Aufgabensammlung Analytische Geometrie

82 Pages·2016·6.75 MB·German

by  Walter Isphording

Name: Datum:

Haus - Aufgabenstellung

1. Arbeitsmaterial:

Hinweis: Das Hauptgebäude ist hinter dem Anbau noch weitere 3 Meter lang.

2. Ermittle die Koordinaten folgender Punkte:
A( | | ); B( | | ); C( | | ); D( | | ); E( | | ); F( | | ); G( | | );
H( | | );I( | | ); J( | | ); K( | | ); L( | | ); M( | | ); O( | | );
P( | | ); Q( | | );R( | | );S( | | ).

3. Die Maße in der Zeichnung sind in Meter angegeben.
Erstelle für die Dachflächen E und E jeweils eine Ebenengleichung, zunächst in Parameterform und
1 2
dann in Normalenform.
Kontrollergebnisse: E : 3y+4z =40 E : 2x+3z =6
1 2

4. Berechne den Schnittwinkel von E und E .
1 2

5. Ermittle für das Schornsteinrohr die Koordinaten des Punktes, an dem es die Dachfläche E
1
durchstößt.

6. Ermittle für das Schornsteinrohr den Winkel, den es mit der Ebene E hat.
1

7. Ermittle für das Schornsteinrohr den Abstand, den sein oberer Punkt von der Dachfläche E hat.
1

8. Ermittle die Koordinaten des Punktes N (!).

9. Ermittle die Schnittgerade zwischen E und E .
1 2

10.Ermittle die Fläche des gleichschenkligen Dreiecks ∆FLN.

11.Das Dach soll neu gedeckt werden. Berechne dazu A, die Fläche des Dachs.

12.Alle senkrechten Wände sollen gestrichen werden. Berechne die Fläche dieser senkrechten Wände.

© 2006 Peter Baukloh ; Dr. Martin Lehmann-Greif ; Stefan Thul ; Thomas Unkelbach
Aus: Elemente der Mathematik Grundkurs 12/13 Schroedel Verlag
Name: Datum:

Haus - Lösung

1. Arbeitsmaterial:

Hinweis: Das Hauptgebäude ist hinter dem Anbau noch weitere 3 Meter lang.

2. Ermittle die Koordinaten folgender Punkte:

A(0|8|0);B(0|8|4);C(0|4|7); D(0|0|4);E(−3|8|0);F(−3|8|4);G(−3|11|0);
H(−3|11|4); I(−9|11|0);J(−9|11|4);K(−9|8|0);L(−9|8|4);M(−6|11|6);
O(−12|8|0);P(−12|8|4);Q(−12|4|7);R(−12|0|4);S(−12|0|0).

3. Die Maße in der Zeichnung sind in Meter angegeben.
Erstelle für die Dachflächen E und E jeweils eine Ebenengleichung, zunächst in Parameterform und
1 2
dann in Normalenform.
 0   0  +12  0  +12  0−0   0   0 
r       r          
E : x =+4+λ⋅+4+µ⋅ 0 ; n =+4x 0 = −36−0 =−36=−12⋅+3;
1 1
               
+7 −3 0 −3 0 0−48 −48 +4
               

 0   0   0 
      r
d=+3*+4=12+28=40; E :+3*x =40
1
     
+4 +7 +4
     

 −6 −3  0  −3  0  0+6 6 +2
r       r          
E : x =+11+λ⋅ 0 +µ⋅−3; n = 0 x−3=0−0=0=3⋅ 0 ;
2 2
               
+6 +2 0 +2 0 9−0 9 +3
               

+2  −6 +2
      r
d= 0 *+11=−12+18=6; E : 0 *x =6
1
     
+3 +6 +3
     

Kontrollergebnisse: E : 3y+4z =40 E : 2x+3z =6
1 2
© 2005 Peter Baukloh ; Dr. Martin Lehmann-Greif ; Stefan Thul ; Thomas Unkelbach
Aus: Elemente der Mathematik Grundkurs 12/13 Schroedel Verlag
4. Berechne den Schnittwinkel von E und E .
1 2
12
cos(α)= ≈0,66 also α ≈ 48,27°
25⋅ 13

5. Ermittle für das Schornsteinrohr die Koordinaten des Punktes, an dem es die Dachfläche E
1
durchstößt.

−2  0 
r    
g: x = 6 +ν⋅ 0 
   
0 6,5
   
0 −2  0 
      11
gIE: 3* 6 +ν⋅ 0 =40⇔0+18+0+26⋅ν=40⇔ν=
13
4  0  6,5
     
−2  0  −2
r   11    
x = 6 + ⋅ 0 = 6 
S 13
     
0 6,5 5,5
     
Also: S(−2|6|5,5)

6. Ermittle für das Schornsteinrohr den Winkel, den es mit der Ebene E hat.
1
26
sin(α)= =0,8 also α≈53,13°
42,25⋅ 25

7. Ermittle für das Schornsteinrohr den Abstand, den sein oberer Punkt von der Dachfläche E hat.
1
T(−2|6|6,5)
0 −2 
1      1 4
Abst(T;E1)= 25 ⋅3* 6 −40= 5⋅(44−40)= 5 =0,8
4 6,5 
    

8. Ermittle die Koordinaten des Punktes N (!).

N(−6|y|6)
0 −6
    16
NIE : 3* y =40⇔3y+24=40⇔ y=
1 3
   
4 6
   
( )
N −6|5,3|6

9. Ermittle die Schnittgerade zwischen E und E .
1 2

−3 −3 −3 −6 −3  3  −3  9 
r   r r              
g: x = 8 +λ⋅(xF −xN)= 8 +λ⋅ 8 −5,3 = 8 +λ⋅2,6= 8 +λ⋅ 8 
 4   4   4   6   4  −2  4  −6
               

© 2005 Peter Baukloh ; Dr. Martin Lehmann-Greif ; Stefan Thul ; Thomas Unkelbach
Aus: Elemente der Mathematik Grundkurs 12/13 Schroedel Verlag
10. Ermittle die Fläche des gleichschenkligen Dreiecks ∆FLN.

g⋅h FL⋅h
A= g = g
2 2
h =Abst(N;g(F;L))
g
−3 6
r    
g(F;L): x = 8 +λ⋅0
   
4 0
   
DerLotfußpunktL vonNzug(F;L) hatdieKoordinaten L (−6|8|4).Damitgilt:
g g
−6 −6  0 
r r       64 36 10
h = x −x = 5,3− 8  = −2,6 = + =
g N Lg 9 9 3
     
6 4 2
     
FL =6
10
6⋅
3
A= =10
2
DieFlächebeträgtalso10m2.

11. Das Dach soll neu gedeckt werden. Berechne dazu A, die Fläche des Dachs.

Die Dachfläche A setzt sich zusammen aus A (der Fläche des Rechtecks DCQR), A (der Fläche von
1 2
E vermindert um die Fläche des Dreiecks NFL) und A (der doppelten Fläche des Trapezes FHMN
1 3
(E )).
2
A = DC⋅CQ = 16+9⋅12=60 (nach Pythagoras und 1.)
1
A =60−10=50 (nach 10. und 11.)
2
Die Fläche von E also die Fläche des Trapezes FHMN ergibt sich als Produkt aus der halben Summe
2
der parallelen Gegenseiten und dem Abstand der beiden parallelen Gegenseiten, also:
1 2  26
A3 =2⋅23+53⋅ 9+4 = 3 ⋅ 13 ≈31,25. Also:
26
A=60+50+ ⋅ 13 ≈141,25
3

Die Dachfläche beträgt etwa 141,25m2.

© 2005 Peter Baukloh ; Dr. Martin Lehmann-Greif ; Stefan Thul ; Thomas Unkelbach
Aus: Elemente der Mathematik Grundkurs 12/13 Schroedel Verlag
12. Alle senkrechten Wände sollen gestrichen werden. Berechne die Fläche dieser senkrechten Wände.

Die gesuchte Fläche lässt sich elementar berechnen als Summe entsprechender Rechteckflächen und
Dreiecksflächen.

Doppelte Fläche von 0ABD plus doppelte Fläche von DBC plus doppelte Fläche von S0DR plus
doppelte Fläche von EGHF plus Fläche von HJM.

1  1 
A=2⋅(8⋅4)+2⋅ ⋅8⋅3+2⋅(12⋅4)+2⋅(3⋅4)+ ⋅6⋅2=64+24+96+24+6=214.
2  2 

Die Fläche aller senkrechten Wände beträgt 214m2.

© 2005 Peter Baukloh ; Dr. Martin Lehmann-Greif ; Stefan Thul ; Thomas Unkelbach
Aus: Elemente der Mathematik Grundkurs 12/13 Schroedel Verlag
Lineare Algebra / Analytische Geometrie Grundkurs Zentrale schriftliche Abiturprüfungen im Fach Mathematik
Aufgabe 5 GPS
Eine Person bestimmt ihre Position auf der Erdoberfläche mit Hilfe eines GPS-Gerätes. Dieser Vor-
gang soll in dieser Aufgabe prinzipiell nachvollzogen werden.
Wir machen dazu folgende vereinfachende Annahmen:
(cid:131) Die Erde ist eine ideale Kugel mit einem Umfang von 40 000 km und dem zugehörigen Radius
von R = 6 366 km. Als Längeneinheit wählen wir gerade diesen Erdradius.
x
(cid:131) Weiterhin betrachten wir folgendes erdgebunde- 3
ne Koordinatensystem:
Der Koordinatenursprung ist der Erdmittelpunkt.
Die x -Achse liegt auf der Erdachse und zeigt
3
zum Nordpol. Der Nordpol ist also der Einheits-
punkt auf der x -Achse mit den Koordinaten
3
( 0 | 0 | 1 ).
Die x -Achse geht durch den Schnittpunkt von
1
Äquator und Nullmeridian, dieser Punkt mit den
geographischen Koordinaten 0° Breite und
0° Länge ist der Einheitspunkt auf der x -Achse,
1
hat also die Koordinaten ( 1 | 0 | 0 ) . x1 x2
Der Einheitspunkt auf der x -Achse hat dann 0°
2
Breite und 180° östliche Länge und die Koordinaten ( 0 | 1 | 0 ).
(cid:131) Zu einem genau fixierten Zeitpunkt der Positionsbestimmung empfängt die Person mit ihrem
GPS-Gerät von zwei GPS Satelliten deren genaue Positionen Sat und Sat in dem genannten
1 2
rechtwinkligen Koordinatensystem. Außerdem empfängt der GPS-Empfänger die genaue Uhrzeit
in den Satelliten zum Zeitpunkt der Aussendung der Signale. Aus der Zeitdifferenz der beiden Uh-
ren in den Satelliten und im GPS-Empfänger zum Empfangszeitpunkt kann dieser (mit Hilfe der
Lichtgeschwindigkeit) die Entfernungen d und d von seiner unbekannten Position zu den beiden
1 2
Satelliten berechnen. (Dies ist in Wirklichkeit wegen der Ungenauigkeit der Empfängeruhr kom-
plizierter!).
Nun zur eigentlichen Aufgabe:
Es sei Sat ( 2 | 2 | 3) und d = 3,2 und ebenso Sat ( 3 | 2 | 2) und d = 3,3.
1 1 2 2
a) Beschreiben Sie den prinzipiellen Weg, wie man den Standort der Person aus den gegebenen Da-
ten berechnen kann.
b) Betrachten Sie die Kugel um Sat mit dem Radius d und geben Sie die Gleichung der Kugelober-
1 1
fläche an.
Diese Kugeloberfläche schneidet die Erdoberfläche in einem Schnittkreis. Berechnen Sie eine Ko-
ordinatengleichung der Ebene, in der dieser Schnittkreis liegt.
c) Die gleiche Rechnung wie in b) für die Kugel um Sat mit dem Radius d ergibt die folgende Glei-
2 2
chung für die Schnittkreisebene: E : 600x+400y+400z=711.
2
Bestimmen Sie die Schnittgerade der beiden Ebenen E und E in der Parameterform.
1 2
d) Beschreiben Sie, wie man aus den bisherigen Daten die Koordinaten von zwei Punkten ermitteln
kann, von denen einer der Standort der Person sein muss.
e) Die Person weiß immerhin, dass sie sich in Nordeuropa aufhält. So kann sie aus den berechneten
beiden Punkten den für sie zutreffenden Punkt auswählen: Pos (57,3° | 17,5°).
Bestimmen Sie die Länge des kürzesten Weges auf der Erdoberfläche von Hamburg (53,5° | 10°)
zum Standort Pos der Person.
Zentrale schriftliche Abiturprüfungen im Fach Mathematik Lineare Algebra / Analytische Geometrie Grundkurs-Lösungen
Aufgabe 5 GPS
Zuordnung,
Lösungsskizze
Bewertung
I II III
a) Aus den als bekannt vorausgesetzten Informationen geht hervor, dass sich die
Person gleichzeitig auf der Oberfläche von drei Kugeln befinden muss:
• der Erdkugel
• der Kugel um Sat mit dem Radius d und
1 1
• der Kugel um Sat mit dem Radius d .
2 2
Wenn die Daten realistisch sind, dann müssen sich die Erdoberfläche und jede
der beiden anderen Kugeloberflächen jeweils in einem Kreis schneiden, den man
berechnen kann. Die beiden Schnittkreise schneiden sich dann in zwei Punkten,
die man dann auch berechnen kann und die in der Regel weit voneinander ent-
fernt liegen, so dass man aus der grob ungefähren Kenntnis des Standortes der
Person einen von beiden ausschließen kann. 25
b) Es sei P(x | x | x ) ein variabler Punkt. Die Kugelgleichung lautet dann:
1 2 3
(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)
(p−sat )2 =d2, also (x −2)2 +(x −2)2 +(x −3)2 =3,22.
1 1 1 2 3
Für die Erdoberfläche gilt:
P2 =1, also x2 +x2 +x3 =1.
1 2 3
Subtraktion dieser beiden Gleichungen ergibt:
231
4x +4x +6x −17=− .
1 2 3
25
Durch Multiplikation der Gleichung mit 25 erhält man das genannte Ergebnis:
100x +100x +150x =194.
1 2 3
Es handelt sich um eine Ebenengleichung. Alle gemeinsamen Punkte auf den
beiden Kugeloberflächen müssen diese Gleichung erfüllen (Umkehrung gilt
nicht!), also muss es sich um die Ebene des Schnittkreises handeln. 20
c) Wenn man das unterbestimmte lineare Gleichungssystem
100x +100x +150x =194
1 2 3
600x +400x +400x =711
1 2 3
äquivalent umformt (Gauß-Algorithmus) erhält man z.B.
581 5 13
x = − x x = +x
2 1 3 1
400 2 40
Daraus erhält man folgende Parameterform der Schnittgeraden der beiden
Schnittkreisebenen:
⎛ 0 ⎞
g: (cid:74)p(cid:71)=⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝45108301⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟+x⋅⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝−211,5⎞⎟⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟.
40 20
Lineare Algebra / Analytische Geometrie Grundkurs-Lösungen Zentrale schriftliche Abiturprüfungen im Fach Mathematik
Zuordnung,
Lösungsskizze
Bewertung
I II III
d) Der Standort der Person muss sowohl auf dieser Geraden, als auch auf der Erd-
oberfläche liegen. Das führt auf folgende quadratische Gleichung:
2
⎛⎛ 0 ⎞ ⎞
⎜⎜ ⎟ ⎛ 1 ⎞⎟
⎜⎜581⎟ ⎜ 5⎟⎟
⎜⎜400⎟+x⎜− ⎟⎟ =1.
⎜⎜ ⎟ ⎜ 2⎟⎟
⎜⎜ 13 ⎟ ⎜ 1 ⎟⎟
⎜⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎟
⎝⎝ 40 ⎠ ⎠
Die Gleichung oder ein anderer zutreffender Ansatz kann auch verbal beschrie-
ben werden. 10
e) Mit der Umrechnung (β;λ)→(cos(β)⋅cos(λ)|cos(β)⋅sin(λ)|sin(β))
berechnen wir die Koordinaten von Hamburg
H =(cos53,5°⋅cos10°|cos53,5°⋅sin10°|sin53,5°)

≈(0,58579|0,10329|0,80386)
und der Position Pos
Pos=(cos57,3°⋅cos17,5°|cos57,3°⋅sin17,5°|sin57,3°)

≈(0,51524|0,16245|0,84151).
Sowohl H als auch Pos liegen auf der Erdoberfläche, haben also in dem gewähl-
ten Maßstab den Betrag 1. Mit Hilfe des Skalarproduktes berechnet man den
sphärischen Winkel:
⎛⎛0,58579⎞⎛0,51524⎞⎞
⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎟
(cid:41)HOPos≈cos−1 0,10329 0,16245 ≈cos−1(0,99506)≈5,7°.
⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎟
⎜⎝⎜⎝0,80386⎟⎠⎜⎝0,84151⎟⎠⎟⎠
Für die zugehörige Bogenlänge auf der Erdoberfläche gilt dann:
5,7
b≈ ⋅40000≈633.
360
Die kürzeste Weglänge auf der Erdoberfläche von Hamburg zur Position der
Person beträgt etwa 633 km. 15 10
Insgesamt 100 BWE 20 60 20
Zentrale schriftliche Abiturprüfungen im Fach Mathematik Lineare Algebra / Analytische Geometrie Leistungskurs
Aufgabe 5: GPS
Eine Person bestimmt ihre Position auf der Erdoberfläche mit Hilfe eines GPS-Gerätes. Dieser Vor-
gang soll in dieser Aufgabe prinzipiell nachvollzogen werden.

Wir machen dazu folgende vereinfachende Annahmen:

(cid:131) Die Erde ist eine ideale Kugel mit einem Umfang von 40 000 km und dem zugehörigen Radius
von R = 6 366 km. Als Längeneinheit wählen wir gerade diesen Erdradius.

(cid:131) Weiterhin betrachten wir folgendes erdgebunde- x
3
ne Koordinatensystem:
Der Koordinatenursprung ist der Erdmittelpunkt.
Die x -Achse liegt auf der Erdachse und zeigt
3
nach Norden. Der Nordpol ist also der Einheits-
punkt auf der x -Achse mit den Koordinaten
3
( 0 | 0 | 1 ).
Die x -Achse geht durch den Schnittpunkt von
1
Äquator und Nullmeridian, dieser Punkt mit den
geographischen Koordinaten 0° Breite und
0° Länge ist der Einheitspunkt auf der x -Achse,
1
hat also die Koordinaten ( 1 | 0 | 0 ) . x1 x2
Der Einheitspunkt auf der x -Achse hat dann 0°
2
Breite und 180° östliche Länge und die Koordinaten ( 0 | 1 | 0 ).

(cid:131) Zu einem genau fixierten Zeitpunkt der Positionsbestimmung empfängt die Person mit ihrem
GPS-Gerät von zwei GPS Satelliten deren genaue Positionen Sat und Sat in dem genannten
1 2
rechtwinkligen Koordinatensystem. Außerdem empfängt der GPS-Empfänger die genaue Uhrzeit
in den Satelliten zum Zeitpunkt der Aussendung der Signale. Aus der Zeitdifferenz der beiden Uh-
ren in den Satelliten und im GPS-Empfänger zum Empfangszeitpunkt kann dieser (mit Hilfe der
Lichtgeschwindigkeit) die Entfernungen d und d von seiner unbekannten Position zu den beiden
1 2
Satelliten berechnen. (Dies ist in Wirklichkeit wegen der Ungenauigkeit der Empfängeruhr kom-
plizierter!).

Nun zur eigentlichen Aufgabe:

Es sei Sat = ( 2 | 2 | 3) und d = 3,2 und ebenso Sat = ( 3 | 2 | 2) und d = 3,3.
1 1 2 2

a) Erläutern Sie den prinzipiellen Weg, wie man den Standort der Person aus den gegebenen Daten
berechnen kann.

b) Betrachten Sie die Kugel um Sat mit dem Radius d und stellen Sie die Gleichung der Kugelober-
1 1
fläche auf.
Diese Kugeloberfläche schneidet die Erdoberfläche in einem Schnittkreis. Bestimmen Sie eine
Koordinatengleichung der Ebene, in der dieser Schnittkreis liegt.
(zur Kontrolle: Einen mögliche Antwort ist: E : 100x+100y+150z=194)
1

c) Wenn wir die gleiche Rechnung wie in b) für die Kugel um Sat mit dem Radius d durchführen,
2 2
erhalten wir folgende Gleichung für die Schnittkreisebene: E : 600x+400y+400z=711.
2
Bestimmen Sie die Schnittgerade der beiden Ebenen E und E in der Parameterform.
1 2

d) Bestimmen Sie nun die Koordinaten von zwei Punkten, von denen einer der Standort der Person
sein muss.
Lineare Algebra / Analytische Geometrie Leistungskurs Zentrale schriftliche Abiturprüfungen im Fach Mathematik

e) Die Person weiß immerhin, dass sie sich in Nordeuropa aufhält.
Berechnen Sie die geographischen Koordinaten des Standorts der Person.

Gehen Sie gedanklich von Hamburg aus (53,5° N; 10° O) soweit nach Norden oder Süden, bis Sie
in genau östlicher oder westlicher Richtung den Standort der Person erreichen können, und be-
rechnen sie die Länge dieser beiden Wegstrecken.

f) Berechnen Sie die Länge des kürzesten Weges von Hamburg zum Standort der Person.