Arquimedes, o centro de gravidade e a lei da alavanca

249 Pages·2008·2.49 MB·English

Arquimedes, o Centro de Gravidade e a Lei da Alavanca é um livro

que lida com os aspectos fundamentais da física. Descreve os
A
principais eventos na vida de Arquimedes e o conteúdo de suas obras. r
q
Discute um grande número de experiências relacionadas com o u
i
equilíbrio de corpos suspensos que estão sob a ação gravitacional m
terrestre. Todas as experiências são descritas com clareza e realizadas e
d
com materiais simples, baratos e facilmente acessíveis. Estas e
s
experiências levam a uma definição conceitual precisa do centro de ,

o
gravidade e ilustram procedimentos práticos para encontrá-lo com

C
precisão. São analisadas as condições de equilíbrio estável, neutro e
e
instável. São descritos e explicados n
t
muitos brinquedos de equilíbrio. r
o
Aspectos históricos relacionados a este d
conceito são apresentados, juntamente e

G
com os valores teóricos do centro de
r
gravidade de diversos corpos obtidos a
v
por Arquimedes. O livro também i
d
explica como construir e calibrar a
d
balanças e alavancas precisas e sensíveis. São realizadas e
diversas experiências com estes instrumentos até se chegar e

a uma definição matemática do centro de gravidade e à lei a

da alavanca, também chamada de primeira lei da L
e
mecânica. São descritas diversas conseqüências desta lei, i

d
assim como diferentes demonstrações de como se chegar a
nela. É feita uma análise detalhada das obras de Euclides e A
de Arquimedes, assim como uma tradução de duas obras la
destes autores. Uma ampla bibliografia é incluída no final da obra. va
n
c
a

Sobre o Autor
André Koch Torres Assis nasceu no Brasil em 1962. Formou-se no Instituto de
Física da Universidade Estadual de Campinas – UNICAMP, obtendo o
bacharelado em 1983 e o doutorado em 1987. Passou o ano de 1988 na

Inglaterra realizando um pós-doutorado no Culham Laboratory (United
Kingdom Atomic Energy Authority). Passou um ano entre 1991-92 como Visiting
Scholar no Center for Electromagnetics Research da Northeastern University
(Boston, EUA). De Agosto de 2001 a Novembro de 2002 trabalhou no Institut A
s
für Geschichte der Naturwissenschaften da Universidade de Hamburg, s
i
Alemanha, com uma bolsa de pesquisa concedida pela Fundação Alexander s

von Humboldt da Alemanha. É autor de diversos livros em português e inglês,

dentro os quais se destacam Eletrodinâmica de
Weber (1995), Cálculo de Indutância e de Força
em Circuitos Elétricos (juntamente com M.
Bueno, 1998), Mecânica Relacional (1998),
Uma Nova Física (1999) e The Electric Force of a
Current (juntamente com J. A. Hernandes,
2007). Traduziu para o português o livro

Óptica, de Isaac Newton (1996),
ISBN 978-0-9732911-7-9
assim como O Universo Vermelho,
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de Halton Arp (juntamente com D. André Koch Torres Assis
Soares, 2001). É professor do A
Instituto de Física da UNICAMP pe Arquimedes, o Centro de
desde 1989 trabalhando com os i
r
fundamentos do eletromagnetismo, o
n
da gravitação e da cosmologia. Gravidade e a Lei da Alavanca
Arquimedes, o Centro
de Gravidade e a Lei
da Alavanca

André Koch Torres Assis

Apeiron
Montreal
Publicado por C. Roy Keys Inc.
4405, rue St-Dominique
Montreal, Quebec H2W 2B2 Canada
http://redshift.vif.com
© André Koch Torres Assis 2008
Primeira Edição, 2008

Library and Archives Canada Cataloguing in Publication

Assis, André Koch Torres, 1962-
Arquimedes, o centro de gravidade e a lei da alavanca / Andre K.T. Assis.

Translation of: Archimedes, the center of gravity and the first law of
mechanics.
Includes bibliographical references.
ISBN 978-0-9732911-7-9

1. Center of mass--Experiments. 2. Center of mass--Textbooks.
3. Mechanics--Experiments. 4. Mechanics--Textbooks. I. Title.

QA839.A87167 2008 531'.14 C2008-904613-7

Capa da frente: Gravura de 1740 com Arquimedes planejando a defesa de
Siracusa. Texto em grego que aparece em sua touca: Arquimedes o geômetra.

Capa de trás: Fotografias de algumas experiências descritas neste livro. Um
triângulo de papel cartão em um plano horizontal apoiado por uma vareta verti-
cal colocada sob seu baricentro. Um retângulo e um fio de prumo suspensos por
uma agulha. Um equilibrista de cabeça para baixo apoiado em sua cabeça, com
massa de modelar nas mãos. Uma alavanca em equilíbrio com pesos diferentes
em cada braço.
Este livro é dedicado a todos que têm trabalhado
pela preservação, tradução, interpretação e di-
vulgação da obra de Arquimedes ao longo dos
séculos.

Sumário
Agradecimentos 7
I Introdução 9
1 Vida de Arquimedes 13
2 Obras de Arquimedes 23
2.1 Obras Conhecidas de Arquimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 O Método de Arquimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
II O Centro de Gravidade 37
3 Geometria 39
3.1 Obtendo os Centros de Círculos, Retângulos e Paralelogramos . . 39
3.2 Os Quatro Pontos Notáveis de um Triângulo . . . . . . . . . . . 40
4 Experiências de Equilíbrio e Definição do Centro de Gravidade 45
4.1 PrimeiroProcedimentoExperimentalparaseEncontraroCentro
de Gravidade: Experiências com Figuras Planas. . . . . . . . . . 45
4.2 Experiências com Figuras Côncavas ou com Buracos . . . . . . . 56
4.3 Experiências com Corpos Volumétricos . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.4 Fio de Prumo, Vertical e Horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.5 SegundoProcedimentoExperimentalparaseEncontraroCentro
de Gravidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.6 TerceiroProcedimentoExperimentalparase EncontraroCentro
de Gravidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.7 Condições de Equilíbrio de Corpos Apoiados . . . . . . . . . . . 76
4.7.1 Equilíbrio Estável, Instável e Indiferente . . . . . . . . . . 80
4.7.2 Estabilidade de um Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.8 Condições de Equilíbrio de Corpos Suspensos . . . . . . . . . . . 85
4.8.1 Equilíbrio Estável e Indiferente . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.9 Caso em que o Centro de Gravidade Coincide com o Ponto de
Suspensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3
4.10 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5 Explorando as Propriedades do Centro de Gravidade 99
5.1 Atividades Lúdicas com o Equilibrista . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.2 Brinquedos de Equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.3 Equilíbrio de Botequim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.4 Equilíbrio do Corpo Humano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.5 O ET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6 AlgunsAspectosHistóricossobreoConceitodoCentrodeGra-
vidade 121
6.1 ComentáriosdeArquimedes,Heron,Papus,Eutócius eSimplício
sobre o Centro de Gravidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.2 Resultados Teóricos sobre o Centro de Gravidade Obtidos por
Arquimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
III Balanças, Alavancas e a Primeira Lei da Mecânica133
7 Balanças e a Medida do Peso 137
7.1 Construção de uma Balança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.2 Medida do Peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
7.3 Melhorando a Sensibilidade de uma Balança . . . . . . . . . . . . 148
7.4 Alguns Situações Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
7.4.1 Condição de Equilíbrio de um Corpo Suspenso . . . . . . 156
7.4.2 Balanças com o Centro de Gravidade Acima do Fulcro . . 159
7.4.3 Outros Tipos de Balança . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
7.5 Usando o Peso como Padrão de Força . . . . . . . . . . . . . . . 160
8 A Lei da Alavanca 165
8.1 Construção e Calibração de Alavancas . . . . . . . . . . . . . . . 165
8.2 Experiências com Alavancas e a Primeira Lei da Mecânica . . . . 167
8.3 Tipos de Alavanca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
8.4 Definição Matemática do Centro de Gravidade . . . . . . . . . . 178
9 Explicações e Deduções da Lei da Alavanca 183
9.1 Lei da Alavanca como um Resultado Experimental . . . . . . . . 183
9.2 Lei da Alavanca Derivada a partir do Conceito de Torque . . . . 185
9.3 LeidaAlavancaDerivadaapartirdoResultadoExperimentalde
que um Peso 2P Atuando à Distância d do Fulcro é Equivalente
a um Peso P Atuando à Distância d x do Fulcro, Juntamente
−
com um Peso P Atuando à Distância d+x do Fulcro . . . . . . 188
9.4 Leida AlavancacomoDerivadapor Duhem apartirde uma Mo-
dificação de um Trabalho Atribuído a Euclides . . . . . . . . . . 191
9.5 Demonstração da Lei da Alavanca a partir de um Procedimento
Experimental Atribuído a Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
4
9.6 Demonstração Teórica da Lei da Alavanca Atribuída a Euclides . 198
9.7 A Demonstração da Lei da Alavanca Apresentada por Arquime-
des e o Cálculo do Centro de Gravidade de um Triângulo . . . . 200
9.7.1 A Demonstração da Lei da Alavanca por Arquimedes . . 200
9.7.2 Cálculo do CG de um Triângulo por Arquimedes . . . . . 205
Apêndices 208
A Tradução Comentada do Livro sobre a Balança, Atribuído a Eu-
clides 209
A.1 Comentários Gerais sobre esta Obra Atribuída a Euclides . . . . 209
A.2 Tradução do Livro sobre a Balança, Atribuído a Euclides . . . . 209
B Tradução Comentada da Primeira Parte do Trabalho de Arqui-
medes Intitulado Sobre o Equilíbrio das Figuras Planas ou Sobre os
Centros de Gravidade das Figuras Planas 215
B.1 Comentários Gerais sobre esta Obra de Arquimedes . . . . . . . 215
B.2 Tradução da Obra de Arquimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
Referências Bibliográficas 241
5
6
Agradecimentos
A motivação para escrevermoseste livro surgiude cursos para aperfeiçoamento
deprofessoresdeensinofundamentalemédioqueministramosnosúltimosanos,
dentro do projeto Teia do Saber da Secretaria de Educação do Governo do Es-
tado de São Paulo. Foi um privilégio muito grande termos sido convidados a
atuar neste programa. O apoio que recebemos por parte da Secretaria de Edu-
cação e do Grupo Gestor de Projetos Educacionais da Unicamp, assim como o
contato com os alunos que participaram de nossas aulas, foram extremamente
enriquecedorespara nós. Também forammuito proveitosasas trocas de experi-
ências com os colegas da Unicamp que participaram deste projeto.
A inspiração para a maior parte das experiências relacionadascom o equilí-
brioeocentrodegravidadedoscorposveiodosexcelentestrabalhosdeNorberto
Ferreira e Alberto Gaspar, [Fer], [Fer06] e [Gas03]. Foram extremamente valio-
sas as trocas de idéias com eles e com seus alunos, dentre os quais Rui Vieira e
Emerson Santos.
Agradecemosainda por sugestões e referênciasa Norberto Ferreira,Alberto
Gaspar, Rui Vieira, Emerson Santos, Dicesar Lass Fernandez, Silvio Seno Chi-
beni,CésarJoséCalderonFilho,PedroLeopoldoeSilvaLopes,FábioMiguelde
Matos Ravanelli, Juliano Camillo, Lucas Angioni, Hugo Bonette de Carvalho,
Ceno P. Magnaghi,Caio Ferraride Oliveira,J. Len Berggren,Henry Mendell e
Steve Hutcheon, assim como aos meus alunos do Instituto de Física com quem
trabalhei este tema. Minha filha e Eduardo Meirelles ajudaram com as figuras
da versãoeminglês,[Ass08]. Todas asfigurasdesta versãoemportuguês foram
feitas por Daniel Robson Pinto, através de uma Bolsa Trabalho concedida pelo
Serviço de Apoio ao Estudante da Unicamp, ao qual agradecemos.
Agradeço ainda ao Instituto de Física e ao Fundo de Apoio ao Ensino, à
Pesquisa e à Extensão da Unicamp, que forneceram as condições necessárias
para a realização deste trabalho.
André Koch Torres Assis
Instituto de Física
Universidade Estadual de Campinas — UNICAMP
13083-970Campinas, SP, Brasil
E-mail: [email protected]
Homepage: http://www.ifi.unicamp.br/˜assis
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