Aufgabensammlung der höheren Mathematik

316 Pages·1973·13.256 MB·German

by  W. P. Minorski (auth.)

W. P. Minorski
Aufgabensammlung
der höheren Mathematik
Viewegs
Fachbücher
der
Technik
w. P. Minorski
Aufgabensammlung
der höheren Mathematik
5. Auflage
Mit 92 Bildern und 2570 Aufgaben mit Lösungen
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH
Aus dem Russischen übersetzt von Eberhard Lacher, Schwarzenberg
und Gerhard Liebold, Karl Marx-Stadt
Bearbeitung der deutschsprachigen Ausgabe von Heillz Birnbaum, Leipzig
Titel der Originalausgabe: C60PHHIC ,aJla'l no Bblcwei< MaTeMaTHICe
7. Auflage
Staatlicher Verlag für physikalisch-mathematische Literatur, Moskau 1962
ISBN 978-3-528-24060-8 ISBN 978-3-663-14227-0 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-14227-0
1973
Copyright © 1973 by Springer Fachmedien Wiesbaden
Ursprünglich erschienen bei VEB Fachbuchverlag Leipzig 1973.
Satz: Offizin Andersen Nexö, Leipzig
Fotomechanischer Nachdruck: Leipziger Druckhaus . Grafischer Großbetrieb· Ill/18/203
Vorwort zur deutschsprachigen Ausgabe
Gute Studienergebnisse setzen in der Mathematik nicht nur Kenntnisse, sondern auch
Fertigkeiten voraus. Dies zu erreichen, bedarf es einer umfangreichen und unablässigen
Übung im Lösen mathematischer Aufgaben. Das vorliegende Buch von Minorski setzt mit
seiner großen Anzahl von Übungsaufgaben eine alte Tradition fort und ergänzt die vor
handenen Lehrbücher, in denen - entsprechend ihrem Charakter - nicht genügend Raum
für ein reichhaltiges Aufgabenmaterial zur Verfügung steht.
Die in der deutschen Auflage vorgenommenen Überarbeitungen verfolgten insbesondere
das Ziel, in der Darstellungsform und Symbolik mathematischer Sachverhalte zu einer
Übereinstimmung mit hiesigen Lehrbüchern zu gelangen und die Übersichtlichkeit durch
straffere und günstigere Anordnung der Aufgaben und deren Lösungen zu erhöhen.' Die
den einzelnen Aufgabenkomplexen vorangestellten, leitfadenähnlich dargestellten Sätze
und Formeln wurden drucktechnisch so gestaltet, daß sie sich gut von den Aufgaben ab
heben. In einigen Punkten erfolgten aus Gründen der bei uns üblichen Erklärungen und
Definitionen Überarbeitungen, die sich besonders auf den Funktionsbegriff, Grenzwert
prozesse und den Vektor bezogen. Die Schreibweise verschiedener Relationen und Größen
symbole wurde so verändert, daß sie weitgehend mit unserer Literatur übereinstimmen.
Die Aufgaben wurden nachgerechnet und deren Lösungen, teils mit Lösungsweg, am
Ende der Sammlung übersichtlich aufgeführt.
Weitere Hinweise und Wünsche, die einer Verbesserung der Aufgabensammlung dienen,
nehmen wir dankbar entgegen.
Verlag und Bearbeiter
Aus dem Vorwort zur dritten Auflage
In der vorliegenden Aufgabensammlung wurden Aufgaben und Beispiele aus der analytischen
Geometrie und der mathematischen Analysis ausgewählt und methodisch erläutert. Sie
umfassen den gesamten Lehrstoff der höheren Mathematik für Höhere Technische Lehr
anstalten.
Am Beginn eines jeden Paragraphen sind die Formeln, Definitionen und andere kurze
Erläuterungen zur Theorie angeführt, die für die Lösung der folgenden Aufgaben unbedingt
erforderlich sind.
Am Ende eines jeden Paragraphen der Aufgabensammlung sind Wiederholungsaufgaben
ang<:;führt, die etwa ein Drittel des gesamten Materials der Aufgabensammlung darstellen.
Diese Besonderheit wird dem Dozenten bei der Auswahl von Aufgaben für Klassenarbeiten
und für Hausarbeiten bzw. bei Wiederholungen vor Kontrollarbeiten helfen. Außerdem
läßt sich bei einer derartigen Verteilung der Aufgaben leicht das Minimum festlegen, das für
die Aneignung des Lehrstoffs unbedingt erforderlich ist, das man auch den Fernstudenten
vorschlagen kann oder das sich für die Arbeit im Abendstudium eignet.
Die Aufgabensammlung kann sowohl für die Arbeit unter der Anleitung eines Dozenten als
auch für das Selbststudium des Lehrstoffs der höheren Mathematik in den Höheren Tech
nischen Lehranstalten benutzt werden, da für alle Aufgaben (außer den zeichnerischen) die
Lösungen angegeben sind, für einige auch die Lösungswege ; außerdem sind zu vielen Auf
gaben im Text oder in den Lösungen Hinweise für den L5sungsgang gegeben. Die kurzen
Erläuterungen zur Theorie helfen ebenfalls.
Bei der Verbesserung des Buches wurden vom Autor viele Bemerkungen aus der Kritik des
Dozenten L.E.Sadowski (Erfolge der mathematischen Wissenschaften, 1954, Teil I), aber
auch die Bemerkungen und Hinweise in Betracht gezogen, die mündlich durch E. B. Wa
chowski, W.B. Gurjewitsch, G .1. Saporoshez, M. A. SchI/Iman und andere Dozenten gegeben
wurden. Der Autor übermittelt seinen herzlichen Dank allen Fachkollegen, die durch ihre
kritischen Bemerkungen zur Verbesserung des Buches beigetragen haben; er dankt außerdem
dem Dozenten R. J. Schostak für die sorgfältige Vorbereitung der Lösungen zu den Auf
gaben, die in die zweite Auflage neu eingearbeitet wurden, und dem Redakteur A. T. Zwetkow
für die Zusammenstellung und gute Ausführung der Tabellen im Anhang des Buches.
W.Minorski
Inhaltsverzeichnis
I. Analytische Geometrie der Ebene 11 1.13. Transformation caitesischer Koor
dinaten. Die Parabeln
1.1. Punktkoordinaten auf der Geraden
und in der Ebene. Der Abstand y = ax2 + bx + c und
+ +
zweier Punkte ................. 11 x = ay2 by c. Die Hyperbel
x' y = k ...................... 36
1.2. Teilung einer Strecke im gegebenen
Verhältnis. Flächeninhalt eines 1.14. Vermischte Aufgaben zu Kurven
Dreiecks, Flächeninhalt von Viel- 2. Ordnung .................... 39
ecken .................... , . . . . 12 1.15. Allgemeine Gleichung einer Kurve
1.3. Gleichung einer Kurve... . . . . ... 14 2. Ordnung .................... 41
1.16. Polarkoordinaten .............. 44
1.4. Gleichung der Geraden: 1. in Nor 1.17. Algebraische Kurven 3. und höhe-
malform, 2. in allgemeiner Form, rer Ordnung.. ...... . . .. . . . .. .. 47
3. in Achsenabschnittsform. ...... 16
1.18. Transzendente Kurven. . . . . . . . .. 48
1.5. Winkel zwischen zwei Geraden.
Gleichung des Büschels aller Gera 2. Vektoralgebra ..... . . . . . . . . . . . .. 50
den, die durch einen gegebenen
2.1. Addition von Vektoren. Multiplika-
Punkt gehen. Gleichung der Ge
tion eines Vektors mit einem Skalar 50
raden, die durch zwei gegebene
2.2. Rechtwinklige Koordinaten eines
Punkte geht (Zweipunkte
Punktes und eines Vektors im Raum 53
gleichung). Schnittpunkt zweier
Geraden ...................... 18 2.3. Skalarprodukt zweier Vektoren 55
1.6. Die (Hessesche) Normalform der 2.4. Vektorprodukt zweier Vektoren 57
Geradengleichung. Abstand eines 2.5. Gemischtes Produkt dreier Vekto-
Punktes von einer Geraden. Glei ren (Spatprodukt). . . . . . . . . . . . . .. 59
chungen der Winkelhalbierenden.
Gleichung eines Büschels von Ge 3. Analytische Geometrie des Raumes 61
raden, die durch den Schnittpunkt 3.1. Gleichung einer Ebene... . . . .... 61
zweier gegebener Geraden gehen. 20
3.2. Grundlegende Aufgaben zur Ebene 62
1.7. Vermischte Aufgaben zur Geometrie
3.3. Gleichungen der Geraden. . . . . . .. 64
der Geraden ................... 22
3.4. Gerade und Ebene ............. 67
1.8. Kreis.......................... 24
3.5. Sphärische und zylindrische
1.9. Ellipse........................ 25
Flächen....................... 69
1.10. Hyperbel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.6. Konische Flächen und Rotations
1.11. Parabel ....................... 30 flächen........................ 71
1.12. Leitlinien, Durchmesser und Tan 3.7. Ellipsoid, Hyperboloide,
genten von Kurven 2. Ordnung . . . 32 Paraboloide. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 72
8 Inhaltsverzeichnis
4. Höhere Algebra ................ 76 6.6. Ableitung der Arkusfunktion. . . .. 111
4.1. Determinanten................. 76 6.7. Ableitung der Hyperbelfunktionen 112
4.2. Lineare Gleichungssysteme ...... 78 6.8. Vermischte Beispiele und Aufgaben
zur Differentiation . . . . . . . . . . . . .. 113
4.3. Komplexe Zahlen .............. 81
6.9. Ableitungen höherer Ordnung .... 114
4.4. Gleichungen höheren Grades.
Näherungsweise Lösung einer 6.10. Ableitung impliziter Funktionen .. 115
Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 84 6.11. Differential einer Funktion ...... 117
6.12. Parameterdarstellung einer Kurven-
5. Einführung in die Analysis ....... 87 gleichung ..................... 118
5.1. Veränderliche Größen und
Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 7. Anwendungen der Ableitung einer
Funktion ...................... 120
5.2. Zahlenfolgen. Grenzwert einer
Veränderlichen. Grenzwert einer 7.1. Geschwindigkeit und Beschleuni-
Funktion ..................... 89 gung ......................... 120
5.3. Grenzwerteigenschaften. Bestim- 7.2. Hauptsätze der Differential-
mung einfacher .. unbestimmter Aus- rechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 121
0" OCI 7.3. Bestimmung unbestimmter Aus
d.r ücs~me"" der Form .. 0 und .. 00 93 drücke; I'Hospitalsche Regel .... 124
5.4. hm -- ... . . . . . . . . . . . . . . . . .. 95
7.4. Steigen und Fallen einer Funktion.
~"(-+O IX
Maximum und Minimum ....... 125
5.5. ..Unbestimmte Ausdrücke" der
Form ,,00 - 00" und ,,0 . 00" .. . . 96 7.5. Extremwertaufgaben . . . . . . . . . . .. 129
5.6. Vermischte Beispiele zur Berech- 7.6. Konvexität und Konkavität.
nung von Grenzwerten .......... 96 Wendepunkte einer Kurve.
5.7. Ordnung kleiner - gegen Null Kurvendiskussion .............. 131
strebender Größen ............. 97
8. Unbestimmtes Integral .......... 133
5.8. Stetigkeit einer Funktion ........ 98
8.1. Unbestimmtes I"ntegral. Integral
5.9. Asymptoten ................... 101
einer Summe .................. 133
5.10. Die Zahl e .................... 102
8.2. Integration durch Substitution ... 134
f
6. Ableitung und Differential. . . . . . .. 104 dx
8.3. Integrale von der Form x 2±a-"
6.1. Ableitung algebraischer und trigo k
x f
nometrischer Funktionen . . . . . . .. 104 f~a2d~
2'
6.2. Ableitung der Funktion einer
mit Angabe geeigneter Sub-
Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 106
stitutionen .................... 136
6.3. Tangente und Normale einer ebenen
Kurve ......................... 107 8.4. Partielle Integration. . . . . . . . . . . .. 13 7
6.4. Fälle der Nichtdifferenzierbarkeit 8.5. Integration trigonometrischer
stetiger Funktionen ............. 108 Funktionen .................... 138
6.5. Ableitung der Logarithmus- und 8.6. Integration rationaler algebraischer
Exponentialfunktion ............ 110 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 140
Inhaltsverzeichnis 9
8.7. Integration einiger irrationaler al- 11.3. Vollständiges Differential
gebraischer Funktionen ......... 141 1. Ordnung .................... 172
8.8. Integration einiger transzendenter 11.4. Ableitungen mittelbarer Funk-
Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 144 tionen ......................... 174
8.9. Integration der Hyperbelfunktio- 11.5. Ableitungen impliziter Funk-
nen. Substitution durch Hyperbel- tionen ......................... 175
funktionen ..................... 145 11.6. Partielle Ableitungen und vollstän-
8.10. Vermischte Beispiele zur Integration 146 dige Differentiale höherer Ordnung 176
11. 7. Integration vollständiger Differen-
9. Bestimmtes Integral. . . . . . . . . . . .. 148 tiale. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. 179
9.1. Berechnung des bestimmten Inte- 11.8. Singuläre Punkte einer ebenen
grals .......................... 148 Kurve ......................... 180
9.2. Flächenberechnung ............. 150 11.9. Enveloppe einer ebenen Kurven-
9.3. Volumen eines Rotationskörpers 152 schar ......................... 181
9.4. Bogenlänge eines ebenen Kurven- 11.10. Tangentialfläche und Flächen-
stücks ........................ 153 normale ..................... " 182
9.5. Oberfläche eines Rotationskörpers 155 11.11. Skalares Feld. Niveaulinien und
9.6. Aufgaben aus der Physik ........ 155 Niveauflächen. Ableitung nach einer
9.7. Uneigentliche Integrale ......... 158 gegebenen Richtung. Gradient ... 184
9.8. Mittelwert einer Funktion ....... 160
11.12. Extremum einer Funktion zweier
9.9. Die (Sehnen-) Trapezformel und Veränderlicher ................. 185
die Simpsonsche Regel .......... 160
12. Differentialgleichungen. . . . . . . . .. 187
10. Krümmung ebener und räumlicher
12.1. Begriff der Differentialgleichung .. 187
Kurven ................... " ... 163
12.2. Integration der Differentialglei-
10.1. Krümmung einer ebenen Kurve.
chungen 1. Ordnung durch Tren
Krümmungsmittelpunkt und
nung der Veränderlichen. Ortho
Krümmungsradius. Evolute ...... 163
gonale Trajektorien . . . . . . . . . . . .. 188
10.2. Bogenlänge einer Raumkurve .... 164
12.3. Differentialgleichungen 1.0rdnung
10.3. Ableitung einer Vektorfunktion 1. homogene, 2. lineare,
nach einem Skalar und ihre mecha 3. Bernoullische ................ 191
nische und geometrische Bedeutung.
12.4. Differentialgleichungen, die Diffe
Begleitendes Dreibein einer Kurve 165
rentiale eines Produkts oder Quo-
10.4. Krümmung und Windung einer tienten enthalten ............... 192
Raumkurve ................... 167
12.5. Differentialgleichungen 1. Ordnung,
die ein vollständiges Differential
11. Partielle 'Ableitungen, vollständige
enthalten. Integrierender Faktor .. 193
Differentiale und deren Anwendung 169
12.6. Differentialgleichungen 1. Ordnung,
11.1. Funktionen zweier Veränderlicher die nicht nach y' aufgelöst sind.
und ihre geometrische Darstellung 169 Gleichungen von Lagrange und
11.2. Partielle Ableitungen 1. Ordnung 171 Clairaut ..................... " 194