Arbeitsbuch Mathematik für Ingenieure: Band I: Analysis und Lineare Algebra

445 Pages·2006·3.7 MB·German

by  Prof. Dr. rer. nat. Karl Graf Finck von Finckenstein

Karl Graf Finck von Finckenstein, Jürgen Lehn,
Helmut Schellhaas, Helmut Wegmann
Arbeitsbuch Mathematik
für Ingenieure
Karl Graf Finck von Finckenstein, Jürgen Lehn,
Helmut Schellhaas, Helmut Wegmann
Arbeitsbuch Mathematik
für Ingenieure
Band I: Analysis und
Lineare Algebra
4., durchgesehene Auflage
Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek
Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie;
detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <http://dnb.ddb.de> abrufbar.
Prof. Dr. rer. nat. Karl Graf Finck von Finckenstein
Geboren 1933 in Semlow/Vorpommern. Von 1952 bis 1959 Tätigkeit in der landwirtschaftlichen Praxis. Von 1959
bis 1965 Studium der Mathematik und Physik an der Universität Göttingen. 1965 Diplom in Mathematik, 1966
Promotion. Von 1967 bis 1974 wiss. Mitarbeiter am Max-Planck-Institut für Plasmaphysik in Garching bei München.
Seit 1974 Professor für Mathematik an der Technischen Universität Darmstadt.
Prof. Dr. rer. nat. Jürgen Lehn
Geboren 1941 in Karlsruhe. Studium der Mathematik an den Universitäten Freiburg und Karlsruhe. Wiss. Assistent
an den Universitäten Karlsruhe und Regensburg. 1968 Diplom in Karlsruhe, 1972 Promotion in Regensburg, 1978
Habilitation in Karlsruhe. 1978 Professor für Mathematik an der Universität Marburg, seit 1979 an der Technischen
Universität Darmstadt.
Prof. Dr. rer. nat. Helmut Schellhaas
Geboren 1936 in Zwingenberg/Bergstraße. Studium der Mathematik und Physik an der Technischen Universität
Darmstadt. Wiss. Mitarbeiter und wiss. Assistent an der Technischen Universität Darmstadt und der Universität
Mainz. 1961 Diplom in Mathematik, 1966 Promotion, 1971 Habilitation in Darmstadt. Von 1972 bis zu seinem Tode
im Jahr 2000 Professor für Mathematik an der Technischen Universität Darmstadt.
Prof. Dr. rer. nat. Helmut Wegmann
Geboren 1938 in Worms. Studium der Mathematik und Physik an den Universitäten Mainz und Tübingen. Wiss.
Assistent an den Universitäten Mainz und Stuttgart. 1962 Staatsexamen in Mainz, 1964 Promotion in Mainz, 1969
Habilitation in Stuttgart. Seit 1970 Professor für Mathematik an der Technischen Universität Darmstadt.
1. Auflage 2000
2. Auflage 2002
3. Auflage 2004
4., durchgesehene Auflage März 2006
Alle Rechte vorbehalten
© B.G.Teubner Verlag / GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2006
Lektorat: Ulrich Sandten
Der B.G. Teubner Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media.
www.teubner.de
Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung
außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Ver-
lags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzun-
gen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen
Systemen.
Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk
berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne
der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von
jedermann benutzt werden dürften.
Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de
Druck und buchbinderische Verarbeitung: Strauss Offsetdruck, Mörlenbach
Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.
Printed in Germany
ISBN 3-8351-0034-3
Vorwort zur ersten Auflage
Das Arbeitsbuch Mathematik fiir Ingenieure richtet sich an Studierende der
ingenieurwissenschaftlichen Fachrichtungen an Universit~iten. Die Stoffauswahl
ist an den Bedtirfnissen der Grundausbildung in Mathematik orientiert, wie sie
iiblicherweise in einer viersemestrigen Vorlesungsreihe erfolgt. Der erste Band
behandelt die Differential- und Integralrechnung einer und mehrerer reeller
Ver~nderlicher. Lineare Algebra, Funktionentheorie, gewShnliche und partielle Dif-
ferentialgleichungen, Laplace-Transformation, numerische Mathematik und Stocha-
stik sind der Inhalt des zweiten Bandes.
Das Arbeitsbuch ist so gestaltet, dass zun~ichst die Fakten, also Definitionen, ezti~S
usw. dargestellt werden. Diese werden auch drucktechnisch durch K~ten hervorge-
hoben. Die Fakten werden sodann durch zahlreiche Bemerkungen und Erg~inzungen
aufbereitet und erl~utert. Das Verst~indnis wird gefSrdert durch eine groBe Zahl
von Beispielen, die iiberwiegend vollstandig durchgerechnet werden. Am Ende ei-
nes jeden Kapitels finden sich Tests und 0bungsaufgaben. Die Tests dienen dem
Leser zur Uberop. rtifung seines Verst~ndnisses fiir Definitionen und Aussagen. Sie
sind als Multiple-Choice-Aufgaben formuliert. Anhand der Ubunoog saufgaben kann
sich der Leser mit dem Stoff auseinandersetzen. Die LSsungen zu den Tests und
Ubunoo gsaufgaben finden sich in Kurzform am Ende des Buches. Beweise zu mathe-
matischen S~itzen sind in der Regel im Arbeitsbuch nicht enthalten. Sollte es als
Textbuch ftir eine Vorlesung benutzt werden, so w~iren diese Beweise (teilweise) in
der Vorlesung zu erg~nzen. Beweistechniken werden vielfach auch sichtbar an den
durchgerechneten Beispielen.
Das Buch entstand aus einem Vorlesungsskriptum zu den Grundvorlesungen ftir
Studierende der Elektrotechnik, des Wirtschaftsingenieurwesens Fachrichtung Elek-
trotechnik und der Sportinformatik. Die freundliche Aufnahme des Skriptums
durch die Studierenden wie auch durch Kollegen, die es mehrfach ihren Veran-
staltungen zugrundelegten, ermunterten die Autoren, das Skriptum aufzuarbeiten
und als Arbeitsbuch mit dem geschilderten Konzept zu publizieren.
Bei Stoffauswahl und Stoffabfolge sind Bediirfnisse beriicksichtigt, die von den
ingenieurwissenschaftlichen F~ichern kommen. Dies bewirkt gelegentlich, von
bew~ihrten, innermathematisch bedingten Vorgehen abzuweichen. Beispielsweise
mtissen die Studierenden im Fach Grundlagen der Elektrotechnik friihzeitig mit
komplexen Zahlen, Eulerscher Formel usw. umgehen kSnnen. Dieser Stoff wurde
VI
daher vorgezogen. Andere Abweichungen von der tiblichen Stoffabfolge werden vor-
genommen, um die Studierenden nicht zu tiberfordern. Beispielsweise wird das Ler-
nen dadurch erleichtert, dass die Gebiete Folgen und Reihen, die erfahrungsgem/iB
von den Studierenden als schwer empfunden werden, nicht wie tiblich unmittelbar
nacheinander behandelt werden. Statt dessen werden Aussagen tiber Grenzwert,
Stetigkeit und Differentiation reeller Funktionen dazwischengeschoben. Dadurch
wird den Lernenden eine ,,Verschnaufpause" geg6nnt.
Ich m6chte all denen danken, die mich bei der Anfertigung dieses ersten Bandes
untersttitzt haben. Frau Magdalene Tabbert und Frau Gudrun Schumm haben
mit viel Engagement und Sachkenntnis aus meinem Manuskript den vorliegenden
TEX-Text hergestellt. Die aufwendige redaktionelle Schlussarbeit hat Frau Schumm
mit viel Einftihlungsverm6gen tibernommen. Frau Dr. Claudia Werthenbach hat
mit Zeichnungen zum besseren Verst/indnis des Textes beigetragen. Mit groBer
Sorgfalt und kritischem Urteilsverm6gen hat mich Frau Dipl.-Math. Sibylle Strandt
beim Lesen der Korrekturen untersttitzt. Ihnen allen sage ich meinen herzlichen
Dank. SchlieBlich danke ich dem Teubner-Verlag und insbesondere Herrn Dr.
Peter Spuhler ftir die gute Zusammenarbeit. Ohne sein geduldiges Verst/indnis ftir
zwingende Verz6gerungen w/ire dieser Band nicht zustande gekommen.
Darmstadt, im M/irz 2000 Helmut Schellhaas
Vorwort zur zweiten Auflage
Die erste Auflage dieses Bandes wurde von Helmut Schellhaas verfasst. Er konnte
aus gesundheitlichen Grtinden die Lineare Algebra nicht mehr integrieren. In dieser
zweiten Auflage wurde dies nachgeholt und die Kapitel 7 bis 31 fiber Lineare Al-
gebra erg/inzt. Auterdem wurden Korrekturen und Verbesserungen vorgenommen.
Hinweise und .~nderungsvorschl/ige erhielten wit von Studierenden, Mitarbeitern
und Kollegen. Ihnen allen und insbesondere Frau Dr. Wanda Morariu (Universi-
tatea Politehnica Bukarest) sowie Herrn Prof. Dr. Peter Burmeister (Technische
Universit/it Darmstadt) danken wir sehr herzlich.
Darmstadt, im Oktober 2002
Karl Graf Finck von Finckenstein, Jtirgen Lehn, Helmut Wegmann
I nhalt sve rze i chnis
0ber reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Beweismethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Mengen und Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Spezielle reelle Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Binomische Formel, Kombinatorik, Wahrscheinlichkeiten ....... 70
Vektoren und Geraden im R 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Vektoren, Geraden und Ebenen im ~II 3 ................. 94
Lineare R~iume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
10 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
11 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
12 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
13 Eigenwert-Theorie und quadratische Formen ............. 144
14 Folgen und Konvergenzbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
15 Grenzwert und Stetigkeit reeller Funktionen .............. 170
16 Eigenschaften stetiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
17 Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
18 Eigenschaften differenzierbarer Funktionen .............. 199
19 Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
20 Exponentialfunktion und Logarithmus ................. 222
21 Das Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
22 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ......... 241
23 Einige Integrationstechniken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
24 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
VIII Inhaltsverzeichnis
25 Folgen und Reihen von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
26 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
27 Der Satz von Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
28 Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
29 Reelle Funktionen mehrerer Ver~inderlicher .............. 307
30 Differentiation von Funktionen mehrerer Ver~inderlicher ....... 316
31 Richtungsableitung, Satz von Taylor, Extrema ............ 329
32 Implizite Funktionen, Extrema mit Nebenbedingungen ........ 338
33 Integrale mit Parametern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
34 Wege im ~fI n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
35 Wegintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
36 Integrale im ~lI n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
37 Vektoranalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
LSsungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
.1 Uber reelle Zahlen 1
Uboeo r reelle Zahlen
Am Anfang des mathematischen Denkens stehen die natiirlichen Zahlen
,1 2, 3, 4, ....
Fiir die Menge der natiirlichen Zahlen ist die Bezeichnung
N = {1,2,3,...}
iiblich. Dabei versteht man unter einer Menge allgemein eine Zusammenfassung
von einzelnen Objekten zu einer Gesamtheit, wobei die Objekte dann Elemente der
Menge heii~en. Im obigen Beispiel, der Menge der natiirlichen Zahlen, wird die Men-
ge beschrieben durch die Aufz~hlung ihrer Elemente in geschweiften Klammern.
Eine andere Darstellung einer Menge kann durch Angabe einer charakterisierenden
Eigenschaft E der Elemente erfolgen. Man schreibt dann {x : x hat Eigenschaft E)
ftir die Menge aller Elemente x, die die Eigenschaft E besitzen. Ist ein Objekt x
Element einer Menge M, so schreibt man x E M. Weitere Grundtatsachen fiber
Mengen werden in Kapitel 3 angegeben.
Die Addition und die Multiplikation zweier natiirlicher Zahlen ffihren wieder zu
einer natiirlichen Zahl, mit a E N und b E N gilt stets a + b E N und a. b E N.
Man sagt: N ist abgeschlossen gegeniiber der Addition und der Multiplikation. Fiir
a E N, b E N muss jedoch die Gleichung
aTx=b (,)
nicht unbedingt eine LSsung x E N haben. Erweitert man N jedoch zur Menge
der ganzen Zahlen
Z= {..., -2,-1, 0, ,1 2,...},
so hat die Gleichung (,) ffir a E Z, b E Z stets eine LSsung x E Z.
Andererseits muss ffir a E Z, b E Z die Gleichung
a.y=b (**)
nicht unbedingt eine LSsung y E Z haben. Erweitert man Z jedoch zur Menge
der rationalen Zahlen
Q={x:x=- b
, a e Z,bE Z,a #0},
a
so haben (,) und im Fall a ~ 0 auch (**) ffir a E Q, b E Q stets eine LSsung x E Q
bzw. y E Q.
2 1. 0ber reelle Zahlen
Die Darstellung einer rationalen Zahl x in der Form eines Quotienten aus gan-
zen Zahlen ist nicht eindeutig. Dies zeigt das bekannte Kiirzen und Erweitern von
Brtichen. Eine eindeutige Darstellung als Bruch l~tsst sich ftir x r 0 erreichen
durch die Forderung, dass Z~thler und Nenner teilerfremd sind und der Nenner eine
nattirliche Zahl ist, d.h. x - ~ b mit b E Z, a E N, a und b teilerfremd. Andererseits
ftihrt das fibliche Divisionsverfahren auf die Darstellung einer rationalen Zahl als
Dezimalbruch. So ergeben
7
- = 1.75 einen abbrechenden Dezimalbruch und
4
2
0.0285714285... - 0.0285714 einen periodischen Dezimalbruch.
O7 =
Die Periode wird dabei durch ~lberstreichen der Ziffernfolge, die sich periodisch
wiederholt, gekennzeichnet. Bei der Durchffihrung des Divisionsverfahrens fiir ei-
ne rationale Zahl ~ b mit b E Z, a E N kann als Rest jeweils nur eine der Zahlen
0, 1,..., a-1 auftreten. Tritt der Rest null auf, so bricht der Dezimalbruch ab. An-
dernfalls gibt es hSchstens a-1 verschiedene Reste und sp~ttestens nach der Berech-
nung von a-1 Ziffern des Dezimalbruches (von voranstehenden Nullen abgesehen)
muss einer der Reste erneut auftreten, so dass der Dezimalbruch periodisch wird.
Demnach gilt:
Jede rationale Zahl l~st sich durch einen abbrechenden oder periodischen Dezi-
malbruch darstellen.
Umgekehrt l~isst sich jeder abbrechende oder periodische Dezimalbruch als Bruch
_b mit b E Z a E N darstellen. Die Grundidee der Umwandlung periodischer
Dezimalbriiche in Briiche zeigt das folgende Beispiel" Ist x = 0.dl ... dk mit den
Ziffern di E {0, 1,..., 9} fiir i - 1,..., k der Dezimalbruch, so gilt mit der Potenz
10 k - 10-10-...-10 (k Faktoren)
l Okx -dl ... dk + O.dl ... dk -- dl ... dk + x,
also
dl ...dk
X -- 10 k - 1
Die Umwandlung eines beliebigen periodischen Dezimalbruchs lasst sich darauf
zurtickfiihren.