Arbeiten zur Analysis und zur mathematischen Logik

146 Pages·1990·9.79 MB·German

by  G. Peano (auth.)

Ocr Verlag dankt der Leipziger Univer.;itiitsbi1>IiOlhek (Au6cnstdle an der $ektion Mathematik der Karl-Mant
Uni"crsitiit). insbesondere Frau I. l.£TzE1-ruT "ielFullige Unterstiitzung.
Vulag und lIerausgcbcr danken liir die Bcrcitslcllung von Fotos:
Mathemalisches Forschungsinstitut OberwolFaeh: S. 6.
Univcrsitatsbibliothek der Humboldl-Univcrsil1il zu Berlin. Zweigslellc Mathematik: S. 70,
Niedc.siichsischc Smats-und Uni"ersiliilsbibliolhck Gtlllingcn. HnndschriFtcnableilung: S. 123-12S.
hir Ihre Unterstiilzung bei de, Bercitslellung dcs I}ildrnaterials iSI Frau A. D'SCH. ObcrwnlfHch, Hcrrn H. H.\"AN.
Berlin, und Hcrrn Dr. H. ROIILI'H<G. GOllingen. 211 danken.
Ocr Verlagdnnkt auLlcrdem Herrn B\lehbindcTn1ci~ler W. FREN~EL. Leipzig. fUr die hilFreiche Unler.;tiilzung.
Ocr Brief vnn G. PEA"O an F. KLEIN (So 123-125; Ober.;e!Xung: S. 126) wurde FrcundliehCNCi...: von Frau Dr.
f". SCl,UIIMM",.. Leipzig. aus dem halienil;chcn iihc .... clzt.
ISIlN-13:978-3-211-95S46-9 e-ISUN-13:978-3-7091-9537--6
001: 10.1007/978-3-7091-9537-6
TEUBNER-ARCHIVzur Mathematik Band 13
C BSB I}. G. Teubner VcrlagsgeselLschaft. Leipzig. 1<)90
I Aunage
Lcklor: Jurgen WeiLl
Printed in IhcGcrman Democratic Republic
Gcsamlherslellung: INTERDRUCK, Graphi.schcr OroLlbclricb Leipzig
G.Peano
Arbeiten zur Analysis
und zur mathematischen Logik
Herausgegeben und mit einem Nachwort versehen
von
G. ASSER
Dieser Band der Reihe "TEUBNER-ARCHIV zur Mathematik" enthiilt fotomecha
nische Nachdrucke klassischer Arbeiten von GIUSEPPE PEANO zur Analysis und zur
mathematischen Logik aus den lahren 1886 bis 1899, denen fUr die Herausbildung
der gegenwiirtigen Mathematik groBe Bedeutung zukommt.
1m N achwort berichtet der Herausgeber tiber die Entstehungsgeschichte der abge
druckten Arbeiten, tiber deren SteHung im Gesamtwerk PEANOS und tiber ihre Ver
flechtung mit der Entwicklung der Mathematik urn die lahrhundertwende.
LEIPZIC
BSB B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig
Distributed by Springer-Verlag Wien New York
This volume in the series "TEUBNER-ARCHlY zur Mathematik" contains photo
mechanical reprints of classical papers on Mathematical Analysis and Mathemati
cal Logic published by GIUSEPPE PEANO in the years 1886 to 1899, which have had
great importance for the formation of the contemporary mathematics.
In an epilogue the editor describes the history of the reprinted papers, their position
in the whole work of PEANO and their connections with the development of the
mathematics at the tum of the century.
Ce .tome de la serie "TEUBNER-ARCHlY zur Mathematik" contient des repro
ductions photomecaniques des travaux classiques de GIUSEPPE PEANO sur l'analyse
et la logique mathematique, parus au cours des annees 1886 11 1899, qui ont une
importante signification relativement 11 l'etat present des mathematiques.
Dans une postface, l'editeur donne une compte rendu historique de l'origine des
traveaux reproduits, sur la place qu'ils occupent dans l'reuvre de PEANO et sur leurs
liaisons avec Ie developpement des mathematiques au toumant du siecle.
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2
Vorwort
Der vorliegende Band der Reihe "TEUBNER-ARCHIV zur Mathematik" enthlilt
fotomechanische Nachdrucke einiger grundlegender Arbeiten GIUSEPPE PEANOS aus
den Jahren 1886 bis 1899. Der Autor dieser Abhandlungen gehOrte im ersten Drit
tel unseres I ahrhunderts zu den international bekannten und anerkannten Mathe
matikern. Er stand mit zahlreichen Fachkollegen in einem regen Gedankenaus
tausch, und viele bedeutende Mathematiker seiner Zeit haben von ihm wichtige
Anregungen empfangen. Der heutigen Mathematikergeneration ist er vielfach nur
noch durch die nach ihm benannten Resultate bekannt: die Peano-Kurve, den Exi
stenzsatz fUr Losungen von Differentialgleichungen und Differentialgleichungssy
steme, das Axiomensystem fUr die naturlichen Zahlen und den daraus abgeleiteten
Begriff der Peano-Algebra sowie den Peano-Iordan-Inhalt von Punktmengen des
n-dimensionalen euklidischen Raumes. Nur wenige wissen, daB der heute ubliche
Begriff des Vektorraumes und der allgemeine Begriff der linearen Abbildung auf
PEANO zuruckgehen, wobei er ausdrucklich auch unendlich dimensionale Vektor
rliume betrachtete, und daB z. B. die heute ubliche mengentheoretische Symbolik
weitgehend durch ihn gepriigt wurde.
Die mathematischen Originalarbeiten PEANOS sind ausschlieBlich in italienisch
und franzosisch geschrieben. Es gibt aber von einigen Arbeiten autorisierte
deutschsprachige Ubersetzungen, die als Anhlinge der durch G. BOHLMANN und
A. SCHEPP besorgten Ubersetzung des 1884 in Turin erschienenen Lehrbuchs "Cal
colo differenziale e principii di calcolo integrale, pubblicato con aggiunte dal
Dr. Giuseppe Peano" beigefUgt sind. Als Autor dieses Lehrbuchs und seiner 1899
im Verlag B. G. TEUBNER unter dem Titel "Differentialrechnung und Grundzuge
der Integralrechnung, herausgegeben von GIUSEPPE PEANO" erschienenen deutsch
sprachigen Ubersetzung wird PEANOS Lehrer ANGELO GENOCCHI genannt, auf dessen
Vorlesungen das Werk basierte; sein eigentlicher Autor war jedoch PEANO. Diese
Anhlinge bilden den Grundstock der vorliegenden Ausgabe. Sie tragen die Titel
"Uber mathematische Logik", "Definitionen der Arithmetik", "Uber die Tay
lor'sche Forme!", "Uber die Definition des Integrals" und "Die komplexen Zah
len". Die zugehOrigen Originalarbeiten stammen aus den Iahren 1897, 1898, 1891,
1895 und 1893; der Anhang V ist eine Ubersetzung des Kapitels 6 des 1893 erschie
nenen Lehrbuchs "Lezioni di analisi infinitesimale" und vermittelt eine kurze Ein
fUhrung in die Geometrie des n-dimensionalen euklidischen Raumes als Grund
lage fUr die mehrdimensionale Analysis. Der vorliegende Band enthlilt weiterhin
fotomechanische Nachdrucke der in den Mathematischen Annalen 36 (1890) und
37 (1890) erschienenen Arbeiten "Sur une courbe qui remplit toute une aire plane"
und "Demonstration de l'integrabilite des equations differentielles ordinaires".
Die getroffene Auswahl aus dem fast 200 Arbeiten umfassenden mathemati
schen Werk GIUSEPPE PEANOS mochte dem Leser einen Einblick in Teile dieses
Werkes geben, die fUr die Herausbildung der gegenwlirtigen Mathematik besonders
fruchtbar waren. 1m Nachwort wird kurz uber die Entstehungsgeschichte der abge
druckten Arbeiten, deren Stellung im Gesamtwerk PEANOS und ihre Verflechtung
3
I'
Vorwort
mit der Entwicklung der Mathematik urn die Jahrhundertwende berichtet. Den
Nachdrucken ist eine Kurzbiografie PEANOS vorangestellt.
Der Herausgeber dankt dem Teubner-Verlag, Leipzig, mr die schOne Gestaltung
dieses Bandes und das bereitwillige Eingehen auf alle seine Wiinsche; besonderer
Dank gebiihrt Herrn J. WEISS mr seine wertvolle Unterstiitzung. Ebenso sei dem
Graphischen GroBbetrieb Interdruck Dank und Anerkennung mr die gute Druckle
gung ausgesprochen.
Greifswald, Mai 1988 GiiNrER ASSER
- 4 -
Inhalt
[A] G. Peano: Uber mathematische Logik (Anhang I zur deutschen Ausgabe
von [39]; deutsche Ubersetzung von [57]) . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10
[B] G. Peano: Definitionen der Arithmetik (Anhang II zur .deutschen Aus
gabe von [39]; deutsche Ubersetzung eines Auszugs aus den "Formulaire
de Mathematiques", Bd. 2 (1898» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27
[C] G. Peano: Uber die Taylor'sche Formel (Anhang III zur deutschen Aus-
gabe von [39]; deutsche Ubersetzung von [52]) ............... 33
[D] G. Peano: Uber die Definition des Integrals (Anhang IV zur deutschen
Ausgabe von [39]; deutsche Ubersetzung von [55]) . . . . . . . . . . . .. 40
[E] G. Peano: Die komplexen Zahlen (Anhang V zur deutschen Ausgabe von
[39]; deutsche Ubersetzung des Kapitels 6 von [53]). . . . . . . . . . . .. 45
[F] G. Peano: Sur une courbe qui remplit toute une aire plane. (Math. Ann.
36 (1890), 157-160). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 71
[G] G. Peano: Demonstration de l'integrabilite des equations differentielles
ordinaires. (Math. Ann. 37 (1890), 182-228) 76
Nachwort 127
Literatur . 140
Namen-und Sachverzeichnis 143
- 5 -

Biographische Anmerkungen
GIUSEPPE PEANO wurde am 27. August 1858 in Spinetta, einem kleinen Dorf in
der Provinz Cuneo in Norditalien, geboren. Er besuchte die Schule in Spinetta und
Cuneo und anschlieBend das Gymnasium in Turin. Von 1876 bis 1880 studierte er
an der Universitat Turin Mathematik und Naturwissenschaften. Seine akademi
schen Lehrer in der Mathematik waren u. a. ENRICO D'OVIDIO, ANGELO GENOCCHI,
GIUSEPPE BRUNO und FRANCESCO FAA DI BRUNO. Von 1880 bis 1890 wirkte PEANO
als Assistent und Privatdozent an der Universitat Turin und unterrichtete ab 1886
daneben als Professor an der Koniglichen Militarakademie. 1m Jahre 1890 erfolgte
seine Ernennung zum auBerordentlichen Professor fUr Infinitesimalrechnung an
der Universitat Turin und fUnf Jahre spater die zum ordentlichen Professor. 1891
wurde er zum Mitglied der Turiner Akademie der Wissenschaften, 1905 zum Kor
respondierenden und 1929 zum Nationalen Mitglied der Accademia dei Lincei ge
wahlt. Am 20. April 1932 verstarb GIUSEPPE PEANO in Turin.
Hauptarbeitsgebiete PEANOS waren Analysis, Mathematische Logik und Grundla
gen der Arithmetik und Geometrie. Dabei galt auch in der Analysis sein besonde
res Interesse der Kliirung begriffiicher Grundlagen, wie es fUr das 19. Jahrhundert
durchaus charakteristisch war. Speziell beschaftigte ihn das Problem, durch eine
genaue logische Analyse des Begriffs- und SatzgefUges der Infinitesimalrechnung
das "Definierbare von dem nicht Definierbaren, das Beweisbare von dem nicht Be
weisbaren zu unterscheiden", und dasselbe Problem stand fUr ihn in Arithmetik
und Geometrie und irn gewissen Sinne auch in der Logik.
Das Studium der Schriften von G. BOOLE [2], [3], ERNST SCHRODER [66], [67],
H. MACCOLL [30], [31], C. S. PEIRCE und spater auch G. FREGE [10], [11], [12] fUhrte
PEANO zu der Auffassung, daB es zur Erflillung des genannten Programms der Be
nutzung einer formalisierten Sprache, einer Begriffsschrift oder Ideographie be
dUrfe, die den logischen Gehalt der mathematischen Aussagen und ihre gegensei
tige Abhangigkeit exakter widerspiegelt als das die gewohnliche Umgangssprache
vermag. Ab 1888 war er maBgeblich an der Schaffung einer mathematisch-logi
schen Formelsprache beteiligt, die spater durch B. RUSSELL wesentlich vervoH
kommnet wurde und von der wesentliche Teile in der heutigen Formelsprache der
Mathematik enthalten sind. In seinen 1888 und 1889 erschienenen Schriften [43]
und [44] formulierte er die heute iiblichen Axiome eines Vektorraumes und das
nach ihm .benannte Axiomensystem fUr die natiirlichen Zahlen und entwickelte
unter Benutzung seiner Formelsprache die Folgerungen aus diesen Axiomensyste
men. In beiden Schriften beruft er sich ausdrucklich auf die formalen Auffassun
gen der britischen algebraischen Schule und auf H. GRASSMANN. Obwohl er sein
Programm als ein "logisches" bezeichnete, hat er - im Gegensatz zu FREGE - nicht
den Versuch unternommen, die verwendeten logischen Schllisse in die Formalisie
rung einzubeziehen. Sein Ziel war es allein, die Definitionen und Satze der Mathe
matik in einer formalisierten Sprache exakt aufzuschreiben, sie in eine lUckenlose
deduktive Reihenfolge zu bringen und das Gesamtgebiiude einer mathematischen
Theorie auf eine moglichst geringe Anzahl unabhiingiger Axiome zu grunden. Da
mit gehort PEANO vor aHem zu den Wegbereitern der formalen axiomatischen
Strukturauffassung in der Mathematik. Die Synthese aus dem logischen Werk FRE
GES und dem formalen axiomatischen Vorgehen PEANOS wurde vor aHem durch
B. RUSSELL und A. N. WHITEHEAD in ihren "Principia Mathematica" vollzogen. Zur
Realisierung seines Zieles gab PEANO von 1891 bis 1901 die Zeitschrift "Rivista di
7
G.ASSER
matematica" (Revue de mathematiques) und in den Jahren 1895 bis 1908 die von
ihrn und einer Reihe seiner Anhiinger verfaBten 5 Biinde des "Formulaire de Ma
thematiques" (Formulario mathematico) heraus. Hauptinhalt des Formulaire waren
in formalisierter Sprache aufgeschriebene mathematische Siitze und Definitionen
und in Ketten von logischen Schliissen aufge16ste mathematische Beweise, syste
matisiert fUr ganze Abschnitte mathematischer Theorien.
Wesentlich inspiriert durch G. W. LEIBNIZ, widmete sich PEANO von 1903 an mit
viel Kraft und Elan der Propagierung und Schaffung einer Welthilfssprache. 1m Ge
gensatz zu den Hilfssprachen Volapiik (J. SCHLEYER), Esperanto (1. 1. ZAMENHOF)
und Ido (1. COUfURAT) suchte PEANO die LOsung in einer radikal vereinfachten
Form der lateinischen Sprache, einem "Late in ohne Flexionen" (latino sine fie
xione), wobei fUr ihn vor aHem die Frage einer intemationalen Wissenschaftsspra
che von Interesse war.
Eine umfassende Darstellung von Leben und Werk GIUSEPPE PEANOS gibt die
Peano-Biografie von H. C. KENNEDY [24]. Diese Biografie enthiilt ein vollstiindiges
Verzeichnis der Schriften PEANOS und eine umfangreiche Bibliographie von Arbei
ten iiber ihn. Zu der Bedeutung PEANOS fUr die Herausbildung der heutigen Mathe
matik sei insbesondere auf die "Geschichte der Mathematik 1700-1900" von
J. DIEUDONNE [9] verwiesen.
8
ANGELO GENOCCHI
DIFFERENTIALRECHNUNG
UND
GRUNDZOGE DER INTEGRALRECHNUNG
HERAUSGEGEBEN VON
GIUSEPPE PEANO
AUTORISIERTE DEUTSCHE UBERSETZUNG
VON
G. BORI.MANN UND A. SOHEPP
MIT EINEM VORWORT VON A. MAYER
LEIPZIG
DRUCK UND VERLA.G VON B. G. TEUBNER
1899