Aufgabensammlung Analysis 2, Funktionalanalysis und Differentialgleichungen: mit mehr als 300 gelösten Übungsaufgaben

321 Pages·2017·2.356 MB·German

by  Hans-Jürgen Reinhardt (auth.)

Hans-Jürgen Reinhardt
Aufgabensammlung Analysis 2,
Funktionalanalysis und
Differentialgleichungen
mit mehr als 300 gelösten
Übungsaufgaben
Aufgabensammlung Analysis 2,
Funktionalanalysis und Differentialgleichungen
Hans-Jürgen Reinhardt
Aufgabensammlung
Analysis 2,
Funktionalanalysis und
Differentialgleichungen
mit mehr als 300 gelösten
Übungsaufgaben
Hans-JürgenReinhardt
DepartmentMathematik,
UniversitätSiegen
Siegen,Deutschland
ISBN978-3-662-52953-9 ISBN978-3-662-52954-6(eBook)
DOI10.1007/978-3-662-52954-6
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Vorwort
Die vorliegendeAufgabensammlungentstand während der entsprechenden Vorlesungen
des Autors an der Univ. Siegen in den Jahren 1993 bis 2013. Es sind Aufgaben mit
ausgearbeiteten Lösungenzuallen Themender Analysis 2,d.h.der mehrdimensionalen
Analysis,zurFunktionalanalysissowiezurTheoriegewöhnlicherundpartiellerDifferen-
tialgleichungenzusammengestellt.DieAufgabensindvon1bis186nummeriert.Daaber
dieAufgabenmeistnochunterteiltsind, findensich hier insgesamtca. 315gelösteAuf-
gaben.JedeAufgabehatmitStichworteneineArtÜberschrift.DieseStichwortesindim
Indexzusammengefasst.SomitkannmanzueinemStichwortüberdenIndexzugehörige
Aufgabenfinden.
DieReihenfolgederThemenorientiertsichinetwaamVerlaufentsprechenderVorle-
sung zur Analysis 2 bzw. zur Funktionalanalysis für Studierende der Mathematik, Phy-
sik, Informatik und des gymnasialen Lehramts Mathematik im zweiten Semester bzw.
imHauptstudium.DievomAutorgehaltenenFunktionalanalysis-Vorlesungenwarenan-
gewandt ausgerichtet. Eine Reihe von Aufgaben zur Analysis 2 können auch in einer
Funktionalanalysis gestellt werden und umgekehrt. Im Kapitel zur Funktionalanalysis
sindauchAufgabenzuInversenProblemenenthalten,welcheineinergesondertenVorle-
sungbehandeltwerdenkönnen.DieAufgabenzuDifferentialgleichungensindvomAutor
bei Numerik-Vorlesungen zu den entsprechenden Themen in kompakter Form vorange-
stellt worden, damit die Studierenden auch einen Überblick über die Möglichkeiten der
Bestimmung von exakten analytischen Lösungen gewinnen können; die Beispiele sind
überwiegend der theoretischen Physik aber auch den Wirtschaftwissenschaften entnom-
men.
WennHilfsergebnissefürdieAufgabenverwendetwerden,istdiesmitentsprechenden
Literaturhinweisenangegeben.ZuzahlreichenAufgabensindvorabLösungshinweisege-
geben. Aus einigen Lösungshinweisen könntenauch eigenständigeAufgabenformuliert
werden. Je nach Kenntnisstand der Hörer/Innen können diese weggelassen oder ergänzt
werden. Neben den Literaturhinweisen ist am Ende auch eine Liste mit Symbolen und
Abkürzungenzusammengestellt.DieBezeichnungensindallerdingsnichtimmereinheit-
lich,wasauchinderSymbollisteberücksichtigtist.EsistaberausdemZusammenhang
herausersichtlich,wasjeweilsgemeintist.
V
VI Vorwort
EineZielgruppefürdieseAufgabensammlungkönntenKollegensein,diealsDozenten
ausgearbeiteteBeispielefürihreVorlesungensuchenunddiesevorstellenwollen.Natür-
licheignensichdieausgearbeitetenÜbungsaufgabenauchfürÜbungenundTutorienund
–dieeinfachenAufgaben–auchfürKlausuren.EineweitereZielgruppesindStudierende,
fürdiediehiervorgelegteAufgabensammlungeineQuellefürEigenstudium,fürhäusli-
cheNacharbeitungdesVorlesungsstoffesundinsbesonderefürKlausurvorbereitungenist.
Parallel zu dieser Aufgabensammlung werden noch zwei Aufgabensammlungen von
jeweilsvergleichbaremUmfangerstellt,undzwarzureindimensionalenAnalysis(s.[14])
sowiezurNumerik.BeimehrerenAufgabendieserSammlungwerdenErgebnisseaus[14]
verwendet.DieThematikeinigerAufgabenkönnteauchzueinerNumerik-Vorlesungpas-
sen.
Sicherlich finden sich Aufgaben aus der vorliegenden Sammlung auch in Lehrbü-
chern, im Internet oder in anderen Aufgabensammlungen. Die Standard-Lehrbücher zu
den genannten Gebieten und Beispiele anderer Aufgabensammlungen sind im Litera-
turverzeichnisaufgeführt.DieAufgabendieser Sammlung sind im Laufedes genannten
Zeitraums von 20 Jahren gestellt worden, und vor allem gibt es zu allen Aufgaben aus-
führlicheLösungen–beieinigenAufgabenauchalternativeLösungsvorschläge.
BeiderAuswahl, Zusammenstellung undAusarbeitungund dem TEXen der Übungs-
aufgabensowiederErstellungderGrafikenhabenindengenanntenJahrenmeineMitar-
beiterFrankSeiffarth,MathiasCharton,ReinhardAnsorge,ThorstenRaasch,IvanCherle-
nyak,StefanSchussundTimoDornhöfermitgewirkt,denenichdafürbesondersdankbar
bin.Mein Dankgiltauch–undvorallem –meinenbeidenSekretärinnen,MargotBeier
undKorneliaMielke.SiehabensichumdasTEXenderAufgabenvoneinererstenAufga-
bensammlungimJahre1994biszudieserZusammenstellungverdientgemacht.
Diese Aufgabensammlung ist mehrfach sorgfältig durchgesehen worden. Vermut-
lich gibt es aber kein Skript oder Buch, das völlig fehlerfrei ist. Dies gilt sicher auch
für diese Aufgabensammlung. Falls Sie Fehler finden, lassen Sie es mich bitte wissen
([email protected]).
Siegen,2016 Hans-JürgenReinhardt
Inhaltsverzeichnis
1 Analysismehrdimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 TopologischeundmetrischeRäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Quotientenräume. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3 Abschluss,Inneres,Rand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4 KompakteMengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.5 VollständigenormierteRäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.6 StetigeFunktionenundAbbildungen,SatzvonArzelà-Ascoli . . . . . . . 52
1.7 KurvenimRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
1.8 Differenzierbarkeit:PartielleundtotaleAbleitungen . . . . . . . . . . . . . 91
1.9 GradientenundRichtungsableitungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
1.10 Differentiationsregeln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
1.11 TaylorformelimRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
2 Funktionalanalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
2.1 AbständevonMengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
2.2 Banach-undHilberträume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
2.3 FunktioneninC1Œa;b(cid:2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
2.4 WeitereFunktionenräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
2.5 IntegraleimRn,GaußscherIntegralsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
2.6 Dualräume,lineareFunktionale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
2.7 LineareundadjungierteOperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
2.8 KompakteundabgeschlosseneAbbildungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
2.9 InverseProbleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
2.10 NichtlineareAbbildungen,Fréchet-Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . 252
3 TheoriegewöhnlicherundpartiellerDifferentialgleichungen. . . . . . . . . 261
3.1 AnfangswertaufgabenfürgewöhnlicheDifferentialgleichungen . . . . . . 261
3.2 RandwertaufgabenfürgewöhnlicheDifferentialgleichungen . . . . . . . . 285
3.3 PartielleDifferentialgleichungen:Anfangs-undRandwertprobleme . . . 295
VII
VIII Inhaltsverzeichnis
ListevonSymbolenundAbkürzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
Analysis mehrdimensional 1
1.1 TopologischeundmetrischeRäume
Aufgabe1
I ChaotischeTopologie
SeiX ¤fgeinebeliebigeMenge.ZeigenSie:
a) T WDffg;XgisteineTopologieaufX.
c
b) EshandeltsichumdiegröbsteTopologieaufX.
Hinweise:
(cid:2) DieseTopologiewirdauchchaotischebzw.indiskreteTopologiegenannt.
(cid:2) EineTopologieT heißtfeineralsT (undT gröberalsT ),wennT (cid:3)T .
1 2 2 1 2 1
(cid:2) Zum Nachweis einer Topologie müssen die folgenden Bedingungen gezeigt werden
(vgl.z.B.Werner[20],B.2):
1. fg;X 2T.
2. DerDurchschnittendlichervielerMengenausT liegtinT.
3. DieVereinigungbeliebigervielerMengenausT liegtinT.
DieMengeT kennzeichnetdieMengeoffenerMengeninderToplogie.
Lösung
a) 1. NachDefinitionderTopologieT giltbereitsfg;X 2T .
c c
2. OffensichtlichgiltfürallemöglichenKombinationenvonSchnittmengen
X \X DX; X \fgDfg\X Dfg\fgDfg2T :
c
©Springer-VerlagGmbHDeutschland2017 1
H.-J.Reinhardt,AufgabensammlungAnalysis2,Funktionalanalysisund
Differentialgleichungen,DOI10.1007/978-3-662-52954-6_1
2 1 Analysismehrdimensional
S
3. SeinunV WD X ; X 2T füreinebeliebigeIndexmengeI.NachDefiniti-
i i c
i2I
onvonT hatmanentwederX D X oderX D fg.IsteinX D X,danngilt
c i i i
V DX 2T .SindalleX Dfg,dannistV Dfg2T .
c i c
SomitsindalledreiEigenschaftenfüreineTopologieerfüllt.
b) Esistzuzeigen,dassT (cid:3) T fürjedebeliebigeTopologieT aufX gilt.Seinun
c
T beliebig. Nach Definition der Topologie gilt fg;X 2 T, also auch ffg;Xg DW
T (cid:3)T.
c
Aufgabe2
I FranzösischeEisenbahnmetrik
a) Seid .(cid:4);(cid:4)/dieeuklidischeMetrikinR2.ZeigenSie,dassaufR2durch
2
( )
d .x;y/; 9t 2RWy Dtx
d WR2(cid:5)R2 !R; d.x;y/D 2
d .x;0/Cd .0;y/; sonst
2 2
eineMetrikdefiniertwird(französischeEisenbahnmetrik).
b) BestimmenSiefürx 2R2und">0die"-Umgebung
U .x/WDfy 2R2jd.x;y/<"g.
"
Lösung
a) 1) Definitheit: Esistd.x;y/ D 0 , x D y imFally D tx.Andernfalls(d.h.
y ¤ tx 8t) sei d .x;0/ C d .0;y/ D 0, d.h. x D y D 0. Dies steht im
2 2
Widerspruch zur Definition von d und dem betrachteten Fall, der damit nicht
vorkommenkann.Alsogiltd.x;y/D0 , x Dy.
2) Symmetrie:
DieSymmetrieergibtsichdirektausderSymmetrievond .(cid:4);(cid:4)/:
2
( )
d .x;y/; 9t 2RWy Dtx
d.x;y/D 2
d .x;0/Cd .0;y/; sonst
( 2 2 )
d .y;x/; 9t 2RWy Dtx
D 2 Dd.y;x/:
d .y;0/Cd .0;x/; sonst
2 2
3) Dreiecksungleichung:
UnterZuhilfenahmederDreiecksungleichungvond .(cid:4);(cid:4)/erhältman:
2
Fall1: xundy liegenaufeinerGeradendurchdenUrsprung:
Fall1.1: zliegtauchaufdieserGeraden:
d.x;y/Dd .x;y/(cid:6)d .x;z/Cd .z;y/Dd.x;z/Cd.z;y/I
2 2 2