Aufgabensammlung zur Infinitesimalrechnung: Band II A: Differentialrechnung auf dem Gebiete mehrerer Variablen Aufgaben und Hinweise PDF
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A. OSTROWSKI AUFGABEN SAMMLUNG ZUR INFINITESIMALRECHNUNG BAND II A MATHEMATISCHE REIHE BAND 38 LEHRBÜCHER UND MONOGRAPHIEN AUS DEM GEBIETE DER EXAKTEN WISSENSCHAFTEN AUFGABENSAMMLUNG ZUR INFINITESIMALRECHNUNG von A. OSTROWSKI Professor an der Universität Basel BAND II A Differentialrechnung auf dem Gebiete mehrerer Variablen AUFGABEN UND HINWEISE SPRINGER BASEL AG 1972 Nachdruck verboten Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen und der Reproduktion auf photostatischem Wege oder durch Mikrofilm, vorbehalten. © Springer Basel AG 1972 Urspriinglich erschienen bei Birkhäuser Verlag Basel 1972 Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1972 ISBN 978-3-0348-5528-0 ISBN 978-3-0348-5527-3 (eBook) DOI 10.1007/978-3-0348-5527-3 VORWORT Der vorliegende zweite Band meiner Aufgabensammlung entspricht in der Auswahl des Stoffes dem Inhalt des zweiten Bandes meiner "Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung". Er enthält neben den Ergänzungen zur Infinitesimalrechnung einer Variablen grundlegenden Stoff aus der Infinitesimalrechnung mit mehreren Vari ablen nebst Anwendungen auf numerische Rechenmethoden, sowie auf die Differentialgeometrie. Das Buch kann natürlich auch ohne gleich zeitige Benutzung meines Lehrbuches verwendet werden, da auch in diesem Band in jedem Abschnitt der in Frage kommende Hintergrund an Begriffen, Formeln und Sätzen zusammengestellt ist, von dem aus die Aufgaben angepackt werden können. Wie im ersten Band, sind die Lösungen der Aufgaben zumeist in zwei Schritten angegeben, zuerst in den "Hinweisen" und sodann in den "Lösungen" . Aus praktischen Gründen ist dieser Band in zwei getrennte und einzeln erhältliche Teilbände aufgeteilt worden, von denen der erste (II A) Aufgaben und Hinweise und der zweite (II B) Lösungen enthält. Der Verlag hat wie immer den zahlreichen Wünschen des Autors mit freundlicher Geduld und Ausdauer entsprochen. A. Ostrowski INHALTSVERZEICHNIS Seite Vorwort ............................. . 5 Abkürzungen ......................... . 9 Aufgaben Hinweise Lösungen 1. Allgemeine Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 223 301 2. Punktmengen, Konvergenz, Häufungsstel- len . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 223 303 3. Weitere Diskussion der infinitä ren Eigen- schaften von Mengen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 224 306 4. Konvergenz von Funktionen auf Punkt- mengen ............................... 22 225 310 5. Stetigkeit von Funktionen aufPunktmengen 27 225 313 6. Unendliche Folgen ..................... 33 227 319 7 . Unendliche Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 230 329 8. Funktionenfolgen und Funktionenreihen .. 60 237 347 9. Potenzreihen .........................• 68 240 359 10. Anwendungen der Differentialrechnung auf die Diskussion der Funktionen einer Vari- ablen ................................. 78 244 373 11. Differentiation bei Funktionen mehrerer Va- riablen ............................... 93 248 387 12. Partielle Ableitungen höherer Ordnung .... 97 249 390 13. Jakobische Matrizen und Determinanten. .. 102 251 394 14. Das totale Differential .................. 108 252 398 15. Existenzsätze für Gleichungen und Glei chungssysteme. Implizite Funktionen. . . .. 114 253 403 16. Praktische Auflösbarkeitskriterien. Abhän gigkeit und Unabhängigkeit von Funktionen- systemen ............................. 119 255 407 17. Extrema bei Funktionen mehrerer Variablen 123 255 410 18. Interpolation. Anwendungen der Differen tialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 132 260 421 8 Inhaltsverzeichnis Seite Aufgaben Hinweise Lösungen 19. Numerische Differentiation und Integration 142 263 431 20. Angenäherte Auflösung von Gleichungen . . 150 266 442 2l. Bernoullische Zahlen und Polynome ....... 152 267 444 22. Die Euler-Maclaurinsche Formel .......... 157 270 451 23. Grössen erster Ordnung in der Kurventheo- rie ................................... 165 271 458 24. Grössen zweiter Ordnung in der Kurventheo- rie ................................... 171 274 465 25. Evolute, Evolvente und Parallelkurven .... 184 282 482 26. Enveloppen von Kurvenscharen .......... 188 283 486 27. Vektoren ............................. 192 287 492 28. Schmiegungsebene einer Raumkurve ...... 199 288 498 29. Krümmung und Torsion ................. 207 292 508 ..... 30. Tangentialebene und Flächennormale 213 296 519 31. Enveloppen. Geometrie auf der Fläche ..... 217 297 522 ABKÜRZUNGEN AbI. Ableitung Fig. Figur OBdA Ohne Beschrän Beh. Behauptung, Fkt. Funktion kung der Allge behaupten GI. Gleichung meinheit Bew. Beweis, Int. Integral, Pkt. Punkt beweisen integrieren pos. positiv bzw. beziehungsweise Konv. Konvergenz, Stet. Stetigkeit, stetig d. der, die, das konvergieren u. und d. h. das heißt MWS Mittelwertsatz Ungl. Ungleichung Div. Divergenz, neg. negativ v. von divergieren NF Nullfolge, v. Ind. vollständige e. ein, eine, eines Nullfunktion Induktion f. für m. man vgl. vergleiche « ist das Symbol für Majorisierung. E av «E bv bedeutet, daß für alle in Frage kommenden v: I av I ::5 bv gilt. A -< Bbedeutet: A ist in B enthal ten, A>- B bedeutet: A enthält B. Im allgemeinen bedeutet n eine beliebige natürliche Zahl, meine beliebige ganze Zahl. Verweise auf Aufgaben, Hinweise oder Lösungen aus einem Para graphen werden wie folgt angegeben: A 5a) § 7, H 5a) § 7, L 5a) § 7. Die Paragraphenbezeichnung wird weggelassen, wenn es sich um den Paragraphen handelt, zu dem der Verweis gehört. § 1. Allgemeine Mengen Eine Menge M aus ganz beliebigen Elementen ist definiert, wenn es von jedem in Frage kommenden Element feststeht, ob es zu M gehört oder nicht. Sind alle Elemente einer Menge MI in der Menge M ent- 2 halten, so heißt MI eine TeilmengeoderUntermenge von M Dies wird 2• -< >- durch MI M 2' M 2 MI zum Ausdruck gebracht. Sind die Mengen Mv M gegeben, so ist die Menge aller Elemente, die in wenigstens 2 einer dieser Mengen vorkommen, die Summe oder Vereinigungsmenge von MI und M und wird mit MI +M bezeichnet. In analoger Weise 2 2 wird die Vereinigungs menge von endlich oder unendlich vielen gege- Ln L benen Mengen definiert und mit den Symbolen wie M., M. be- zeichnet. .=1 .=1 Als Produkt oder Durchschnitt aller Mengen eines gewissen Systems wird die Menge all~r Elemente bezeichnet, die zugleich in jeder Menge des Systems vorkommen. Der Durchschnitt wird mit gewöhnlichem Produktzeichen dargestellt oder durch das Nebeneinandersetzen der Symbole, die die einzelnen Mengen darstellen, z. B. M1 M2 M3• Als Differenz MI - M 2 der Mengen M 1 und M 2 wird die Menge aller Elemente von MI bezeichnet, die nicht in M vorkommen. Dabei muß 2 M 2 keineswegs eine Teilmenge von MI sein. Unter unendlichen Mengen sind besonders einfach die sogenannten abzählbaren Mengen. Eine Menge M heißt abzählbar, wenn sich ihre Elemente mit ganzen positiven Nummern so versehen lassen, daß jeder ganzen positiven Zahl als Nummer höchstens ein Element von M entspricht. Man beachte, daß eine durchaus abzählbare Menge in einer Weise dargestellt werden kann, die ihre Abzählbarkeit keines wegs erkennen läßt. Beispiele von abzählbaren Mengen sind: die Menge aller ganzen Zahlen, die Menge aller rationalen Zahlen, die Menge aller Punkte des n-dimensionalen Raumes mit rationalen Koordinaten, die Menge aller algebraischen Zahlen. Ist eine endliche oder abzählbare Folge von Mengen A. gegeben, von denen jede endlich oder abzählbar ist, so ist die Vereinigungsmenge aller dieser Mengen gleichfalls endlich oder abzählbar. Dagegen ist die Menge aller reellen Zahlen aus einem festen Intervall überabzählbar. Können zwei Mengen MI und M" so aufeinander bezogen werden, dass jedem Element von MI genau ein Element von M" entspricht; und umgekehrt, so heissen sie äquivalent.
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