Arbeitsbuch Mathematik für Ingenieure: Band II Differentialgleichungen, Funktionentheorie, Numerik und Statistik PDF
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Karl Graf Finck von Finckenstein, Jurgen Lehn, Helmut Schell haas, Helmut Wegmann Arbeitsbuch Mathematik fur Ingenieure Karl Graf Finck von Finckenstein, Jurgen Lehn, Helmut Schell haas, Helmut Wegmann Arbeitsbuch Mathematik fur Ingenieure Band II Differentialgleichungen, Funktionentheorie, Numerik und Statistik 1m Teubner B. G. Teubner Stuttgart· Leipzig' Wiesbaden Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Ein Titeldatensatz fOr diese Publikation ist bei Der Deutschen Bibliothek erhaltlich. Prof. Dr. rer. nat. Karl Graf Finck von Finckenstein Geboren 1933 in SemlowNorpommern. Von 1952 bis 1959 Tatigkeit in der landwirtschaftlichen Praxis. Von 1959 bis 1965 Studium der Mathematik und Physik an der Universitat Gottingen. 1965 Diplom in Mathematik, 1966 Promotion. Von 1967 bis 1974 wiss. Mitarbeiter am Max-Planck-Institut fOr Plasmaphysik in Garching bei MOnchen. Seit 1974 Professor fOr Ma thematik an der Technischen Universitat Darmstadt. Prof. Dr. rer. nat. JOrgen lehn Geboren 1941 in Karlsruhe. Studium der Mathematik an den Universitaten Freiburg und Karlsruhe. Wiss. Assistent an den Universitaten Karlsruhe und Regensburg. 1968 Diplom in Karlsruhe, 1972 Promotion in Regensburg, 1978 Habilitation in Karlsruhe. 1978 Professor fOr Mathematik an der Universitat Marburg, seit 1979 an der Technischen Universitat Darmstadt. Prof. Dr. rer. nat. Helmut Schellhaas Geboren 1936 in Zwingenberg/BergstraBe. Studium der Mathematik und Physik an der Technischen Universitat Darmstadt. Wiss. Mitarbeiter und wiss. Assistent an der Technischen Universitat Darmstadt und der Universitat Mainz. 1961 Diplom in Mathematik, 1966 Promotion, 1971 Habilitation in Darmstadt. Von 1972 bis zu seinem Tode im Jahr 2000 Professor fOr Mathematik an der Technischen Universitat Darmstadt. Prof. Dr. rer. nat. Helmut Wegmann Geboren 1938 in Worms. Studium der Mathematik und Physik an den Universitaten Mainz und TObingen. Wiss. Assistent an den Universitaten Mainz und Stuttgart. 1962 Staatsexamen in Mainz, 1964 Promotion in Mainz, 1969 Habilitation in Stuttgart. Seit 1970 Professor fOr Mathematik an der Technischen Universitat Darmstadt. 1. Auflage August 2002 Aile Rechte vorbehalten © B. G. Teubner GmbH, Stuttgart/Leipzig/Wiesbaden, 2002 Der Verlag Teubner ist ein Unternehmen der Fachverlagsgruppe BertelsmannSpringer. www.teubner.de Das Werk einschlieBlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschutzt. jede Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulassig und strafbar. Das gilt insbesondere fOr Vervielfaltigungen, Obersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elek tronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Waren- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten waren und daher von jedermann benutzt werden durften. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Gedruckt auf saurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. ISBN 978-3-519-02972-4 ISBN 978-3-322-91217-6 (eBook) DOI 10.1007/978-3-322-91217-6 Vorwort Der zweite Band dieses Arbeitsbuches Mathematik fiir Ingenieure behandelt die Stoffgebiete, die in der Regel im dritten und vierten Semester der mathe matischen Grundausbildung in den ingenieurwissenschaftlichen Fachrichtungen angeboten werden: Gewohnliche und partielle Differentialgleichungen, Laplace Transformationen, Funktionentheorie, numerische Verfahren der Linearen Algebra und der Analysis sowie Statistik. Form und Konzept des ersten Bandes sind weitgehend beibehalten worden. Zu je dem Gebiet werden zunachst Definitionen und Satze zusammengestellt und dann kommentiert und erlautert. Es folgen ausfiihrlich durchgerechnete Beispiele. In den Kapiteln iiber Numerische Mathematik sind dies oft Probleme, die auch ana lytisch exakt gelost werden konnen. Auf diese Weise kann der Leser durch Vergleich die Qualitat der numerischen Naherungsverfahren gut iiberpriifen. Jedes Kapitel schlieBt mit Ubungsaufgaben, deren Losungen im Anhang zu finden sind. Viele Kapitel enthalten auch Multiple-Choice-Aufgaben, urn dem Leser die Moglichkeit zu geben, sein Verstandnis des erarbeiteten Stoffes zu iiberpriifen. Wie auch im er sten Band sind keine vollstandigen Beweise enthalten. Statt dessen werden vielfach wichtige Beweisideen angedeutet oder im Rahmen der Beispiele sichtbar gemacht. In der Bezeichnungsweise gibt es einige Abweichungen zum ersten Band. Zum Bei spiel werden Vektoren und Vektorfunktionen mit kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnet, wahrend die GroBbuchstaben zur Bezeichnung von Matrizen verwen det werden. Beziige auf den ersten Band beziehen sich auf die zweite Auflage des Arbeitsbuches, in der die Lineare Algebra integriert ist. Der vorliegende Band ist auf der Grundlage von Vorlesungsskripten entstanden. Die Autoren haben in langjahriger Praxis der Ingenieurausbildung die Stoffaus wahl und die Darstellung erprobt. Bei der Abfassung des Textes haben sie auch Skripten und andere Unterlagen ihres verstorbenen Kollegen Helmut Schellhaas wesentlich mitverwendet. Obwohl ihm eine aktive Mitarbeit an diesem Band nicht mehr moglich war, ist auf diese Weise sein Beitrag deutlich spiirbar. VI Vorwort Wir danken all denen, die uns bei der Fertigstellung dieses zweiten Bandes unterstiitzt haben. Es sind Studierende, Mitarbeiter und Kollegen. Hervorheben mochten wir Frau Dipl.-Math. Kerstin Dostal, Herrn Dipl.-Math. Tobias Harth und Herrn Dr. Thilo Volz, die Teile des Manuskriptes Korrektur gelesen und bei der Auswahl von Beispielen und Aufgaben mitgewirkt haben. Besonderer Dank gilt Frau Gudrun Schumm, die ebenso wie beim ersten Band mit gro6er Sachkenntnis die 'JEX-Version des Manuskriptes erstellt hat. Schlie6lich danken wir dem Teubner-Verlag, insbesondere Herrn Dr. Peter Spuhler, fiir die gute Zusammenarbeit. Darmstadt, im Juli 2002 Karl Graf Finck von Finckenstein, Jiirgen Lehn, Helmut Wegmann Inhaltsverzeichnis Differentialgleichungen . .. ... . . . . . . .. .. 1 1 Gewohnliche Differentialgleichungen; EinfUhrung und geometrische Betrachtungen .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Spezielle Differentialgleichungen erster Ordnung . 12 3 Existenz- und Eindeutigkeitsfragen . . . . . . . . 26 4 Spezielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung . 31 5 Lineare Differentialgleichungen der Ordnung n 38 6 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten . 50 7 Systeme von Differentialgleichungen 60 8 Approximative Losungsverfahren 68 9 Rand- und Eigenwertprobleme 74 10 Klassifikation der partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnung 87 11 Losungsmethoden bei partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnung 92 12 Die Laplace-Transformation. .... ......... .. 107 Funktionentheorie . . . . 121 13 Die komplexe Zahlenebene . 122 14 Komplexe Funktionen 134 15 Differentiation .... 144 16 Konforme Abbildungen 153 17 Integration ....... 162 18 Die Cauchyschen Integralformeln 173 VIII Inhalt!';verzeichnis 19 Potenz- und Laurent-Reihen . 180 20 Der Residuensatz . . . . . . . 193 Numerische Mathematik. . . . . . . . . 202 21 Direkte Losung linearer Gleichungssysteme 203 22 Iterative Losung linearer Gleichungssysteme . 226 23 Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren 240 24 Losung nichtlinearer Gleichungen und Systeme 251 25 Interpolation und Approximation . 264 26 Numerische Integration ...... 278 27 Numerische Behandlung von Anfangswertproblemen gewohnlicher Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 28 Numerische Behandlung von steifen Differentialgleichungen 300 29 Numerische Behandlung von Randwertproblemen gewohnlicher Dif- ferentialgleichungen .......................... 308 30 Numerische Behandlung von Randwertproblemen partieller Diffe- rentialgleichungen ........................... 317 31 Numerische Behandlung von Anfangs-Randwertproblemen partiel- ler Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 327 Statistik ............... 336 32 Beschreibende Statistik, Messreihen 337 33 Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeit 352 34 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhangigkeit 359 35 Zufallsvariablen und Verteilungsfunktionen 367 36 Erwartungswert und Varianz ........ 379 37 Zentraler Grenzwertsatz und empirische Verteilungsfunktion . 387 38 Testverteilungen und Quantilapproximationen. . . . . . . . . 397 Inhalt sverzeichnis IX 39 Schatzverfahren und ihre Eigenschaften 403 40 Maximum-Likelihood-Schatzer 409 41 Konfidenzintervalle ....... 416 42 Tests bei Normalverteilungsannahmen 423 43 X2 - Anpassungstests .. 433 44 Einfache Varianzanalyse 441 Anhang 445 Losungen 445 Statistische Tabellen 485 Literaturhinweise . 490 Index ....... 491 Differentialgleichungen Bei der Modellierung technischer und naturwissenschaftlicher Problemstellungen sind DifIerentialgleichungen unverzichtbare Hilfsmittel. In der Physik und Me chanik lassen sich einfache Bewegungsvorgange mit sogenannten gewahnlichen DifIerentialgleichungen, deren Lasungen reelle Funktionen mit einer reellen Veranderlichen sind, beschreiben. Kompliziertere physikalische Vorgange wie z.B. die Stramung von FIUssigkeiten oder die Warmeausbreitung im Raum lassen sich mit sogenannten partiellen DifIerentialgleichungen modellieren. Die Losungen dieser DifIerentialgleichungen sind reellwertige Funktionen mit mehreren reellen Veranderlichen. 1m Folgenden wird eine ganze Reihe von gewohnlichen und parti ellen DifIerentialgleichungstypen behandelt, die einerseits bei den Modellierungen in Naturwissenschaft und Technik Verwendung finden, aber andererseits noch von so einfacher Struktur sind, daB analytische Lasungsverfahren existieren. Obwohl in der heutigen wissenschaftlichen Arbeit bei der Lasung von gewahnlichen und parti ellen DifIerentialgleichungen Computer zum Einsatz kommen und dazuSoftware systeme mit schnellen Algorithmen zur Verfiigung stehen, sind die analytischen Lasungsmethoden fUr DifIerentialgleichungen grundlegend fUr das Verstandnis. Numerische Lasungsalgorithmen werden in den Kapiteln Uber Numerische Ma thematik behandelt. 2 1. Gewohnliche Differentialgleichungen; Einfiihrung 1 Gewohnliche Differentialgleichungen; Einfiihrung und geometrische Betrachtungen Die Differentialgleichungen spielen in den Anwendungen eine grundlegende Rolle, denn durch sie werden viele Sachverhalte aus den Natur-, den Wirtschafts- und den Ingenieurwissenschaften beschrieben oder, wie man auch sagt, modellierl. Bevor wir hierzu eine Reihe von Beispielen bringen, sollen zunachst zwei Definitionen gegeben werden. Definition 1.1 Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, in der Ableitungen von einer oder mehreren Funktionen auftreten, die von einer oder mehreren Veriinderlichen abhiingen. Die gesuchten Unbekannten sind hierbei die Funk tionen. Eine gewohnliche Differentialgleichung fur eine Funktion y(x) hat die allgemeine Form = F(x, y(x), y' (x), y" (x), ... ,y(n) (x)) O. Eine partielle Differentialgleichung fur eine Funktion z(x, y) in zwei unabhiingigen Veriinderlichen hat die allgemeine Form F(x ( ) 8z(x,y) 8z(x,y) 82z(x,y) 82z(x,y) 82z(x,y) 8(n)z(x,y») - 0 ,y, z x, y, 8x ' 8y , 8x2 , 8x8y , 8y2 , ... , 8yn -. Die Ordnung der hOchsten in einer Differentialgleichung auftretenden Ableitung heijJt die Ordnung der Differentialgleichung. Die am besten untersuchte Familie von Differentialgleichungen sind die linearen Differentialgleichungen: Definition 1.2 Eine gewohnliche Differentialgleichung heijJt linear, falls sie die Form besitzt, wobei die "Koeffizienten" a (x) und die rechte Seite b(x) gegebene v Funktionen sind. Alle anderen gewohnlichen Differentialgleichungen heifJen nichtlinear. K. G. F. von Finckenstein et al., Arbeitsbuch Mathematik für Ingenieure © B. G. Teubner GmbH, Stuttgart/Leipzig/Wiesbaden 2002
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