ARCH и GARCH модели временных рядов

47 Pages·2014·2.24 MB·Russian

ПРАВИТЕЛЬСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Национальный исследовательский университет
«Высшая школа экономики»
Московский институт электроники и математики

Факультет Прикладной математики и кибернетики
Кафедра Высшей математики

Дипломная работа

по специальности 230401.65 «Прикладная математика»
ARCH и GARCH модели временных рядов

Студент группы М95 Молоденов К. В.

Руководитель к. ф.-м. н., профессор
Бежаева З.И.

Зав. кафедрой к. ф.-м. н., доцент
Кузьмина Л.И.

Москва
2014
2
Содержание

ВВЕДЕНИЕ ..........................................................................................................3
Глава 1. ARCH и GARCH модели. Вычисление куртозисов.............................6
§1. Процесс авторегрессии...............................................................................6
§2. Описание модели ARCH.............................................................................7
§3. Вычисление куртозиса для процесса ARCH(1).........................................9
§4. Вычисление куртозиса для процесса ARCH(2).......................................13
§5. Описание модели GARCH........................................................................19
§6. Вычисление куртозиса для процесса GARCH(1,1).................................21
Глава 2. Подбор модели для реальных данных................................................25
§1. Проверка данных на модель ARMA........................................................25
§2. Проверка данных на модель ARCH/GARCH. Выбор лучшей модели...29
§3. Подбор моделей для других данных........................................................34
Заключение.........................................................................................................41
Список использованных источников................................................................42
3

ВВЕДЕНИЕ

Моделирование и прогнозирование изменчивости различных
показателей, например акций, курсов валют на финансовых рынках в наше
время является объектом последних исследований и теоретических работ.
Все в мире меняется, цены не исключение, и предсказать их поведение
становится все сложнее.

Такие традиционные модели временных рядов, как ARMA, не всегда
могут справедливо учитывать характеристики, которыми обладают
финансовые временные ряды. Соответственно, требуется расширение таких
моделей.

Одна из особенностей финансовых рынков состоит в том, что
неопределенность, присущая рынку, изменяется во времени. Из этого
наблюдается «кластеризация волатильности». Термин «волатильность»
используется, для неформального обозначения разброса переменной.
Формальной мерой волатильности служит дисперсия. Эффект кластеризации
волатильности отмечен для таких рядов, как изменение цен акций, валютных
курсов.

Изменения в дисперсии имеют весьма важное значение для понимания
финансовых рынков, так как инвесторы требуют более высокую ожидаемую
доходность в качестве компенсации за проведение рискованных (рисковых)
активов.

Официальным названием для изменчивости дисперсии на различных
интервалах наблюдения является гетероскедастичность.
4
Остановимся на рассмотрении ARCH, GARCH моделей

Сама модель применяется для анализа временных рядов, у которых
условная (по прошлым значениям ряда) дисперсия ряда зависит от прошлых
значений дисперсий этого ряда и иных факторов.
Пусть у нас имеется временной ряд X t неких финансовых
показателей (цен, индексов, ставок по кредитам и др.) (см. Рисунок 1).

Рисунок 1. Ряд финансовых показателей.
X t 1
Тогда, преобразовав ряд X t в ряд Ytln , получим
X t
непосредственно ряд индексов цен.
Графически он выглядит так (см. Рисунок 2):

Рисунок 2. Ряд логарифмических индексов цен.
5
Видим, что графическое отображение процесса очень напоминает белый шум
(Рисунок 3):

Рисунок 3. Гауссовский белый шум.

С тем лишь отличием, что у ARCH процесса через некоторые промежутки
времени наблюдаются всплески. Это и есть та самая «кластеризация
волатильности». Под этим имеется в виду то, что могут чередоваться
периоды, когда финансовый показатель ведет себя непостоянно, и
относительно спокойные периоды.

Впервые ARCH модели были предложены американским экономистом
Робертом Инглом в 1982 году. Уже в 1986 году датский экономист
Боллерслев предложил обобщение этих моделей (GARCH).
6
Глава 1. ARCH и GARCH модели. Вычисление куртозисов

§1. Процесс авторегрессии

Так как в названии рассматриваемых моделей ARCH, GARCH
присутствует слово авторегрессия (autoregressive), то начнем с описания
именно таких процессов.
Процесс авторегрессии порядка p (обозн. AR(p)) наблюдаемой
переменной x имеет вид
t
x a a x a x ...a x ,
t 0 1 t1 2 t2 p tp t
 
где  i.i.d. N 0,2 – белый шум:
t
E0
t
2 для t 
E  
t 
0 для t 


 некоррелированные и независимые случайные величины.
t
Процесс стационарен в широком смысле тогда и только тогда, когда
все корни уравнения
1a z a z2 ...a zp 0
1 2 p
лежат за пределами единичного круга.
Будем предполагать, что процесс x стационарен в широком смысле
t
слова. Условное математическое ожидание x относительно информации,
t
содержащейся в прошлых значениях ряда x равно
t
Ex | x ,x ,... a  a x  a x ... a x .
t t1 t2 0 1 t1 2 t2 p tp
В то время как условное математическое ожидание x меняется со
t
временем в соответствии с уравнением, написанным выше, обычное
математическое ожидание процесса x не зависит от t и равно
t
a
Ex  0 .
 
t 1a a ...a
1 2 p
7
И хотя выше было описано, что, обычная дисперсия  есть постоянная
t
величина 2, условная дисперсия  может меняться с течением времени.
t
§2. Описание модели ARCH

Рассмотрим теперь авторегрессионную модель условной
гетероскедастичности порядка q (обозн. ARCH(q)):
  h ,  i.i.d.N0,1
t t t t
h  2 ...2 - ARCH(q)
t 0 1 t1 q tq
Рассмотрим условное математическое ожидание и условную
дисперсию ряда  относительно информации, содержащейся в прошлых
t
значениях ряда :
t
E | , ,... h E | , ,...0,
t t1 t2 t t t1 t2
D | , ,... hD | , ,... h;
t t1 t2 t t t1 t2 t
Делаем вывод, что h – условная дисперсия случайной величины ,
t t
относительно «прошлого» ряда .
t
Для гарантирования положительности значений этой условной
дисперсии приходится требовать:
 0,,...,  0.
0 1 q
Для сокращения запишем условие  , ,... как F .
t1 t2 t1
Поскольку E |F 0, то
t t1
D |F  E2 |F ,E2 |F  2 ...2 .
t t1 t t1 t t1 0 1 t1 q tq
Это приводит к представлению квадрата  как процесса авторегрессии
t
порядка q:
2  2 2 ...2  w.
t 0 1 t1 2 t2 q tq t
Из этого уравнения получаем, что
h2  h  w
t t t t
или
8
 
w  h 2 1 .
t t t
Из параграфа 1 мы помним, что ряд 2 стационарен в широком смысле
t
тогда и только тогда, когда все корни уравнения z0,

z zz2 ...zq лежат за пределами единичного круга.
0 1 2 q
Лемма 1. Ряд 2 стационарен в широком смысле тогда и только тогда,
t
когда   ... 1. При этом  0,,..., 0.
1 2 q 0 1 q
Доказательство:
Рассмотрим уравнение 1z z2 ...zq 0, отсюда следует, что
1 2 q
z  z2 ... zq 1.
1 2 q
Докажем необходимость. Пусть z – корень уравнения
0
1z z2 ...zq 0 и z 1.
1 2 q 0
Тогда 1 z  z2 ... zq   ... для ,..., 0. А это значит,
0 1 0 2 0 q 1 2 q 1 q
что   ... 1.
1 2 q
Докажем достаточность. Пусть   ... 1 и пусть z – корень
1 2 q 0
уравнения 1z z2 ... zq 0.
1 2 q
Предположим, что z 1. Тогда z  z2 ... zq   ... 1, но
0 0 1 0 2 0 q 1 2 q
по условию z – корень уравнения, значит z  z2 ... zq1. Получили
0 0 1 0 2 0
противоречие, следовательно z 1.
0
Лемма доказана.
Лемма 2. w – некоррелируемая последовательность и Ew 0.
t t
Покажем, что Ew 0. Действительно,
t
Ew  Eh 2 1 Eh E2 1|F  Eh E2 |F 10.
t t t t  t t1 t  t t1 
Рассмотрим теперь Eww .
t s
Пусть s t:
9
Eww  Ehh 2 12 1 Eh Eh 2 12 1|F  
t s t s t s t  s s t t1

 Eh Eh 2 1|F E2 1|F  0.
t  s s s1 t t1
Здесь E |F  означает, что вычисляется условное математическое
t t1
ожидание случайной величины относительно информации, содержащейся в
прошлых значениях ряда.
Для t  s аналогично.
Если t  s, то получим значение второго момента w . Обозначим его 2. Нам
t
он понадобится для вычисления четвертого момента .
t
Ew2  Eh22 12 2.
t t t
 
Однако четвертый момент E 4 существует не для всех ARCH моделей.
t
§3. Вычисление куртозиса для процесса ARCH(1)

Процесс ARCH(1) описывается уравнениями:
  h,
t t t
h  2
t 0 1 t1
или иначе:
2  2 w .
t 0 1 t1 t
 
Будем вычислять четвертый момент E 4 .
t
Сперва посчитаем первый и второй моменты 2, они понадобятся нам в
t
дальнейшем.
E2 E2  Ew 
t 0 1 t1 t
E21
t 1 0

E2 0 ;
t 1
1
10
D22D2  Dw 
t 1 t1 t
D2122
t 1
2
D2 .
t 12
1
      2 2 2
Итак, E 4  D 2  E 2   0 .
t t t 12 12
1 1
Как мы видим, четвертый момент зависит от ранее введенного . Вычислим
его:
 
w  h 2 1
t t t
 2
w2 h2 2 1
t t t
     2
E w2  E h2 E 2 1 2.
t t t
 
Вычислим E h2 :
t
Eh2 E 2 2  E2 4 22 2
t 0 1 t1 1 t1 0 1 t1 0
2D2  E2 2 2E2 2 
1  t1  t1   0 1 t1 0
 2 2  22 22 22 221212
2  0   1 0 2  1  0 1 0 1 1 0 1 
1 112 112 11 0 112 112

22 2 12 22 2
 1  0 1 1  1  0 .
12 12 12 12
1 1 1 1
Получаем уравнение для :
22 2 
 2
2   1  0 E 2 1 .
112 112 t
Если случайная величина Х имеет стандартное нормальное распределение, то
0 p  2n1,
EX p   , следовательно
  p p1!! p  2n
E2 12  E42E2132D E 21321 2.
t t t t t