Arfken's Book

1195 Pages·2005·7.93 MB·English

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MATHEMATICAL
METHODS FOR
PHYSICISTS
SIXTH EDITION
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MATHEMATICAL
METHODS FOR
PHYSICISTS
SIXTH EDITION
George B. Arfken
MiamiUniversity
Oxford,OH
Hans J. Weber
UniversityofVirginia
Charlottesville,VA
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PrintedintheUnitedStatesofAmerica
05 06 07 08 09 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
C
ONTENTS
Preface xi
1 VectorAnalysis 1
1.1 Definitions,ElementaryApproach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 RotationoftheCoordinateAxes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 ScalarorDotProduct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 VectororCrossProduct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 TripleScalarProduct,TripleVectorProduct . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6 Gradient,∇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.7 Divergence,∇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.8 Curl,∇× . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.9 SuccessiveApplicationsof∇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.10 VectorIntegration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.11 Gauss’Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.12 Stokes’Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.13 PotentialTheory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
1.14 Gauss’Law,Poisson’sEquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1.15 DiracDeltaFunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
1.16 Helmholtz’sTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
AdditionalReadings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2 VectorAnalysisinCurvedCoordinatesandTensors 103
2.1 OrthogonalCoordinatesinR3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2.2 DifferentialVectorOperators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
2.3 SpecialCoordinateSystems:Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . 114
2.4 CircularCylinderCoordinates. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
2.5 SphericalPolarCoordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
v
vi Contents
2.6 TensorAnalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
2.7 Contraction,DirectProduct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
2.8 QuotientRule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
2.9 Pseudotensors,DualTensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
2.10 GeneralTensors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
2.11 TensorDerivativeOperators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
AdditionalReadings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
3 DeterminantsandMatrices 165
3.1 Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
3.2 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
3.3 OrthogonalMatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
3.4 HermitianMatrices,UnitaryMatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
3.5 DiagonalizationofMatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
3.6 NormalMatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
AdditionalReadings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
4 GroupTheory 241
4.1 IntroductiontoGroupTheory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
4.2 GeneratorsofContinuousGroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
4.3 OrbitalAngularMomentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
4.4 AngularMomentumCoupling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
4.5 HomogeneousLorentzGroup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
4.6 LorentzCovarianceofMaxwell’sEquations . . . . . . . . . . . . . . . 283
4.7 DiscreteGroups. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
4.8 DifferentialForms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
AdditionalReadings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
5 InfiniteSeries 321
5.1 FundamentalConcepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
5.2 ConvergenceTests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
5.3 AlternatingSeries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
5.4 AlgebraofSeries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
5.5 SeriesofFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
5.6 Taylor’sExpansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
5.7 PowerSeries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
5.8 EllipticIntegrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
5.9 BernoulliNumbers,Euler–MaclaurinFormula . . . . . . . . . . . . . . 376
5.10 AsymptoticSeries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
5.11 InfiniteProducts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
AdditionalReadings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
6 FunctionsofaComplexVariableIAnalyticProperties,Mapping 403
6.1 ComplexAlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
6.2 Cauchy–RiemannConditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
6.3 Cauchy’sIntegralTheorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
Contents vii
6.4 Cauchy’sIntegralFormula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
6.5 LaurentExpansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
6.6 Singularities. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
6.7 Mapping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
6.8 ConformalMapping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
AdditionalReadings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
7 FunctionsofaComplexVariableII 455
7.1 CalculusofResidues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
7.2 DispersionRelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
7.3 MethodofSteepestDescents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
AdditionalReadings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
8 TheGammaFunction(FactorialFunction) 499
8.1 Definitions,SimpleProperties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499
8.2 DigammaandPolygammaFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510
8.3 Stirling’sSeries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516
8.4 TheBetaFunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520
8.5 IncompleteGammaFunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
AdditionalReadings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533
9 DifferentialEquations 535
9.1 PartialDifferentialEquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535
9.2 First-OrderDifferentialEquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543
9.3 SeparationofVariables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554
9.4 SingularPoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562
9.5 SeriesSolutions—Frobenius’Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565
9.6 ASecondSolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578
9.7 NonhomogeneousEquation—Green’sFunction . . . . . . . . . . . . . 592
9.8 HeatFlow,orDiffusion,PDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611
AdditionalReadings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618
10 Sturm–LiouvilleTheory—OrthogonalFunctions 621
10.1 Self-AdjointODEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622
10.2 HermitianOperators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634
10.3 Gram–SchmidtOrthogonalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642
10.4 CompletenessofEigenfunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649
10.5 Green’sFunction—EigenfunctionExpansion . . . . . . . . . . . . . . . 662
AdditionalReadings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674
11 BesselFunctions 675
11.1 BesselFunctionsoftheFirstKind,J (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . 675
ν
11.2 Orthogonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694
11.3 NeumannFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699
11.4 HankelFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707
11.5 ModifiedBesselFunctions,I (x)andK (x) . . . . . . . . . . . . . . . 713
ν ν
viii Contents
11.6 AsymptoticExpansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719
11.7 SphericalBesselFunctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725
AdditionalReadings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739
12 LegendreFunctions 741
12.1 GeneratingFunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 741
12.2 RecurrenceRelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 749
12.3 Orthogonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756
12.4 AlternateDefinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767
12.5 AssociatedLegendreFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771
12.6 SphericalHarmonics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786
12.7 OrbitalAngularMomentumOperators . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793
12.8 AdditionTheoremforSphericalHarmonics . . . . . . . . . . . . . . . 797
12.9 IntegralsofThreeY’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803
12.10 LegendreFunctionsoftheSecondKind . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806
12.11 VectorSphericalHarmonics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813
AdditionalReadings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816
13 MoreSpecialFunctions 817
13.1 HermiteFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817
13.2 LaguerreFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837
13.3 ChebyshevPolynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 848
13.4 HypergeometricFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 859
13.5 ConfluentHypergeometricFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863
13.6 MathieuFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 869
AdditionalReadings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 879
14 FourierSeries 881
14.1 GeneralProperties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 881
14.2 Advantages,UsesofFourierSeries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 888
14.3 ApplicationsofFourierSeries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892
14.4 PropertiesofFourierSeries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903
14.5 GibbsPhenomenon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 910
14.6 DiscreteFourierTransform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914
14.7 FourierExpansionsofMathieuFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . 919
AdditionalReadings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 929
15 IntegralTransforms 931
15.1 IntegralTransforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 931
15.2 DevelopmentoftheFourierIntegral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936
15.3 FourierTransforms—InversionTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 938
15.4 FourierTransformofDerivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946
15.5 ConvolutionTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 951
15.6 MomentumRepresentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955
15.7 TransferFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 961
15.8 LaplaceTransforms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965
Contents ix
15.9 LaplaceTransformofDerivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 971
15.10 OtherProperties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 979
15.11 Convolution(Faltungs)Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 990
15.12 InverseLaplaceTransform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994
AdditionalReadings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1003
16 IntegralEquations 1005
16.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005
16.2 IntegralTransforms,GeneratingFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . 1012
16.3 NeumannSeries,Separable(Degenerate)Kernels . . . . . . . . . . . . 1018
16.4 Hilbert–SchmidtTheory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1029
AdditionalReadings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036
17 CalculusofVariations 1037
17.1 ADependentandanIndependentVariable . . . . . . . . . . . . . . . . 1038
17.2 ApplicationsoftheEulerEquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044
17.3 SeveralDependentVariables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1052
17.4 SeveralIndependentVariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056
17.5 SeveralDependentandIndependentVariables . . . . . . . . . . . . . . 1058
17.6 LagrangianMultipliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1060
17.7 VariationwithConstraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065
17.8 Rayleigh–RitzVariationalTechnique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1072
AdditionalReadings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076
18 NonlinearMethodsandChaos 1079
18.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1079
18.2 TheLogisticMap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1080
18.3 SensitivitytoInitialConditionsandParameters . . . . . . . . . . . . . 1085
18.4 NonlinearDifferentialEquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1088
AdditionalReadings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1107
19 Probability 1109
19.1 Definitions,SimpleProperties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1109
19.2 RandomVariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116
19.3 BinomialDistribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1128
19.4 PoissonDistribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1130
19.5 Gauss’NormalDistribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134
19.6 Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1138
AdditionalReadings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1150
GeneralReferences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1150
Index 1153