atelier differenciation algebre

18 Pages·2007·0.77 MB·French

Atelier différenciation : activité numérique
Animation : Marie-José Houssin, Christelle Serra, Pol Le Gall, académie de Créteil

Dans cet atelier, nous avons travaillé sur un exercice, choisi pour son intérêt et aussi pour ses
possibilités d'aménagements. (manuel de cinquième actuellement en cours, édition Magnard).
Le déroulement prévu pour l'atelier était le suivant :
- Phase 1, analyse de l'exercice
Travail par groupes, à l'aide de la grille proposée dans l'annexe 3, puis mise en commun à
partir des transparents écrits par chaque groupe.
- Phase 2, présentation de productions d'élèves pour deux versions aménagées de cet exercice,
dont une avec utilisation du tableur. (pour des raisons de temps, bien que tous les niveaux du
collège aient effectivement été concernés, nous nous sommes surtout attachés à la
présentation d' une version sans tableur en sixième (avec les annexes 1 et 4) et une version
avec tableur dans une autre sixième et en quatrième (avec les annexes 1 et 2).)
- phase 3 retour sur les compétences et la différentiation
Un nouveau travail par groupes était prévu, pour approfondissement et ouverture, mais ce
travail ayant été déjà bien amorcé dans la mise en commun de la phase 1 et les échanges
provoqués pars la phase 2, nous avons décidé de consacrer le peu de temps restant à la
poursuite des échanges en grand groupe.
Phase 1 : analyse de l’exercice
Présentation
Soit une suite de Fibonacci de premiers termes u et u , avec la relation de récurrence
1 2
u =u +u , la somme des 6 premiers termes est égale à 4 fois le cinquième terme.
n+2 n+1 n
Cette propriété est exploitée dans l’énoncé ci-dessous, extrait du manuel de cinquième des
éditions Magnard :

Interacadémiques 2006 1
Consignes de travail en groupe :
• Analyser cet énoncé du point de vue :
o Des connaissances, capacités, attitudes requises,
o Des difficultés prévisibles chez un élève (on pourra discuter suivant le niveau
de classe).
• Proposer un aménagement de l’énoncé afin de le proposer à une classe, dont on
précisera le niveau.
Mise en commun – débats
Suite au travail en groupes, la mise en commun a permis de dresser la liste de compétences
suivante. Les critiques concernant l’énoncé ont été nombreuses, les propositions allant
généralement dans le sens d’une plus grande ouverture. Plusieurs groupes ont envisagé un
recours au tableur dans la phase d’exploration.
Enfin la plupart des groupes ont considéré que cet exercice avait plutôt sa place en fin de
collège, quatrième ou troisième, car la compétence requise en calcul littéral est d’un niveau
jugé élevé, voire trop élevé.
Les compétences en jeu dans l’exercice
Connaissances
- Les quatre opérations et leur sens
- Les techniques élémentaires de calcul mental
- Les éléments du calcul littéral simple (expressions du premier degré à une variable) 1

Capacités
L’élève doit être capable …
Pilier 1 :
- de comprendre un énoncé, une consigne.
Pilier 3 :
A-Mathématiques
- de raisonner logiquement, de pratiquer la déduction, de démontrer ;
- de communiquer, à l'écrit comme à l'oral, en utilisant un langage mathématique
adapté ;
- d’analyser une situation en posant les données puis en émettant des hypothèses,
s'engager dans un raisonnement ou un calcul en vue de sa résolution, et, pour cela :
o de savoir quand et comment utiliser les opérations élémentaires
- d'effectuer :
o à la main, un calcul isolé sur des nombres en écriture décimale de taille
raisonnable (addition, soustraction, multiplication, division) ;
- d’effectuer mentalement un calcul simple.
B-Culture scientifique et technologique
- de pratiquer une démarche scientifique :
o savoir observer, questionner, formuler une hypothèse et la valider, argumenter,
modéliser de façon élémentaire ;
- de manipuler et d'expérimenter en éprouvant la résistance du réel :

1 Cette compétence a été l’objet de débat. Si on considère la dernière question de l’énoncé initial, on attend de
l’élève qu’il manipule des expressions littérales mobilisant deux variables. On est alors au-delà des compétences
du socle. Si, en revanche, on considère que les manipulations effectuées par les élèves de sixième (voir plus loin)
à partir de dénombrements de lettres identiques, on peut penser que l’exercice peut constituer une bonne
situation préparatoire à la découverte du calcul littéral.
Interacadémiques 2006 2
o participer à la conception d'un protocole et le mettre en œuvre en utilisant les
outils appropriés, y compris informatiques ;
- d'exprimer et d'exploiter les résultats d'une mesure ou d'une recherche et pour cela :
o utiliser les langages scientifiques à l'écrit et à l'oral ;
- de mobiliser ses connaissances en situation
Pilier 4 : TICE 2
Créer, produire, traiter, exploiter des données
Pilier 6 : les compétences sociales et civiques
- de communiquer et de travailler en équipe, ce qui suppose savoir écouter, faire valoir
son point de vue, négocier, rechercher un consensus, accomplir sa tâche selon les
règles établies en groupe ;
- Les élèves devront être capables de jugement et d'esprit critique, ce qui suppose :
o savoir distinguer un argument rationnel d'un argument d'autorité ;
Pilier 7 : autonomie et initiative
- de savoir respecter des consignes ;
- d’être capable de raisonner avec logique et rigueur et donc de savoir :
o identifier un problème et mettre au point une démarche de résolution ;
o rechercher l'information utile, l'analyser, la trier, la hiérarchiser, l'organiser, la
synthétiser ;
o identifier, expliquer, rectifier une erreur ;
o distinguer ce dont on est sûr de ce qu'il faut prouver ;
- de mettre à l'essai plusieurs pistes de solution.

Attitudes
Pilier 1 :
- la volonté de justesse dans l'expression écrite et orale, du goût pour l'enrichissement
du vocabulaire ;
Pilier 3 :
A-Mathématiques
- Raisonnement fondé sur des arguments dont la validité est à prouver.
B-Culture scientifique et technologique
- Sens de l’observation
Difficultés prévisibles
- compréhension de l’énoncé : vocabulaire des opérations et de l’ordre, formulations
peu claires3
- compréhension de l’algorithme de calcul
- erreurs de calcul
- difficulté pour appréhender l’égalité d’une somme et d’un produit
- difficultés liées à la découverte du tableur si c’est le premier contact avec cet outil
- erreurs de manipulation du tableur (références relatives)
- erreurs dans la traduction en calcul littéral : n, t, n+t, n+2t…
- erreurs de calcul algébrique
- l’élève ne voit pas la nécessité du calcul algébrique, il se limite à des exemples
- si utilisation d’un tableau : confusion avec la proportionnalité
- l’énoncé annonce que « l’égalité est toujours vraie », comment convaincre ensuite de
la nécessité de le prouver ?

2 si utilisation du tableur
3 « deux autres nombres de départ » : et puis ?.. « constitue la liste avec la même règle » : laquelle ?
Interacadémiques 2006 3
- le passage de l’égalité obtenue : 108=108 à la conjecture « la somme des termes est
égale à quatre fois… »
Aménagements de l’énoncé – modalités d’organisation
- transformer l’énoncé afin d’intégrer le tableur.
- faire découvrir la règle à partir de quelques exemples.
- en quatrième : proposer d’abord un travail individuel, faire énoncer la conjecture lors
de la mise en commun puis preuve en classe, élaborée en commun sous la conduite de
l’enseignant.
- en troisième : devoir à la maison avec une rédaction plus ouverte.
- scénario de travail en groupes (jeu du furet) pour rentrer dans le problème : les élèves
jouent le rôle des différents termes de la suite suivant la règle donnée.
Pistes de différenciation
- utilisation du tableur
- problème plus ouvert
- contourner la difficulté de traduction en expression littérale en utilisant des symboles :
carrés et triangles, par exemple, afin de déplacer le problème de comparaison
d’expressions algébriques en problème de dénombrement.
- découper l’exercice en quatre niveaux de compétences : réussir les calculs et vérifier
l’égalité sur les exemples, énoncer la conjecture dans sa généralité, comprendre la
nécessité de la preuve, réussir à prouver.
- travailler isolément la difficulté de traduction de la formule (« montrer que le
troisième nombre est n+t, le quatrième n+2t… »
- limiter à une seule variable en imposant une condition (n=t ou n=2t…)
Interacadémiques 2006 4
Phase 2 : compte-rendu des expérimentations
L’exercice a été proposé à tous les niveaux de classe du collège. Deux énoncés ont été
employés, exploitant ou non le tableur (annexes 1 et 2).

Dans une sixième, le scénario employé a été le suivant :
- Travail individuel à partir de la fiche d’activité distribuée (Annexe 1).
- Le professeur ramasse les fiches, constitue des groupes de trois élèves à partir des
réponses recueillies et propose des consignes de travail en groupe adaptées à chaque
groupe (voir annexe 4). 4
- Travail en groupes. Le professeur recueille les productions.
- Synthèse en classe.

Les sixièmes et le « calcul littéral »
Considérons la production suivante (production du groupe qui était le plus en difficulté à la
fin de la première séance de travail individuel.) :

Les élèves complètent le tableau à partir de A et B, ils obtiennent les cases suivantes en
« ajoutant » les expressions en les mettant bout à bout, sans utiliser de connaissances sur le
calcul algébrique. Ils n’écrivent pas A+2B mais A+B+B. On constate simplement une entorse
au principe de concaténation dans le troisième calcul pour lequel l’ordre des A et des B dans
les termes précédents n’est pas respecté.
Le groupe procède de la même façon pour la somme :

Les élèves poursuivent en comparant le cinquième terme pris quatre fois à la somme.

On ne sait pas vraiment comment ils procèdent pour effectuer cette comparaison mais on peut
supposer qu’ils utilisent une distributivité « naturelle » pour le produit : 4 fois un paquet de A

4 On a ainsi une différenciation prévue dans la structure même de l’activité. Suivant les groupes le
questionnement proposé vise à favoriser la complémentarité des approches (groupes 1, 3 et 4), à proposer une
méthode pour y voir plus clair (groupes 5 et 6), à faciliter la généralisation (groupe 2).
Interacadémiques 2006 5
et B et A… c’est 4 fois A et 4 fois B et encore 4 fois A… Puis ils constatent qu’il y a bien, au
bout du compte, autant de A et de B de chaque côté.
On ne peut pas vraiment parler de procédure de calcul littéral, les élèves effectuent un
dénombrement, voire une comparaison terme à terme de deux collections comprenant des A
et des B. Il y a cependant une utilisation, sans doute inconsciente, de la distributivité.
Le groupe a toutefois la sensation d’avoir effectué un calcul littéral, si on en croit sa
conclusion triomphale :

Un autre groupe adopte une procédure analogue :

La multiplication par 4 est convertie en addition itérée de quatre termes puis les élèves
comparent les deux expressions. La conclusion « j’ai barré autant de A et de B » est sans
doute à comprendre avec le sous-entendu « dans les deux expressions ».

Le groupe suivant va un pas plus loin dans la découverte du calcul littéral, il interprète
spontanément a+a par 2a. On notera qu’il écrit 2a comme il indiquerait « 2 pommes » et non
2xa ou ax2. Il est plus probable que c’est écriture sans le signe multiplicatif soit révélateur
d’une procédure de décompte, de dénombrement que de la connaissance de la règle selon
laquelle l’emploi du signe est facultatif dans le cas d’expression littérale.

Voyons enfin la production de ce groupe de sixièmes :

Interacadémiques 2006 6
Pour ces élèves de sixième, on peut bien parler de calcul littéral : plusieurs règles sont
appliquées.

La nécessité de prouver
Les sixièmes expriment de plusieurs manières la conscience de la nécessité de prouver. Il
faudrait beaucoup d’exemples…

ou

ou

Ou encore :

L’utilisation du tableur
Tous les élèves avaient déjà travaillé sur la première fiche (annexe 1).
L’organisation des quatrièmes :
Les élèves travaillent une vingtaine de minutes en fin de cours, individuellement, sans mise en
commun. Le professeur a vérifié, en cours de travail, que chacun en était au moins à la
Interacadémiques 2006 7
troisième question. Il a répondu brièvement par écrit à toutes les questions écrites, et donné un
coup de pouce à ceux qui n’avaient visiblement pas compris le « procédé de construction » de
la liste.(mise en évidence du rôle particulier des deux premiers nombres, stabilité du procédé
effectivement utilisé pour les différentes listes …) mais par contre il a seulement signalé les
erreurs de calcul et les défauts de forme dans le texte d’explication sans chercher de
correction immédiate.
On a choisi cette présentation de l’exercice, et non une recherche et une rédaction sur papier
libre, pour avoir très facilement accès à toutes les réponses, dans un temps court.
L’organisation des sixièmes :
- Travail individuel d’une vingtaine de minutes.
- Annotation écrite de leur travail, hors de leur présence (le professeur a posé des questions
complémentaires d’aide, signalé les erreurs de calcul et leur incidence sur la suite, insisté,
si nécessaire, sur la complexité de la consigne 3 (par exemple pour ceux qui avaient écrit
une remarque du genre « toutes les sommes sont des nombres pairs », mais n’avaient pas
parlé du tout du « cinquième nombre »etc.)
- Reprise du travail individuel sur une photocopie de leur premier papier annoté
- Interruption au bout d’une dizaine de minutes par un point collectif et la trace écrite d’un
indice (les deux premiers nombres sont choisis, les autres nombres sont calculés à partir
des deux premiers), chacun devant se positionner par rapport à cet indice (inutile pour moi
parce que …, je change d’avis à cause de l’indice parce que …, je ne comprends pas à
quoi ça sert, etc.
- Poursuite du travail individuel (intervention de l’enseignant alors uniquement par écrit,
sur questions écrites, pour ne pas déranger le travail de chacun)
- Quelques échanges de productions pour les élèves rapides qui disent avoir terminé et
commentaires écrits sur les productions des autres élèves.
Le déroulement
La séance débute par une trace au tableau du procédé de construction (élaborée, écrite dans
une version « définitive » par des élèves volontaires, critiquée et validée par l’ensemble de la
classe)
Les élèves sont en binômes imposés hétérogènes, et travaillent de façon autonome avec leur
fiche (appel à l’aide possible à tout moment si le professeur est disponible).
Une production écrite pour chaque élève (la même pour les deux élèves du binôme ou pas) est
obligatoire avant de passer à la question suivante. Cette production peut faire l’objet d’une
mise en cause, ou d’une demande de complément par le professeur à tout moment.
A la fin de la séance, les feuilles sont relevées pour préparer la mise en commun et la
poursuite du travail.
En sixième
Cette séance a été précédée d’une séance « tableau noir » d’introduction au tableur, puisqu’ils
ne le connaissaient pas du tout. Ils ont entendu parler à cette occasion de cellule, de formule,
de l’intérêt de faire faire des calculs à la machine avec un tableur, comme on sait déjà un peu
faire faire du dessin géométrique à la machine avec un logiciel de géométrie dynamique, de la
possibilité d’utiliser des fonctionnalités déjà connues (étudiées en techno) du logiciel de
traitement de texte (en particulier « copier-coller »)
Les groupes étaient, exceptionnellement pour un travail en salle info, des groupes de trois. Le
professeur est ainsi assuré d’avoir au moins un élève plus habile dans le maniement de ce
nouvel outil et cela lui permet conserver les mêmes groupes pour la séance de prolongement,
les travaux habituels de groupes regroupant plutôt trois ou quatre élèves, alors que le travail
en salle info se pratique soit par binômes, soit individuellement par alternance. Enfin, cela
permet d’être plus proche des groupes (huit postes), afin de suivre leur cheminement, de
Interacadémiques 2006 8
répondre aux demandes ou de prendre connaissance uniquement des productions écrites (ce
qui s’est vérifié).
Le déroulement lui-même était le même qu’en quatrième,
La séance « prolongement » :
En quatrième
- La mise en commun a abouti aux formulations B9 = B6 x 4 et B9/B6 = 4.
Par contre l’écriture « B9/4 = B6 » a disparu alors qu’elle était présente dans les
productions écrites… Ils devaient justifier à la maison l’égalité qui leur convenait.
- Travail par groupes (homogènes) sur la feuille « tableur suite 4ème » (Annexe 6) avec
mise au propre de ce qui avait été fait à la maison, et même travail pour l’autre
formulation (celle qui n’avait pas été choisie)
- Mise en commun (y compris retour sur la simplification de fraction dont le sens reste bien
flou …)
En sixième :
- Par groupes, le travail s’est poursuivi avec la feuille « tableur suite 6ème » (Annexe 5),
aucun point collectif intermédiaire n’a été nécessaire tous les groupes se lançant
facilement dans des regroupements, plutôt liés au dénombrement, sans aucune
appréhension de l’utilisation de lettres, de plus indicées !
Remarques :
Les procédés de regroupement ont été très comparables d’un groupe à l’autre, alors que
d’habitude il existe une plus grande variété (un peu comme s’ils tendaient instinctivement
vers une solution normée ?).
L’enthousiasme et l’adhésion de tous, malgré la déstabilisation provoquée par l’utilisation
d’un nouvel outil, a été moteur pour poursuivre le travail sur papier, par groupes sans aucune
réticence.
Le tableur a clairement permis d’avancer. Prenons l’exemple de cet élève de sixième dont
voici la production individuelle sans tableur :

L’élève a, semble-t-il, ajouté puis retranché 1 à chacune des cases du tableau initial, autrement
dit il n’a pas compris le mécanisme proposé.

Voici maintenant la production du même élève suite à la séance sur tableur :
Interacadémiques 2006 9
Nous retrouvons les stratégies de groupements et de dénombrement.

En revanche il semble que l’utilisation de l’ordinateur lève les états d’âme sur la nécessité de
trouver.
Voici quelques exemples de réponses à la question « Ce que tu viens de trouver est-il toujours
vrai ? »

ou

Ou encore

D’autre part, ce n’est pas original, cependant certains élèves, systématiquement " hors course"
dans le déroulement habituel de la classe se prennent au jeu.
Ainsi en quatrième, un élève extrêmement difficile dans toutes les situations, en classe, y
compris pour des travaux plus " classiques " sur ordinateur, et hors classe, n'a pour une fois
posé aucun problème de comportement, il a travaillé pendant tout le temps imparti, y compris
dans la séance de prolongement et il a accepté de coopérer avec ses collègues alors qu'il
n'accepte jamais le travail par groupes.
Son cas est peut-être " un peu limite " , mais d'autres exemples de remotivation pourraient être
cités :5
On constate une hardiesse inattendue chez certains élèves pour essayer des valeurs plus "
exotiques " que sur papier.
Exemples :

L’élève a " osé " essayer le nombre 0, ou des décimaux non entiers.

5 Soulignons qu’il s’agit de classes pour lesquelles l'utilisation de l'outil info n'est pas exceptionnel !
Interacadémiques 2006 10