Arbeitsbuch zur Analysis einer Veränderlichen: Aufgaben und Lösungen

231 Pages·2014·2.581 MB·German

by  Uwe Storch, Hartmut Wiebe (auth.)

Arbeitsbuch zur Analysis einer Veränderlichen
Uwe Storch • Hartmut Wiebe
Arbeitsbuch zur Analysis
einer Veränderlichen
Aufgaben und Lösungen
Prof. Dr. Uwe Storch
Dr. Hartmut Wiebe
Fakultät für Mathematik
Ruhr-Universität-Bochum
Bochum, Deutschland
ISBN 978-3-642-45048-8 ISBN 978-3-642-45049-5 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-45049-5
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Vorwort
DiesesBuchistalsErgänzungzuundzumGebrauchnebeneinerVorlesungüberAnalysiseiner
Veränderlichen gedacht. Es ist hervorgegangen aus den Übungen zu unseren entsprechenden
VorlesungenfürMathematiker,PhysikerundInformatikerundenthältAufgabenverschiedener
SchwierigkeitsgrademitausführlichenLösungen. Wirsetzendabeivoraus, dassderLeserdie
grundlegenden Begriffe undAussagen bereits gehört oder sich anderweitig – etwa im Selbst-
studium– angeeignethat. DasvorliegendeBuchalleinkannalsokeinLehrbuchersetzen. Wir
hoffenaber,dasseswesentlichbeimErlernendesStoffeshilft.AlsLeitfadenfürdieAnordnung
dient der erste Band unseres Lehrbuchs der Mathematik über Analysis einer Veränderlichen,
dasebenfallsimVerlagSpringerSpektrumerschienenist. VielederAufgabensindLetzterem
entnommen,eineganzeReiheistaberneu. AndererseitskonntenjedochbeiWeitemnichtalle
AufgabendesgenanntenBuchesbehandeltwerden. Hinweisewerdenmöglichstinhaltlichund
unabhängig von einer speziellen Quelle gegeben. Um den Leser – wie derTitel besagt – zur
Mitarbeitanzuregen,habenwireinige(miteinem‡versehene)AufgabenohneLösungengelas-
sen, wenn sie gelöstenAufgaben ähnlich sind. Das Ergebnis wird dann in der Regel genannt.
WirsehendievorgestelltenLösungennuralsVorschlägean,diefreilichvomLeserakribischmit
PapierundBleistiftverfolgtwerdensollten.Vielfachwirdereineneigenenundmöglicherweise
besserenLösungswegfinden. FüreinigeAufgabenpräsentierenwirselbstmehrereLösungen.
OhnehinsolltedasLösenvonAufgabennieSelbstzwecksein,sondernimmerauchneueAspekte
desStoffesaufzeigenunddazudienen,dasArsenalanMethodenundKunstgriffenzuerweitern.
DementsprechendfügenwirimmerwiederBemerkungenan,beidenenwirgelegentlichetwas
vorgreifen,diedieResultateaberillustrieren,ergänzenundhoffentlichauchinteressantmachen.
DieeinzelnenAbschnitteundParagraphensindwieinBand1desLehrbuchsderMathematik
nummeriert und bezeichnet. DieAufgaben sind im vorliegenden Band neu nummeriert, zum
Teil etwas umformuliert und werden in der Form "1.A,Aufgabe 1" (mit demWort "Aufgabe"
ausgeschrieben)zitiert. ZujederAufgabe,dieausBand1stammt,gebenwirdiedortigeAufga-
bennummeran. AndereZitateohneweitereHinweisebeziehensichimmeraufBand1unseres
LehrbuchsderMathematik. DazugehöreninsbesondereZitatewie"1.A,Aufg.1"(mit"Aufg."
nichtausgeschrieben). HinweiseaufdieBände2,3und4sindmitLdM2,LdM3bzw.LdM4
gekennzeichnet. Wiebereitsgesagt,werdennichtgelösteAufgabendurchein‡markiert. Das
StichwortverzeichnisenthältnurEinträge,dieineinzelnenAufgabenoderBemerkungenbeson-
derserwähntwerden.AnsonstenorientieremansichamInhaltsverzeichnis.
DerWunsch nach einem Lösungsband wurde vielfach von Lesern an uns herangetragen. Bei
derGestaltungderProgrammeinAbschnitt3.Ahatuns(wieder)HerrDr.T.Storchwesentlich
geholfen. Herrn Dr.A.Rüdinger vom Verlag Springer Spektrum danken wir herzlich dafür,
dass er das Erscheinen möglich gemacht hat, sowie generell für seine gute Betreuung unserer
Lehrbuchreihe.
Bochum,imDezember2013 UweStorch,HartmutWiebe
[email protected]
[email protected]
http://www.rub.de/ffm/Lehrstuehle/Storch/StorchWiebe LdM.html
Inhaltsverzeichnis
1 Mengen undAbbildungen
1.A Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.B Abbildungen und Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.C Familien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.D Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Die natürlichen Zahlen
2.A Vollständige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.B Endliche Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.C Abzählbare Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.D Primfaktorzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Ein Grundkurs in C
3.A Einige Programmbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4 Die reellen Zahlen
4.A Die Körperaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.B Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.C Ringe und Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.D Angeordnete Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.E Der Begriff der konvergenten Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.F Konvergente Folgen undVollständigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.G Folgerungen aus derVollständigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5 Die komplexen Zahlen
5.A Konstruktion der komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.B Konvergente Folgen komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.C Polarkoordinatendarstellung komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . 69
6 Reihen
6.A Konvergenzkriterien für Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.B Summierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7 DiskreteWahrscheinlichkeitsräume
7.A Der Begriff des diskretenWahrscheinlichkeitsraumes . . . . . . . . . . . 85
7.B Produkte vonWahrscheinlichkeitsräumen . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.C Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8 Erwartungswert undVarianz
8.A Erwartungswert undVarianz einer Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . 97
8.B Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
9 Stochastische Unabhängigkeit
9.A BedingteWahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
9.B Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . 108
10Stetigkeit
10.AGrenzwerte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
10.BStetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
VIII Inhaltsverzeichnis
10.CDer Zwischenwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
10.DStetige Funktionen auf kompakten Mengen . . . . . . . . . . . . . . 114
11Polynom-, Exponential- und Logarithmusfunktionen
11.APolynomfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
11.BRationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
11.CReelle Exponential- und Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . . 118
12Funktionenfolgen und Potenzreihen
12.AKonvergenz von Funktionenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
12.BPotenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
12.CRechnen mit Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
12.DAnalytische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
12.E Exponentialfunktion · Kreis- und Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . 129
13Differenzierbare Funktionen
13.ARechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
13.BDifferenziation analytischer Funktionen · Ho¨hereAbleitungen . . . . . . 135
13.CBeispiele spezieller Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
14Der Mittelwertsatz
14.ADer Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
14.BKreisfunktionen und ihre Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . . . . . 147
14.CKonvexe und konkave Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
14.DDas Newton-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
14.E Differenzieren von Funktionenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
15Approximation durch Polynome
15.ADie Taylor-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
16Stammfunktionen und Integrale
16.AStammfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
16.BBestimmte Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
16.CHauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung . . . . . . . . . . . . 193
17Uneigentliche Integrale
17.AUneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
17.BDie (cid:2)-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
18Approximation von Integralen
18.AIntegralrestglieder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
18.BBeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
18.CNumerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
19Einfache Differenzialgleichungen
19.ADifferenzialgleichungen mit getrenntenVariablen . . . . . . . . . . . . 207
19.BLineare Differenzialgleichungen erster Ordnung . . . . . . . . . . . . 211
19.CBeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
19.DLineare Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . 216
19.E Lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 219
Stichwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
1.AMengen 1
1Mengen und Abbildungen
1.AMengen
In denAufgaben diesesAbschnitts sind einfacheAussagen über Mengen herzuleiten. Solche
BeziehungenwerdenimmerwiederbenutztundsolltenalsRoutineempfundenwerden. Viele
davon werden später selbstverständlich sein, wobei naive Mengenvorstellungen mit Hilfe von
Venn-Diagrammennützlichseinkönnen. NotfallsprüfemanaberdieGleichheitzweierMengen
AundB nachdemSchema: (1)Ist a∈A,soistauch a∈B,d.h.esgiltA ⊆ B. (2)Istb∈B,
soistauchb∈A, d.h.esgiltB ⊆ A. DabeiistaufdiegenaueBedeutungderKonjunktionen
„und“, „oder“, „entweder...oder“, „wenn...,dann“ usw. zuachten.
Aufgabe1(1.A,Aufg.2) FürMengenAundBsindfolgendeAussagenäquivalent:(1) A⊆B.
(2) A∩B =A. (3) A∪B =B. (4) A−B =∅. (5) B−(B−A)=A. (6) FürjedeMenge
Cist A∪(B∩C)=(A∪C)∩B. (7) EsgibteineMengeCmit A∪(B∩C)=(A∪C)∩B.
Lösung (1)⇒(2): SeiA⊆B. StetsgiltnatürlichA∩B ⊆A,daalleElementevonA∩B
inA(undinB)liegen. UmgekehrtzeigenwirA ⊆ A∩B. Seidazux∈A. WegenA ⊆ B ist
dannauchx∈B undsomitx∈A∩B. InsgesamtfolgtA∩B =A.
(2) ⇒ (1): Sei A ∩ B = A. Wir zeigen A ⊆ B. Sei dazu x ∈ A. Dann ist aber auch
x∈A=A∩B undsomitx∈B.
(1)⇒(3):SeiA ⊆ B. Wirzeigen A∪B ⊆ B. Seidazux∈A∪B,d.h.x∈Aoderx∈B.
ImerstenFallistx∈A⊆B,alsoauchx∈B,imzweitenFallistsowiesox∈B. DieInklusion
B ⊆A∪B giltstets. InsgesamtfolgtA∪B=B.
(3) ⇒ (1): Sei A ∪ B = B. Wir zeigen A ⊆ B. Sei dazu x ∈ A. Dann ist aber auch
x∈A∪B =B.
(1)⇒(4):SeiA⊆B. Wirzeigen A−B =∅. Angenommen,esgäbeeinx∈A−B,d.h.mit
x∈Aundx∈/B. WegenA⊆Bfolgtausx∈Aaberx∈BimWiderspruchzux∈/B.Alsokann
eskeinElementx∈A−B geben.
(4)⇒(1): Sei A−B =∅. WirzeigenA⊆B. Seidazux∈A. Wäredannx∈/B,sowäreaber
x∈A−B imWiderspruchzu A−B =∅.Alsoistauchx∈B.
(1) ⇒ (5): Sei A ⊆ B. Wir zeigen B−(B−A) = A. Sei dazu x∈B−(B−A). Dann ist
sicherx∈B. Wärex∈/A,sowärex∈B−Aundfolglichx ∈/ B−(B−A). Widerspruch. Also
istx∈A. WirerhaltenB−(B−A) ⊆ A. NunzeigenwirdieumgekehrteInklusion: Seidazu
x∈A. Dannistsicherx ∈/ B−A,aberx∈B wegenA ⊆ B. Esfolgtx∈B−(B−A). Wir
erhaltensoA⊆B−(B−A),alsoinsgesamtdiegewünschteGleichheit.
(5) ⇒ (1): Sei B−(B−A) = A. Wir zeigen A ⊆B. Sei dazu x∈A. Dann ist aber auch
x∈A=B−(B−A)undsomitx∈B.
(1)⇒(6): SeiA⊆B. WirzeigenA∪(B∩C)=(A∪C)∩B. Seidazux∈A∪(B∩C).
Dannistx∈Aoderesistx∈ B ∩C. ImerstenFallistwegenA ⊆ B auchx∈B undwegen
A ⊆ A∪C auchx∈A∪C unddamitx∈ (A∪C)∩B. ImzweitenFallistx∈B undx∈C
undsomitwegenC ⊆A∪C auchx∈A∪C,d.h.insgesamtx∈(A∪C)∩B. Nunzeigenwir
dieumgekehrteInklusion: Seidazux∈(A∪C)∩B. Dannistx∈ A∪C undx∈B. Wegen
x∈A∪C istx∈Aoderx∈C. ImerstenFallistauchx∈A⊆A∪(B∩C). ImzweitenFall
istwegenx∈B auchx∈B∩C undfolglichx∈A∪(B∩C).
U. Storch, H. Wiebe, Arbeitsbuch zur Analysis einer Veränderlichen,
DOI 10.1007/978-3-642-45049-5_1, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2014
2 §1MengenundAbbildungen
(6)⇒(7): DieseImplikationisttrivial,daeseineMengeC gibt(z.B.C =∅).
(7)⇒(1): SeiA∪(B∩C) = (A∪C)∩B füreineMengeC. WirzeigenA ⊆B. Seidazu
x∈A. Dannistaberauchx∈A∪(B∩C)=(A∪C)∩B. Esfolgtx∈B (undx∈A∪C). •
Bemerkung WirhabenfolgendeImplikationengezeigt:
(1)⇔(2), (1)⇔(3), (1)⇔(4), (1)⇔(5) sowie (1)⇒(6)⇒(7)⇒(1).
DarausfolgenallemöglichenImplikationenzwischenjezweiderAussagen(1)bis(7)reinformal
undbrauchennichteigensbehandeltzuwerden. NatürlichsindauchandereImplikationssche-
mata denkbar. Am ökonomischsten wäre ein so genannter Ringschluss, etwa nach dem
Schema(1)⇒(2)⇒(3)⇒(4)⇒(5)⇒(6)⇒(7)⇒(1),dochistdieservonderSacheher
nichtimmerangemessen.
Aufgabe2 (1.A,Aufg.4b)) FürMengenA,B,C gilt (A∪B)−C =(A−C)∪(B−C).
Lösung Seix∈(A∪B)−C. Dannistx∈A∪B undx∈/C. Wegenx∈A∪B istx∈Aoder
x∈B. ImerstenFallistx∈ A−C, undimzweitenFallfolgtx ∈ B −C. InjedemFallist
x∈(A−C)∪(B−C) undinsgesamt(A∪B)−C ⊆(A−C)∪(B−C). – Fürdieumgekehrte
Inklusionsei x∈(A−C)∪(B−C). Dannist x∈A−C oder x∈B−C. InbeidenFällen
ist x∈(A∪B)−C. •
Aufgabe3 FürMengenA,B,Cgilt (A∪B)−C =A∪(B−C)genaudann,wennA∩C =∅.
Lösung SeizunächstA∩C = ∅. Wirhabendann(A∪B)−C = A∪(B −C)zuzeigen.
WegenAufgabe2isthierfürnurnoch(A∪B)−C ⊇ A∪(B −C) nachzuweisen. Seidazu
x∈ A∪(B−C). Dannistx∈Aoderx∈B−C. ImerstenFallisterstrechtx∈ A∪B und
fernerx∈/ C, dax wegenderVoraussetzungA∩C = ∅nichtgleichzeitiginAundC liegen
kann. Esfolgtalsox∈(A∪B)−C. ImzweitenFallistsicherx∈B,alsoerstrechtx∈A∪B
undferner x∈/C.AuchindiesemFallerhältmanalso x∈(A∪B)−C.
Seinunumgekehrt (A∪B)−C =A∪(B−C). WirhabenA∩C =∅zuzeigen. Gäbeesein
x∈A∩C,sowäre x∈Aund x∈C.Wegenx∈Awäreerstrechtx∈A∪(B−C)=(A∪B)−C,
undesergäbesichx∈/ C imWiderspruchzux∈C. •
InähnlicherWeiselösemandiefolgendeAufgabe:
‡Aufgabe 4 Für Mengen A,B,C gilt A−(B −C) ⊆ (A−B)∪C. – Genau dann gilt
A−(B−C)=(A−B)∪C,wenn C ⊆Aist.
Aufgabe5 (1.A,Aufg.6e)) FürMengenA,B,C folgtausA(cid:10)B =A(cid:10)C stetsB =C.
Lösung SeiA(cid:10)B = A(cid:10)C,d.h.(A∪B)−(A∩B) = (A∪C)−(A∩C). WirzeigenB⊆C.
AnalogfolgtdannC⊆B,daVoraussetzungundBehauptungsymmetrischinBundCsind,und
somitB=C. Seialsox∈B. WirunterscheidenzweiFälle: ImerstenFallseiauchx∈A. Dann
istx ∈A∪Bundx ∈A∩B,alsox ∈/ (A∪B)−(A∩B)=(A∪C)−(A∩C). Wegenx∈A∪C
istdannauchx∈ A∩C undsomitx∈C. ImzweitenFallseix∈/A. Dannistx ∈ A∪B,aber
x ∈/ A∩B,alsox ∈(A∪B)−(A∩B)=(A∪C)−(A∩C)undsomitx∈A∪C. Wegenx∈/A
folgtwiederx∈C. •
Bemerkung ImMengenringP(A∪B∪C)istdiesymmetrischeDifferenz(cid:10)dieAddition+,
vgl.4.B,Aufgabe4.Aus A+B =A(cid:10)B =A(cid:10)C =A+Cfolgtdaher B =−A+(A+B)=
−A+(A+C)=C.WegenA+A=A(cid:10)A=∅=0istübrigensA=−AimRingP(A∪B∪C).
1.BAbbildungenundFunktionen 3
1.BAbbildungen und Funktionen
IndenfolgendenAufgabenwerdenimWesentlichenBeispielevonAbbildungenundFunktionen
diskutiert. Wirbetonennocheinmal: ZweiAbbildungenf :A→B undg:C →Dsindgenau
dann gleich, wenn A = C, B = D ist und wenn für jedes x ∈ A = C gilt f(x) = g(x).
Gelegentlich wird auf die Gleichheit der Wertebereiche B und D nicht der gebührende Wert
gelegt. Fragtmanaberz.B.nachderSurjektivitäteinerAbbildung,soistihrWertebereichganz
entscheidend. Manscheuesichnicht,dieGraphenmöglichstvielerFunktionenzuskizzieren.
Aufgabe1 (Teilvon1.B,Aufg.4) Manuntersuche,obdieAbbildungf :R×R→R×Rmit
f(x,y):=(xy,x+y)injektiv,surjektivbzw.bijektivist. –DieentsprechendeAufgabelöseman
für g:R×R−{(0,0)}−→(cid:2) R×R−{(0,0)}m(cid:3)it
x y
g(x,y):= , , (x,y)∈R×R−{(0,0)},
x2+y2 x2+y2
undgebeimbijektivenFalldieUmkehrabbildungan.– Schließli(cid:4)chuntersuche(cid:5)manunterde(cid:6)n-
selbenGesichtspunktendieAbbildungh:R×R → B(0;1) := (u,v) ∈ R2 (cid:5) u2+v2 < 1 ,
(cid:2) (cid:3)
diedurch x y
h(x,y):= (cid:7) , (cid:7) , (x,y)∈R×R,
x2+y2+1 x2+y2+1
definiertist,undzeige,dasshfolgendeUmkehrabbildungh−1:B(0;1)→R2 besitzt:
(cid:2) (cid:3)
h−1(u,v):= √ u , √ v , (u,v)∈B(0;1).
1−u2−v2 1−u2−v2
Lösung Wir untersuchen, für welche (u,v) ∈ R2 die Gleichung f(x,y) = (u,v), d.h. das
Gleichungssystem xy = u und x+y = v lösbar ist bzw. mehrere Lösungen hat. Dies ist
äquivalentzuy =v−xundu=xy =x(v−x)=vx−x2. DieLösungsformelfürquadratische
Gleichungenliefertals√einzigmöglicheLösungenderresultierendenGleichungx2−vx+u=0
dieWertex = 1v±1 v2−4u. Dieszeigt,dassesbeiv2>4uzweiverschiedeneLösungenfür
2 2
x(unddannauchfüry =x−v)gibt,bei v2=4ugenaueine(nämlich x= 1v)undbeiv2<4u
überhauptkeine. Daheristf :R×R→R×Rwederinjektivnochsurjektiv. 2(DerLeserskizziere
dieMengeBildf ={(u,v)∈R×R|v2≥4u}!) – Übrigensfolgtausf(x,y)=f(y,x)für
x (cid:14)= y direkt,dassf nichtinjektivist. DasichnachObigembeispielsweise(1,1)nichtinder
Formf(x,y)schreibenlässt,istf nichtsurjektiv. •
DieAbbildung g ist bijektiv, also erst recht injektiv und surjektiv, da sie umkehrbar ist mit g
selbstalsUmkehrabbildung. Dazuistnurg◦g =idR×R zuzeigen. Diesfolgtaberaus
(cid:2) (cid:3)
x y
(g◦g)(x,y)=g , =
x2+y2 x2+y2
(cid:8) x y (cid:9) (cid:8) x y (cid:9)
x2+y2 x2+y2 x2+y2 x2+y2
= (cid:2) (cid:3) (cid:2) (cid:3) ,(cid:2) (cid:3) (cid:2) (cid:3) = , =(x,y).
x 2 y 2 x 2 y 2 1 1
+ +
x2+y2 x2+y2 x2+y2 x2+y2 x2+y2 x2+y2
g ist die so genannte Abbildung durch reziproke Radien oder die so genannte
Spiegelung am Einheitskreis,vgl.dazuauch2.B,Aufgabe19. WasistdasBilddes
Kreises{(x,y)∈R2 |x2+y2=r2}mitMittelpunkt(0,0)undRadius r>0unterg? •
(cid:10) (cid:11)(cid:7) (cid:11)(cid:7) (cid:12)
Offenbar ist die Abbildung˜h mit ˜h(u,v) := u 1−u2−v2, v 1−u2−v2 für alle
(u,v)∈ B(0;1)definiert, undesgilth(x,y)∈ B(0;1)füralle(x,y)∈R2. Wirhabendaher