Automatentheorie: Eine Einführung in die Theorie endlicher Automaten PDF
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Wilfried Brauer Automatentheorie Leitfäden und Monographien der Informatik Herausgegeben von Prof. Dr. Volker Claus, Dortmund Prof. Dr. Günter Hotz, Saarbrücken Prof. Dr. Peter Raulefs, Kaiserslautern Prof. Dr. Klaus Waldschmidt, Frankfurt Die Leitfäden und Monographien behandeln Themen aus der Theoreti schen, Praktischen und Technischen Informatik entsprechend dem aktuellen Stand der Wissenschaft. Besonderer Wert wird auf eine systematische und fundierte Darstellung des jeweiligen Gebietes gelegt. Die Bücher dieser Reihe sind einerseits als Grundlage und Ergänzung zu Vorlesungen der In formatik und andererseits als Standardwerke für die selbständige Einarbei tung in umfassende Themenbereiche der Informatik konzipiert. Sie sprechen vorwiegend Studierende und Lehrende in Informatik-Studiengängen an Hochschulen an, dienen aber auch den in Wirtschaft, Industrie und Verwal tung tätigen Informatikern zur Fortbildung im Zuge der fortschreitenden Wissenschaft. Automatentheorie Eine Einführung in die Theorie endlicher Automaten Von Dr. rer. nato Wilfried Brauer Professor an der Universität Hamburg Mit 90 Figuren, 60 Beispielen und 111 Übungsaufgaben B. G. Teubner Stuttgart 1984 Prof. Dr. rer. nato Wilfried Brauer Geboren 1937 in Berlin. Von 1956 bis 1961 Studium der Mathematik an der Freien Universität Berlin. Von 1961 bis 1963 Mitarbeiter im Zentralinstitut für Angewandte Mathematik der KF A Jülich und von 1964 bis 1969 Wissen schaftlicher Assistent, Universität Bonn, 1969 Promotion. Von 1969 bis 1971 Mitarbeiter der GMD, Bonn, 1970 Habilitation an der Universität Bonn. Seit 1971 O. Professor für Informatik an der Universität Hamburg. CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Brauer, Wilfried: Automatentheorie : e. Einf. in d. Theorie end!. Automaten / von Wilfried Brauer. - Stuttgart : Teubner, 1984. (Leitfäden und Monographien der Informatik) ISBN 978-3-519-02251-0 ISBN 978-3-322-92151-2 (eBook) DOI 10.1007/978-3-322-92151-2 Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, besonders die ddeerr Übersetzung, des Nachdrucks, der Bildentnahme, der Funksendung, der Wiedergabe auf pphhoo tomechanischem oder ähnlichem Wege, der Speicherung und Auswertung in Datenverarbei tungsanlagen, bleiben, auch bei Verwertung von Teilen des Werkes, dem Verlag vorbehalten. Bei gewerblichen Zwecken dienender Vervielfältigung ist an den Verlag gemäß § 54 UrhG eeiinnee Vergütung zu zahlen, deren Höhe mit dem Verlag zu vereinbaren ist. © B. G. Teubner, Stuttgart 1984 Softcover reprint ofthe hardcover 1st edition 1984 Gesamtherstellung: Zechnersche Buchdruckerei GmbH, Speyer Umschlaggestaltung: W. Koch, Sindelfingen VOnNort Der endliche Automat und eng mit ihm verwandte Begriffe, wie z.B. lineare Grammatik und rationaler Ausdruck, gehören zu den wichtigen Grundbegriffen der Informatik. Endliche Automa ten in verschiedenen Varianten und die mit ihnen verwandten Begriffe dienen zur Beschreibung und Analyse von technischen Geräten, von Systemen und Prozessen unterschiedlichster Art, von Algorithmen und Programmen. Viele komplexe Konzepte der theoretischen Informatik - nicht nur höhere Automatenmodelle, wie Kellerautomaten und Turingmaschinen - bauen auf der Theo rie der endlichen Automaten auf. Die Automatentheorie liefert eine Reihe einfach zu formulierender aber nicht trivialer Pro bleme, die auf recht komplizierte Algorithmen führen und z.T. schon Anfängern die Notwendigkeit systematischer Programment wicklung mit begleitenden Korrektheitsbeweisen und Komplexi tätsuntersuchungen deutlich machen können. Die Theorie der end lichen Automaten hat viele Anwendungen in der technischen und der praktischen Informatik und bildet einen wesentlichen Teil der theoretischen Informatik, so daß Grundkenntnisse der Auto matentheorie von jedem Informatiker benötigt werden. Dieses Buch gibt eine einführende Darstellung der wichtigen klassischen Grundmodelle, Konzepte, Konstruktionsmethoden und Resultate der Theorie endlicher Automaten. Da die Automatentheorie eines der ältesten Teilgebiete der theo retischen Informatik und in vielen Richtungen sehr weit ent wickelt ist, sind eine Reihe unterschiedlicher Zugänge und Dar stellungsweisen unter verschiedenen Aspekten und mit verschiede nen Methoden und Zielrichtungen möglich. In diesem Buch wird ein "mittlerer Weg" zwischen einer rein mathematischen und einer nur anwendungsorientierten Vorgehensweise eingeschlagen. Endliche Automaten werden aufgefaßt als abstrakte Modelle ein facher datenverarbeitender Maschinen; das Hauptaugenmerk liegt auf dem Ein/Ausgabeverhalten, d.h. der durch den Automaten de finierten Abbildung oder Korrespondenz bzw. der vom Automaten 6 Vo~ort akzeptierten oder erzeugten Wortmenge. Dabei wird auf konstruk tive und algorithmische Aspekte besonderer Wert gelegt. Die Darstellungsweise orientiert sich vor allem an der Theorie formaler Sprachen, jedoch ohne diesbezüglich irgendwelches wis sen vorauszusetzen. Auch sonst werden keine besonderen Kennt nisse aus der Mathematik oder anderen Teilen der Informatik be nötigt, die über das hinausgehen, was Studierende der Informa tik im ersten S~mester lernen. Die verwendeten mathematischen Begriffe, Notationen und Beweis methoden sind in Kapitel 1 kurz zusammengestellt, die weniger üblichen Dinge werden außerdem auch an der Stelle im Text kurz erläutert, an der sie zum ersten Mal gebraucht werden, so daß man, nach der Einleitung zu Kapitel I, gleich mit der Lektüre des zweiten Kapitels beginnen kann und nur im Notfall in Kapi tel nachzuschlagen braucht. Jedes der Kapitel 2 bis 8 ist eine relativ geschlossene Einheit: Es behandelt eines der Grundmodelle (Kapitel 2 bis 5 und 8), befaßt sich mit speziellen Konstruktionen (Kapitel 6) oder stellt andersartige Zugänge dar (Kapitel 7); es beginnt jeweils mit einem oder mehreren einführenden Beispielen und schließt mit einer Aufgabensammlung, einem Abschnitt mit Literaturhin weisen und historischen Bemerkungen sowie dem Literaturver zeichnis. Mit den einführenden und einer Reihe weiterer Beispiele im Text, die aus verschiedenen Bereichen der Informatik stammen, sollen einerseits die abstrakten Begriffe und theoretischen Konstruktionen motiviert und andererseits Anwendungsbezüge auf gezeigt werden. Alle Sätze, Hilfssätze und Folgerungen (bis auf die Sätze über das Postsehe Korrespondenzproblem und die Vollständigkeit des Axiomensystems für rationale Gleichungen) werden ausführlich bewiesen. Dabei wird möglichst wenig Formalismus (z.B. keine formale Logik) benutzt und, wenn möglich, konstruktiv vorge gangen. Es wird eine einfach~, systematische Terminologie verwendet, die sowohl historischen Gesichtspunkten als auch neue ren Vorwort 7 Entwicklungen gerecht zu werden versucht - auf eine Diskussion der verschiedenen und zum Teil recht uneinheitlichen Bezeich nungsweisen, die in der Literatur verwendet werden, wurde ver zichtet; gelegentlich werden jedoch einige Anmerkungen im je weiligen Abschnitt über Literaturhinweise und historische Be merkungen gemacht. Diese Abschnitte sind jedoch vor allem dazu da, die Erstveröffentlichungen der dargestellten Ideen und Re sultate anzugeben, ferner werden dort auch einige ergänzende Arbeiten und viele Lehrbücher zitiert. Im Text wird nicht spe ziell auf die Literatur verwiesen. Die zahlreichen Aufgaben dienen zur tJbung und Vertiefung aber auch zur Ergänzung des Stoffes (besonders schwierige Aufgaben sind mit einem * gekennzeichnet). Sie sind ein wichtiger Be standteil des Buches und sollten, wenn schon nicht sämtlich ausführlich gelöst, so doch wenigstens aufmerksam gelesen und überdacht werden. Um die Orientierung zu erleichtern, wurde das Inhaltsverzeich nis mit kurzen Inhaltsangaben der einzelnen Abschnitte ver sehen, und es wurden diejenigen Abschnitte durch Unterstrei chung ihrer Nummern hervorgehoben, die die zentralen Teile der Automatentheorie enthalten, die zum Grundwissen eines jeden Informatikers gehören sollten und schon im Grundstudium gelehrt werden können. Dem Konzept dieses Buches entsprechend werden viele Teile der Automatentheorie nicht behandelt; u.a. die mit der technischen Konstruktion von Automaten zusammenhängenden Gebiete (wie Schaltkreis- und Schaltwerk theorie, Automatenzerlegungen, lineare Automaten etc.), eine Reihe von stärker mit der Theorie formaler Sprachen oder der Komplexitätstheorie verknüpfter Pro blemkreise (z.B. höhere Automatentypen wie Kellerautomaten, Stapelautomaten, Turingmaschinen, Baumautomaten etc.) sowie die stärker mathematisch orientierten Theorien (wie algebra ische Strukturtheorie, stochastische Automaten, topologische Automaten, rationale Potenzreihen, algebraische Theorie der Codes etc.). 8 Vorwort Sehr danken möchte ich Herrn Prof.Dr. G. Hotz, Saarbrücken und Herrn Dr. P. Spuhler, Teubner-Verlag, fUr ihre Auffor derung an mich, dieses Buch zu schreiben und für die Geduld, die sie mit mir hatten. Herr Dr. K.-J. Lange hat mehrere Versionen des Manuskripts sehr grUndlieh durchgearbeitet, viele Korrekturen und eine Reihe wichtiger Verbesserungsvorschläge gemacht. Herr Dipl.-rnform. K. Buttler hat die allerletzte Fassung des Textes äußerst sorgfältig gelesen und dabei noch viele Vor schläge für weitere Korrekturen gemacht. Außerdem hat er das Symbol- und das Sachverzeichnis zusammengestellt. Ihnen beiden danke ich ganz besonders. Auch meinen anderen Mitarbeitern sowie einer Reihe von Studen ten möchte ich für Anregungen und Kritik danken. Für die Ausdauer und Sorgfalt bei der Anfertigung der Rein schrift danke ich meiner Sekretärin, Frau A. Zilz. sehr. Vor allem aber muß ich meiner Frau für ihre Mitarbeit und Unterstützung sehr dankbar sein - daß sie mir viele didaktische. methodische und stilistische Ratschläge gegeben. die Zeichnun gen gemacht, mehrere Versionen des Manuskripts getippt und Kor rektur gelesen hat. ist nur ein kleiner Teil ihres Beitrages. Damit ich an diesem Buch arbeiten konnte, ohne meine Tätigkeit in der Universität. in wissenschaftlichen Gremien etc. ein schränken zu müssen. hat meine Frau manche meiner vielen Auf gaben mit übernommen sowie viele Belastungen von mir ferngehal ten. Und sie hat stets Verständnis dafür gehabt. daß ich meine ohnehin geringe Freizeit überwiegend für dieses Manuskript ver wendet habe. Ohne ihre Mihilfe wäre dieses Buch nie geschrieben worden. Hamburg. im Dezember 1983 W. Brauer Inhaltsverzeichnis 1. MATHEMATISCHE GRUNDBEGRIFFE Einleitung 19 1.1. Mengen 20 Mengentheoretische Notationen~ spezieZZe Mengen~ Bi~ung neuer Mengen / BooZesche Operationen~ Potenzmenge~ BooZe sche AZgebren / Paare, n-Tupel., FoZgen, 7<a:rtesische Pro dukte / Vektoren~ Matrizen / Vereinfachende Schreibweisen 1.2. Korrespondenzen und Abbildungen 27 Definitio~und BiZdung von Korrespondenzen / Abbil.dungen, Eigenschaften von AbbiZdungen / Charakteristische Funk- tion, Projektionen / Diagramme 1.3. Relationen und Graphen 31 Rel.ationen und Korrespondenzen / Gerichtete Graphen~ ihre Darstel.Zung durch Pfeil.diagramme und Matrizen / Kantenbe- wertete und eckenbewertete gerichtete Graphen / Eigen- schaften von Rel.ationen / Hal.l.en von Rel.ationen, das Ver- fahren von WarshaZZ / Abschl.uß unter Operationen / Geord- nete Mengen, Verbände / Äquival.enzrel.ationen, ÄquivaZenz- kl.assen, AbbiZdungssatz 1.4. Monoide und Homomorphismen 37 Hal.bgruppen, Monoide / Unterhal.bgruppen, Untermonoide~ Erzeugendeneysteme / Gruppen, Hal.bringe, Matrizen und Vektoren aber Hal.bringen / Homomorphismen, Isomorphismen, Kong.ruenzreZationen, Homomorphiesatz / Freie Hal.bgruppen, freie Monoide / Das freie Monoid der Worte aber einer Menge / Homomorphismen und Karzungsregel.n 1.5. Beweismethoden 45 Indirekter Beweis / Dedekindsches Schubfacherprinzip / Beweis mit vol.Zständiger Induktion Literatur zu 1. 49 2. DER MEALY-AUTOMAT (MlA) 2.1. Einführendes Beispiel 50 Me&omchtung zur Bestimmung eines Umdrehungssinnes 2.2. Definition, ein Beispiel und ein Gegenbeispiel 54 Definition des Ml.A / Se~ienaddierer / UnmBgl.iChkeit der Nu z.tip Ukation 10 Inhaltsverzeichnis ~. Leistung, Äquivalenz, Reduktion 56 Leistung und lf.quivaZenz von Zustttnden bZlü. MZA'n / Kon st~ktion peduziepte.r M'lA'n 2.4. Zur Bestimmung der Zustandsäquivalenz 61 Einfaches TabeZZenvepfahren 2.5. Das Verfahren von Hopcroft/Gries 64 SchneZZes Vepfahren ZUP Bestimmung dep Zustands~ivaZenz 2.6. Unterscheidbarkeit von Eingabefolgen 80 Eingabeuntepscheidende M'lA'n / L~e untepscheidbaPep Eingabefo'lgen / PePiodizitatssatz 2.7. Mealy-Automaten mit endlichem Gedächtnis 86 Definition. GegenbeispieZ / Ge~chtnisZange und Zustands anzahZ Aufgaben 91 U.a. Konstruktion spezieZZep Automaten. Satz von Raney übep AutomatenabbiZdungen. MZA-Tpansduktionen. vep schiedene ÄquivaZenz- und Reduzieptheitsbegpiffe. Ubungs beispieZe zu 2.4. und 2.5 •• MZA'n mit FundamentaZeigen schaft. Ge~htnisbestimmung Literaturhinweise und historische Bemerkungen 96 Literatur zu 2. 97 3. DER MOORE-AUTOMAT (MrA) 3.1. Einführendes Beispiel 100 Einfacher BNF-SyntaxanaZysator 3.2. Definition und erster Vergleich mit dem Mealy- Automaten 104 Eingabeunabhängige MZA'n / AZs MrA'n auffassbare MZA'n 3.3. Leistung, Äquivalenz, Reduktion 107 Ubertragung der Begriffe und ResuZtate aus 2.3. / Mooreseher Unbestimmtheitssatz 3.4. Gleichwertigkeit von Moore- und Mealy-Automaten 109 Konstruktion eines-MZA zu einem MrA und eines MrA zu einem MZA
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