Automata, Dynamical Systems, and Groups

82 Pages·2000·0.882 MB·Russian (Old)

by  R. I. Grigorchuk, V. V. Nekrashevych, V. I. Sushchanskii

Math-Net.Ru
All Russian mathematical portal
R. I. Grigorchuk, V. V. Nekrashevych, V. I. Sushchanskii, Automata, Dynamical
Systems, and Groups, Trudy Mat. Inst. Steklova, 2000, Volume 231, 134–214
Use of the all-Russian mathematical portal Math-Net.Ru implies that you have read and agreed to these terms
of use
http://www.mathnet.ru/eng/agreement
Download details:
IP: 84.51.96.26
January 27, 2023, 22:15:05
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТАИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 2000, т.231, с. 134–214
УДК515.164.63
Автоматы динамические системы и группы
, 1
(cid:1)c 2000 г. Р. И. Григорчук, В. В. Некрашевич,
В. И. Сущанский
Поступиловмае2000г.
Статья посвящена группам конечных автоматов и их приложениям в алгебре, динамических
системах и геометрии. Рассматриваются как синхронные, так и асинхронные автоматы. Ис-
следованы вопросы редукции конечных асинхронных автоматов, типы роста конечных синхрон-
ных автоматов, условия вложимости групп с дополнительными условиями в группу автоматов.
Рассматриваются группы автоморфизмов клеточных автоматов. Введена группа рациональных
гомеоморфизмов множества Кантора. Исследуется динамика на границе дерева, порожденная
автоматным заданием группы.Формулируютсянерешенныепроблемы.
1. ВВЕДЕНИЕ (134)
2.АСИНХРОННЫЕАВТОМАТЫ(137):2.1.Пространстваслов(137).2.2.Автоматы-трансфор-
маторы (138).2.3.Полугруппы асинхронных автоматов(140).2.4.Конечные автоматы(141).
2.5. Редуцированные автоматы (142). 2.6. Рациональные множества (143). 2.7. Группа ра-
циональных гомеоморфизмов (146). 2.8. Алгоритмы для вычислений с конечными автомата-
ми (147): 2.8.1. Редукция (147). 2.8.2. Нахождение обратного(148)
3. СИНХРОННЫЕ АВТОМАТЫ (152): 3.1. Автоматы Мили (152). 3.2. Синхронно автоматные
преобразованияи их свойства (152). 3.3. Сплетения и группы автоматов(154)
4. ПРИМЕРЫ СИНХРОННО АВТОМАТНЫХ ГРУПП (156): 4.1. Автоматы с двумя состояни-
ями (156). 4.2. Счетная машина (160). 4.3. Рост синхронных автоматов (161). 4.4. Абелевы
и линейные группы (166). 4.5. Периодические группы, порожденные конечными автомата-
ми (169). 4.6. Группы, порожденные линейными автоматами (174)
5. ПРИМЕРЫ АСИНХРОННО АВТОМАТНЫХ ГРУПП (176): 5.1. Группы автоморфизмов
сдвигов (176). 5.2. Группы Томпсона (180)
6. ДЕЙСТВИЯ НА КОРНЕВЫХ ДЕРЕВЬЯХ (182): 6.1. Группы, действующие на корневых
деревьях (182). 6.2. Граница дерева (185). 6.3. Динамические системы, ассоциированные с
действиями на деревьях (188). 6.4. Действие циклических групп (191). 6.5. Циклы синхронно
автоматных преобразований (194). 6.6. Устойчивость по Ляпунову (196). 6.7. Графы Шрейе-
ра (197). 6.8. Орбиты действий групп на границе дерева (201)
7. СПИСОК ПРОБЛЕМ (209): 7.1. Рост автоматов (209). 7.2. Группы и полугруппы автома-
тов (209). 7.3. Вопросы о графах Шрейера Г(G,S) (210). 7.4. Вопросы спектральной теории
автоматов(210). 7.5. Динамические системы (210)
1. ВВЕДЕНИЕ
Автоматыиграютопределяющуюрольвтойобластинауки,которуюсейчаспринятоназы-
вать информатикой (а на Западе — “computer science”). Важнейшими функциями автоматов
являются распознавание и преобразование множеств. Соответственно автоматы бывают двух
типов: акцепторы и трансформаторы.
1Работа выполнена при финансовой поддержке первого автора программой “Ведущие научные школы”
(проект 00-15-96107).
134
АВТОМАТЫ, ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И ГРУППЫ 135
Оба типа автоматов играют важную роль в алгебре и теории динамических систем.
Существует значительное число монографий и статей обзорного характера [65, 18, 17, 35,
39, 76, 69, 52, 55, 36] (не говоря об исследовательских работах), посвященных применению
автоматов в указанных разделах математики.
Целью этой работы (совмещающей черты обзора и исследования) является представить
нетрадиционные приложения автоматов в алгебре, теории динамических систем, теории
графов и спектральной теории.
Мы рассматриваем в основном трансформаторы (как синхронные, так и асинхронные).
Если входной и выходной алфавиты автомата совпадают, а автомат инициальный(т.е. имеет
начальное состояние), то он индуцирует преобразование пространства последовательностей
в себя. Эти последовательности могут быть как конечными, так и бесконечными. Во втором
случае возникает непрерывное преобразование множества Кантора, с которым естественным
образом отождествляется пространство последовательностей. Обратно, любое непрерывное
преобразование определяется некоторым автоматом (вообще говоря, с бесконечным числом
состояний). Важнейший класс преобразований множества Кантора составляют гомеоморфиз-
мы,определенныеконечнымиавтоматами,которыемыназываемрациональными.Примерами
рациональных гомеоморфизмов являются счетные машины (“adding machines”) и сдвиги
Бернулли.
Суперпозиции отображений, определенных автоматами, соответствует операция супер-
позиции автоматов, превращающая множество классов эквивалентности автоматов в полу-
группу.Особаярольпринадлежитгруппамобратимыхавтоматов,средикоторыхвыделяются
группы конечных автоматов.
Группы синхронных автоматов зависят от мощности алфавита и являются финитно
аппроксимируемыми. В то же время зависимость от алфавита и свойство финитной аппрок-
симируемости пропадают при переходе к асинхронным автоматам.
Одним из удивительных явлений современной математики является открытие того, что
уже простейшие автоматы с числом состояний 2, 3, 4,... порождают сложнейшие группы,
обладающие редкими и необычными свойствами.
Так оказалось, что группы конечных автоматов дают ответ на вопрос Бернсайда о су-
ществовании бесконечных конечно порожденныхпериодическихгрупп.Впервые этапроблема
быларешенаГолодом спомощью теоремыГолода–Шафаревича [70]. Однако наиболее простое
и элегантное решение было получено именно с помощью автоматов [63, 71], идея применения
которых к проблеме Бернсайда высказывалась Глушковым [69, с. 46].
Второе открытие состояло в том, что среди групп автоматов существуют группы про-
межуточного роста между экспоненциальным и степенным, что дало решение проблемы
Милнора [72]. Понятие роста можно определять не только для групп и полугрупп, но и для
конечных автоматов, причем рост автомата совпадает с ростом определенной им полугруп-
пы[74].Внастоящиймоментизвестныпримерыавтоматовсдвумясостояниями,обладающих
промежуточным ростом.
Автоматы имеют также непосредственное отношение к ветвящимся группам, т.е. к груп-
пам, действующим на сферически однородных корневых деревьях, структура решетки суб-
нормальных подгрупп которых похожа на структуру дерева [24]. Важность этого класса
групп определяется тем, что они составляют один из трех классов, на которые естествен-
ным образом распадается класс экстремальных групп (т.е. бесконечных групп с конечными
факторами).
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТАИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 2000, т. 231
136 ГРИГОРЧУК и др.
Одним из центральных вопросов теории конечно автоматных групп является вопрос о
вложимости в них других известных классов групп. Он положительно решен для свободных
групп, свободных абелевых групп, некоторых классов линейных и разрешимых групп, групп
Р. Томпсона. Оказалось также, чтогруппыавтоморфизмов сдвигов конечного типа(т.е. груп-
пыобратимыхклеточныхавтоматов)являютсягруппамиконечных(асинхронных)автоматов.
Всякая группа G, порожденная синхронными автоматами, действует на k-регулярном
бесконечном корневом дереве T, где k — мощность алфавита, а следовательно, действует
гомеоморфизмами и на границе дерева ∂T. Группа, порожденная асинхронными автоматами,
такжедействуетгомеоморфизмамина∂T,однакоэтодействиеуженеиндуцируетсядействием
автоморфизмами дерева. В синхронном случае действие на границе сохраняет инвариантной
равномерную меру µ на границе. Таким образом возникают топологическая динамическая
система (G,∂T) и метрическая динамическая система (G,∂T,µ). Заметим, что фактически
речь идет о динамических системах на множестве Кантора, топологическому типу которого
принадлежит граница ∂T.
В последнее время исследование топологической динамики на множестве Кантора идет
быстрымитемпами[22, 23, 37], инашеисследование дает некоторыйвклад вэтонаправление.
Одним из актуальных является вопрос о свойствах разбиения на орбиты, где особая роль
принадлежиттакназываемому конфинальномуразбиению.Какобычно,втраекторнойтеории
важную роль играют вопросы аменабельности (группы G и действия G на ∂T), T-свойство
Каждана и многие другие вопросы асимптотической теории групп.
Конечно порожденной группе автоматов, действующей сферически транзитивно на гра-
нице, соответствует бесконечный регулярный граф, а также последовательность конечных
регулярных графов, аппроксимирующая бесконечный граф. Эти графы изоморфны графам
Шрейера Г(G,P,S) и Г(G,P ,S), где P,P < G — параболические подгруппы (стабилиза-
n n
торы точки границы ∂T и вершины n-го уровня дерева T соответственно), а S — система
порождающих группы. Они обладают рядом интересных свойств. Например, во многих
случаях бесконечные графы, ассоциированные с ветвящимися группами автоматов, являются
подстановочными графами фрактального типа и имеют полиномиальный рост [7, 6]. Есть
надежда на то, что с помощью автоматов, порождающих свободную группу или группу,
близкую к свободной, можно получить новые серии экспандеров и даже графов Рамануджана
(определение этих понятий дано в [41]).
Конечномуавтоматуможносопоставитьтакжепонятиеспектра,причемдвумяспособами.
Во-первых, как спектр(некоммутативной)динамической системы,порожденной этимавтома-
том,во-вторых,какспектрдискретногооператораЛапласанаграфеГ(G,P,S).Вслучае,если
параболическая подгруппа P аменабельна или аменабельно действие G на G/P, эти спектры
совпадают как множества.
Примеры,для которых удалось провести явное вычисление спектров, дали поразительные
результаты. Оказалось, что спектры автоматов могут быть как объединениями конечного
числаинтервалов, так и вполненесвязными множествами,напримермножеством Кантора[7].
С другой стороны, в [30] с помощью автомата с двумя состояниями удалось вычислить спек-
тральнуюмеруоператораЛапласанаграфеКэлигруппы“мигающихлампочек”(“lamplighter
group”). Более того, оказалось, что спектральная мера этого оператора дискретна — факт
совершенно неожиданный для теории случайных блужданий на группах. Непосредственным
следствиемрезультатаиз[30]являетсяотрицательноерешениегипотезыАтьиознаменателях
рациональных значений L2 когомологических инвариантов бесконечных групп [25].
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 2000, т. 231
АВТОМАТЫ, ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И ГРУППЫ 137
Изучение групп конечных автоматов, динамических систем, графов и спектров, порож-
денных конечными автоматами, прошло начальную фазу развития. Остаются нерешенными
многие вопросы, открываются новые области применений. Мы надеемся, что эта статья
привлечет внимание читателя к указанной проблематике.
2. АСИНХРОННЫЕ АВТОМАТЫ
2.1. Пространства слов. Пусть X — конечное множество, |X| > 1, которое мы будем
называть алфавитом.
Для данного алфавита X мы обозначаем через X∗ свободный моноид, порожденный
множеством X. Элементы моноида X∗ записывают в виде слов x x ...x (включая пустое
1 2 n
слово ∅). Если w = x x ...x ∈ X∗, то |w| = n — длина слова w. Длина пустого слова равна
1 2 n
нулю.
Наряду с конечными словами из X∗ мы рассматриваем и бесконечные последовательности
(бесконечные слова) вида x x x ..., где x ∈ X. Множество всех таких бесконечных слов
1 2 3 i
обозначаем Xω.
Для произвольных w ∈ X∗, u ∈ X∗∪Xω естественно определена конкатенация (произведе-
ние) wu ∈ Xω.
Слово w ∈ X∗ является началом, или префиксом, слова u ∈ X∗ (∈ Xω), если u = wv для
некоторого v ∈ X∗ (∈ Xω), в этом случае мы обозначаем v = u−w. Если u — начало слова w,
то полагаем u−w = ∅, во всех остальных случаях u−w не определено.
Для произвольного множества слов A ⊆ X∗ ∪ Xω определено единственным образом
наибольшее общее начало (начало наибольшей длины) слов из A, которое мы обозначаем
P(A). Заметим, что P(A) бесконечно в том и только том случае, когда множество A состоит
из одного бесконечного слова.
Множество Xω является бесконечным декартовым произведением XN, и на нем можно
ввести топологию прямого тихоновского произведения конечных дискретных топологических
пространств X (топологию поточечной сходимости). В этой топологии Xω гомеоморфно
множеству Кантора.Такимобразом топологическийтипэтого пространстванезависитот X.
Для каждого конечного слова w ∈ X∗ множество wXω ⊆ Xω всех слов, начинающихся
на w, является в данной топологии открыто-замкнутым,а совокупность всех таких множеств
{wXω: w ∈ X∗} является базой топологии.
Отметим, что множества w Xω и w Xω имеют непустое пересечение в том и только том
1 2
случае, когда одно из слов w , w является началом другого, и тогда множество, соответству-
1 2
ющее более длинному слову, является подмножеством другого множества.
Пусть U(cid:1) — множество всех конечных и бесконечных слов с префиксом w ∈ X∗. Сово-
w
купность всех множеств {U(cid:1) : w ∈ X∗} тоже является базой открытых множеств компактной
w
топологии на X∗∪Xω. В этой топологии множество X∗ является счетным множеством изоли-
рованных точек, замыканием которого является множество X∗∪Xω, причем индуцированная
топология на Xω совпадает с введенной выше. Бесконечное слово u ∈ Xω принадлежит
замыканию множества A ⊆ X∗ тогда и только тогда, когда бесконечно много префиксов
слова u являются префиксами некоторых слов из A.
Слово v ∈ Xω называется почти периодическим, если оно имеет вид uwww..., где u, w —
конечные слова.
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТАИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 2000, т. 231
138 ГРИГОРЧУК и др.
Длякаждой убывающей последовательности положительныхчисел λ = (λ )∞ такой, что
n n=0
limn→∞λn = 0, определена метрика на пространстве Xω
d (w ,w )= λ ,
λ 1 2 n
где n = |P(w ,w )| — длина наибольшего общего начала слов w и w (расстояние между
1 2 1 2
равными словами равно нулю).
Данная метрика является ультраметрикой, т.е. выполнено неравенство
d (w ,w ) ≤ max(d (w ,w ),d (w ,w ))
λ 1 3 λ 1 2 λ 2 3
длялюбых w ,w ,w ∈ Xω.При этом множество wXω бесконечных слов, начинающихся наw,
1 2 3
является шаром радиуса λ|w| с центром в произвольной точке u ∈ wXω.
2.2. Автоматы-трансформаторы.
Определение 2.1. Асинхронным автоматом (обобщенной последовательностной ма-
шиной по [18]) называется набор A= (cid:5)X ,X ,Q,π,λ(cid:6), где
I O
1) X , X — конечные множества (входной и выходной алфавиты соответственно);
I O
2) Q — множество (множество внутренних состояний автомата);
3) π: X ×Q → Q — отображение (функция переходов);
I
4) λ: X ×Q → X∗ — отображение (функция выходов).
I O
Мощностью автомата называется мощность множества его состояний. В частности, авто-
мат A конечный, если |Q|< ∞.
Если все значения функции λ(·, ·) являются однобуквенными, то автомат A называется
синхронным автоматом.
Функции λ, π можно продолжить на множество X∗ × Q следующими рекуррентными
I
правилами:
π(∅,q) = q, π(xw,q) = π(w,π(x,q)), (1)
λ(∅,q) = ∅, λ(xw,q) = λ(x,q)λ(w,π(x,q)), (2)
где x ∈X , q ∈ Q и w ∈X∗ — произвольные элементы.
I I
Предыдущие формулы эквивалентны также формулам
π(∅,q) = q, π(wx,q) = π(x,π(w,q)),
(3)
λ(∅,q) = ∅, λ(wx,q) = λ(w,q)λ(x,π(w,q)).
Автомат A с фиксированным начальным состоянием q ∈ Q называется инициальным
q0 0
автоматом. Каждый инициальныйавтомат определяет функциюλ(·,q ): X∗ → X∗, которая
0 I O
определяет действие автомата Aq0 на конечных словах, обозначаемое также λ(w,q0) = wAq0.
Для инициального автомата A и слова v ∈ X∗ состояние π(v,q ) называют состоянием
q0 I 0
автомата в слове v.
Конечные автоматы можно представлять в виде помеченных ориентированных графов
(диаграммМура).Вершинытакогографасоответствуютсостояниямавтомата,адлякаждого
символа x ∈ X входного алфавита из каждого состояния q ∈ Q выходит стрелка в π(x,q),
I
помеченная меткой x|λ(x,q). При этом если автомат инициальный,то на его диаграммеМура
рисуемначальноесостояниеввидедвойнойокружностилибоотмечаемеготойжебуквой,что
и автомат. Чтобы узнать действие автомата на слово w, мы должны, начиная с отмеченной
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 2000, т. 231
АВТОМАТЫ, ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И ГРУППЫ 139
0|0
0|∅
1|0 0|1
1|∅
1|1
Рис. 1. Пример асинхронного автомата
вершины, двигаться по стрелкам графа так, чтобы на левых частях меток вдоль стрелок
читалось слово w, тогда произведение всех правых частей меток будет равно λ(w,q ).
0
Состояние q ∈ Q инициального автомата A называется достижимым, если существует
q0
слово w ∈ X∗ такое, что π(w,q ) = q. Автомат называется достижимым, если все его
I 0
состояния достижимы. Пусть Q(cid:4) — множество всех достижимых состояний асинхронного
автомата A. Тогда автомат A(cid:4) = (cid:5)X ,X ,Q(cid:4),π(cid:4),λ(cid:4)(cid:6) , где отображения π(cid:4), λ(cid:4) являются
q0 I O q0
ограниченияминаX ×QсоответствующихотображенийдляавтоматаA,действуетнасловах
I
так же, как и автомат A .
q0
Инициальный асинхронный автомат A называется невырожденным (почти положи-
q0
тельным по [18]), если для каждого бесконечного слова w ∈ Xω рекуррентные формулы (2)
I
определяют однозначнобесконечное слово λ(w,q ).Слово λ(w,q )называется образом слова w
0 0
под действием автомата и обозначается wAq0, как и в случае конечных слов.
Инициальный автомат A является невырожденным тогда и только тогда, когда не
q0
существует достижимого состояния q ∈ Q и бесконечного слова w ∈ Xω таких, что для
I
произвольногопрефиксаuсловаwсловоλ(u,q)пусто.Вчастности,произвольныйсинхронный
автомат является невырожденным.
Имеет место следующий критерий невырожденности.
Предложение 2.1. Инициальный автомат будет невырожденным тогда и только
тогда, когда для любого его достижимого состояния q ∈ Q существует лишь конечное
множество слов w ∈ X∗, для которых слово λ(u,q) пусто.
I
Говорят, что отображение f: Xω → Xω определяется (невырожденным) автоматом A ,
I O q0
если f(w) = λ(w,q ) для каждого w ∈ Xω. Отображение, определенное невырожденным
0 I
автоматом, называется его действием (на бесконечных словах).
Отметим, что разные асинхронные автоматы могут определять одинаковые отображения
на множестве бесконечных слов. Например, автомат над двухбуквенным алфавитом {0,1},
изображенный на рис. 1, удаляет в каждом конечном слове последнюю букву, поэтому его
действие на бесконечных словах тождественно, т.е. совпадает с действием автомата, действу-
ющего тождественно на конечных словах.
В связи с этим дадим следующее определение.
Определение 2.2. Два инициальных асинхронных автомата называются эквивалент-
ными, если они определяют одинаковые отображения на пространстве конечных слов X∗.
I
Два инициальных асинхронных автомата называются ω-эквивалентными, если они опре-
деляют одинаковые отображения на пространстве бесконечных слов Xω.
I
Доказательство следующего утверждения несложно.
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТАИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 2000, т. 231
140 ГРИГОРЧУК и др.
Предложение 2.2. Образ почти периодического слова под действием конечного асин-
хронного автомата — почти периодическое слово.
Как и в классической теории автоматов, существует канонический автомат в классе
ω-эквивалентных автоматов. Для более удобного его описания мы определим понятие моди-
фицированного автомата, изменив определение функции выхода следующим образом:
4) функцией выхода называется отображение λ: X ×Q → X∗ ∪Xω, причем если λ(x,q) ∈
I O O
∈Xω, то для всех слов w ∈ X∗ слово λ(w,π(x,q)) пусто.
O I
При этом условимся считать модифицированный автомат конечным, если у него коли-
чество состояний конечно и каждое слово λ(x,q) либо конечное, либо почти периодическое.
Такимобразом, мыразрешилиасинхронномуавтомату давать навыход бесконечное слово
за один такт, но если автомат выдает такое слово, то после этого он будет давать на выход
только пустые слова. Рекуррентные формулы (2) также будут в этом случае определять
действие невырожденного модифицированного автомата на бесконечных словах.
Предложение 2.3. Класс отображений, определяемых (конечными) модифицирован-
ными автоматами, совпадает с классом отображений, определяемых обычными (конечны-
ми) асинхронными автоматами.
Доказательство. Действительно, пусть f определяется модифицированным асинхрон-
ным автоматом. Прибавим для каждой пары x ∈ X, q ∈ Q такой, что w = λ(x,q) ∈Xω, беско-
O
нечную последовательность новых состояний q ,q ,..., определим π(x,q) = q , π(y,q ) = q
1 2 1 i i+1
для всех i ≥ 1, y ∈ X , положим λ(y,q ) равным i-й букве слова w для любого y ∈ X и
I i I
переопределим λ(x,q) = ∅. Несложно показать, что после этого мы получим асинхронный
автомат, определяющий такое же отображение.
В случае конечного модифицированного автомата для каждой пары x ∈ X, q ∈ Q такой,
что w = λ(x,q) ∈ Xω, прибавим новое состояние p, определим π(x,q) = p, π(y,p) = p для всех
O
y ∈ X иположимλ(x,q) = v,λ(y,p) = uдлявсех y ∈ X ,гдеw =vuuu... Заметимтакже,что
I I
если для конечного автомата слово λ(uw,q) не зависит от w ∈ Xω, то оно по предложению 2.2
I
почти периодическое. (cid:1)
Вдальнейшеммы будемпользоваться только определением модифицированногоавтомата.
Теории асинхронных автоматов посвящена часть монографии [18], где в основном рас-
сматривается их действие на конечных словах. Кроме теории групп, асинхронные автоматы
нашлисвоеприменениевтеориикодирования[78,68],сихпомощьюможнотакжепроизводить
разнообразные арифметические вычисления [18, 38].
2.3. Полугруппы асинхронных автоматов. Пусть A = (cid:5)X ,X ,Q ,π ,λ (cid:6) и A =
1 1 2 1 1 1 2
= (cid:5)X ,X ,Q ,π ,λ (cid:6) — два автомата.
2 3 2 2 2
Построим новый автомат B = A ∗ A с множеством состояний Q × Q , функцией
1 2 1 2
переходов π и функцией выходов λ, определенными равенствами
π(x,(s ,s )) = (π (x,s ),π (λ (x,s ),s )),
1 2 1 1 2 1 1 2
λ(x,(s ,s )) = λ (λ (x,s ),s ).
1 2 2 1 1 2
Отметим, что λ (x,s ) в общем случае является не буквой, а словом. Смысл равенств за-
1 1
ключаетсявтом,чтомыподключаемвыход первогоавтоматанавход второго, аинформацию
обрабатываем последовательно. Автомат B = A ∗A называется суперпозицией автоматов
1 2
A и A . Суперпозицией инициальных автоматов A и A называется автомат A ∗A с
1 2 1,q1 2,q2 1 2
начальным состоянием (q ,q ).
1 2
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 2000, т. 231
АВТОМАТЫ, ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И ГРУППЫ 141
(cid:2) (cid:3)
Легковидеть,чтоеслиw—конечноеилибесконечноеслово,тоw(A1∗A2)(q1,q2) = wA1,q1 A2,q2.
Таким образом, совокупность всех отображений f: Xω → Xω, определяемых иници-
альными асинхронными автоматами, образует полугруппу относительно суперпозиции. Эту
полугруппу будем называть полугруппой асинхронных автоматов и обозначать C(Xω).
Теорема 2.4. Отображение f: Xω → Xω является непрерывным тогда и только
I O
тогда, когда оно определяется некоторым невырожденным асинхронным автоматом.
Доказательство. Пусть A — невырожденный асинхронный автомат. Для любого
q0
w ∈ X∗ началом слова λ(wu,q ) для всех u ∈ Xω будет λ(w,q ). Из этого следует непре-
I 0 I 0
рывность отображения λ(·,q ).
0
Пусть f: Xω → Xω — непрерывное отображение. Построим определяющий его автомат
I O
A= (cid:5)X ,X ,Q,π,λ(cid:6). Положим Q = X∗, q = ∅, и для всех x ∈ X∗, w ∈ Q пусть π(x,w) = wx.
I O I 0 I
Для каждого w ∈ X∗ обозначим
I
l(w) = P{f(wu): u ∈ Xω}.
I
Поскольку отображение f непрерывно, то для каждого x x ... ∈ Xω длина слова w =
1 2 I n
= l(x x ...x ) не убывает и стремится к бесконечности при n → ∞ и слова w являются
1 2 n n
началами слова f(x x ...).
1 2
Положим λ(x,w) = l(wx)−l(w). Тогда построенный автомат определяет f.
Заметим, что для каждого состояния q построенного автомата наибольшее общее начало
P{λ(xw,q): w ∈ Xω} равно λ(x,q). (cid:1)
I
В общем случае асинхронный автомат, определяющий непрерывное отображение, будет
бесконечным.
Таким образом, полугруппа C(Xω) изоморфна полугруппе всех непрерывных преобразова-
ний множества Кантора Xω. Следовательно, изоморфный тип этой полугруппы не зависит от
мощности алфавита.
Если отображение f: Xω → Xω, определенное некоторым асинхронным автоматом, би-
I O
ективно, то оно является гомеоморфизмом и обратное отображение f−1 тоже определяется
некоторымасинхроннымавтоматом.Поэтомумножествовсех биективныхотображений,опре-
деленных асинхронными автоматами с входным и выходным алфавитом X, образует группу.
Эту группу назовем группой асинхронных автоматов и обозначим H(Xω). Она также не
зависит от X, так как изоморфна группе гомеоморфизмов канторовского множества.
2.4. Конечные автоматы. Непрерывные отображения, определяемые конечными ини-
циальными асинхронными автоматами, имеют следующую характеризацию.
Определение 2.3. Пусть f: Xω → Xω — непрерывное отображение, w ∈ X∗ — конеч-
I O I
ное слово. Ограничением отображения f в слове w называется отображение f| : Xω → Xω,
w I O
определенное равенством
f(wu) = vf| (u),
w
где v = P{f(wu): u ∈ Xω}.
I
Если слово f(wu), u ∈ Xω, не зависит от u, то мы говорим, что ограничение f| пусто, и
I w
пишем f| (u) = ∅.
w
Теорема 2.5. Непрерывное отображение f: Xω → Xω определено некоторым конеч-
I O
ным невырожденным асинхронным автоматом тогда и только тогда, когда оно имеет
конечное число разных ограничений и для каждого слова w ∈ X∗ такого, что ограничение
I
f| пусто, слово f(wu) является почти периодическим для любого u ∈ Xω.
w I
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТАИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 2000, т. 231
142 ГРИГОРЧУК и др.
Доказательство. Пусть A — конечный невырожденный асинхронный автомат. Для
каждого w ∈ X∗ ограничение f| однозначно задано состоянием π(w,q ), поскольку
I w 0
λ(wu,q )= λ(w,q )λ(u,π(w,q )) = λ(w,q )vf| (u),
0 0 0 0 w
где v = P{λ(u,π(w,q )): u ∈ Xω}. Следовательно, множество разных ограничений отображе-
0 I
ния, определенного конечным автоматом, конечно.
Обратно, пусть f — отображение с конечным множеством ограничений. Обозначим это
множество Q. Построим автомат с множеством внутренних состояний Q и начальным со-
стоянием f|∅ = f так, чтобы его действие на пространстве Xω совпадало с действием
I
отображения f.
Положим π(x,f| ) = f| . Отображение π определено корректно, так как f| = (f| )| .
w wx wx w x
Функцию выходов определим равенством
λ(x,f| )= P{f| (xu): u ∈ Xω} = P{f(wxu): u ∈ Xω}−P{f(wu): u ∈Xω}.
w w I I I
(Заметим, что если ограничение f| пусто, то λ(x,f| ) бесконечно.) Полученный автомат
wx w
определяет отображение f. (cid:1)
Определение 2.4. Отображение f: Xω → Xω называется рациональным, если оно
I O
определяется некоторым конечным асинхронным автоматом.
Поскольку множество состояний суперпозиции A A автоматов равно декартову про-
1 2
изведению множеств состояний автоматов A и A , то суперпозиция конечных автоматов
1 2
тоже является конечным автоматом. Поэтому множество всех конечных автоматов образует
полугруппу относительно суперпозиции. Эту полугруппу называем полугруппой конечных
асинхронных автоматов и обозначаем F(Xω).
2.5. Редуцированные автоматы. Одним из основных фактов теории конечных авто-
матов является то, что в классе эквивалентных автоматов существует единственныйавтомат
с минимальным числом состояний, который называется минимальным. Соответствующий
алгоритм описан в [18].
Здесь мы рассмотрим вопрос существования канонического асинхронного автомата, ω-эк-
вивалентногоданному.Процесснахождениятакогоавтоматаназываетсяредукцией.Онабудет
описана в п. 2.8.1.
Определение 2.5. Состояниеq ∈ QасинхронногоавтоматаAназываетсясостоянием с
неполным ответом, если для некоторого x ∈ X наибольшее общее начало слов вида λ(xw,q),
w ∈ Xω, не равно λ(x,q).
I
Заметим,чтов автомате, построенном в ходе доказательства теоремы 2.4, нет состояний с
неполнымответом.Такжелегкопоказать,чтотакихсостоянийнетивавтомате,построенном
при доказательстве теоремы 2.5. Следовательно, имеет место
Предложение 2.6. Для каждого (конечного) асинхронного автомата существует
ω-эквивалентный ему (конечный) асинхронный автомат без состояний с неполным отве-
том.
Для асинхронных автоматов без состояний с неполным ответом можно использовать
результаты классической теории минимизации обобщенных последовательностных машин,
изложенной в книге [18], поскольку имеет место следующее утверждение.
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 2000, т. 231