Arbeitsbuch Mathematik für Ingenieure: Band II Differentialgleichungen, Funktionentheorie, Numerik und Statistik

506 Pages·2004·24.01 MB·German

by  Prof. Dr. rer. nat. Karl Graf Finck von Finckenstein

Karl Graf Finck von Finckenstein, Jurgen Lehn,
Helmut Schell haas, Helmut Wegmann
Arbeitsbuch Mathematik
fur Ingenieure
Karl Graf Finck von Finckenstein, Jurgen Lehn,
Helmut Schell haas, Helmut Wegmann
Arbeitsbuch Mathematik
fur Ingenieure
Band II Differentialgleichungen,
Fu n ktionentheorie,
Numerik und Statistik
2., durchgesehene Auflage
Teubner
B. G. Teubner Stuttgart· Leipzig' Wiesbaden
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ISBN 978-3-519-12972-1 ISBN 978-3-322-91175-9 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-91175-9
Vorwort
Der zweite Band dieses Arbeitsbuches Mathematik fiir Ingenieure behandelt
die Stoffgebiete, die in der Regel im dritten und vierten Semester der mathe
matischen Grundausbildung in den ingenieurwissenschaftlichen Fachrichtungen
angeboten werden: Gewohnliche und partielle Differentialgleichungen, Laplace
Transformationen, Funktionentheorie, numerische Verfahren der Linearen Algebra
und der Analysis sowie Statistik.
Form und Konzept des ersten Bandes sind weitgehend beibehalten worden. Zu je
dem Gebiet werden zunachst Definitionen und Satze zusammengestellt und dann
kommentiert und erlautert. Es folgen ausfiihrlich durchgerechnete Beispiele. In
den Kapiteln iiber Numerische Mathematik sind dies oft Probleme, die auch ana
lytisch exakt gelost werden konnen. Auf diese Weise kann der Leser durch Vergleich
die Qualitat der numerischen Naherungsverfahren gut iiberpriifen. Jedes Kapitel
schlieBt mit Ubungsaufgaben, deren Losungen im Anhang zu finden sind. Viele
Kapitel enthalten auch Multiple-Choice-Aufgaben, urn dem Leser die Moglichkeit
zu geben, sein Verstandnis des erarbeiteten Stoffes zu iiberpriifen. Wie auch im er
sten Band sind keine vollstandigen Beweise enthalten. Statt dessen werden vielfach
wichtige Beweisideen angedeutet oder im Rahmen der Beispiele sichtbar gemacht.
In der Bezeichnungsweise gibt es einige Abweichungen zum ersten Band. Zum Bei
spiel werden Vektoren und Vektorfunktionen mit kleinen lateinischen Buchstaben
bezeichnet, wahrend die GroBbuchstaben zur Bezeichnung von Matrizen verwen
det werden. Beziige auf den ersten Band beziehen sich auf die zweite Auflage des
Arbeitsbuches, in der die Lineare Algebra integriert ist.
Der vorliegende Band ist auf der Grundlage von Vorlesungsskripten entstanden.
Die Autoren haben in langjahriger Praxis der Ingenieurausbildung die Stoffaus
wahl und die Darstellung erprobt. Bei der Abfassung des Textes haben sie auch
Skripten und andere Unterlagen ihres verstorbenen Kollegen Helmut Schellhaas
wesentlich mitverwendet. Obwohl ihm eine aktive Mitarbeit an diesem Band nicht
mehr moglich war, ist auf diese Weise sein Beitrag deutlich spiirbar.
VI Vorwort
Wir danken all denen, die uns bei der Fertigstellung dieses zweiten Bandes
unterstiitzt haben. Es sind Studierende, Mitarbeiter und Kollegen. Hervorheben
mochten wir Frau Dipl.-Math. Kerstin Dostal, Herrn Dipl.-Math. Tobias Harth
und Herrn Dr. Thilo Volz, die Teile des Manuskriptes Korrektur gelesen und
bei der Auswahl von Beispielen und Aufgaben mitgewirkt haben. Besonderer
Dank gilt Frau Gudrun Schumm, die ebenso wie beim ersten Band mit groBer
Sachkenntnis die 'IF)C-Version des Manuskriptes erstellt hat. SchlieBlich danken
wir dem Teubner-Verlag, insbesondere Herrn Dr. Peter Spuhler, fUr die gute
Zusammenarbeit.
Darmstadt, im Juli 2002
Karl Graf Finck von Finckenstein,
Jiirgen Lehn,
Helmut Wegmann
Inhaltsverzeichnis
Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 Gewohnliche Differentialgleichungenj Einfiihrung und geometrische
...................
Betrachtungen 2
2 Spezielle Differentialgleichungen erster Ordnung . 12
3 Existenz- und Eindeutigkeitsfragen . . . . . . . . 26
4 Spezielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung . 31
5 Lineare Differentialgleichungen der Ordnung n .. 38
6 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten . 50
7 Systeme von Differentialgleichungen 60
8 Approximative Losungsverfahren 68
9 Rand- und Eigenwertprobleme 74
10 Klassifikation der partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnung 87
11 Losungsmethoden bei partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnung 92
12 Die Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Funktionentheorie . ... . 121
13 Die komplexe Zahlenebene . 122
14 Komplexe Funktionen 134
15 Differentiation .... 144
16 Konforme Abbildungen 153
17 Integration ....... 162
18 Die Cauchyschen Integralformeln 173
vm
InhaltRverzeichnis
19 Potenz- und Laurent-Reihen . 180
20 Der Residuensatz . . . . . . . 193
Numerische Mathematik. . . . . . . . . 202
21 Direkte wsung linearer Gleichungssysteme 203
22 Iterative LOsung linearer Gleichungssysteme . 226
23 Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren 240
24 wsung nichtlinearer Gleichungen und Systeme 251
25 Interpolation und Approximation . 264
26 Numerische Integration ...... 278
27 Numerische Behandlung von Anfangswertproblemen gewohnlicher
Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
28 Numerische Behandlung von steifen Differentialgleichungen . . . . 300
29 Numerische Behandlung von Randwertproblemen gewohnlicher Dif-
ferentialgleichungen .......................... 308
30 Numerische Behandlung von Randwertproblemen partieller Diffe-
rentialgleichungen ........................... 317
31 Numerische Behandlung von Anfangs-Randwertproblemen partiel-
ler Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
Statistik ............... 336
32 Beschreibende Statistik, Messreihen 337
33 Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeit 352
34 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhangigkeit 359
35 Zufallsvariablen und Verteilungsfunktionen 367
36 Erwartungswert und Varianz ........ 379
37 Zentraler Grenzwertsatz und empirische Verteilungsfunktion . 387
38 Testverteilungen und Quantilapproximationen. . . . . . . . . 397
Inhaltsverzeichnis IX
39 Schatzverfahren und ihre Eigenschaften 403
40 Maximum-Likelihood-Schatzer 409
41 Konfidenzintervalle . . . . . . . 416
42 Tests bei Normalverteilungsannahmen 423
43 X2 - Anpassungstests . . 433
44 Einfache Varianzanalyse 441
Anhang 445
Losungen 445
Statistische Tabellen 485
Literaturhinweise . 490
Index ....... 491
Differentialgleichungen
Bei der Modellierung technischer und naturwissenschaftlicher Problemstellungen
sind Differentialgleichungen unverzichtbare Hilfsmittel. In der Physik und Me
chanik lassen sich einfache Bewegungsvorgange mit sogenannten gewohnlichen
Differentialgleichungen, deren Losungen reelle Funktionen mit einer reellen
Veranderlichen sind, beschreiben. Kompliziertere physikalische Vorgange wie z.B.
die Stromung 'Von Fliissigkeiten oder die Warmeausbreitung im Raum lassen
sich mit sogenannten partiellen Differentialgleichungen modellieren. Die Losungen
dieser Differentialgleichungen sind reellwertige FUnktionen mit mehreren reellen
Veranderlichen. 1m Folgenden wird eine ganze Reihe von gewohnlichen und parti
ellen Differentialgleichungstypen behandelt, die einerseits bei den Modellierungen
in Naturwissenschaft und Technik Verwendung finden, aber andererseits noch von
so einfacher Struktur sind, daB analytische Losungsverfahren existieren. Obwohl in
der heutigen wissenschaftlichen Arbeit bei der Losung von gewohnlichen und parti
ellen Differentialgleichungen Computer zum Einsatz kommen und dazu Software
systeme mit schnellen Algorithmen zur Verfiigung stehen, sind die analytischen
Losungsmethoden fiir Differentialgleichungen grundlegend fiir das Verstandnis.
Numerische Losungsalgorithmen werden in den Kapiteln iiber Numerische Ma
thematik behandelt.
2 1. Gewohnliche Differentialgleichungen; Einfiihrung
1 Gewohnliche Differentialgleichungen;
Einfiihrung und geometrische Betrachtungen
Die Differentialgleichungen spielen in den Anwendungen eine grundlegende Rolle,
denn durch sie werden viele Sachverhalte aus den Natur-, den Wirtschafts-und den
Ingenieurwissenschaften beschrieben oder, wie man auch sagt, modelliert. Bevor
wir hierzu eine Reihe von Beispielen bringen, sollen zuna.chst zwei Definitionen
gegeben werden.
Definition 1.1
Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, in der Ableitungen von
einer oder mehreren Funktionen auftreten, die von einer oder mehreren
Veranderlichen abhangen. Die gesuchten Unbekannten sind hierbei die Funk
tionen. Eine gewohnliche Differentialgleichung fUr eine Funktion y(x) hat
die allgemeine Form
o.
F(x,y(x),y'(x),y"(x), ... ,y(n)(x)) =
Eine partielle Differentialgleichung fUr eine Funktion z(x, y) in zwei
unabhiingigen Veranderlichen hat die allgemeine Form
F(x ( ) 8z(x,y) 8z(x,y) 82z(x,y) 82z(x,y) 82z(x,y) 8(n)z(x,y») - 0
,y, z x, y, 8x ' 8y , 8x2 , 8x8y' 8y2 , •.. , 8yn -.
Die Ordnung der hochsten in einer DifJerentialgleichung auftretenden Ableitung
heipt die Ordnung der DifJerentialgleichung.
Die am besten untersuchte Familie von Differentialgleichungen sind die linearen
Differentialgleichungen:
Definition 1.2
Eine gewohnliche DifJerentialgleichung heipt linear, falls sie die Form
an{x) . y(n) (x) + an-l(x) . y(n-l){x) + ... + ao{x) . y(x) = b(x)
besitzt, wobei die "Koeffizienten" av(x) und die rechte Seite b{x) gegebene
Funktionen sind.
Alle anderen gewohnlichen Differentialgleichungen heipen nichtlinear.
K. G. F. von Finckenstein et al., Arbeitsbuch Mathematik für Ingenieure
© B. G. Teubner Verlag / GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2004