ARMA Modelle

22 Pages·2006·0.4 MB·German

Kapitel 9
ARMA Modelle
JosefLeydold(cid:13)c 2006 MathematischeMethoden –IX–ARMAModelle–1/65
Lernziele
Stationäreundnicht-stationäreProzesse:
Whitenoiseundrandomwalk
ARMA:AutoregressivemovingaverageModelle
Modellbildung
SchätzungvonARMAModellen
ModellwahlundModellüberprüfung
Prognose
IntegrierteARMAModelle:ARIMA
JosefLeydold(cid:13)c 2006 MathematischeMethoden –IX–ARMAModelle–2/65
Schwach stationäre Prozesse
KovarianzoderschwachstationäreProzesse
y , t= ..., 2, 1,0,1,2,...
t
{ } − −
habendieEigenschaft:
mittelwertstationär:
E(y )= E(y ) = µ
t t s
−
kovarianzstationär:
V(y ) =E(y µ)2 = V(y )= σ2
t t− t−s y
Cov(y ,y ) =E(y µ)(y µ) =Cov(y ,y ) = γ
t t s t t s t j t s j s
− − − − − − −
µ,σ2 undγ sindkonstantundunabhängigvont.
y s
JosefLeydold(cid:13)c 2006 MathematischeMethoden –IX–ARMAModelle–3/65
Autokorrelationsfunktion (ACF)
DieAutokorrelationzwischeny undy istdefiniertals
t t s
−
γ
ρ = s =Corr(y,y )
s t t s
γ0 −
γ =Cov(y ,y ),γ = σ2.
s t t s 0 y
−
ImSpeziellengilt:
ρ =1 und 1 ρ 1.
0 s
− ≤ ≤
Fasstmandieρ ,s 0,zusammen,erhältmandie
s
≥
Autokorrelationsfunktion,ACF:
1, ρ , ρ , ρ , ...
1 2 3
JosefLeydold(cid:13)c 2006 MathematischeMethoden –IX–ARMAModelle–4/65
Beispiel
Whitenoise,WN
EinProzess y ,y = ǫ,mit
t t t
{ }
E(ǫ ) =0, V(ǫ ) = σ2, ρ =1, ρ = ρ = ρ = ... =0
t t ǫ 0 1 2 3
heißtwhitenoise,WN,oderWeißesRauschen.
EinwhitenoiseProzessist(kovarianz-)stationär.
JosefLeydold(cid:13)c 2006 MathematischeMethoden –IX–ARMAModelle–5/65
Wold Darstellung
JederschwachstationäreProzess y lässtsichalsunendliche
t
{ }
gewichteteSummeeinesvergangenenwhitenoiseProzesses
darstellen:
∞
y µ = ∑ψ ǫ
t j t j
− −
j=0
Dieψ heißenImpulse-response-Koeffizienten;dieFunktion
j
ψ, j 0 ,Transferfunktion,Impuls-Antwort-Funktion.
j
{ ≥ }
SieerfülltdieBedingung
∞
∑ψ2 < ∞
j
j=0
D.h.,dieψ sindquadratischsummierbar.
j
JosefLeydold(cid:13)c 2006 MathematischeMethoden –IX–ARMAModelle–6/65
Wold Darstellung
/(2)
AusE(ǫ ) =0folgt
t
E(y ) = µ
t
AusV(ǫ ) = σ2 undderquadratischenSummierbarkeitderψ
t ǫ j
folgt
V(y ) = ∑ψ2σ2 = σ2∑ψ2
t j ǫ ǫ j
dadieǫ unkorreliertsind.
t
JosefLeydold(cid:13)c 2006 MathematischeMethoden –IX–ARMAModelle–7/65
Lagoperator
DerLagoperatorListdefiniertals
Ly =y
t t 1
−
DurchMehrfachesanwendendesLagoperatorserhältman
L2y =Ly = y
t t 1 t 2
− −
L3y =L2y =Ly =y ,
t t 1 t 2 t 3
− − −
...
Lsy =y
t t s
−
Beispiel:
(1 L)y =y y ,
t t t 1
(1−α L α L−2 α− L3)y =y α y α y α y .
1 2 3 t t 1 t 1 2 t 2 3 t 3
− − − − − − − − −
(1 α L α L2 α L3)heißtauchLagpolynomderOrdnung3.
1 2 3
− − −
JosefLeydold(cid:13)c 2006 MathematischeMethoden –IX–ARMAModelle–8/65
Wold Darstellung mittels Lagoperator
DieWoldDarstellungkannauchmitHilfeeinesunendlichen
LagpolynomsΨ(L)angegebenwerden:
∞ ∞ ∞
y µ = ∑ψ ǫ = ∑ψ (Ljǫ ) = ∑(ψ Lj)ǫ = Ψ(L)ǫ
t j t j j t j t t
− −
j=0 j=0 j=0
wobei Ψ(L) = ∑∞ ψ Lj ist.
j=0 j
JosefLeydold(cid:13)c 2006 MathematischeMethoden –IX–ARMAModelle–9/65
Random Walk (RW)
EinProzess y mit y =y +ǫ
t t t 1 t
{ } −
heißtrandomwalk,RW,(ohneDrift).
EinProzess y mit
t
{ }
y = c+y +ǫ
t t 1 t
−
heißtrandomwalkmitDrift.cistderDriftparameter.
DerProzessistinrekursiverDarstellunggegeben.
ExpliziteDarstellungdesRWs:
t t
y =y +∑ǫ bzw. y = y +ct+∑ǫ
t 0 j t 0 j
j=1 j=1
Einrandomwalkistnichtstationär.
JosefLeydold(cid:13)c 2006 MathematischeMethoden –IX–ARMAModelle–10/65
Bedingter und unbedingter Erwartungswert
DieInformationsmengeI ist
t
I = y, ǫ, y , ǫ ,...,y , ǫ , y
t t t t 1 t 1 1 1 0
{ − − }
DerbedingteErwartungswerteinesrandomwalksy bezüglichder
t
InformationsmengenI ,I undI ist
t 1 t s 0
− −
E(y I ) = c+y
t t 1 t 1
| − −
E(y I ) = sc+y
t t s t s
| − −
E(y I ) = tc+y
t 0 0
|
DieAbhängigkeitdesbedingtenErwartungswertesvomAnfangswert
verschwindetnichtmits ∞.
→
DerunbedingteErwartungswertE(y )existiertnicht.
t
JosefLeydold(cid:13)c 2006 MathematischeMethoden –IX–ARMAModelle–11/65
Bedingte und unbedingte Varianz
DiebedingteVarianzeinesrandomwalksy ist
t
V(y I ) = σ2
t| t−1 ǫ
V(y I ) = sσ2
t| t−s ǫ
V(y I ) = tσ2
t| 0 ǫ
DiebedingteVarianzistnichtkonstantundnimmtausgehendvon
t=0mittzu.
DieunbedingteVarianzexistiertnicht.
DieKovarianzCov(y ,y )isttσ2.
t t+s ǫ
JosefLeydold(cid:13)c 2006 MathematischeMethoden –IX–ARMAModelle–12/65
Random Walk und dynamischer Multiplikator
DerrandomwalkProzesshatdieEigenschaft,dassvergangene
Schocksnichtvergessenwerden.Jeder(vergangene)Schock,ǫ ,
t s
−
gehtzurGänzeindasaktuelleNiveau,y,ein.KeinSchockwird
t
vergessen.
t ∂y
y =y +ct+∑ǫ t =1
t 0 j
⇒ ∂ǫ
j=1 t−s
MansagtauchdiePersistenzeinesSchocksistEins.
MitdiesemModellkönnenirreversibleökonomischeEntscheidungen
beschriebenwerden.
JosefLeydold(cid:13)c 2006 MathematischeMethoden –IX–ARMAModelle–13/65
ARMA
EinautoregressivermovingaverageProzessderOrdnung(p,q),
ARMA(p,q),isteinschwachstationärerProzessmitdem
Bildungsgesetz
α (L)(y µ) = β (L)ǫ
p t q t
−
wobei
α (L) = 1 α L ... α Lp
p 1 p
− − −
β (L) = 1 β L ... β Lq
q 1 q
− − −
α (L) ... AR-PolynomderOrdnungp
p
β (L)... MA-PolynomderOrdnungq
q
ǫ ... whitenoise.
t
JosefLeydold(cid:13)c 2006 MathematischeMethoden –IX–ARMAModelle–14/65
ARMA
/(2)
Beispiele:
ARMA(0,0),µ= 0: y = ǫ whitenoise
t t
ARMA(0,0),µ = 0: y = µ+ǫ
t t
6
AR(1): (1 α L)(y µ) = ǫ
1 t t
− −
MA(1): (y µ) = (1 β L)ǫ
t 1 t
− −
ARMA(1,1): (1 α L)(y µ) = (1 β L)ǫ
1 t 1 t
− − −
ARMA(1,2): (1 α L)(y µ) = (1 β L β L2)ǫ
1 t 1 2 t
− − − −
AR(12): (1 α L ... α L12)(y µ) = ǫ
1 12 t t
− − − −
JosefLeydold(cid:13)c 2006 MathematischeMethoden –IX–ARMAModelle–15/65
Vergleich ARMA und Wold Darstellung
ARMAModellelieferneineApproximationderΨ(L)-Polynomsaus
derWoldDarstellungmittelseinerrationalenFunktion.
DurchDivision(sofernzulässig)erhältmanaus
α (L)(y µ) = β (L)ǫ
p t q t
−
β(L)
y µ= ǫ = Ψ(L)ǫ
t t t
− α(L)
Beispiel:
∞
1
ARMA(1,0): y µ= ǫ = ∑αj ǫ = Ψ(L)ǫ
t− 1−α1L t j=0 1 t−j t
1 β L
ARMA(1,1): y µ= − 1 ǫ = Ψ(L)ǫ
t t t
− 1 α L
1
−
MA(∞): yt µ= (1 β1L β2L2 ...)ǫt = β∞(L)ǫt = Ψ(L)ǫt
− − − −
JosefLeydold(cid:13)c 2006 MathematischeMethoden –IX–ARMAModelle–16/65
Principle of Parsimony
MittelsARMA-Modellenkönnenalle(schwach-)stationärenProzesse
dargestelltwerden,soferndieOrdnungderPolynomegroßgenug
gewähltwird: p ∞oderq ∞.
→ →
InderRegelmussmanannehmen,dassderzugrundeliegende
Prozesssehrkompliziertist,daseigentlicheinMA(∞)zur
Modellierungnotwendigwäre.
BeiderModellbildungwirdderzugrundeliegendenProzessdurch
einsparsamparametrisiertesARMA-Modell(ARMA-Modellmit
niedrigerOrdnung)approximiert:principleofparsimony.
DasProblembestehtdarinein„gutes“undzugleichsparsam
parametrisiertesModellzufinden.
JosefLeydold(cid:13)c 2006 MathematischeMethoden –IX–ARMAModelle–17/65
AR(1) Prozess
DasModellfüreinenAR(1)Prozesslautet:
(1 αL)(y µ) = ǫ mit α <1
t t
− − | |
oder
y αy = c+ǫ mitc= (1 α)µ
t t 1 t
− − −
Fürµ=0erhaltenwir y αy = ǫ.
t t 1 t
− −
ExpliziteDarstellung:
t τ 1 t
yt = αty0+∑αt−jǫj bzw. yt = αty0+c ∑− αj+∑αt−jǫj
j=1 j=1 j=1
JosefLeydold(cid:13)c 2006 MathematischeMethoden –IX–ARMAModelle–18/65
Erwartungswert und Varianz eines AR(1)
AusderexplizitenDarstellungerhaltenwirdirektdenbedingten
ErwartungswertunddiebedingteVarianzfürµ=0:
t
E(yt|y0) = αty0 und V(yt|y0)= σǫ2∑α2(t−j)
j=1
DieAbhängigkeitvomAnfangswertverschwindetmit α <1,wenn
| |
wirdenProzessimZeitpunkt ∞startenlassen:
−
E(yt y0)= αty0 E(yt y ∞) =E(yt)= 0
| → | −
t σ2
V(yt|y0) = σǫ2∑α2(t−j) → V(yt|y−∞) =V(yt)= 1 ǫα2
j=1 −
DerunbedingteErwartungswertistkonstantundgleichNull:
E(y ) =0.
t
JosefLeydold(cid:13)c 2006 MathematischeMethoden –IX–ARMAModelle–19/65
Stationarität eines AR(1)
DerAR(1)Prozessistfür
α <1
| |
einstationärerProzess.
EinProzess,gegebendurchdieDifferenzengleichung
y αy =y αLy =0
t t 1 t t
− − −
iststationär,wennereinenstabilenFixpunkthat.
DasistgenaudannderFall,wenndieWurzelndes
charakteristischePolynoms
1 αz=0
−
außerhalbdesEinheitskreisesliegen.(Hier: z = 1/α >1)
| | | |
JosefLeydold(cid:13)c 2006 MathematischeMethoden –IX–ARMAModelle–20/65
Autokorrelationsfunktion eines AR(1)
DieACFfälltgeometrisch(exponentiell):
γ Cov(y,y )
ρs = s = t t−s = αs
γ V(y )
0 t
EinAR(1)ProzessbeschreibteinVergessenvergangener
Schocks.EinSchock,dersPeriodenzurückliegt,wirdmitψ = αs
s
gewichtet,dieACFfälltdahermitαs.
AllgemeingiltfürAR(p)-Prozesse,dassdieACF(betragsmäßig)
geometrischfällt.SiemussabernichtmonotonfallenwiebeimAR(1).
VarianzundACFsindvonµunabhängig.
JosefLeydold(cid:13)c 2006 MathematischeMethoden –IX–ARMAModelle–21/65
Prognose eines AR(1)
Dieτ-SchrittPrognoseistderbedingteErwartungswert,E(y y ).
t+τ t
|
DieVarianzdesPrognosefehlersderτ-SchrittPrognoseist
V(y y ) =E [y E(y y )]2 y
t+τ t t+τ t+τ t t
| − | |
(cid:16) (cid:17)
AusderDefinitioneinerAR(1)erhaltenwiry =c+αy +ǫ mit
t+1 t t+1
c= µ(1 α).
−
τ = 1(1-SchrittPrognose):
E(y y )= c+αy, V(y y ) = σ2
t+1| t t t+1| t ǫ
τ = 2(2-SchrittPrognose):
E(y y ) =c(1+α)+α2y, V(y y ) = σ2(1+α2)
t+2| t t t+2| t ǫ
JosefLeydold(cid:13)c 2006 MathematischeMethoden –IX–ARMAModelle–22/65
Prognose eines AR(1)
Allgemein(τ-SchrittPrognose):
E(yt+τ|yt) =c ∑jτ=−11αj+ατyt
V(y y )= σ2 ∑τ α2(τ j)
t+τ| t ǫ j=1 −
DiePrognosekonvergiertmitτ ∞gegendasarithmetische
→
Mittel.
DiePrognosevarianzkonvergiertmitτ ∞gegendie
→
unbedingteVarianz.
Jegrößer α ist,destolangsamererfolgtdieKonvergenz.
| |
JosefLeydold(cid:13)c 2006 MathematischeMethoden –IX–ARMAModelle–23/65
MA(1) Prozess
DasModellfüreinenMA(1)lautet
y µ= ǫ βǫ = (1 βL)ǫ
t t t 1 t
− − − −
bzw.
y = µ+ǫ βǫ = µ+(1 βL)ǫ
t t t 1 t
− − −
JosefLeydold(cid:13)c 2006 MathematischeMethoden –IX–ARMAModelle–24/65
Erwartungswert eines MA(1)
DerbedingteErwartungswertE(y y )ergibtsichals:
t t 1
| −
E(y y )=E(µ+ǫ βǫ µ+ǫ βǫ )
t t 1 t t 1 t 1 t 2
| − − − | − − −
=E(ǫ βǫ ǫ ,ǫ )
t t 1 t 1 t 2
− − | − −
= µ+βǫ
t 1
−
E(y y )=E(µ+ǫ βǫ µ+ǫ βǫ )
t t 2 t t 1 t 2 t 3
| − − − | − − −
=E(µ+ǫ βǫ ǫ ,ǫ )
t t 1 t 2 t 3
− − | − −
= µ
E(y y )= µ fürs>1
t t s
| −
DiebedingtenErwartungswertsE(y y )fürs>1sindgleichdem
t t s
| −
unbedingtenErwartungswert:
E(y y ) = µ=E(y ) (fürs>1)
t t s t
| −
DerProzesshateinGedächtnisvongenaueinerPeriode.
JosefLeydold(cid:13)c 2006 MathematischeMethoden –IX–ARMAModelle–25/65
Varianz eines MA(1)
FürdiebedingtenVarianzenerhaltenwir
V(y y ) = σ2
t| t−1 ǫ
V(y y ) = σ2(1+β2)
t| t−2 ǫ
V(y y )= σ2(1+β2) fürs>1
t| t−s ǫ
dadieKovarianzenderǫ Nullsind.
t
DiebedingtenVarianzensindfürs> 1gleichderunbedingten
Varianz:
V(y y ) = σ2(1+β2) =V(y ) (fürs>1)
t| t−s ǫ t
DieVarianzvony existiertimmer,unabhängigdavon,welchenWert
t
βannimmt.
JosefLeydold(cid:13)c 2006 MathematischeMethoden –IX–ARMAModelle–26/65
Autokovarianz eines MA(1)
DieAutokovarianzenhabenebenfallseineeinfacheStruktur.
Cov(y,y )=Cov(ǫ βǫ ,ǫ βǫ )
t t 1 t t 1 t 1 t 2
− − − − − −
= βCov(ǫ ,ǫ )
t 1 t 1
− − −
= βV(ǫ )
t 1
− −
= βσ2
− ǫ
Cov(y,y )=Cov(ǫ βǫ ,ǫ βǫ )
t t 2 t t 1 t 2 t 3
− − − − − −
=0
Cov(y,y )=0 fürs>1
t t s
−
JosefLeydold(cid:13)c 2006 MathematischeMethoden –IX–ARMAModelle–27/65
Autokorrelationsfunktion eines MA(1)
FürdieAutokorrelationsfunktionerhaltenwir
Corr(yt,yt−1)= CovV(y(yt,ty)t−1) = (1−+ββ2σ)ǫ2σǫ2 = −1+ββ2
Corr(y ,y )= 0 fürs>1
t t s
−
DieACFbrichtnachdemLag1ab.
Fürs 2zeigtdieACFdasMusterderACFeineswhitenoise.
≥
AllgemeinbrichtdieACFeinesMA(q)ProzessesnachdemLag
qab.
JosefLeydold(cid:13)c 2006 MathematischeMethoden –IX–ARMAModelle–28/65
Invertierbarkeitsbedingung
MA(1)ProzessemitParameterβundParameter(1/β) besitzendie
selbeACF,undhabensomitdieselbenstochastischen
Eigenschaften.DaherbeschränktmansichderEindeutigkeitwegen
aufdenBereich β <1.
| |
DieseBedingungheißtInvertierbarkeitsbedingung.
Beispiel:
DerMA(1)Prozess y mitE(y ) =3,V(y ) =2.50undρ =0.40
t t t 1
{ }
lässtsichauf2Artendarstellen:
y 3= u 0.5u mit u N(0,2) (iid)
t t t 1 t
− − − ∼
und
1
y 3=v v mit v N(0,0.5) (iid)
t t t 1 t
− − 0.5 − ∼
JosefLeydold(cid:13)c 2006 MathematischeMethoden –IX–ARMAModelle–29/65
Prognose eines MA(1)
Dieτ-SchrittPrognoseistderbedingteErwartungswertE(y y ).
t+τ t
|
τ = 1(1-SchrittPrognose)fürMA(1):
E(y y )= µ βǫ , V(y y ) = σ2
t+1| t − t t+1| t ǫ
τ-SchrittPrognose(τ >1):
E(y y )= µ, V(y y ) = (1+β2)σ2
t+τ| t t+τ| t ǫ
EinMA(1)liefertnurfürdie1-Schritt-Prognoseeinekleinere
PrognosevarianzalsdasarithmetischeMittel.
EinMA(q)liefertnurbiszurq-Schritt-Prognoseeinekleinere
PrognosevarianzalsdasarithmetischeMittel.
JosefLeydold(cid:13)c 2006 MathematischeMethoden –IX–ARMAModelle–30/65