Auditorium. 2014

96 Pages·6.454 MB·Russian

by  коллектив авторов

УДК 517.986

О НЕКОТОРЫХ СЛАБЫХ ТОПОЛОГИЯХ В АЛГЕБРЕ ОПЕРАТОРОВ,
ДЕЙСТВУЮЩИХ В ГИЛЬБЕРТОВОЙ ПАРЕ

© 2014 М. В. Кабанко

канд. физ.-мат. наук, доцент
каф. математического анализа и прикладной математики
e-mail: [email protected]

Курский государственный университет.

В работе рассмотрены слабые топологии, возникающие при рассмотрении алгебры
операторов, действующих в гильбертовой паре. Основной результат работы состоит в том,
что все естественные слабые топологии, возникающие в этой алгебре операторов, совпадают
на единичном шаре.
Ключевые слова: гильбертова пара, операторные алгебры.

X {X , X }
Определение 1. Совместной банаховой парой называют два
0 1
банаховых пространства X ,X , линейно и непрерывно вложенных в топологическое
0 1
пространство A.
Обозначим |||| нормы в пространствах X ,X , i=0.1 соответственно.
X 0 1
i
Пересечением пространств X ,X называется пространство
0 1
X  X {x| xX i  0,1}.
0 1 i
Сумой пространств X ,X называется пространство
0 1
X  X {x  x  x | x X ,i  0,1}.
0 1 0 1 i i
На этих пространствах нормы можно задать следующим образом:
|| x||  max(|| x|| ,|| x|| ),
X X X X
0 1 0 1
|| x||  inf (|| x || || x || )
X0X1 xx x 0 X0 1 X1
0 1

Определение 2. Будем говорить, что линейный оператор T действует в
X {X , X } T : X  X
банаховой паре , и обозначать , если оператор T
0 1
непрерывно отображает пространство X  X в X  X и непрерывно отображает
0 1 0 1
X , (k  0,1)
пространства в себя.
k
X {X , X }
Для любой банаховой пары можно рассмотреть прямую
0 1
сумму пространств X  X . Если на ней ввести норму
0 1
||(x ,x )||  max(|| x || ,|| x || ),
0 1 X X 0 X 1 X
0 1 0 1

то пересечение пространств изометрично подпространству
N {(x ,x )X  X | x  x,x  x,xX  X }.
0 1 0 1 0 1 0 1
ФФИИЗЗИИККОО--ММААТТЕЕММААТТИИЧЧЕЕССККИИЕЕ ННААУУККИИ
Если же на прямой сумме ввести норму
||(x ,x )|| || x || || x || ,
0 1 X X 0 X 1 X
0 1 0 1
то сумма пространств X  X становится изоморфна изометрична
0 1
факторпространству (X  X )/ N [Берг, Лѐфстрѐм 1980: 49; Дмитриев, Крейн,
0 1
Овчинников 1977: 31–47].
В дальнейшем будем рассматривать HH {{HH ,,HH }} – гильбертову пару. Тогда
00 11
на прямой сумме H  H естественно вводится гильбертова норма
0 1
||(x ,x )||2 || x ||2 || x ||2 ,
H H H H
0 1 0 1 0 0 1 1
которая эквивалентна рассмотренным выше нормам.
Ранее было доказано (см. [Кабанко 2001: 54–61; 2004: 26.]), что алгебра
операторов BBBBB(((((HHHHH))))), действующих в гильбертовой паре ,
изометрически изоморфна подалгебре операторов, действующих в гильбертовом
пространстве H  H , оставляющих инвариантными подпространства H 0,
0 1 0
0 H и N . Более того, она представима как слабо замкнутая подалгебра с
1
единицей в алгебре B(H  H ).
0 1
Самой естественной слабой топологией на алгебре является слабая
топология, порожденная функционалами (Ax , y ) и (Ax , y ) , где
0 0 H 1 1 H
0 1
x , y H и x , y H , то есть слабая топология, являющаяся пересечением
0 0 0 1 1 1

слабых операторных топологий в пространствах гильбертовой пары. Назовем ее -
слабой топологией.
С другой стороны, не менее естественной является слабая топология,
которая порождается представлением алгебры в виде слабо замкнутой
подалгебры операторов в алгебре B(H  H ). Оказывается, что эти две слабые
0 1
топологии совпадают.
Теорема 1. Множество функционалов, слабо непрерывных на образе алгебры
в алгебре B(H  H ) при представлении  в виде слабо замкнутой
0 1
подалгебры, совпадает со множеством функционалов, непрерывных в -слабой
топологии.
Доказательство. В дальнейшем будем обозначать через ab оператор,
действующий в пространстве H по правилу, для любого xH ,
(ab)(x) b(x)a. Множество функционалов, слабо непрерывных на образе
алгебры в алгебре B(H  H ) при представлении
0 1

имеет вид
m
(x(n)  x(n))(y(n)  y(n)).
0 1 0 1
n1
Поэтому для доказательства теоремы достаточно исследовать функционал
(x x )(y  y ).
0 1 0 1
AAuuddiittoorriiuumm:: ээллееккттрроонннныыйй ннааууччнныыйй жжууррннаалл ККууррссккооггоо ггооссууддааррссттввееннннооггоо ууннииввееррссииттееттаа.. 22001144.. №№ 33
ККааббааннккоо ММ.. ВВ.. ОО ннееккооттооррыыхх ссллааббыыхх ттооппооллооггиияяхх вв ааллггееббррее ооппееррааттоорроовв,,
ддееййссттввууюющщиихх вв ггииллььббееррттооввоойй ппааррее
Этот функционал интересует нас только на подалгебре операторов, оставляющих
инвариантными подпространства H 0, 0 H и N . Тогда на этой подалгебре
0 1
справедливо равенство
(x x )(y  y )  (x 0)(y 0)(0x )(0 y ).
0 1 0 1 0 0 1 1
В самом деле, в выражении
(x x )(y  y )  (x 0)(y 0)(0x )(0 y )
0 1 0 1 0 0 1 1
(x 0)(0 y )(0x )(y 0)
0 1 1 0
Два последних слагаемых на рассматриваемой подалгебре обращаются в нуль, потому
что
 A 0  0 
(x 0) 0    0,
0  0 A  y 
1 1
 A 0  y 
(0 x ) 0  0   0.
1  0 A  0 
1
Таким образом, функционал (x x )(y  y ) на операторах вида
0 1 0 1
T | 0 
 H 
 0 
0 T |
 
H
1
равен
T | 0  y  T | 0  0 
(x 0) H0  0 (0 x ) H0   
0  0 T |  0  1  0 T |  y 
H1 H1 1
(Tx , y ) (Tx , y ) .
0 0 H 1 1 H
0 1

Таким образом, доказано, что любой -слабо непрерывный функционал, то есть
функционал вида
(Tx ,y ) (Tx ,y ) ,
0 0 H 1 1 H
0 1
задает слабо непрерывный функционал на рассматриваемой подалгебре. Так как
множество слабо непрерывных функционалов в обеих топологиях совпадает, то обе
слабые топологии совпадают. Теорема доказана.
Из этой теоремы вытекает полнота алгебры BBB(((HHH))) в -слабой топологии.
Очевидно, что на можно ввести и другие слабые топологии с помощью
функционалов x f , где xE, f F. Пространство E – промежуточное
пространство между пространствами гильбертовой пары, а F – промежуточное
пространство между H и H . При этом необходимо, чтобы функционал f (Tx) был
0 1
определен для всех xE, f F. Например, если E – интерполяционное
пространство, то в качестве пространства F можно взять E. Самой слабой среди
таких топологий является топология, когда xX  X , f X  X. По этой
0 1 0 1
причине эту топологию на алгебре будем называть минимальной.
ФФИИЗЗИИККОО--ММААТТЕЕММААТТИИЧЧЕЕССККИИЕЕ ННААУУККИИ

Рассмотренная выше -слабая топология не попадает в число введенных

топологий, но минимальная топология все равно слабее, чем -слабая топология.
Несмотря на различия перечисленных выше топологий, все они совпадают на
единичном шаре в алгебре B(H).
Теорема 1. Для регулярной гильбертовой пары H {H ,H } -слабая
0 1
топология и все вышеперечисленные слабые топологии совпадают на единичном шаре
в B(H).
Доказательство. Это утверждение является прямым следствием того, что
единичный шар является компактным в любой из вышеперечисленных топологий. Для
этого достаточно доказать, что единичный шар компактен в минимальной топологии.
Для простоты проведем рассуждения лишь в случае сепарабельного пространства. В
этом случае для проверки компактности достаточно доказать, что из любой
последовательности AA , из единичного шара, можно выделить подпоследовательность,
nn
сходящуюся к элементу из единичного шара.
Если A – последовательность из единичного шара, то она принадлежит
n
единичному шару пространства B(H H  H  H ). Так как пространства
0 1 0 1
суммы и пересечения – гильбертовы пространства, то этот шар компактен в
минимальной топологии, и из последовательности можно выделить
подпоследовательность A , сходящуюся к оператору A, принадлежащему
n
k
единичному шару пространства B(H H  H  H ). Покажем, что оператор
0 1 0 1
A может быть доопределен на сумме так, что A принадлежит единичному шару
алгебры B(H).
По условию || A || 1 и f (A e) стремится к f (Ae), где
n H H n
0 0 k
eH H , f H H. Возьмем || f || 1 и ||e|| 1, тогда
0 1 0 1 H H
0 0
| f (A e)| 1. Поэтому | f (Ae)| 1 для всех eH H , f H H.,
n 0 1 0 1
k
таких, что || f || 1 и ||e|| 1. В силу регулярности гильбертовой пары отсюда
H H
0 0
следует, что неравенство | f (Ae)| 1 верно для всех eH , f H. Таким
0 0
образом, || A|| 1. Аналогично можно показать, что предельный оператор A
H H
0 0
принадлежит единичному шару в алгебре B(H ). Таким образом, A принадлежит
1
пересечению единичных шаров. Теорема доказана.

Библиографический список

Берг Й., Лёфстрём Й. Интерполяционные пространства. Введение. М.: Мир
1980. С. 37.
Дмитриев В.И., Крейн С.Г., Овчинников В.И. Основы теории интерполяции
линейных операторов // Геометрия линейных пространств и теория операторов.
Ярославль: Изд-во ЯрГУ, 1977. С. 31–74.
AAuuddiittoorriiuumm:: ээллееккттрроонннныыйй ннааууччнныыйй жжууррннаалл ККууррссккооггоо ггооссууддааррссттввееннннооггоо ууннииввееррссииттееттаа.. 22001144.. №№ 33
ККааббааннккоо ММ.. ВВ.. ОО ннееккооттооррыыхх ссллааббыыхх ттооппооллооггиияяхх вв ааллггееббррее ооппееррааттоорроовв,,
ддееййссттввууюющщиихх вв ггииллььббееррттооввоойй ппааррее
Кабанко М.В. Алгебра операторов, действующих в гильбертовой паре // Труды
математического факультета ВГУ. №6. Воронеж: Изд-во ВГУ, 2001. С. 56.
Кабанко М.В. Алгебры операторов, связанные с интерполяционными
пространствами: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Воронеж, 2004. 97 с.
УДК 541.18.05/.052:547.67

ИССЛЕДОВАНИЕ СТЕРИНОВ СЛИВОЧНОГО МАСЛА И СПРЕДА
МЕТОДОМ ХРОМАТО-МАСС-СПЕКТРОМЕТРИИ

© 2014 А. В. Карташева1, С. А. Ефанов2 , Е. В. Грехнева3, И. Б. Кометиани4

1 магистрант каф. химии
e-mail: [email protected]
Курский государственный университет

2 начальник экспертно-исследовательского отдела №1
e-mail: [email protected]
филиал ЭКС ЦЭКТУ

3 канд. хим. наук, доцент каф. химии
e-mail: [email protected]
4 канд. биол. наук, зав.каф. химии
e-mail: [email protected]

Курский государственный университет

Приведен анализ литературных источников, составлена обобщенная схема,
позволяющая наглядно представить примеры пробоподготовки, используемой для анализа
стеринов методом газовой хроматографии. Сопоставлены два способа пробоподготовки и
возможность их использования для анализа смеси жиров. Методом хромато-масс-
спектрометрии в составе сливочного масла идентифицированы: холестерин, 7-
дегидрохолестерин, ланостерин; в составе спреда обнаружены: холестерин, β-ситостерин,
кампастерин, стигмастерин.
Ключевые слова: омыление, стерины, холестерин, 7-дегидрохолестерин,
ланостерин, β-ситостерин, кампастерин, стигмастерин, хромато-масс-спектрометрия.

Введение
Исследования стеринов в биологических объектах методом газовой
хроматографии довольно широко представлены в литературе и, как правило,
отличаются длительной пробоподготовкой. Наиболее сложной задачей представляется
выделение и очистка стеринов из природных жиров и масел по причине их
относительно невысокого содержания. Анализ литературных данных позволяет
составить схему, отражающую основные этапы и пути проведения подобных
исследований.
Использование конкретного алгоритма во многом зависит от материально-
технической базы, поставленных задач, желаемой количественной точности и пр.
Наиболее важным этапом во всей этой схеме является отделение стеринов от
основной матрицы, главным образом представленной триглициридами жирных кислот.
Классическим вариантом подготовки образца жира для исследования является
омыление со спиртовым раствором щелочи [ГОСТ Р 51471-99; Чмиленко и др. 2009;
Зиновьев 1952], в результате чего появляется возможность отделить неомыляемые
вещества жира (стерины, высокомолекулярные спирты, углеводороды и пр.). В
последнее время часто предпринимаются попытки упростить данный метод
посредством использования твердофазной экстракции, позволяющей сэкономить время
и реактивы [MV Russo 2005], а в ряде случаев используется даже прямое введение
раствора жира (или после его встряхивания с раствором щелочи) в хроматограф
[Alonso 1995: 11]. Последующие этапы используются для отделения фракции стеринов
от других неомыляемых веществ [Toivo 1998].
ХХИИММИИЧЧЕЕССККИИЕЕ ННААУУККИИ

Жир или раствор
жира в
подходящем
растворителе
Твердофазная Омыление со Добавление
экстракция спиртовым внутреннего стандарта
раствором щелочи (α-холестан, бетулин)
Экстракция Получение
дигитонидов
стеринов
Очистка методом
тонкослойной
хроматографии
Последовательное
встряхивание с
концентрированным
раствором щелочи и
водой
Получение
триметилсилильных
производных
ГХ анализ

Получение триметилсилильных производных не является обязательным в случае
качественного анализа, в то время как при количественном анализе это позволяет
получить более правильные пики [Герег 1985].
Выбранный алгоритм для идентификации растительных стеринов в спредах
должен обладать простотой и доступностью, но в то же время быть достаточно
чувствительным. Для реализации этой задачи было решено использовать классическую
пробоподготовку (омыление со щелочью) и ускоренную (встряхивание со щелочью) с
последующим анализом методом капиллярной газовой хроматографии с масс-
детектированием без получения триметилсилильных производных.

Экспериментальная часть
В качестве образцов для анализа с применением омыления были взяты
растительно-сливочный спред с содержанием молочного жира 20,0% (образец №1),
растительно-сливочный спред с содержанием молочного жира 19,5% (образец №2) и
сливочное масло с содержанием жира 72,5% (образец №3), жирнокислотный состав
которого не противоречил требованиям действующего стандарта [ГОСТ Р 52253-2004].
AAuuddiittoorriiuumm::

 ээллееккттрроонннныыйй ннааууччнныыйй жжууррннаалл ККууррссккооггоо ггооссууддааррссттввееннннооггоо
ууннииввееррссииттееттаа.. 22001144.. №№ 33
ККааррттаашшеевваа АА.. ВВ..,, ЕЕффаанноовв СС.. АА..,, ГГррееххннеевваа ЕЕ.. ВВ..,, ККооммееттииааннии ИИ.. ББ..
ИИссссллееддооввааннииее ссттеерриинноовв ссллииввооччннооггоо ммаассллаа ии ссппррееддаа ммееттооддоомм ххррооммааттоо--ммаасссс--
ссппееккттррооммееттррииии

Извлечение неомыляемых веществ проводили при помощи щелочного гидролиза
с использованием спиртового раствора гидроксида калия с концентрацией 1 моль/л.
Для анализа брали навеску массой около 10 г. Получение достоверных результатов при
отсутствии возможности сделать жирнокислотный состав или в случае его
сомнительных результатов напрямую зависит от массы навески, взятой для анализа.
Соответственно для анализа в этих случаях рекомендуется брать навеску образца
массой 50 г [ГОСТ Р 51471-99].
В колбу для кипячения с навеской вносят «кипелки», 50 мл раствора щелочи и
кипятят с обратным холодильником 1 час, охлаждают, добавляют 100 см3
дистиллированной воды и экстрагируют в делительной воронке неомыляемые вещества
гексаном (трижды по 50 см3). Гексановый экстракт упаривают до 1 мл и вводят в
газовый хроматограф Agilent 6850 c масс-селективным детектором Agilent 5975С в
следующем режиме: колонка – кварцевая капиллярная НР – 5MS; начальная
температура колонки 100 0С, подъем до 280 0С со скоростью 15 град/мин; выдержка
40 мин.; температура интерфейса – 290 0С; температура инжектора 290 0С; газ носитель
– гелий; расход газа через колонку 1,0 мл/мин. Экстракт вводили в хроматограф в
количестве 2 мкл с делением потока 1:20. Запись хроматограммы и регистрацию масс-
спектров проводили в режиме по полному ионному току в диапазоне масс 50 – 450
атомных единиц.
Для исследования без омыления образец № 1 массой 0,3 г помещали в пробирку
с пришлифованной пробкой. После полного растворения навески продукта в пробирку
добавляли 5 мл спиртового раствора щелочи (2 н), встряхивали в течение 1 мин. Затем
в пробирку добавляли 5 мл дистиллированной воды, встряхивали 10 сек. После
разделения слоев верхний гексановый слой использовали для анализа. Хромато-масс-
спектрометрическое исследование образца без предварительного омыления проводили
в условиях, описанных выше, но с отсрочкой включения масс-детектора на 15 мин.

Обсуждение результатов
Исследование образца №1 показало, что последовательное встряхивание
раствора жира в гексане со спиртовым раствором щелочи и водой позволит
идентифицировать холестерин и ситостерин в смеси жиров. Однако, с учетом того что
массовая доля молочного жира в образце № 1 составляет лишь 20%, достоверно
идентифицировать ситостерин при более высоком содержании молочного жира путем
пробоподготовки без омыления будет невозможно. Кроме того, использование таким
образом подготовленной пробы отрицательно сказывается на работе хроматографа –
малолетучие и тяжелые триглицериды не переводятся в легкие эфиры жирных кислот и
оседают на частях прибора, требуя дополнительных мер его очистки.
Намного лучше оказались результаты после омыления проб даже без
использования дополнительной очистки.
Исследование неомыляемых веществ методом хромато-масс-спектрометрии
позволило выявить в составе образцов № 1 и 2 наряду с наличием холестерина (время
выхода ≈ 19,2 мин.), характерного для молочного жира, также присутствие
кампастерина (время выхода ≈ 21,4 мин.), стигмастерина (время выхода ≈ 22,1 мин.), β-
ситостерина (время выхода ≈ 23,5 мин.), характерных для растительных жиров (рис. 2,
3). β-ситостерин, кампастерин и стигмастерин являются типичными представителями
растительных стеринов [Тютюнников 1992]. В наибольшем количестве в растительных
маслах встречается β-ситостерин.
Исследование неомыляемых веществ образца № 3 наряду с наличием
холестерина позволило выявить ланостерин (время выхода ≈ 24 мин.) и 7-
ХХИИММИИЧЧЕЕССККИИЕЕ ННААУУККИИ

дегидрохолестерин (время выхода ≈ 20,1 мин.) (рис. 4). 7-дегидрохолестерин и
ланостерин [Твердохлеб, Раманаускас 2006] являются составными звеньями цепочки по
биосинтезу и дальнейшему преобразованию холестерина. Ланостерин является
предшественником холестерина у животных (у растений циклоартенол), а 7-
дегидрохолестерин при УФ облучении холестерина преобразуется в витамин D3 [П. де
Майо 1963].

Рис. 1. Хроматограмма образца № 1(без омыления)

Рис. 2. Хроматограмма образца № 1

AAuuddiittoorriiuumm::

 ээллееккттрроонннныыйй ннааууччнныыйй жжууррннаалл ККууррссккооггоо ггооссууддааррссттввееннннооггоо
ууннииввееррссииттееттаа.. 22001144.. №№ 33