ARITHMÉTIQUE ET ALGÈBRE Coursàl’UniversitédeRennes1(2003–2004) Antoine Chambert-Loir AntoineChambert-Loir IRMAR,CampusdeBeaulieu,35042RennesCedex. E-mail:[email protected] Url:http://name.math.univ-rennes1.fr/antoine.chambert-loir TABLE DES MATIÈRES §1. Nombresentiersetprincipederécurrence .................................. 4 Unpeud’histoire,4; Quelquesdémonstrationsparrécurrence,5; Récurrence et la définition des opérations élémentaires, 7; Suitesdéfiniesparrécurrence,8. §2. Combinatoire,probabilités .............................................. 10 Ilesttoujoursbond’avoirdesprincipes,10; TriangledePascal,11; Probabilités,15. §3. Divisioneuclidienne .................................................... 19 Lethéorèmedeladivisioneuclidienne,19; Numération,20; Divisibilité,22; Plusgranddiviseurcommun,algorithmed’Euclide,24. §4. Nombrespremiers ...................................................... 27 Cribled’Ératosthène,27; Factorisation,27; Combienya-t-ildenombres premiers?,29; LethéorèmedeTchebychevetlepostulatdeBertrand,30. §5. Congruences ............................................................ 32 Petit théorème de Fermat, 32; Théorème chinois, 32; Indicateur d’Euler, cryptogra- phieRSA,33; Appendice:constructiondel’anneauZ/mZ,34 4 TABLEDESMATIÈRES §1. Nombresentiersetprincipederécurrence A. Unpeud’histoire LeopoldKronecker,unmathématicienallemandduXIXe siècleaditunjour:«Dieu a inventé les nombres entiers, le reste est l’œuvre de l’homme». L’arithmétique, la sciencequiétudielespropriétésdesnombresentiers,afascinéleshumainsprobable- mentdepuislanuitdestemps.Ontrouveentoutcasdestextesd’arithmétiqueparmi lestoutpremierstextesécritsquinousrestent(laplusanciennetablettedontondis- poseestunereconnaissancededettes). Parmi les propriétés des nombres entiers que nous allons étudier figurent des ré- sultats très anciens : l’existence d’une infinité de nombres premiers est un théorème d’Euclide, un mathématicien grec qui vivait au IVe siècle avant Jésus-Christ. Certains problèmesremontentàArchimède(lesbœufsdusoleilparexemple). Pourtant,lanécessitéd’unedéfinitiondesnombresentiersn’estapparuequ’auXIXe siècle qui fut un moment de bouleversement théorique en mathématique. C’est à ce moment que les mathématiciens commencèrent à ressentir fermement le besoin de définirplusprécisémentl’objetdeleurscience,faisantenparticulierclairementladis- tinctionentreaxiomes,définitions,théorèmes,...Lesmathématiciensdurentenparti- culierrésoudreleproblèmedel’infini:qu’est-cequ’unensemble«infini»?Lapossibi- litéd’appréhendermathématiquementl’infinifutd’ailleurslesujetd’unecontroverse théologique — seul Dieu est infini. Pire, Georg Cantor découvrit qu’il existait des in- finis plus grands que d’autres et, en un sens, l’ensemble des entiers est le plus petit ensembleinfini. C’estaussiqu’àlatoutefindu XIXe sièclequeRichardDedekind,puisquelquesan- néesplustard,GiuseppePeano,énoncèrentdesaxiomesquipermettentdecaractéri- serl’ensembledesnombresentiers.Dupointdevuepratique,cesaxiomessontdonc les«briquesdebase»quelemathématicienpeutassemblerpourdémontrerunepro- priétéliéeauxnombresentiers.Voicilesquatrepremiersaxiomes,souslaprésentation dePeano. a) un(1)estunentier; b) toutentieraunsuccesseur; c) toutentierautrequeunestlesuccesseurd’unentier; d) sideuxentiersontmêmesuccesseur,ilssontégaux. Dupointdevuedesentiersquevousconnaissez,lesuccesseurd’unentiern n’estrien d’autrequel’entiern+1.Siunentiernn’estpaségalà1,ilvérifien>2etl’entier(n−1) estleseulentierquiaitn poursuccesseur. Ledernieraxiomeestleprincipederécurrence: e) Soit Aunensembled’entiers.Supposonsque Acontienne1etquesiunentiern appartientà A,sonsuccesseurappartienneà A.Alors Aestl’ensembledetouslesen- tiers. L’aspect remarquable de cet axiome est qu’il permet de démontrer une infinité de théorèmesenuntempsfini.Supposonsparexemplequel’ondoivedémontrerqu’une Compiléle23avril2004,16h13 B.QUELQUESDÉMONSTRATIONSPARRÉCURRENCE 5 P certainepropriété (n)quidépendd’unentiern estvraiepourtoutentier.Enappli- P quant le principe de récurrence à l’ensemble des entiers n tels que (n) soit vérifié, onpeutdémontrerlerésultatvouludelafaçonsuivante: – ondémontrelapropriétéP pourn=1(initialisation); P – ondémontrequesilapropriété (n)estvérifiée(hypothèsederécurrence),alors P(n+1)estencorevraie. P Le principe de récurrence entraîne que la propriété est vérifiée pour tout entier. Sans lui, on pourrait commencer par n = 0, puis n = 1, puis n = 2, etc., et même à la7egénération,vos«successeurs»n’enseronttoujourspasvenuàbout!Pascal(XVIIe siècle)avaitdéjàutiliséleprincipederécurrence,maisilrevientbienàPeanodel’avoir dégagéentantqu’axiomequicaractériselesnombresentiers. Ilresteencoreunetâcheaumathématicienconsciencieux:démontrerqu’il«existe» unensembleaveccespropriétés:lesentiersdeM.ToutleMondelesvérifienteffecti- vement,maisilsneformentpasunensembleassezbiendéfinipourlemathématicien. Nous laisserons ce problème de côté dans la suite de ce cours et admettrons que les entiersnaïfssontunobjetmathématiqueetsatisfontlesaxiomesdePeano. B. Quelquesdémonstrationsparrécurrence Sivousdevezacheterunemaisonouunbienassezcher,vousdevrezprobablement emprunter la somme correspondante à une banque. La banque avance alors l’argent et, chaque mois, vous devrez payer une somme fixée (la «mensualité»). Votre capital restantdûdiminued’autant,aprèsavoirétémajorédesintérêtssurlasommerestant due. Intéressons-nous aux intérêts. La littérature banquaire fait en général mention d’untauxannuel —pourunprêtimmobilier,ilestencemomentl’ordrede4,5%par an.Maiscommevousremboursezchaquemois,vosintérêtssontaussicalculéschaque mois et le banquierdoit utiliser un taux mensuel. On imaginerait a prioriquecetaux mensuelestcalculédesortequelesintérêtsd’unan(enl’absencederemboursement) correspondentautauxannuel. Pour être plus clair, posons quelques équations. Appelons τ le taux annuel et τ a m le taux mensuel. En gros, τ = 4,5/100 = 0,045. Si le capital dû au 1er janvier est C, a les intérêts accumulés en un an seront de τ ×C, d’où un capital dû au 31 décembre a de(1+τ )C.Calculonsmensuellement.Au1er février,lesintérêtsaccumuléss’élèvent a à τ C, d’où un capital dû de (1+τ )C. Un mois plus tard, le capital dû est multiplié m m par (1+τ ), donc il vaut (1+τ )2C, et finalement, au bout d’un an, le capital dû est m m de (1+τ )12C. (Au passage, on a omis le raisonnement par récurrence qui calcule le m terme général d’une suite géométrique...) Si le taux mensuel et le taux annuel se cor- respondent,onarriveàl’équation 1+τ =(1+τ )12. a m Pourtant, ce n’est pas ce qui se passe : les banquiers utilisent systématiquement la formule τ =12τ . a m Compiléle23avril2004,16h13 6 §1.NOMBRESENTIERSETPRINCIPEDERÉCURRENCE Précisément,siτ estletauxmensueleffectivement,lesprospectusaffichentcomme m tauxannuellavaleur12τ .Seposealorslaquestion:est-cepareil?Biensûr,cen’est m paspareilet,siτ >0(cequiestlecas!),onal’inégalité m (1+τ )12>1+12τ . m m Autrement dit, le taux annuel que vous payez est plus élevé que celui que la banque vousannonce.Maisc’estcommeça,ilsemblequelaréglementationofficielleenma- tièredecréditlepermette... Dansl’inégalitéprécédente,lenombre12n’arienàvoiretnousallonsmontrerque pourtoutentiern>2ettoutnombreréelx>0,ona(1+x)n>1+nx.Sin=2, (1+x)2=1+2x+x2>1+2x. carx2>0.Supposonsalorsquel’inégalitéestvraiepournetcalculons(1+x)n+1.Ona d’abord (1+x)n+1=(1+x)n(1+x) pardéfinitiondespuissances.Enmultipliantl’inégalitépour n (l’hypothèsederécur- rence)parlenombreréel(1+x)quieststrictementpositif,onobtient (1+x)n(1+x)>(1+nx)(1+x)=(1+nx)+(1+nx)x=1+(n+1)x+nx2, d’où (1+x)n+1>1+(n+1)x+nx2>1+(n+1)x puisquenx2>0.Celadémontrel’hypothèsepourn+1etl’inégalitéestvraiepourtout entiern. Exercices. — 1) Ondisposed’unstockillimitédepiècesde3€etde5€.Quelssontlesmontant quel’onpeutpayer? > 2) Sinestunentier 1etxunréeldans[0,1],montrerl’inégalité nx 1−nx6(1−x)n61− . 1+(n−1)x p 3) Sixety sontdeuxréelspositifs,montrerque xy6(x+y)/2. 4) (suite)Montrerparrécurrencesurnquesix1,...,x2n sontdesréelspositifs, (x1···x2n)1/2n 6(x1+···+x2n)/2n. > 5) (suite)SoitN 2etsoitx ,...,x desréels.Démontrerque 1 N (x ···x )1/N6(x +···+x )/N 1 N 1 N (inégalitéentremoyennearithmétiqueetmoyennegéométrique).Pourcela,choisirunentiern telqueN62n;poser,pourN6k62n,x =(x +···+x )/N;appliquerlaquestionprécédente. k 1 N 6) Soit(x )unesuitederéelsdans]0,1[.OnposeS =x +···+x .Montrerl’inégalité n n 1 n 1 1−S <(1−x )(1−x )...(1−x )< . n 1 2 n 1+S n 7*) Ontrace n droitesdansleplan;onsupposequedeuxd’entreellesnesontpasparallèles et que trois d’entre elles ne sont pas concourantes. Quelle est le nombre de régions du plan qu’ellesdélimitent?Combiend’entreellessontbornées?(Une(n+1)-ièmedroitecoupecha- cune des n premières en n points distincts; elle traverse (n+1) régions en les divisant en 2. Lesquellessontbornées?) Compiléle23avril2004,16h13 C.RÉCURRENCEETLADÉFINITIONDESOPÉRATIONSÉLÉMENTAIRES 7 C. Récurrenceetladéfinitiondesopérationsélémentaires Leprincipederécurrencepermetaussidedéfinir desobjetsdépendantd’unentier. Ainsi,quelquesannéesavantquePeanon’énoncesesaxiomes,Grassmannavaitdéfini les opérations arithmétiques à l’aide de l’opération x 7→ x+1 et d’un raisonnement par récurrence. Expliquons comment procéder et comment démontrer les propriétés élémentairesdel’additionetdelamultiplication. Toutd’abord,onnote2lesuccesseurde1,3celuide2,etc.Onnoteraaussi s(n)le successeurd’unentiern;pourlesentiersnaïfs,celacorrespondàajouter1. Si m et n sont deux entiers, on veut définir l’entier m+n, ce qu’on va faire par ré- currence sur n. Si n = 1, on pose m+1 = s(m). Si n est un entier différent de 1, n est le successeur d’un entier n0; l’entier m+n0 a été défini par récurrence et on pose m+n = s(m+n0). En termes naïfs, n0 = n−1 et la formule précédente signifie que m+n=m+(n0+1)=(m+n0)+1.Celadéfinitl’additiondedeuxentiersarbitraires. Montronsmaintenantquel’additionestcommutative,c’est-à-direquem+n=n+ m.NotonsP(n)lapropriété:pourtoutentierm,m+n=n+m. La propriété P(1) s’écrit : pour tout entier m, on a m+1 = 1+m. Nous allons la démontrerparrécurrencesurm.Pourm=1,ondoitdémontrer1+1=1+1,cequiest vrai.Supposonsalorsque m =1+m;onaalors1+s(m)=s(1+m)parconstruction. Parl’hypothèsederécurrence,1+m=m+1=s(m),doncs(1+m)=s(s(m))=s(m)+1 etfinalement1+s(m)=s(m)+1,cequimontrelapropriétépourlesuccesseurdem. P Parrécurrence,lapropriété (1)estvraie. P Supposonsque (n)soitvérifiéeetmontronsquelapropriétéestencorevraiepour lesuccesseurden.Simestunentier,soitQ(m)lapropriétém+s(n)=s(n)+m;nous allonsencoreladémontrerparrécurrence!Si m =1,ona1+s(n)=s(n)+1carP(1) Q estvraie.Silapropriété (m)estvraie,alors s(m)+s(n)=s(s(m)+n) pardéfinitiondes(m)+s(n) =s(n+s(m)) carP(n)estvraie =s(s(n+m)) pardéfinitionden+s(m) =s(s(m+n)) carP(n)estvraie =s(m+s(n)) pardéfinitiondem+s(n) =s(s(n)+m) carQ(m)estvraie =s(n)+s(m) pardéfinitiondes(n)+s(m). Q Ainsi, la propriété (s(m)) est vraie. Par récurrence, elle est donc vraie pour tout en- P tierm,cequidémontrelapropriété (s(n)). P Parrécurrence,lapropriété estvraiepourtoutentier. Ilfaudraitmaintenantdémontrerl’associativitédel’addition,c’est-à-direquesi m, n,p sontdesentiers,ona(m+n)+p=m+(n+p). Pour construire la multiplication, on utilise le fait que pour multiplier m par n, on doiteffectuerl’additionn+n+···+n,mfois.Posonsainsi,pourtoutentiern,1×n=n. Compiléle23avril2004,16h13 8 §1.NOMBRESENTIERSETPRINCIPEDERÉCURRENCE Sim×n estdéfini,ondéfinitalorss(m)×n parlaformule s(m)×n=(m×n)+n. Ondémontrealorsparrécurrencequem×n=n×m,que(m×n)×p=m×(n×p),etc. Exercice. — Démontrer l’associativité de l’addition, la commutativité et l’associativité de la multiplication. D. Suitesdéfiniesparrécurrence Cesontlessuites(denombresentiers,réels,depoints,defonctions,...)dontchaque termeestdéfinienfonctionduprécédent,voiredesdeuxprécédents,...Lessuitesarith- métiques,définiesparunerelationdelaformeun+1=un+a,ensontunexemple.On démontreparrécurrencequeu =u +na pourtoutentiern. n 0 De même, les suites géométriques sont définies par une relation un+1 = aun. Le nombrea estappeléraison.etl’onau =anu pourtoutentiern. n 0 Revenonsauproblèmedesprêtsbanquaires.Laquestion,connaissantletauxmen- suelτ ,lecapitalempruntéC etlenombredemensualitésN,estdecalculerlemon- m tant M de la mensualité. Ou à l’inverse, connaissant le taux mensuel, le capital dont vousavezbesoinetlamensualitéquevouspouvezpayer,decalculerlenombred’an- néespendantlesquellesvousdevrezrembourservotreprêt. OnposeC =C et,plusgénéralement,onnoteC lecapitalrestantdûauboutden 0 n mois. Au bout de chaque mois, la banque vous considère comme débiteur des inté- rêts mensuels sur le capital dû au début du mois mais vous crédite du montant de la mensualité,sibienquelecapitalrestantdûaumois(n+1)vérifielarelation Cn+1=Cn+τmCn−M=(1+τm)Cn−M. Lasuite(C )estdoncunmélanged’unesuitearithmétiqueetd’unesuitegéométrique. n Il y a une astuce pour ramener cette suite à une suite géométrique. Cherchons un réel Atelque Cn+1−A=(1+τm)(Cn−A) Enidentifiantlesdeuxrelations,onobtient Aτ =M. m Lasuite(C −A)estunesuitegéométriquedepremierterme(C −A)etderaison(1+ n 0 τ ).Onaainsi,pourtoutentiern, m C −A=(1+τ )n(C −A), n m 0 d’oùlaformule (1+τ )n−1 C =(1+τ )nC − m M. n m 0 τ m Si tout le capital est remboursé en N mois, on a C = 0 et cette formule permet de N déterminer la mensualité M. Inversement, si M est fixée, on peut trouver n tel que C =0;àmoinsd’unecoïncidencepeuprobable,onn’obtiendrapasunnombreentier n maisunnombreréeldelaformeN+x avec06x<1.Celasignifiequ’onremboursera lamensualitéfixéependantN mois,etqueladernièremensualitéseraplusfaible. Compiléle23avril2004,16h13 D.SUITESDÉFINIESPARRÉCURRENCE 9 Exercices. — 1) Onconsidèreunesuitearithmétique(u )depremiertermeu etderaisona n 0 etonposeU =u +···+u =Pn u .MontrerqueU =(n+1)(u +1an). n 0 n k=0 k n 0 2 2) On considère une suite géométrique (v ) de premier terme u et de raison a et on pose n 0 encoreU =u +···+u .Onsupposequea6=1;montreralorsqueU =u an+1−1.QuevautU n 0 n n 0 a−1 n danslecasoùa=1? 3) Unrécipientcontient1dm3 deriz,chaquegrainfaisant1mm3.Ondisposeungrainderiz sur la première case d’un échiquier, deux sur la deuxième, quatre sur la suivante, et ainsi de suite,endoublantàchaquefoislenombredegrains.Combiendecasesdel’échiquierseront remplieslorsquelepotderiznecontiendraplusassezdegrains?Combienenreste-t-ildansle pot? 4) Montrerparrécurrencesurnlesformules n(n+1) n(n+1)(2n+1) 1+2+···+n= et 12+22+···+n2= . 2 6 Quevaut,sinestimpair,lasomme1+3+5+···+n? 5) Dansunprêt,calculerlasommetotaleS payéeparledébiteurenfonctiondunombrede mensualités, du taux mensuel et du capital emprunté. Avec MAPLE, tracer la fonction N 7→S (onfixeraunevaleurnumériquedeτ etC =1). m 6) AvecMAPLE(ouuntableur),produireuntableauderemboursementsendonnant,moispar mois,lapartd’intérêtsdanslamensualitéetlecapitalrestantdû. 7) Unebanquepermetderembourserunepartieduprêtparanticipation,moyennantdesfrais de dossier. Le client de la banque a-t-il intérêt à rembourser partiellement son prêt? (La ré- ponsedépenddutaux,ducapitalrestantdû,desfraisdedossieretdumontantdurembourse- mentexceptionnel.Écrireunprogrammequifaitl’ensembledescalculs.) 8) Lasuite(un)estdéfinieparu1=1/2etun=un−1/(2nun−1+1),sin>2.Calculeru1+···+un pour tout entier n. (Commencez par calculer explicitement cette somme pour de petites va- leurs de n, conjecturez alors une formule générale que vous démontrerez ensuite par récur- rence.) Compiléle23avril2004,16h13 10 §1.NOMBRESENTIERSETPRINCIPEDERÉCURRENCE §2. Combinatoire,probabilités Il est dommage de consacrer un cours aux nombre entiers sans passer un peu de tempsàleurvocationpremière:compter,c’est-à-diredénombrer. Dansdenombreusesformules,onaurabesoind’utiliserlafonctionfactoriellequiest définiecommesuit.Lafactorielled’unentierpositifounuln estleproduitdetousles entiersde1àn.ona0!=0,1!=1,2!=1×2=2,3!=1×2×3=6,etc.Plusgénéralement, n!=1×2×···×(n−1)×n=n×(n−1)!. Jerappelleaussiquen!seprononcefactoriellen. A. Ilesttoujoursbond’avoirdesprincipes Lecardinald’unensemblefiniestunentier.Deuxensemblesfinisquisontenbijec- tionontmêmecardinal.OnnotecardX ou|X|lecardinaldel’ensembleX.Lecardinal del’ensemblevideest0,celuid’unsingleton1,etc. Deux principes généraux permettent d’évaluer le cardinal d’un ensemble : le prin- cipedesbergersetleprinciped’inclusion-exclusion. PRINCIPE DES BERGERS. — SoitX unensemblefinietsoit(Ai)16i6munepartitiondeX, c’est-à-direquechaqueélémentdeX appartientàundesensembles A etunseul.Alors, i m X cardX = cardA . i i=1 Pour compter les éléments de X, il suffit de compter les éléments de chaque pa- quet A etdesommerlesentiersobtenus. i SiX etY sontdeuxensemblesfinis,lecardinaldel’ensembleX×Y estégalàcardX× cardY.Eneffet,lespartiesX ×{y}deX ×Y formentunepartitiondeX ×Y.Chacune decespartiesestenbijectionavecX,doncestdecardinalcardX.CommeilyacardY tellesparties,onacard(X×Y)=cardX×cardY. F SiX etY sontdeuxensemblesfinis,montronsquelecardinaldel’ensemble (X,Y) desapplicationsdeX dansY estégalà(cardY)cardX.Leplussimpleestdeledémontrer par récurrence Si X est vide, il y a une seule application, de graphe vide (bof...). Si X est un singleton {a}, une application X → Y est déterminée par l’image de a. On a donccardF(X,Y)=cardY =(cardY)cardX danscecas.Supposonsquecetteformule soit vraie pour tout ensemble de cardinal <n et montrons la pour un ensemble X de cardinal n. On pose X0 = X \{a}, où a est un élément fixé de X. Pour se donner une applicationdeX dansY,ilfautd’unepartfixerl’imagede a etd’autrepartsedonner uneapplicationdeX0 dansY.Celafait(cardY)×(cardY)n−1=(cardY)n applications, d’oùl’assertionvoulueparrécurrencesurn.Plusrigoureusement,définissons,siy ∈Y, une partie F de F(X,Y) comme l’ensemble des f : X → Y tels que f(a) = y. Ces y F F F 0 parties formentunepartitionde (X,Y);chacuneestenbijectionavec (X ,Y), y donc de cardinal (cardY)cardX−1. Comme il y a cardY-parties, le cardinal de F(X,Y) vautbien(cardY)cardX. Comme conséquence du principe des bergers, on a le principe des tiroirs (utilisé pour la première fois par P. L. Dirichlet à la fin du XIXe siècle) : «si une commode de Compiléle23avril2004,16h13