keine
formale Logik) benutzt und, wenn möglich, konstruktiv vorge
gangen.
Es wird eine einfach~, systematische Terminologie verwendet,
die sowohl historischen Gesichtspunkten als auch neue ren
Vorwort 7
Entwicklungen gerecht zu werden versucht - auf eine Diskussion
der verschiedenen und zum Teil recht uneinheitlichen Bezeich
nungsweisen, die in der Literatur verwendet werden, wurde ver
zichtet; gelegentlich werden jedoch einige Anmerkungen im je
weiligen Abschnitt über Literaturhinweise und historische Be
merkungen gemacht. Diese Abschnitte sind jedoch vor allem dazu
da, die Erstveröffentlichungen der dargestellten Ideen und Re
sultate anzugeben, ferner werden dort auch einige ergänzende
Arbeiten und viele Lehrbücher zitiert. Im Text wird nicht spe
ziell auf die Literatur verwiesen.
Die zahlreichen Aufgaben dienen zur tJbung und Vertiefung aber
auch zur Ergänzung des Stoffes (besonders schwierige Aufgaben
sind mit einem * gekennzeichnet). Sie sind ein wichtiger Be
standteil des Buches und sollten, wenn schon nicht sämtlich
ausführlich gelöst, so doch wenigstens aufmerksam gelesen und
überdacht werden.
Um die Orientierung zu erleichtern, wurde das Inhaltsverzeich
nis mit kurzen Inhaltsangaben der einzelnen Abschnitte ver
sehen, und es wurden diejenigen Abschnitte durch Unterstrei
chung ihrer Nummern hervorgehoben, die die zentralen Teile der
Automatentheorie enthalten, die zum Grundwissen eines jeden
Informatikers gehören sollten und schon im Grundstudium gelehrt
werden können.
Dem Konzept dieses Buches entsprechend werden viele Teile der
Automatentheorie nicht behandelt; u.a. die mit der technischen
Konstruktion von Automaten zusammenhängenden Gebiete (wie
Schaltkreis- und Schaltwerk theorie, Automatenzerlegungen,
lineare Automaten etc.), eine Reihe von stärker mit der Theorie
formaler Sprachen oder der Komplexitätstheorie verknüpfter Pro
blemkreise (z.B. höhere Automatentypen wie Kellerautomaten,
Stapelautomaten, Turingmaschinen, Baumautomaten etc.) sowie
die stärker mathematisch orientierten Theorien (wie algebra
ische Strukturtheorie, stochastische Automaten, topologische
Automaten, rationale Potenzreihen, algebraische Theorie der
Codes etc.).
8 Vorwort
Sehr danken möchte ich Herrn Prof.Dr. G. Hotz, Saarbrücken
und Herrn Dr. P. Spuhler, Teubner-Verlag, fUr ihre Auffor
derung an mich, dieses Buch zu schreiben und für die Geduld,
die sie mit mir hatten.
Herr Dr. K.-J. Lange hat mehrere Versionen des Manuskripts
sehr grUndlieh durchgearbeitet, viele Korrekturen und eine
Reihe wichtiger Verbesserungsvorschläge gemacht.
Herr Dipl.-rnform. K. Buttler hat die allerletzte Fassung des
Textes äußerst sorgfältig gelesen und dabei noch viele Vor
schläge für weitere Korrekturen gemacht. Außerdem hat er das
Symbol- und das Sachverzeichnis zusammengestellt.
Ihnen beiden danke ich ganz besonders.
Auch meinen anderen Mitarbeitern sowie einer Reihe von Studen
ten möchte ich für Anregungen und Kritik danken.
Für die Ausdauer und Sorgfalt bei der Anfertigung der Rein
schrift danke ich meiner Sekretärin, Frau A. Zilz. sehr.
Vor allem aber muß ich meiner Frau für ihre Mitarbeit und
Unterstützung sehr dankbar sein - daß sie mir viele didaktische.
methodische und stilistische Ratschläge gegeben. die Zeichnun
gen gemacht, mehrere Versionen des Manuskripts getippt und Kor
rektur gelesen hat. ist nur ein kleiner Teil ihres Beitrages.
Damit ich an diesem Buch arbeiten konnte, ohne meine Tätigkeit
in der Universität. in wissenschaftlichen Gremien etc. ein
schränken zu müssen. hat meine Frau manche meiner vielen Auf
gaben mit übernommen sowie viele Belastungen von mir ferngehal
ten. Und sie hat stets Verständnis dafür gehabt. daß ich meine
ohnehin geringe Freizeit überwiegend für dieses Manuskript ver
wendet habe.
Ohne ihre Mihilfe wäre dieses Buch nie geschrieben worden.
Hamburg. im Dezember 1983
W. Brauer
Inhaltsverzeichnis
1. MATHEMATISCHE GRUNDBEGRIFFE
Einleitung 19
1.1. Mengen 20
Mengentheoretische Notationen~ spezieZZe Mengen~ Bi~ung
neuer Mengen / BooZesche Operationen~ Potenzmenge~ BooZe
sche AZgebren / Paare, n-Tupel., FoZgen, 7<a:rtesische Pro
dukte / Vektoren~ Matrizen / Vereinfachende Schreibweisen
1.2. Korrespondenzen und Abbildungen 27
Definitio~und BiZdung von Korrespondenzen / Abbil.dungen,
Eigenschaften von AbbiZdungen / Charakteristische Funk-
tion, Projektionen / Diagramme
1.3. Relationen und Graphen 31
Rel.ationen und Korrespondenzen / Gerichtete Graphen~ ihre
Darstel.Zung durch Pfeil.diagramme und Matrizen / Kantenbe-
wertete und eckenbewertete gerichtete Graphen / Eigen-
schaften von Rel.ationen / Hal.l.en von Rel.ationen, das Ver-
fahren von WarshaZZ / Abschl.uß unter Operationen / Geord-
nete Mengen, Verbände / Äquival.enzrel.ationen, ÄquivaZenz-
kl.assen, AbbiZdungssatz
1.4. Monoide und Homomorphismen 37
Hal.bgruppen, Monoide / Unterhal.bgruppen, Untermonoide~
Erzeugendeneysteme / Gruppen, Hal.bringe, Matrizen und
Vektoren aber Hal.bringen / Homomorphismen, Isomorphismen,
Kong.ruenzreZationen, Homomorphiesatz / Freie Hal.bgruppen,
freie Monoide / Das freie Monoid der Worte aber einer
Menge / Homomorphismen und Karzungsregel.n
1.5. Beweismethoden 45
Indirekter Beweis / Dedekindsches Schubfacherprinzip /
Beweis mit vol.Zständiger Induktion
Literatur zu 1. 49
2. DER MEALY-AUTOMAT (MlA)
2.1. Einführendes Beispiel 50
Me&omchtung zur Bestimmung eines Umdrehungssinnes
2.2. Definition, ein Beispiel und ein Gegenbeispiel 54
Definition des Ml.A / Se~ienaddierer / UnmBgl.iChkeit der
Nu z.tip Ukation
10 Inhaltsverzeichnis
~. Leistung, Äquivalenz, Reduktion 56
Leistung und lf.quivaZenz von Zustttnden bZlü. MZA'n / Kon
st~ktion peduziepte.r M'lA'n
2.4. Zur Bestimmung der Zustandsäquivalenz 61
Einfaches TabeZZenvepfahren
2.5. Das Verfahren von Hopcroft/Gries 64
SchneZZes Vepfahren ZUP Bestimmung dep Zustands~ivaZenz
2.6. Unterscheidbarkeit von Eingabefolgen 80
Eingabeuntepscheidende M'lA'n / L~e untepscheidbaPep
Eingabefo'lgen / PePiodizitatssatz
2.7. Mealy-Automaten mit endlichem Gedächtnis 86
Definition. GegenbeispieZ / Ge~chtnisZange und Zustands
anzahZ
Aufgaben 91
U.a. Konstruktion spezieZZep Automaten. Satz von Raney
übep AutomatenabbiZdungen. MZA-Tpansduktionen. vep
schiedene ÄquivaZenz- und Reduzieptheitsbegpiffe. Ubungs
beispieZe zu 2.4. und 2.5 •• MZA'n mit FundamentaZeigen
schaft. Ge~htnisbestimmung
Literaturhinweise und historische Bemerkungen 96
Literatur zu 2. 97
3. DER MOORE-AUTOMAT (MrA)
3.1. Einführendes Beispiel 100
Einfacher BNF-SyntaxanaZysator
3.2. Definition und erster Vergleich mit dem Mealy-
Automaten 104
Eingabeunabhängige MZA'n / AZs MrA'n auffassbare MZA'n
3.3. Leistung, Äquivalenz, Reduktion 107
Ubertragung der Begriffe und ResuZtate aus 2.3. /
Mooreseher Unbestimmtheitssatz
3.4. Gleichwertigkeit von Moore- und Mealy-Automaten 109
Konstruktion eines-MZA zu einem MrA und eines MrA zu
einem MZA
