Arbeitsbuch zur Theoretischen Physik

22 Pages·2016·0.35 MB·German

Arbeitsbuch zur Theoretischen Physik
RepetitoriumundÜbungsbuch
Bearbeitetvon
TorstenFließbach,HansWalliser
1.Auflage2011.Buch.xx,681S.Hardcover
ISBN9783827428325
Format(BxL):16,8x24cm
Gewicht:1332g
Weitere Fachgebiete > Physik, Astronomie > Physik Allgemein
Zu Inhaltsverzeichnis
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I Mechanik
1 Elementare Newtonsche Mechanik
DieNewtonschenAxiomesinddieGrundlagefürdieMessungderMasseundder
Kraft.DarüberhinausbestimmensiedieDynamik(Zeitabhängigkeit)derBewe-
gungeinesMassenpunkts.AusNewtons2.AxiomfolgendieBilanzgleichungenfür
denImpuls,denDrehimpulsunddieEnergie.DieBewegungsgleichungenkönnen
füreinSystemausN Massenpunktenverallgemeinertwerden.
DiePhysikerbenutzenbevorzugtInertialsystemealsBezugssysteme.DieNew-
tonschenAxiome(ebensowieandereGrundgleichungenderPhysik,etwadieMax-
wellgleichungenoderdieSchrödingergleichung)geltennurinInertialsystemen.Im
RahmenderNewtonschenMechanikvermittelndieGalileitransformationenzwi-
schenverschiedenenInertialsystemen.InNicht-InertialsystemenhabendieBewe-
gungsgleichungeneinekompliziertereForm.
Ein Massenpunkt ist ein Körper, für dessen Bewegung nur sein Ort relevant oder
von Interesse ist; Beispiele sind die Erde im Keplerproblem oder ein Alphateil-
chenbeiderRutherfordstreuung.DieBewegungdesMassenpunktswirddurcheine
Bahnkurve
r(t)=x(t)e +y(t)e +z(t)e (1.1)
x y z
beschrieben.AlsBezugssystemwurdehiereinkartesischesKoordinatensystemver-
wendet. Den Koordinaten x, y und z entsprechen Längen; eine geeignete Uhr de-
finiert die Zeitkoordinate t. Aus der Bahnkurve folgen die Geschwindigkeit v =
dr/dt =r˙ unddieBeschleunigunga =d2r/dt2 =r¨.
Newtons1.Axiom(auchlexprimagenannt)beziehtsichaufdieBezugssysteme
(BS):
EsgibtBS,indenendiekräftefreieBewegung
1.Axiom: (1.2)
durch r˙(t)=v=const.beschriebenwird.
Die so spezifizierten, bevorzugten BS heißen Inertialsysteme (IS). Experimentell
zeichnen sich die IS durch das Fehlen von Trägheitskräften (zum Beispiel Zentri-
fugalkraft) aus. Inertialsysteme sind Bezugssysteme, die gegenüber dem Fixstern-
himmelruhen,oderdiesichrelativzudenFixsternenmitkonstanterGeschwindig-
keitbewegen.EineBegründungfürdiesenZusammenhangwirdaberwederinder
NewtonschennochinderrelativistischenMechanik(Kapitel9)gegeben.
1
T. Fließbach, H. Walliser, Arbeitsbuch zur Theoretischen Physik,
DOI 10.1007/978-3-8274-2833-2_1, © Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2012
2 TeilI Mechanik
Newtons2.Axiom (auch lex secunda genannt) beschreibt die Bewegung unter
demEinflusseinerKraft:
mr¨ =F (2.Axiom) (1.3)
Hierdurch wird die Masse als eine dem betrachteten Körper zugeordnete Eigen-
schafteingeführt.DielinkeSeitekannalternativals ma oderals dp/dt mitdem
Impulsp =mvgeschriebenwerden.Newtons2.Axiombeinhaltet(i)dieDefiniti-
onderMasse,(ii)dieDefinitionderKraftund(iii)einephysikalischeAussageüber
dieBewegung.
WirerläuterndieDefinitionderMasseundderKraftalsMessgrößen.Einebe-
stimmte,inihrerGrößeunbekannteKraftwirkeaufzweiKörper1und2.Wirmes-
sen die Beschleunigungen a und a , die durch die Kraft hervorgerufen werden.
1 2
Nach (1.3) ist das Verhältnis m /m durch a /a gegeben; damit ist m /m als
1 2 2 1 1 2
Messgröße festgelegt. Wir definieren nun willkürlich die Masse eines bestimmten
Körpers als 1 Masseneinheit, konkret das Kilogramm (kg). Aus (1.3) folgen dann
dieMessungderKraft,undihreEinheit,1Newton=1N=1kgm/s2.
Die Masse im 2.Axiom ist die trägeMasse. Ein anderer Massenbegriffist die
schwereMasse,dieproportionalzur StärkederGravitationskraftaufeinenKörper
ist.Experimentellstelltsichaberheraus,dassdasVerhältnisvonträgerzuschwerer
Masseimmergleichgroßist(miteinerrelativenGenauigkeitbiszu10−12).Daher
verzichtetmanindenGleichungenzumeistaufeinesolcheUnterscheidung.
Das 2.Axiom ist nicht nur eine Definitionsgleichung für die Masse und die
Kraft. Vielmehr ist es auch ein physikalisches Gesetz über die Dynamik. Dieses
Gesetz kann auch falsch sein, dies ist zum Beispiel für hohe Geschwindigkeiten
(naheLichtgeschwindigkeit)derFall.
Newtons3.Axiom(auchlextertiagenannt)lautet:DerKraft, mitderdieUm-
gebungaufeinen Massenpunktwirkt,entsprichtstetseinegleichgroße,entgegen-
gesetzteKraft,mitderderMassenpunktaufseineUmgebungwirkt.FürdieKräfte,
diezweiMassenpunkteaufeinanderausüben,bedeutetdas
F =−F (3.Axiom) (1.4)
12 21
HierbeiistF dieKraft,dieaufdenKörper1wirkt.
12
FüreinigeAbleitungenschränkenwirdiemöglichenKräftedurchzweizusätz-
licheBedingungenein.DieersteEinschränkungverlangt,dassdieKräftezwischen
zweiKörpernparalleloderantiparallelzurVerbindungsliniesind:
(r −r )×F =0 (1.Zusatz) (1.5)
1 2 12
Dies giltzum Beispiel nicht für diemagnetischen Kräfte zwischen geladenen, be-
wegtenTeilchen.Der2.ZusatzbeinhaltetdasSuperpositionsprinzipderKräfte:
(cid:2)
F = F (2.Zusatz) (1.6)
i i
Der 2.Zusatz könnte für elektrische Kräfte in einem polarisierbaren Medium ver-
letzt sein. Beide Zusätze sind zum Beispiel erfüllt für (Newtonsche) Gravitations-
kräfteimSonnensystem.
Kapitel1 ElementareNewtonscheMechanik 3
WennwirunsaufKräftebeschränken,dienurvondemOrtundderGeschwin-
digkeit des Teilchens und von der Zeit abhängen, dann lautet die Bewegungsglei-
chung
mr¨(t)=F(r(t), r˙(t), t) (1.7)
Dies isteineDifferenzialgleichung2.Ordnung.Ihre Lösungenthältdaher für jede
Koordinatezwei Integrationskonstanten.Die Integrationskonstantenkönnendurch
Anfangsbedingungen(etwafürr(t)undr˙(t))festgelegtwerden.
DereindimensionaleSpezialfall
mx¨(t)=F(x(t)) (1.8)
lässtsichleichtintegrieren:
(cid:3)
x dx(cid:5)
t −t = (cid:4) (1.9)
0
x0 2[E−U(x(cid:5))]/m
(cid:5)
HierbeiwurdedasPotenzialU(x)=− dx F(x)+const.eingeführt.DieIntegra-
tionskonstantensindx undE.
0
Drehimpuls, Arbeit, Potenzial
Wenn man Newtons2.Axiom vektoriellmit r(t) multipliziert,erhält man dieBe-
wegungsgleichung
d(cid:2)
=M (1.10)
dt
für den Drehimpuls (cid:2) = r(t)×p(t) = r ×(mr˙) des Teilchens. Auf der rechten
Seite steht das auf das Teilchen wirkende Drehmoment M = r × F. Der Dreh-
impulsunddasDrehmomentbeziehen sichbeideauf denUrsprungdesgewählten
Inertialsystems.
Für eine Zentralkraft F (cid:6) ±r ist (cid:2) konstant. Daher können wir die z-Achse
des Inertialsystems in Richtung von (cid:2) legen. Die Bewegung verläuft dann in der
x-y-Ebene,undwirkönnendenBetragdesDrehimpulsesinPolarkoordinatenaus-
drücken:
(cid:4) dA
=ρ2ϕ˙ =2 =const. fürZentralkraft (1.11)
m dt
DiesistdersogenannteFlächensatz:DievomFahrstrahlproZeitintervalldt über-
stricheneFlächedA=ρ2dϕ/2istkonstant.
WenneinTeilchensichaufdemWegCvonr nachr unterdemEinflusseiner
1 2
KraftF bewegt,dannwirdanihmdieArbeit
(cid:3) (cid:3)
r
2
W = dW = dr ·F(r) (1.12)
C r ,C
1
geleistet.DieArbeitwirdinJoule(J = Nm)gemessen.DieLeistungP = dW/dt
wirdinWatt(W=J/s)gemessen.
4 TeilI Mechanik
Kräfte,diesichinderForm
dU(r)
F ·r˙ =− (1.13)
kons
dt
schreiben lassen, heißen konservativ. Kräfte, die sich nicht so schreiben lassen,
heißen dissipativ. Damit können wir jede Kraft so aufteilen, F = F +F .
kons diss
WirsetzendieseAufteilungindas2.NewtonscheAxiomeinundmultiplizierendie
Gleichungskalarmitr˙.Damiterhaltenwir
(cid:6) (cid:7)
d mr˙2
+U(r) =F ·r˙ (1.14)
diss
dt 2
DiesisteineEnergiebilanzgleichungmitderkinetischenEnergieT = mr˙2/2und
derpotenziellenEnergieU(r).DasStandardbeispielfürdiedissipativeKraftistdie
ReibungskraftF = −γ r˙.SieführtzueinerAbnahmederEnergieE = T +U
diss
desTeilchens.
Für einekonservativeKraft der FormF(r) = −gradU(r) kanndas Potenzial
U(r)aus (cid:3)
r
U(r)−U(r ) =−W = − dr(cid:5)·F(r(cid:5)) (1.15)
0
r
0
berechnetwerden.Der Ausgangs-oderBezugspunktr istdabeibeliebig;dasPo-
0
tenzialistnurbisaufeineKonstante(hierU(r ))festgelegt.DerWertdesIntegrals
0
istunabhängigvomWegzwischenr undr.
0
System von Massenpunkten
Wir betrachten ein System aus N Massenpunkten (zum Beispiel unser Sonnen-
system).FürjedenMassenpunktgiltNewtons2.Axiom,
(cid:8)N
m r¨ (t)=F = F(a) + F (1.16)
ν ν ν ν νμ
μ=1,μ(cid:7)=ν
Im letzten Schritt wurden die Kräfte in innere und äußere Kräfte aufgeteilt. Die
innerenKräftesinddiejenigen,diedieMassenpunktedesSystemsaufeinanderaus-
üben (etwa die Gravitationskräfte zwischen den Körpern im Sonnensystem). Die
äußeren Kräfte F(a) sind diejenigen Kräfte, die von außen auf das System wirken
ν
(etwadieGravitations(cid:2)kräfte,diedieMilchstraßeaufdasSonnensystemausübt).
Der Vektor R = m r /M gibt die Lage des Schwerpunkts an. Aus (1.16)
ν ν ν
folgt
(cid:8)N
MR¨ = F(a) =F (1.17)
ν
ν=1
Die inneren Kräfte sind also ohne Einfluss auf die Bewegung des Schwerpunkts;
diesliegtam3.Axiom.FüreinabgeschlossenesSystemgiltImpulserhaltung,P =
MR˙ =const.
Kapitel1 ElementareNewtonscheMechanik 5
(cid:2) (cid:2)
FürdenDrehimpulsL= m (r ×r˙ )= (cid:2) erhaltenwiraus(1.16)
ν ν ν ν ν ν
(cid:8)N
dL
= r ×F(a) =M (1.18)
dt ν ν
ν=1
Die zeitliche Änderung des Gesamtdrehimpulsesist also gleich dem Gesamtdreh-
moment der äußeren Kräfte. Für ein abgeschlossenes System gilt Drehimpuls-
erhaltung,L=const.
InderAbleitungvon(1.18)wurdeder1.Zusatz(1.5)verwendet.DieserZusatz
giltnichtfürbewegte,geladeneTeilchen.IndiesemFallmussderDrehimpulsdes
elektromagnetischenFeldsinderDrehimpulsbilanzberücksichtigtwerden.
FürdieEnergiebilanzteilenwirdieKräftewiederinkonservativeunddissipa-
tiveAnteileauf.WirbeschränkenunsaufkonservativeKräftederForm
∂U(r ,r ,...,r )
F =− 1 2 N (1.19)
ν,kons
∂r
ν
DannlautetdieEnergiebilanzgleichung
d (cid:9) (cid:10) (cid:8)N
T +U = F ·r˙ (1.20)
ν,diss ν
dt
ν=1
(cid:2)
Hierbei ist T = mr˙2/2 die gesamte kinetischeEnergie. Wenn es keinedissi-
ν ν
pativenKräftegibt,dannistdieEnergieerhalten,E =T +U =const..
FürkonservativeKräfte,diesichdurchF = −grad U ausdrückenlassen,ist
ν ν
einepotenzielleEnergievonderForm
(cid:8)N (cid:8)N (cid:8)ν−1
U(r ,r ,...,r )= U (r )+ U (|r −r |) (1.21)
1 2 N ν ν νμ ν μ
ν=1 ν=2 μ=1
Galileitransformation
Newtons Axiome gelten nur in Inertialsystemen (IS). Dies sind Systeme, die ge-
genüberdemFixsternhimmelnichtbeschleunigtsind.VoneinemISkommtmanzu
(cid:5)
einemanderen IS durch (konstante)räumlicheoder zeitlicheVerschiebung,durch
DrehungoderdurcheineVerschiebungmiteinerkonstantenGeschwindigkeit.Alle
möglichenInertialsystemesindgleichwertig;diesistdieAussagedesRelativitäts-
prinzips.
Gleichwertigkeit heißt dabei, dass grundlegende Gesetze in allen Inertialsys-
temen dieselbe Form haben. In der nichtrelativistischen Mechanik geht man da-
von aus, dass Newtons Axiome solche grundlegenden Gesetze sind. Hieraus folgt
danndieFormderTransformationzwischenverschiedenenIS.Diesesobestimmten
TransformationenheißenGalileitransformationen.
6 TeilI Mechanik
Die allgemeine Galileitransformation zwischen IS (Koordinaten x und t) und
i
(cid:5) (cid:5) (cid:5)
IS (Koordinatenx undt )lautet:
i
(cid:8)3
x(cid:5) = α x −v t −a , t(cid:5) =t −t (1.22)
i ij j i i 0
j=1
EinesolcheTransformationbeziehtsichaufeinEreignis,dasinISdieKoordinaten
(cid:5) (cid:5) (cid:5) (cid:5) (cid:5)
x ,x ,x ,t hat, und in IS die Koordinaten x ,x ,x ,t . Ein bestimmtes Ereignis
1 2 3 1 2 3
(etwaZusammenstoßvonzweiTeilchen)wirdvonzweiverschiedenenStandpunk-
tenbetrachtet(etwazweiBeobachtern).
DieallgemeineGalileitransformationbeinhaltet:(i)räumlicheVerschiebungum
v t, (ii) räumliche Verschiebung um a , (iii) Drehung (α ) und (iv) zeitliche Ver-
i i ij
schiebungumt .DieGalileitransformationhängtdamitvon10Parameternab.Die
0
GalileitransformationenbildeneineGruppe.
Bei der Diskussion der Galileitransformation steht meist die Relativbewegung
(cid:5)
zwischenISundIS imVordergrundundmankannsichdannaufspezielleGalilei-
transformationbeschränken:
x(cid:5) =x−vt, y(cid:5) =y, z(cid:5) =z, t(cid:5) =t (1.23)
Wir haben hierein Ereignisundzwei Inertialsystemebetrachtet(passiveTransfor-
mation).ImGegensatzdazukannmanaucheinInertialsystembetrachtenundzwei
Ereignisse,derenKoordinatendurcheineGalileitransformationverbundensind(ak-
tiveTransformation).
Unterwirft man ein ganzes physikalisches System einer aktiven Transformati-
on, so laufen die Vorgänge im ursprünglichen und im transformierten System im
Allgemeinen verschieden ab. Speziell für abgeschlossene Systeme lässt die aktive
Galileitransformation aber die Bewegungsgleichungen invariant. Als Beispiel be-
trachteetwa(1.21)ohneäußereKräfte (U = 0).MitdenAbständen|r −r |ist
ν ν μ
dasPotenzialU danninvariantuntereineraktivenTransformation.Abgeschlossene
SystemesindinvariantunteraktivenGalileitransformationen.Dadiesfürbeliebige
Systemegilt,sinddieseInvarianzenSymmetrienunsererRaum-Zeit.
Experimentellstelltmanfest,dassLichtsichinallenInertialsystemenmitder-
selben Geschwindigkeitausbreitet. Dies steht im Widerspruch zur Galileitransfor-
mation.Aus(1.23)folgtnämlichx˙(cid:5) =x˙ −vfürdieTransformationderGeschwin-
digkeit.EinObjekt,dassichinISmitderGeschwindigkeitcbewegt,müsstedanach
inIS(cid:5) dieGeschwindigkeitc−v haben.
Rotierendes Bezugssystem
Die Gültigkeit der Newtonschen Axiome ist auf Inertialsysteme (IS) beschränkt.
Zu den abweichenden Bewegungsgesetzen in einem beschleunigten Koordinaten-
(cid:5)
system KS gelangt man, wenn man die Transformation zwischen dem IS und
(cid:5)
KS indieNewtonschenGesetzeeinsetzt.DieAbweichungenbesteheninzusätzli-
(cid:5)
chenTrägheitskräften.DieseKräfteheißenauchScheinkräfte;inKS sinddiesaber
durchausrealeKräfte.
Kapitel1 ElementareNewtonscheMechanik 7
Die Transformation r = r(cid:5) +a t2/2 mit t(cid:5) = t (und a = const.) führt zu
0 0
einem linear beschleunigtenSystem; denn der Ursprung von KS(cid:5) (r(cid:5) = 0) bewegt
sichinISgemäß r = a t2/2.InISwirdeinekräftefreie Bewegungdurch r¨ = 0
0
beschrieben.HierauswirdinKS(cid:5) r¨(cid:5) = −a .ImGegensatzzuNewtontrittaufder
0
rechtenSeitedieTrägheits-oderScheinkraft F =−ma auf.
tr 0
EininteressanterAspektistdieMöglichkeit,GravitationskräftedurchTrägheits-
kräfte zu kompensieren. So verlaufen in einem Satellitenlabor die Vorgänge wie
ohneGravitation;vonderErdeausgesehenhebensichGravitations-undBeschleu-
nigungskräftegeradeauf.VoraussetzungfürdieseKompensationistdieGleichheit
vonschwererundträgerMasse.DieserAspektistderAusgangspunkt,dendieAll-
gemeineRelativitätstheoriezurAufstellungrelativistischerGesetzemitGravitation
verwendet.
Von besonderer Bedeutung sindrotierende Bezugssysteme,weil ein Labor auf
der Erdoberfläche ja mit der Erde rotiert. Die weitere Diskussion beschränkt sich
aufsolcherotierendenBezugssysteme.
(cid:5)
Das Bezugssystem KS rotiere relativ zu IS mit einer konstanten Winkelge-
schwindigkeit ω = dϕ/dt. Bei einer Rotation um den Winkel dϕ ändert sich ein
inKS(cid:5)konstanterVektorG um dG =dϕ×G.DiegesamteÄnderungvonG in
rot
ISistdann dGIS = dGKS(cid:5) +dGrot,wobei dGKS(cid:5) dieÄnderungrelativzuKS(cid:5) ist.
Hierausfolgt (cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7)
dG dG
= +ω×G (1.24)
dt IS dt KS(cid:5)
FürdenOrtsvektorr =r(cid:5) wirddieszu
dr (cid:8)3 dx(cid:5) (cid:8)3 de(cid:5)
r˙ = = i e(cid:5) + x(cid:5) i =r˙(cid:5)+ω×r(cid:5) (1.25)
dt dt i i dt
i=1 i=1
H(cid:2)ierfürwurdederOrtsvektornachdenBasisvektorenvonKS(cid:5)entwickelt,alsor(cid:5) =
3 x(cid:5)(t) e(cid:5)(t). Der erste Term istdie Änderung des Ortsvektorsrelativzu KS(cid:5),
i=1 i i
alsogleich(dr/dt)KS(cid:5).ImzweitenTermwurde(de(cid:5)i/dt)=ω×e(cid:5)i verwendet.
Wir wenden (1.24) nunmehr auf die Geschwindigkeit an und erhalten damit
r¨ =r¨(cid:5)+2(ω×r˙(cid:5))+ω×(ω×r(cid:5)).FüreinkräftefreiesTeilchengiltimISdas1.Axiom
mr¨ =0.HierausfolgtfüreinkräftefreiesTeilchenimrotierendenSystem:
(cid:9) (cid:10) (cid:9) (cid:10)
mr¨(cid:5) =−2m ω×r˙(cid:5) −mω× ω×r(cid:5) (1.26)
DieTrägheitskräfteaufderrechtenSeitewerdenalsCorioliskraftundZentrifugal-
kraft bezeichnet. Die Corioliskraft ist proportional zu ω und zur Geschwindigkeit
desbetrachtetenMassenpunkts.SiestehtsenkrechtzurBewegungsrichtung;aufei-
nem Karussell ist es schwierig, geradeaus zu gehen. Die Zentrifugalkraft ist pro-
portionalzu ω2 undzum AbstanddesMassenpunktsvon der Drehachse. Sie zeigt
von der Drehachse weg; auf einem schnell rotierenden Karussell muss man sich
festhalten,umnichtnachaußenwegzugleiten.
8 TeilI Mechanik
Aufgaben
1.1 BeschleunigunginKugelkoordinaten
InKugelkoordinaten(r,θ,φ)istdieBahnkurveeinesMassenpunktsvonderForm
r(t)=r(t)e (t).GebenSiedieGeschwindigkeitunddieBeschleunigungebenfalls
r
inKugelkoordinatenan.
Lösung: DieEinheitsvektorene ,e unde gebendieRichtungenderÄnderungvonrbei
r θ φ
derÄnderungr → r+dr,θ → θ +dθ oderφ → φ+dφan.Wirdrückensiedurchdie
kartesischenEinheitsvektorenaus:
e = sinθ cosφ e +sinθ sinφ e +cosθ e
r x y z
e = cosθ cosφ e +cosθ sinφ e −sinθ e
θ x y z
e = −sinφ e +cosφ e
φ x y
DiekartesischenBasisvektorensindzeitunabhängig.DaherwirkendieZeitableitungennur
aufdieVorfaktoren.InderDarstellungalsSpaltenvektorenerhaltenwir
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
sinθ cosφ cosθ cosφθ˙−sinθ sinφφ˙
e :=⎝ sinθ sinφ ⎠ −→ e˙ = der :=⎝ cosθ sinφθ˙+sinθ cosφφ˙ ⎠
r cosθ r dt −sinθ θ˙
Das Ergebnis kann durch die Basisvektoren e , e und e ausgedrückt werden. Mit den
r θ φ
analogenAusdrückenfüre˙ unde˙ erhaltenwirso
θ φ
e˙ =θ˙e +sinθφ˙ e , e˙ =−θ˙e +cosθφ˙ e , e˙ =−sinθφ˙ e −cosθφ˙ e
r θ φ θ r φ φ r θ
WirleitennundieBahnkurver(t)=r(t)e (t)nachderZeitab:
r
v(t)= dr =r˙e +re˙ = r˙e +rθ˙ e +r sinθφ˙ e
dt r r r θ φ
Dieserhältmanauch,wennmandasWegelementdr = dr e +rdθ e +r sinθdφe in
r θ φ
v = dr/dt einsetzt.Spätestens imnächstenSchrittbenötigt manaberdieZeitableitungen
derBasisvektoren.
DieDifferenziationderGeschwindigkeitergibtdieBeschleunigung
a(t)=r¨ = dv = (cid:9)r¨−rθ˙2−r sin2θφ˙2(cid:10)e +(cid:9)rθ¨+2r˙θ˙−r sinθ cosθ φ˙2(cid:10)e
dt (cid:9) r (cid:10) θ
+ r sinθ φ¨+2sinθ r˙φ˙+2r cosθ θ˙φ˙ e
φ
MitdenLagrangegleichungen2.Art(Kapitel2)kannmandieseErgebnissewesentlichein-
fachererhalten.
1.2 AbstürzenderSatellit
EinErdsatellit(Massem)bewegtsichunterdemEinflussderGravitationskraftund
einerReibungskraft:
α
F =F +F =−m e − mγ(r)v
grav diss r2 r
Kapitel1 ElementareNewtonscheMechanik 9
Dabei ist r der Abstand zum Erdmittelpunkt,α = GM mit der Erdmasse M und
γ(r) > 0. Stellen Sie mit Hilfe der Ergebnisse aus Aufgabe 1.1 die Bewegungs-
gleichungeninKugelkoordinaten(r,θ,φ)auf.Wiemüssenγ(r),β und(cid:14) gewählt
werden,damit
(cid:9) (cid:10) (cid:9) (cid:10)
1
r(t)=r 1−βt 2/3, θ(t)=− ln 1−βt 2/3, φ(t)=const. (1.27)
0
(cid:14)
dieBewegungsgleichungenlöst?WelcheFormhatdieBahnkurve?BestimmenSie
denBetragderGeschwindigkeit|v|alsFunktionvonr.
Lösung: In Aufgabe 1.1 wurden die Beschleunigung a und die Geschwindigkeit v in
Kugelkoordinatenangegeben.Hiermitwird ma =F zu
α
r¨−rθ˙2−rφ˙2sin2θ = − −γ(r)r˙
r2
rθ¨+2r˙θ˙−rφ˙2sinθ cosθ = −γ(r)rθ˙
rφ¨ sinθ +2r˙φ˙ sinθ +2rθ˙φ˙ cosθ = −γ(r)rφ˙ sinθ
Für (1.27) ist die dritte Gleichung trivialerweise erfüllt, und in den anderen Gleichungen
fallendieφ˙2-Termeweg.WirberechnennundieZeitableitungenvonr undθ für(1.27):
(cid:15)
(cid:16) (cid:17)
r˙ = −2β r (1−βt)−1/3=−2β r r0 , θ˙ = 2β(1−βt)−1 = 2β r0 3/2
3 0 3 0 r 3(cid:14) 3(cid:14) r
(cid:16) (cid:17)
r¨ = −2β2 r (1−βt)−4/3 =−2β2 r03 , θ¨ = 2β2(1−βt)−2 = 2β2 r0 3
9 0 9 r2 3(cid:14) 3(cid:14) r
undsetzensieindieerstenbeidenGleichungenein.DieresultierendenGleichungenkönnen
nachγ undβaufgelöstwerden:
(cid:16) (cid:17) (cid:15)
β r 3/2 3(cid:14) α
γ(r)= 0 , β =
3 r 2r r (1+(cid:14)2)
0 0
DerAnsatzfürF machtnurfürγ(r)>0Sinn,alsofürβ >0und(cid:14) >0.Esgibteinen
diss
freien, positiven Parameter (cid:14), der β, γ(r) und damit die Lösung festlegt. Die Bahnkurve
(1.27)isteinelogarithmischeSpirale
r(θ)=r exp(−(cid:14)θ)
0
FürdasQuadratderGeschwindigkeitgilt
(cid:16) (cid:17)
v2 = r˙2+r2θ˙2 = 4β2 1+ 1 r03 = α
9 (cid:14)2 r r
√
TrotzReibungnimmtdieGeschwindigkeitv= α/rbeiAnnäherungandieErdoberfläche
immer weiter zu. Anstelle der hier verwendeten Reibungskraft wäre F ∝ (cid:15)v2 mit der
diss
Luftdichte(cid:15)(r)einrealistischererAnsatz.