Articuler contrôles pragmatique et forme

375 Pages·2017·3.33 MB·French

by  Imène Ghedamsi

Université Bordeaux 2 Université de Tunis
École Doctorale des Sciences Humaines École Doctorale des Didactiques des
et Sociales Disciplines
Année 2008
N° 20307490
THESE
pour le
DOCTORAT DE L'UNIVERSITE BORDEAUX 2 & DE L’UNIVERSITE DE TUNIS
Mention : Sciences de l'Éducation
Spécialité : Didactique des Mathématiques
Présentée et soutenue publiquement
Le 14 novembre 2008
Par Imène GHEDAMSI
Née le 22/01/1968 à Bizerte
Enseignement du début de l’analyse réelle à l’entrée à
l’université
Articuler contrôles pragmatique et formel dans des situations à dimension a-
didactique
Membres du jury
Viviane DURAND-GUERRIER, Maître de Belhassen DAHMEN, Professeur,
conférences, Université Lyon, Rapporteur. Université El Manar, Tunis, Rapporteur.
Isabelle BLOCH, Professeur, Université Hikma SMIDA, Professeur Université
Bordeaux 4, Directrice. El Manar, Tunis, Directrice.
Leila LASSOUED, Professeur, Université El Guy BROUSSEAU, Professeur émérite,
Manar, Tunis, Présidente. Université Bordeaux 2, Invité.
Fabrice VANDEBROUCK, Maître de
conférences, Université Paris 7, Examinateur.
REMERCIEMENTS
Je tiens tout d’abord à exprimer toute ma gratitude et ma reconnaissance à
Hikma Smida et Isabelle Bloch, qui ont accepté de diriger ce travail de recherche. Je
les remercie de tout cœur pour l’apport essentiel qui a permis à cette recherche de se
développer et d’aboutir. J’ai pu, tout au long des travaux qui ont fait l’objet de ce
mémoire de thèse, apprécier leur grande compétence et savourer à leurs côtés le goût
subtil de la découverte. Je les remercie vivement et chaleureusement.
Je voudrais exprimer tous mes remerciements à Mahdi Abdeljaouad, qui m’a
guidé à l’aube de mes études doctorales en co-encadrant mon mémoire de DEA qui a
servi de base à ce travail de thèse. Mes remerciements vont aussi à André Rouchier
pour les conseils qu’il m’a prodigué.
Je remercie Belhassen Dahmen et Viviane Durand-Guerrier d’avoir accepté de
se rendre disponible pour être rapporteurs de cette thèse.
Mes remerciements vont également à Leila Lassoued pour l’honneur qu’elle m’a
fait de présider le jury de cette thèse, et à Fabrice Vandebrouck d’avoir accepté de faire
partie de ce même jury en tant qu’examinateur.
Il m’est agréable de remercier Guy Brousseau, qui n’a pas hésité à me faire
profiter de ses précieuses compétences et connaissances notamment lors des séminaires
de l’équipe DAESL et qui a accepté d’être membre du jury de cette thèse en tant
qu’invité.
J’adresse mes cordiaux remerciements à toute l’équipe du CNIPRE de Tunis et
à toute l’équipe de l’IUFM de Pau pour avoir mis à ma disposition tout le matériel et la
bibliothèque pour l’avancement de cette thèse.
Les travaux de recherche qui ont fait l’objet de ce mémoire de thèse ont été
réalisés entre l’Institut Supérieur de l’Education et de la Formation Continue de Tunis,
l’Unité de Recherche Outils analytiques et probabilistes de Tunis et l’équipe DAESL au
sein du laboratoire LACES de Bordeaux. Je remercie les membres responsables de ces
établissements.
Je remercie vivement les enseignants et les étudiants qui ont participé avec
dynamisme aux expérimentations.
J’adresse particulièrement mes remerciements à Faiza Chellougui et Leila Ben
Youssef qui ont su m’aider et m’apporter leur soutien au long de ce travail.
Enfin je ne saurais terminer sans évoquer l’affectueuse et constante attention de
mes parents, de mes frères et sœurs Skander, Mehdi, Dorra et Hela, de Médiha ainsi
que de mes filles Sarah et Yasmine, qui ont partagé mes inquiétudes et m’ont apporté
leur aide et leur soutien à tout moment et pour leur patience et leur complicité.
A toutes les personnes qui ont contribué à la
réalisation de ce travail et qui m’ont apporté
un soutien constant.
Organisation générale de la thèse
PREMIERE PARTIE : PROBLEMATIQUE DE L’ENSEIGNEMENT DE
L’ANALYSE
CHAPITRE 1 : ETUDE PRELIMINAIRE DES VARIATIONS
DIDACTIQUES DES ORGANISATIONS MATHEMATIQUES DANS
LA TRANSITION LYCEE/UNIVERSITE EN ANALYSE
INTRODUCTION GENERALE DE LA THESE : PROBLEMATIQUE ET
ORGANISATION DE LA RECHERCHE
CHAPITRE 2 : CONTEXTE THEORIQUE RELATIF AUX
OBJETS DE L’ANALYSE
VARIABLES MACRO-DIDACTIQUES RETENUES ET PREMIERS RESULTATS
POUR LA CONSTRUCTION D’UN MILIEU THEORIQUE DES OBJETS DE
L’ANALYSE REELLE (POUR L’IDENTIFICATION DES VARIABLES MICRO-
DIDACTIQUES)
DEUXIEME PARTIE : L’ENSEIGNEMENT DE L’ANALYSE DANS LE
CONTRAT CLASSIQUE
CHAPITRE 3 : SUR LES CHAPITRE 4 :
PRATIQUES ENSEIGNANTES A METHODOLOGIE D’ANALYSE
L’ENTREE A L’UNIVERSITE EN DE SEANCES
ANALYSE
TRAVAIL POSSIBLE DES ETUDIANTS DANS LE CONTRAT CLASSIQUE ET
PROPOSITION D’INGENIERIE
TROISIEME PARTIE : ORGANISER L’ARTICULATION DE
CONNAISSANCES NUMERIQUES AVEC DES CONNAISSANCES DE
L’ANALYSE
CONSTRUCTION ET EXPERIMENTATION D’UNE INGENIERIE RELATIVE A
L’ENSEIGNEMENT DE L’ANALYSE A L’ENTREE A L’UNIVERSITE
TABLE DES MATIERES
TABLE DES MATIERES..................................................................................................................................1
PREMIERE PARTIE : PROBLEMATIQUE DE L’ENSEIGNEMENT DE L’ANALYSE...................5
CHAPITRE 1 : PREMIERE ETUDE DES VARIATIONS DIDACTIQUES DES ORGANISATIONS MATHEMATIQUES
DANS LA TRANSITION LYCEE/UNIVERSITE EN ANALYSE............................................................................7
I. INTRODUCTION..........................................................................................................................................8
II. L'ENSEIGNEMENT DE L'ANALYSE AU SECONDAIRE...................................................................................9
II.1 Objets de l'Analyse...........................................................................................................................9
II.2 Le contrat relatif à la validation....................................................................................................10
II.3 Activités mathématiques attendues : standardisation et/ou transparence.....................................13
II.4 Premiers outils d’analyse du travail de conceptualisation............................................................17
II.5 Conclusion de l'étude dans l'enseignement secondaire.................................................................19
III. L'ENSEIGNEMENT DE LA NOTION DE LIMITE A L'UNIVERSITE.................................................................20
III.1 Texte du savoir en Analyse et nouveau contexte du travail des étudiants....................................20
III.2 Nouvelles attentes : maîtrise de techniques amalgamées et gestion personnelle de l'organisation
de la preuve..........................................................................................................................................21
III.3 Nouvelles exigences d'ordre conceptuel.......................................................................................25
IV. LES VARIABLES MACRO-DIDACTIQUES ASSOCIEES A LA TRANSITION SECONDAIRE / SUPERIEUR...........26
IV.1 Variables macro- didactiques.......................................................................................................26
IV.2 Les valeurs prises par les variables didactiques et leurs conséquences.......................................27
V. NOUVELLES QUESTIONS ET PERSPECTIVES.............................................................................................31
V.1 Introduction....................................................................................................................................31
V.2 Premiers questionnements et problématisation..............................................................................32
V.3 Choix méthodologiques..................................................................................................................34
V.4 Organisation de la thèse................................................................................................................35
CHAPITRE 2 : CONTEXTE THEORIQUE RELATIF AUX OBJETS DE L'ANALYSE.........................................37
I. INTRODUCTION........................................................................................................................................38
II. L'ANALYSE AU FIL DE L'HISTOIRE A TRAVERS UNE QUESTION DE NOMBRES...........................................38
II.1 Contexte historique : la notion de nombre.....................................................................................39
II.2 Extractions de racines nième de nombres........................................................................................44
II.3 La méthode d’exhaustion ou une approximation de ...................................................................59
II.4 Résolutions d’équations par approximations.................................................................................63
III. RETOUR SUR LES FONDEMENTS.............................................................................................................74
III.1 Elucidation des objets de base de l’Analyse.................................................................................75
III.2 L’étude des fonctions dans la perspective des normes du calcul infinitésimal.............................78
III.3 Retour sur les nombres : rigueur mathématique oblige...............................................................81
1
IV. CONCLUSION : SPECIFICITES DE L’ANALYSE........................................................................................84
V. L'ENSEIGNEMENT DE L'ANALYSE : QUELLES DIFFICULTES ? QUELLES ALTERNATIVES ?........................86
V.1 Travaux en didactique de l’Analyse à l’entrée à l’université et difficultés des étudiants..............86
V.2 Organisations classiques...............................................................................................................89
V.3 Organisations alternatives.............................................................................................................90
VI. SYNTHESE.............................................................................................................................................92
DEUXIEME PARTIE : L’ENSEIGNEMENT DE L’ANALYSE DANS LE CONTRAT CLASSIQUE
....................................................................................................................................................................95
CHAPITRE 3 : SUR LES PRATIQUES ENSEIGNANTES A L’ENTREE A L’UNIVERSITE..................................97
I. INTRODUCTION........................................................................................................................................98
II. L’ENSEIGNEMENT DE L’ANALYSE A TRAVERS L’ORGANISATION MATHEMATIQUE : ÉTUDE D’UN CORPUS
....................................................................................................................................................................99
III. L’ENSEIGNEMENT DE L’ANALYSE A TRAVERS LES PRATIQUES ENSEIGNANTES...................................101
III.1 Méthodologie..............................................................................................................................101
III.2 Analyse des réponses..................................................................................................................107
IV. CONCLUSION : TYPES POSSIBLES DE CONTRAT...................................................................................115
CHAPITRE 4 : METHODOLOGIE D'ANALYSE DE SEANCES......................................................................119
I. LE PROBLEME DE L'ANALYSE DE SEANCES : LA GESTION ANTICIPEE DU PROFESSEUR ET LE TRAVAIL
POSSIBLE DES ETUDIANTS.........................................................................................................................120
I.1 Introduction...................................................................................................................................120
I.2 Grilles d’analyse...........................................................................................................................122
II. ETUDE DE CAS EN ANALYSE................................................................................................................125
II.1 Introduction.................................................................................................................................125
II.2 Analyse a priori des énoncés.......................................................................................................126
II.3 Analyse a posteriori : gestion du professeur et travail des étudiants..........................................136
III. CONCLUSION.......................................................................................................................................144
CONCLUSION : NOUVELLE QUESTION ET NOUVEL ENJEU DE RECHERCHE...........................................146
TROISIEME PARTIE : ORGANISER L’ARTICULATION DE CONNAISSANCES NUMERIQUES
AVEC DES CONNAISSANCES DE L’ANALYSE...............................................................................149
CHAPITRE 5 : METHODOLOGIE DE L’INGENIERIE.................................................................................151
I. INTRODUCTION......................................................................................................................................152
II. RETOUR SUR LES PARAMETRES DES SITUATIONS THEORIQUES..............................................................154
II.1 Variables retenues.......................................................................................................................155
II.2 Formes possibles des interactions des étudiants dans les situations...........................................160
III. SYNTHESE METHODOLOGIQUE............................................................................................................161
III.1 Les thèmes et les objectifs : les savoirs de l’Analyse en lien avec les problèmes numériques...161
III.2 La prise en compte de l'interaction professeur/étudiants...........................................................162
III.3 La progression des situations.....................................................................................................162
CHAPITRE 6 : CHOIX DES SITUATIONS : PERTINENCE ET CONSISTANCE...............................................165
2
I. LES METHODES NUMERIQUES : ADAPTATION AUX SAVOIRS VISES.........................................................166
I.1 Méthodes retenues : quels connaissances et savoirs possibles ?..................................................168
I.2 La dialectique syntaxique/sémantique...........................................................................................174
I.3 Conclusion.....................................................................................................................................185
II. QUESTIONS POSEES PAR LES SITUATIONS..............................................................................................185
II.1 Problématique de l’existant et du construit.................................................................................185
II.2 Milieu pour un contrôle mixte : intuitif et formel.........................................................................189
III. CHOIX DES SITUATIONS.......................................................................................................................194
III.1 Choix des valeurs des variables.................................................................................................194
III.2 Conclusion : situations retenues.................................................................................................198
CHAPITRE 7 : LA SITUATION DE L’ANTIPHERESE DE 2 ......................................................................201
I. INTRODUCTION : CONTENUS ET OBJECTIFS DE LA SITUATION................................................................202
II. ANALYSE A PRIORI...............................................................................................................................203
II.1 Connaissances et savoirs requis et visés......................................................................................204
II.2 Organisation de la situation et ses variables didactiques............................................................207
II.3 Enoncé, figures et calcul..............................................................................................................213
II.4 Déroulement prévu.......................................................................................................................217
III. ANALYSE A POSTERIORI......................................................................................................................228
III.1 Déroulement effectif...................................................................................................................228
III.2 La situation de l’antiphérèse de racine de 2 et les connaissances des étudiants........................240
IV. CONCLUSION.......................................................................................................................................244
CHAPITRE 8 : LA SITUATION DU POINT FIXE DE COSINUS......................................................................249
I. INTRODUCTION : APPROFONDIR LA CONNAISSANCE DES NOMBRES REELS.............................................250
II. ANALYSE A PRIORI...............................................................................................................................251
II.1. Connaissances et savoirs requis et visés.....................................................................................251
II.2. Organisation de la situation et ses variables didactiques...........................................................253
II.3. Enoncé, figures et calcul.............................................................................................................258
II.4. Déroulement prévu......................................................................................................................261
III. ANALYSE A POSTERIORI......................................................................................................................271
III.1. Déroulement effectif..................................................................................................................271
III.2 Le point fixe de cosinus et les connaissances des étudiants........................................................282
IV. CONCLUSION.......................................................................................................................................286
CONCLUSION GENERALE.........................................................................................................................289
I. LE MODELE DES VARIABLES MACRO-DIDACTIQUES (VMD).................................................................289
I.1 Validité du modèle VMD...............................................................................................................289
I.2 De l'enseignement "ordinaire" vers l'identification des savoirs visés...........................................289
II. CONSTRUCTION ET APPORT DE L’INGENIERIE.......................................................................................293
II.1 La théorie des situations didactiques : validité dans l’enseignement de l’Analyse à l’entrée à
l’université..........................................................................................................................................293
3
II.2 Les effets de l’ingénierie : les savoirs issus des situations expérimentées...................................294
II.3 Deux étapes dans l'apprentissage de l'analyse réelle..................................................................296
III. LIMITES ET PERSPECTIVES DE LA RECHERCHE.....................................................................................297
BIBLIOGRAPHIE.................................................................................................................................301
BIBLIOGRAPHIE GENERALE SUR LA DIDACTIQUE......................................................................301
BIBLIOGRAPHIE SUR HISTOIRE DES SCIENCES ET EPISTEMOLOGIE......................................305
BIBLIOGRAPHIE SUR L'ANALYSE....................................................................................................307
BIBLIOGRAPHIE SUR LA DIDACTIQUE DE L'ANALYSE...............................................................308
ANNEXES………………………………………………………………………………313
4
PREMIERE PARTIE
PROBLEMATIQUE DE L’ENSEIGNEMENT DE L’ANALYSE
5
6
CHAPITRE 1
Première étude des variations didactiques des organisations
mathématiques dans la transition lycée/université en Analyse
7