Arbeitsbuch Mathematik für Ingenieure: Band II: Differentialgleichungen, Funktionentheorie, Numerik und Statistik PDF
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Karl Graf Finck von Finckenstein, Jürgen Lehn, Helmut Schellhaas, Helmut Wegmann Arbeitsbuch Mathematik für Ingenieure Karl Graf Finck von Finckenstein, Jürgen Lehn, Helmut Schellhaas, Helmut Wegmann Arbeitsbuch Mathematik für Ingenieure Band II: Differentialgleichungen, Funktionentheorie, Numerik und Statistik 3., durchgesehene und erweiterte Auflage Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <http://dnb.ddb.de> abrufbar. Prof. Dr. rer. nat. Karl Graf Finck von Finckenstein Geboren 1933 in Semlow/Vorpommern. Von 1952 bis 1959 Tätigkeit in der landwirtschaftlichen Praxis. Von 1959 bis 1965 Studium der Mathematik und Physik an der Universität Göttingen. 1965 Diplom in Mathematik, 1966 Promotion. Von 1967 bis 1974 wiss. Mit- arbeiter am Max-Planck-Institut für Plasmaphysik in Garching bei München. Seit 1974 Professor für Mathematik an der Technischen Universität Darmstadt. Prof. Dr. rer. nat. Jürgen Lehn Geboren 1941 in Karlsruhe. Studium der Mathematik an den Universitäten Freiburg und Karlsruhe. Wiss. Assistent an den Universitä- ten Karlsruhe und Regensburg. 1968 Diplom in Karlsruhe, 1972 Promotion in Regensburg, 1978 Habilitation in Karlsruhe. 1978 Pro- fessor für Mathematik an der Universität Marburg, seit 1979 an der Technischen Universität Darmstadt. Prof. Dr. rer. nat. Helmut Schellhaas Geboren 1936 in Zwingenberg/Bergstraße. Studium der Mathematik und Physik an der Technischen Universität Darmstadt. Wiss. Mit- arbeiter und wiss. Assistent an der Technischen Universität Darmstadt und der Universität Mainz. 1961 Diplom in Mathematik, 1966 Promotion, 1971 Habilitation in Darmstadt. Von 1972 bis zu seinem Tode im Jahr 2000 Professor für Mathematik an der Technischen Universität Darmstadt. Prof. Dr. rer. nat. Helmut Wegmann Geboren 1938 in Worms. Studium der Mathematik und Physik an den Universitäten Mainz und Tübingen. Wiss. Assistent an den Uni- versitäten Mainz und Stuttgart. 1962 Staatsexamen in Mainz, 1964 Promotion in Mainz, 1969 Habilitation in Stuttgart. Seit 1970 Pro- fessor für Mathematik an der Technischen Universität Darmstadt. 1. Auflage 2002 2. Auflage2004 3., durchgesehene und erweiterte Auflage März 2006 Alle Rechte vorbehalten © B.G.Teubner Verlag / GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2006 Lektorat: Ulrich Sandten / Kerstin Hoffmann Der B. G. Teubner Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. www.teubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Ver- lags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzun- gen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Druck und buchbinderische Verarbeitung: Strauss Offsetdruck, Mörlenbach Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. ISBN 3-8351-0030-0 Vorwort Der zweite Band dieses Arbeitsbuches Mathematik fu¨r Ingenieure behandelt die Stoffgebiete, die in der Regel im dritten und vierten Semester der mathe- matischen Grundausbildung in den ingenieurwissenschaftlichen Fachrichtungen angeboten werden: Gew¨ohnliche und partielle Differentialgleichungen, Laplace- Transformationen,Funktionentheorie,numerischeVerfahrenderLinearenAlgebra und der Analysis sowie Statistik. Form und Konzept des ersten Bandes sind weitgehend beibehalten worden. Zu je- dem Gebiet werden zun¨achst Definitionen und S¨atze zusammengestellt und dann kommentiert und erl¨autert. Es folgen ausfu¨hrlich durchgerechnete Beispiele. In den Kapiteln u¨ber Numerische Mathematik sind dies oft Probleme, die auch ana- lytischexaktgel¨ostwerdenk¨onnen.AufdieseWeisekannderLeserdurchVergleich die Qualit¨at der numerischen N¨aherungsverfahren gut u¨berpru¨fen. Jedes Kapitel schließt mit U¨bungsaufgaben, deren L¨osungen im Anhang zu finden sind. Viele Kapitel enthalten auch Multiple-Choice-Aufgaben, um dem Leser die M¨oglichkeit zugeben,seinVerst¨andnisdeserarbeitetenStoffeszuu¨berpru¨fen. Wieauchimer- stenBandsindkeinevollst¨andigenBeweiseenthalten.Stattdessenwerdenvielfach wichtige Beweisideen angedeutet oder im Rahmen der Beispiele sichtbar gemacht. InderBezeichnungsweisegibteseinigeAbweichungenzumerstenBand.ZumBei- spiel werden Vektoren und Vektorfunktionen mit kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnet, w¨ahrend die Großbuchstaben zur Bezeichnung von Matrizen verwen- det werden. Bezu¨ge auf den ersten Band beziehen sich auf die zweite Auflage des Arbeitsbuches, in der die Lineare Algebra integriert ist. Der vorliegende Band ist auf der Grundlage von Vorlesungsskripten entstanden. Die Autoren haben in langj¨ahriger Praxis der Ingenieurausbildung die Stoffaus- wahl und die Darstellung erprobt. Bei der Abfassung des Textes haben sie auch Skripten und andere Unterlagen ihres verstorbenen Kollegen Helmut Schellhaas wesentlichmitverwendet. Obwohlihm eine aktiveMitarbeit an diesemBand nicht mehr m¨oglich war, ist auf diese Weise sein Beitrag deutlich spu¨rbar. Wir danken all denen, die uns bei der Fertigstellung dieses zweiten Bandes un- terstu¨tzt haben. Es sind Studierende, Mitarbeiter und Kollegen. Hervorheben m¨ochten wir Frau Dipl.-Math. Kerstin Dostal, Herrn Dipl.-Math. Tobias Harth und Herrn Dr. Thilo Volz, die Teile des Manuskriptes Korrektur gelesen und bei der Auswahl von Beispielen und Aufgaben mitgewirkt haben. Besonderer Dank gilt Frau Gudrun Schumm, die ebenso wie beim ersten Band mit großer Sach- kenntnis die TEX-Version des Manuskriptes erstellt hat. Schließlich danken wir dem Teubner-Verlag, insbesondere Herrn Dr. Peter Spuhler, fu¨r die gute Zusam- menarbeit. Darmstadt, im Juli 2002 Karl Graf Finck von Finckenstein, Ju¨rgen Lehn, Helmut Wegmann Vorwort zur dritten Auflage Die dritte Auflage unterscheidet sich von den vorherigen nur dadurch, dass im Statistik-Teil ein neues Kapitel u¨ber Sch¨atzen und Testen bei der Regression an- gefu¨gt wurde. Dies geschah auf Wunsch unserer Studierenden, die in ihrem sp¨ate- ren Studium h¨aufig mit Fragen der Regression konfrontiert werden. Frau Dr. Bri- gitte Walther danken wir fu¨r ihre Hilfe bei der Vorbereitung der dritten Auflage. Darmstadt, im Oktober 2005 Karl Graf Finck von Finckenstein, Ju¨rgen Lehn, Helmut Wegmann Inhaltsverzeichnis Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 Gew¨ohnliche Differentialgleichungen; Einfu¨hrung und geometrische Betrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Spezielle Differentialgleichungen erster Ordnung. . . . . . . . . . . 12 3 Existenz- und Eindeutigkeitsfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4 Spezielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung . . . . . . . . . . 31 5 Lineare Differentialgleichungen der Ordnung n . . . . . . . . . . . 38 6 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten . . . . 50 7 Systeme von Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 8 Approximative L¨osungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 9 Rand- und Eigenwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 10 Klassifikation der partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnung . . 87 11 L¨osungsmethoden bei partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnung 92 12 Die Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Funktionentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 13 Die komplexe Zahlenebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 14 Komplexe Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 15 Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 16 Konforme Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 17 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 18 Die Cauchyschen Integralformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 ivviii Inhaltsverzeichnis 19 Potenz- und Laurent-Reihen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 20 Der Residuensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 Numerische Mathematik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 21 Direkte L¨osung linearer Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . 203 22 Iterative L¨osung linearer Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . 226 23 Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren . . . . . . . . . . 240 24 L¨osung nichtlinearer Gleichungen und Systeme . . . . . . . . . . . 251 25 Interpolation und Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 26 Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 27 Numerische Behandlung von Anfangswertproblemen gew¨ohnlicher Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 28 Numerische Behandlung von steifen Differentialgleichungen . . . . 300 29 NumerischeBehandlungvonRandwertproblemengew¨ohnlicherDif- ferentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 30 Numerische Behandlung von Randwertproblemen partieller Diffe- rentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 31 Numerische Behandlung von Anfangs-Randwertproblemen partiel- ler Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 32 Beschreibende Statistik, Messreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 33 Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . 352 34 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabh¨angigkeit . . . . . . . . . . . . 359 35 Zufallsvariablen und Verteilungsfunktionen . . . . . . . . . . . . . 367 36 Erwartungswertund Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 37 Zentraler Grenzwertsatz und empirische Verteilungsfunktion . . . . 387 38 Testverteilungen und Quantilapproximationen. . . . . . . . . . . . 397 Inhaltsverzeichnis ivx 39 Sch¨atzverfahren und ihre Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . 403 40 Maximum-Likelihood-Sch¨atzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409 41 Konfidenzintervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416 42 Tests bei Normalverteilungsannahmen . . . . . . . . . . . . . . . . 423 43 χ2 - Anpassungstests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433 44 Einfache Varianzanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441 45 Sch¨atzen und Testen bei der Regression . . . . . . . . . . . . . . . 445 Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451 L¨osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451 Statistische Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492 Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498 Differentialgleichungen Bei der Modellierung technischer und naturwissenschaftlicher Problemstellungen sind Differentialgleichungen unverzichtbare Hilfsmittel. In der Physik und Me- chanik lassen sich einfache Bewegungsvorg¨ange mit sogenannten gew¨ohnlichen Differentialgleichungen, deren L¨osungen reelle Funktionen mit einer reellen Ver¨anderlichen sind, beschreiben. Kompliziertere physikalische Vorg¨ange wie z.B. die Str¨omung von Flu¨ssigkeiten oder die W¨armeausbreitung im Raum lassen sich mit sogenannten partiellen Differentialgleichungenmodellieren. Die L¨osungen dieser Differentialgleichungen sind reellwertige Funktionen mit mehreren reellen Ver¨anderlichen. Im Folgenden wird eine ganze Reihe von gew¨ohnlichen und parti- ellen Differentialgleichungstypen behandelt, die einerseits bei den Modellierungen in Naturwissenschaftund Technik Verwendung finden, aber andererseitsnoch von soeinfacherStruktursind,daßanalytischeL¨osungsverfahrenexistieren.Obwohlin derheutigenwissenschaftlichenArbeitbeiderL¨osungvongew¨ohnlichenundparti- ellen Differentialgleichungen Computer zum Einsatz kommen und dazu Software- systeme mit schnellen Algorithmen zur Verfu¨gung stehen, sind die analytischen L¨osungsmethoden fu¨r Differentialgleichungen grundlegend fu¨r das Verst¨andnis. Numerische L¨osungsalgorithmen werden in den Kapiteln u¨ber Numerische Ma- thematik behandelt.
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