Arbeitsbuch Algebra: Aufgaben und Lösungen mit ausführlichen Erklärungen und Hinführungen

274 Pages·2015·1.97 MB·German

by  Christian Karpfinger (auth.)

Christian Karpfinger
Arbeitsbuch Algebra
Aufgaben und Lösungen mit ausführlichen
Erklärungen und Hinführungen
Arbeitsbuch Algebra
Christian Karpfinger
Arbeitsbuch Algebra
Aufgaben und Lösungen mit ausführlichen
Erklärungen und Hinführungen
ChristianKarpfinger
TUMünchenZentrumMathematik-M11
München,Deutschland
ISBN978-3-662-45980-5 ISBN978-3-662-45981-2(eBook)
DOI10.1007/978-3-662-45981-2
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Vorwort
ImvorliegendenBuchstellenwirzahlreicheAufgabenzurAlgebrainklusiveausführlicher
LösungenzurVerfügung.DieAufgabensinddabeidemBuchAlgebra,Gruppen–Ringe
–KörpervonCh.KarpfingerundK.Meybergentnommenundumeinigeweitereergänzt.
Einer knapp formulierten Musterlösung zu einer Algebraaufgabeist oftmals nicht mehr
die Idee zur Lösungsfindung zu entnehmen. Daher haben wir gerade deswegen in der
vorliegendenAufgabensammlungdasAugenmerkstetsdaraufgelegt,zumotivieren,wie
man auf die Lösung kommt. Das Ziel ist dabei, den Leser zu unterstützen, selbständig
und erfolgreich ein vertieftes Verständnis der grundlegenden Strukturen der Algebra zu
entwickelnundgutaufPrüfungenvorbereitetzusein.
Wie in jeder anderen mathematischen Disziplin auch, ist ebenso in der Algebra das Lö-
sen vonAufgabenunterschiedlichster ArtundSchwierigkeitsgradederSchlüssel fürein
erfolgreichesStudium.NichtzuletztaufgrundderüblicherweisefehlendenAnschaulich-
keit, sprich der Abstraktheit der Algebra, ist aber oftmals die Idee zur Lösungsfindung
nicht unmittelbar greifbar. Daher geben wir Ihnen bereits jetzt, zu Beginn, einige Tipps
undHinweise,diebeimLösentypischerAlgebraaufgabenhilfreichsind:
(cid:2) Vergegenwärtigen Sie sich stets die Begriffe und Definitionen aus der Aufgabenstel-
lung.StellenSiesicher,dassSiedieBegriffeverstandenhaben.
(cid:2) ZiehenSieInformationenausderAufgabenstellungundstellenSiediesezusammen.
(cid:2) WelcheSätze, LemmataundKorollarekennenSiezu denThemender Aufgabenstel-
lung?StellenSiediesezusammen.
(cid:2) Haben Sie stets die grundsätzlichen Beweistechniken (direkt, indirekt, Widerspruch)
imBlick.
(cid:2) Machen Sie sich Skizzen zu ineinandergeschachtelten Mengen (etwa Untergruppen-
verbände,RingerweiterungenoderKörpertürme).
Wir haben eine Wertung des Schwierigkeitsgrades der einzelnen Aufgaben angegeben.
(cid:2)stehtfüreinfach,(cid:2)(cid:2)fürmittelschwer, (cid:2)(cid:2)(cid:2)füranspruchsvoll.EinesolcheWertungist
zwarsubjektiv,kannaberalsOrientierunghilfefürdenLeserdienen.
V
VI Vorwort
EsisttypischfürAlgebraaufgaben,dassdieLösungoftmalsganzeinfachist,wennman
nur weiß, wie man die Aufgabe zu lösen hat. Aber auf die entscheidende Idee zur Lö-
sungsfindungzukommen,istvielfachenormschwierig.WirhabensolcheAufgabentypi-
scherweisemit(cid:2)(cid:2)(cid:2)bewertet.
SämtlicheVerweiseimTextaufSätze,LemmataundKorollaresowieangegebeneSeiten-
zahlenbeziehensichaufdie3.AuflagedesBuchesAlgebra,Gruppen–Ringe–Körper
vonCh.KarpfingerundK.Meyberg.
DieAufgabenhabensichimLaufevielerJahrenangesammelt.VieleAufgabenstellungen
und auch manche Lösungen stammen von Kollegen, denen ich hiermit sehr danke, na-
mentlicherwähntseienDetlevGröger,FrankHimstedt,ThomasHonold,GregorKemper,
KurtMeyberg,MartinKohlsundHeinzWähling.
München,imNovember2014 ChristianKarpfinger
Inhaltsverzeichnis
1 Halbgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Untergruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 NormalteilerundFaktorgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5 ZyklischeGruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6 DirekteProdukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7 Gruppenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
8 DieSätzevonSylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
9 SymmetrischeundalternierendeGruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
10 DerHauptsatzüberendlicheabelscheGruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
11 AuflösbareGruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
12 FreieGruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
13 GrundbegriffederRingtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
14 Polynomringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
VII
VIII Inhaltsverzeichnis
15 Ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
16 TeilbarkeitinIntegritätsbereichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
17 FaktorielleRinge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
18 Hauptidealringe.EuklidischeRinge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
19 ZerlegbarkeitinPolynomringenundnoetherscheRinge . . . . . . . . . . . 157
20 GrundlagenderKörpertheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
21 EinfacheundalgebraischeKörpererweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . 181
22 KonstruktionenmitZirkelundLineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
23 TranszendenteKörpererweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
24 AlgebraischerAbschluss.Zerfällungskörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
25 SeparableKörpererweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
26 EndlicheKörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
27 DieGaloiskorrespondenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
28 DerZwischenkörperverbandeinerGaloiserweiterung . . . . . . . . . . . . . 249
29 Kreisteilungskörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
30 AuflösungalgebraischerGleichungendurchRadikale . . . . . . . . . . . . . 277
31 DieallgemeineGleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
1
Halbgruppen
1.1 Aufgaben
1.1 (cid:2) UntersuchenSiediefolgendeninnerenVerknüpfungenN(cid:3)N !N aufAsso-
ziativität,KommutativitätundExistenzvonneutralenElementen.
(a) .m;n/7!mn. (c) .m;n/7!ggT.m;n/.
(b) .m;n/7!kgV.m;n/. (d) .m;n/7!mCnCmn.
1.2 (cid:2) UntersuchenSiediefolgendeninnerenVerknüpfungenR(cid:3)R ! RaufAsso-
ziativität,KommutativitätundExistenzvonneutralenElementen.
p
(a) .x;y/7! 3 x3Cy3. (b) .x;y/7!xCy(cid:4)xy. (c) .x;y/7!x(cid:4)y.
1.3 (cid:2) Mit welcher derfolgendeninnerenVerknüpfungenı W Z(cid:3)Z ! Z ist .Z;ı/
eineHalbgruppe?
(a) xıy Dx. (c) xıy D.xCy/2.
(b) xıy D0. (d) xıy Dx(cid:4)y(cid:4)xy.
1.4 (cid:2)(cid:2) WievieleverschiedeneinnereVerknüpfungengibtesaufeinerMengemitdrei
Elementen?
1.5 (cid:2)(cid:2)(cid:2) Man begründe das allgemeine Assoziativgesetz (siehe Lemma 1.3 (Algebra-
buch)).
©Springer-VerlagBerlinHeidelberg2015 1
C.Karpfinger,ArbeitsbuchAlgebra,DOI10.1007/978-3-662-45981-2_1
2 1 Halbgruppen
1.6 (cid:2)(cid:2)(cid:2) ManbegründedasallgemeineKommutativgesetz(sieheLemma1.4(Algebra-
buch)).
1.7 (cid:2)(cid:2) Manzeige,dassdieTeilmengeZCZ iDfaCb i ja; b 2ZgvonC,versehen
mit der gewöhnlichen Multiplikation komplexer Zahlen, eine abelsche Halbgruppe mit
neutralemElementist.ErmittelnSiedieEinheitenvonZCZ i.
1.8 (cid:2)(cid:2) EsseiendieAbbildungenf ;:::; f WRnf0; 1g!Rnf0; 1gdefiniertdurch:
1 6
1 x(cid:4)1
f .x/Dx; f .x/D ; f .x/D ;
1 2 3
1(cid:4)x x
1 x
f .x/D ; f .x/D ; f .x/D1(cid:4)x:
4 5 6
x x(cid:4)1
Zeigen Sie, dass die MengeF D ff ; f ; f ; f ; f ; f g mit der inneren Verknüpfung
1 2 3 4 5 6
ı W .f ;f / 7! f ıf , wobeif ıf .x/ WD f .f .x//, eineHalbgruppemitneutralem
i j i j i j i j
Elementist.WelcheElementeausF sindinvertierbar?StellenSieeineVerknüpfungstafel
für.F;ı/auf.
1.9 (cid:2)(cid:2) BestimmenSiealleHomomorphismenvon.Z;C/in.Q;C/.Gibtesdarunter
Isomorphismen?
1.2 Lösungen
1.1 (a)DieGleichheitmnk D .mn/k D mnk istfürm; n; k 2 N imAllgemeinennicht
erfüllt, so gilt etwa für m D n D k D 3: mnk D 327 6D 39 D mnk. Also ist die
Verknüpfungnichtassoziativ.DieVerknüpfungistauchnichtkommutativ,daetwa32 6D
23 gilt.AberesgibteinrechtsneutralesElement,nämlich1,dennesgiltfürallem 2 N:
m1 D m. Das rechtsneutrale Element 1 ist aber nicht linksneutral: 12 6D 2. Da es kein
ElementeinN miten Dnfürallen2N gibt,existiertkeinneutralesElement.
(b) Wegen kgV.m;kgV.n;k// D kgV.kgV.m;n/;k/ und kgV.m;n/ D kgV.n;m/ für
allem;n;k 2 N istdieVerknüpfungassoziativ undkommutativ.WegenkgV.1;n/ D n
fürjedesn2N ist1neutralesElement.
(c)Analogzu(b)zeigtman,dassdieVerknüpfungassoziativundkommutativist.Jedoch
gibteskeinneutralesElement,daggT.e;n/DndieRelationnjeimpliziert.
(d)WirsetzenmınWDmCnCmnfürm; n2N.Damitgiltfürallem; n; k 2N:
mı.nık/Dmı.nCkCnk/DmC.nCkCnk/Cm.nCkCnk/;
.mın/ık D.mCnCmn/ık DmCnCmnCkC.mCnCmn/k: