Arbeiten mit Termen

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(cid:105) (cid:105)
(cid:105) (cid:105)
) 3 x y
b 3
- x
a 2
+
2 5
(
6 Abrakadabra –
Arbeiten mit Termen
6.1 Wiederholung
BäuerinMariasKühehabenZuwachsbekommen.
DahermöchtesieihrenKüheneinefrischeWiese
zumFressengebenundüberlegt,wievielElektro-
zaunsiefürdieUmzäunungbraucht.Sieberechnet
denUmfang
u = a+b+a+b.
Hättesiedieseinfacherberechnenkönnen?
Tomsagt: Natürlich,siekannauch
”
u = 2a+2b
rechnen!“
a
Saraentgegnet: Esgehtnochanders.Siekannauch
”
u = 2⋅(a+b) b b
rechnen.Dashabenwirdochschoninderersten
a
Klassegelernt.“
464a)Esgibt Kommtdabeiimmerdasselbeherausund–wennja–warum?
gleichviel
MitsolchenProblemenwerdenwirunsindiesemKapitelbeschäf-
Mädchenwie
tigen.AmEndewirstduwissen,
Buben.b)Esgibt
1. wasmanunterTermenversteht,
umeinMädchen
2. wiemanmitihnenrechnetund
wenigeralsBuben.
c)Esgibtumzwei 3. wozumansiebrauchenkann.
Bubenmehrals
Mädchen.d)Es Du hast gelernt, dass du mit Buchstaben (= Variablen) genauso rechnen kannst wie
gibtdreiBuben. mitkonkretenZahlen,dadieVariablenalsPlatzhalterfürirgendwelcheZahlenstehen.
e)Esgibtdoppelt Insbesonderehastdugelernt,wiedumitVariablen,ohnevielzuschreiben,Sachverhalte
sovielBubenwie darstellenkannst:
)
Mädchen I2 H3463 Bäuerin Maria hat auch Schafe und zwar w weiße und s
K1
wenigereinen.
schwarze.Schreibemathematisch:
f)Esgibthalbso
a) EsgibtdoppeltsovieleweißewieschwarzeSchafe.w = 2s
vieleMädchenwie
b)Esgibtum5schwarzeSchafemehralsweiße.s = w +5
Buben.DieAnzahl
c)Esgibtum3weißeSchafewenigeralsschwarze.w = s−3
derBubenmuss w
d)EsgibthalbsovieleschwarzeSchafewieweiße.s =
geradesein. 2
(cid:105) (cid:105)
(cid:105) (cid:105)
(cid:105) (cid:105)
(cid:105) (cid:105)
6.1 Wiederholung 89
) 465a)Sarahat
I2 H3
464 IneinerKlassesindm Mädchenundb Buben. (1)Wasbedeutendiefolgenden
K1 doppeltsoviele
Ausdrücke? (2)GibfürjedenAusdruckeinerealistischeMöglichkeitan,wievielMäd-
CDswieTom.
chenundBubenesseinkönnten!Wasmusstdubeif)beachten?
b)Sarahatum
a) m = b b)m = b−1 c)b = m+2
zweiCDsweniger
♦ b
d)b = 3 e)b = 2m−1 f) m =
alsTom.c)Die
2
) AnzahlderCDs
I2 H3
465 WaskannmansichunterdemfolgendenAusdruckvorstel- insgesamt.d)Die
K1
len,wenntdieAnzahlderCDsvonTomundsdieAnzahlder AnzahlderCDs,
CDsvonSaraist?Wasistbeie)undf)zubeachten? dieSaramehrhat
a) s = 2t b)s = t −2 alsTom.e)Sara
c)n = s+t d)n = s−t hathalbsoviele
♦ e) s = t ♦ f) t = s CDswieTom.
2 3
f)Tomhatein
)
I2 H1
466 GibeineFormelfürdieEinnahmenGbeieinemSpielder DrittelsovieleCDs
K1
Euro2008an,wenndieKartender1.Kategorie110€,der2.Ka- wieSara.
tegorie 80 € und der 3. Kategorie 45 € gekostet haben! Dabei
468 (1)DieAnzahl
werdenaKartender1.Kategorie,bKartender2.KategorieundcKartender3.Katego-
derVolleyballspie-
rieverkauft.G = 110a+80b+45c
ler/innenistum5
)
I2 H1
467 SchreibemitHilfevonVariablenan! kleineralsdie
K1
EinBäckerverkauftkKipferlundsSemmeln. AnzahlderFußball-
(1)GesternhaterdreimalsovieleSemmelnwieKipferlverkauft. spieler/innen. (2)
(2)HeutewardieAnzahlderverkauftenSemmelnum4größeralsdiedreifacheAnzahl Esgibtviermalso
derverkauftenKipferl. (1)s = 3k; (2)s = 3k +4 vieleVolleyball-
) spieler/innenwie
I2 H3
468 IndendrittenKlassengibtesfFußballspieler/innenundvVolleyballspieler/innen.
K1 Fußballspieler/in-
WasbedeutendiefolgendenFormeln?BeschreibeinWorten!
nen.
v
(1)v = f −5 (2)f =
4
)
I2 H3
469 In den dritten Klassen gibt es s Schachspieler/innen und k Kartenspieler/innen. 469 (1)DieAnzahl
K1
WasbedeutendiefolgendenFormeln?BeschreibeinWorten! derSchachspie-
s
(1)s = k −7 (2)k = ler/innenistum7
3
(cid:19) (cid:16)
) kleineralsdie
I2 H1
470PopkonzertA: BeieinemPopkonzertwerden AnzahlderKarten-
(cid:18)K1 (cid:17)
insgesamtxKartenfürStehplätzezumPreisvon spieler/innen.
jeweilsa€sowieyKartenfürSitzplätzezumPreis (2)Esgibtdreimal
vonjeweilsb€verkauft. sovieleSchach-
a) Wasbedeutetx +y? spieler/innenwie
b)Wie, d.h. mit welcher Formel, könnte man Kartenspieler/in-
die gesamten Einnahmen aus dem Verkauf der nen.
Sitzplatzkartenermitteln?
c)Wasbedeutetx ⋅a+y ⋅b?
)
I2 H1
471 SchreibemitHilfevonVariablenan! 471a)2a b)3b
K1
a) DasDoppeltevona. b)DasDreifachevonb. c)c/2 = c ∶ 2 = c
2
c)DieHälftevonc. d)EinViertelvond. d
d)d/4 = d ∶ 4 =
4
(cid:105) (cid:105)
(cid:105) (cid:105)
(cid:105) (cid:105)
(cid:105) (cid:105)
90 6 Abrakadabra–ArbeitenmitTermen
)
470a)x +y I2 H1
472 SchreibemitHilfevonVariablenan!
gibtdieAnzahl K1
a) DieSummevon5unddieSummevon2unda. 5+(2+a)
derinsgesamt
b)DieDifferenzvon10undderSummevon2undb. 10−(2+b)
verkauftenKarten
c)DasProduktvon3undderSummevon4undc. 3⋅(4+c)
an.b)Bezeichnet
d)DasProduktvon2undderDifferenzvon2undd. 2⋅(2−d)
mandiedurchden
e)DasProduktvon5unddemProduktvon3unde. 5⋅(3⋅e)
Verkaufvon
f
f)DasProduktvon2unddemQuotientenvonf und4. 2⋅
Sitzplatzkarten 4
)
erzielten I2 H1
473 Schreibemathematischan!
K1
EinnahmenmitE,
a) DieSummevona undb. b)DieDifferenzvona undb.
dannmussgelten:
c)Dasn-Fachevona. d)Denn-tenTeilvona.
E = yb c)xa+yb
e)DenNachfolgervona. f)DenVorgängervona.
meintdieausdem
Verkaufvon UmaufMariasProblemmitdemWeidezaun(sieheS.88)zurückzukommen:Natürlich
Sitzplatz-und kommtüberalldasselbeheraus,dennobmandieLängederSeitenderReihenachaddiert,
Stehplatzkarten wie dies Bäuerin Maria getan hat, oder ob man zuerst die Längen der jeweils gleich
erzielten langenSeitenzusammenzähltunddanndiebeidenSummenaddiert,wiediesTomgetan
Gesamteinnahmen. hat,oderobmanzuerstdieLängeneinerlangenundeinerkurzenSeitezusammenzählt
unddannverdoppelt,wiediesSaragetanhat,machtimErgebniskeinenUnterschied.
473a)a+b
Aber – wie Sara gesagt hat – das weißt du schon alles. Und wenn du in deine Rech-
b)a−b c)n⋅a
nungfürdieVariablenkonkreteZahleneinsetzt,kannstdukontrollieren,obdurichtig
d)a ∶ ne)a+1
gerechnethast.
f)a−1
Vereinfache4a+3b+5a−2b!
DurechnestwegendesVertauschungsgesetzesderAddition(siehe2.4):
= 4a+5a+3b−2b = 9a+b
Beachte:DudarfstnurgleicheVariablenzusammenfassen!
FühredieProbefüra = 2undb = 3durch!SetzedabeizuerstindieAngabeeinund
danninsErgebnis!
A = 4⋅2+3⋅3+5⋅2−2⋅3 = 8+9+10−6 = 21
E = 9⋅2+3 = 18+3 = 21.EsistalsoA = E,wobeiAfürAngabeundEfürErgebnis
steht.
474a)9a 27=27 Tipp6.1
b)3a 9=9
DukannstdirSchreibarbeitersparen,wenndugleich4a+5a ausrechnest.
c)−2a –6=–6
DamitdubeilängerenAusdrückennichtsvergisst,unterstreichegleicheVariablen
d)−a –3=–3
mitgleicherFarbeinderRechnung!Sokannstdudichnichtsoleichtirren!Wenn
e)0,7a 2,1=2,1
dukeineFarbstiftehast,dannunterstreichemitverschiedenenLinienarten:gerade,
f)2,7a 8,1=8,1
gewellt,strichliert,punktiert,…!
g)−0,3a –0,9=–0,9
4a+3b+5a−2b = 9a+b
h)−1,3a –3,9=–3,9
)
I2 H2
474 VereinfacheundkontrollieredeineRechnung,indemdusowohlinderAngabeals
K1
auchimErgebnisfüra = 3einsetzt!
a) 6a+3a = b)6a−3a = c)3a−5a = d)2a−3a =
e)1,7a−a = f)1,7a+a = g)1,7a−2a = h)1,7a−3a =
(cid:105) (cid:105)
(cid:105) (cid:105)
(cid:105) (cid:105)
(cid:105) (cid:105)
6.1 Wiederholung 91
475a)−2a−6
–10=–10
)
I2 H2 b)−4a+168=8
475 VereinfacheundmachedieProbefüra = 2!
K1 c)−1–1=–1
a) 5a+2−7a−8 = b)4a+7+9−6a−2a = c)5a+5+a−6−6a =
d)3a+713=13
d)9+5a+6−8−2a = e)4a+8−8a+9a−3 = f)3a+5−6a+9a−3 =
) e)5a+515=15
I2 H2
476 VereinfacheundmachedieProbefüra = 3undb = 2! f)6a+214=14
K1
a) 4a+7b+2a+2b = b)4a−6b−3a+6b = c)5a−6b+3a−5b = 476a)6a+9b
d)3a−5b+4a−5b = e)6a+4b−4a−4b = f)2a+b−5a−4b = 36=36b)a 3=3
)
I2 H2 c)8a−11b 2=2
477 VereinfacheundmachedieProbefürs = 2undt = 1!
K1 d)7a−10b 1=1
a) 2s+5t +s−7t = b)2s−5t −s+7t = c)2s−5t +s+5t −4s =
e)2a 6=6
d)9s+5t −6t −3t −5s = e)2s−3t +4t +6s−3s = f)5s+7t −8t −3s+s =
f)−3a−3b
g)4s−5t +3s−9s+7t = h)3s+5t +3s−9s−7t =
–15=–15
)
I2 H2
478 VereinfacheundmachedieProbefüra = 2undb = 3!
K1
a) 2b−2a−4a−b+6a+4b = b)2a+3b+5a−4a−b+9b = 477a)3s−2t 4=4
c)a+b+b+5b−6a+7a = d)3a+b−b−b+b+5a = b)s+2t 4=4c)−s
e)2a+3b−5a−a+4b−6b = f)2a+2b+5a+a+4b−6b = –2=–2d)4s−4t
) 4=4e)5s+t
I2 H2♦
479VereinfacheundmachedieProbefürk = 1,l = 2undn = 3!
K1 11=11f)3s−t 5=5
a) 9k +l +4n−5k +2l −2n = b)k −2l +3n+3k +2l −2n =
g)−2s+2t –2=–2
c)8k −2l +n+2k +5l +3n = d)5k −5l −2n+4k +5l +n =
h)−3s−2t –8=–8
e)7k +3l +2n−k −2l +4n = f)6k +3l +5n−5k −l −4n =
g)6k −4l +3n−5k +4l +n = h)3k +2l +4n−3k −l −3n =
478a)5b 15=15
)
I2 H2480 VereinfacheundmachedieProbefüra = 4! b)3a+11b
K2
3a 5a 6a 5a 2a 4a 7a 5a 2a 39 = 39c)2a+7b
a) + − = b) + − = c) − − =
2 2 2 3 3 3 4 4 4 25 = 25d)8a
)
I2 H2♦ 16 = 16e)−4a+b
481VereinfacheundmachedieProbefürr = 4,s = 10!
K2 −5 = −5f)8a
4s 2r 8s 4s 3r 7r 3s 3r 2r 3s
a) + − + + = b) + + + − = 16 = 16
5 5 5 5 5 4 4 4 4 4
9r 3s 5s 5r 6s 4r 3r 6s 7s 6r 3s 4r
c) − − + + − = d) − − + + − = 479a)4k+3l+2n
2 2 2 2 2 2 5 5 5 5 5 5
16 = 16b)4k +n
DieAusdrückeindenobigenAufgabensindBeispielefürTerme: 7 = 7
UntereinemTermverstehtmaneinensinnvollenmathematischenAusdruck,den c)10k +3l +4n
manprinzipiellausrechnenkann(zumindest,wenndenVariablenWertezugewiesen 28 = 28d)9k −n
wordensind,z.B.Zahlen,andereVariablenundVerknüpfungenzwischenihnen.) 6 = 6e)6k+l+6n
Terme,diekein+oder−alsOperationszeichenenthalten,heißeneingliedrigeTerme 26 = 26
oderMonome,wiez.B.3a. f)k +2l +n8 = 8
Terme,diegenauein+oder−alsOperationszeichenenthalten,heißenzweigliedrige g)k +4n13 = 13
TermeoderBinome,wiez.B.3a−2b. h)l +n5 = 5
Terme,diemindestenszwei+oder−alsOperationszeichenenthalten,heißenmehr-
gliedrigeTermeoderPolynome,wiez.B.3a−2b+ab. 480a)a 4 = 4b)a
4 = 4c)00 = 0
)
I2 H2
482x isteinenegativeganzeZahl.WelcherderfolgendenTerme(Ausdrücke)istdann
K2 481a)r 4 = 4
amgrößten?
b)3r 12 = 12
A)x+1 B)2x C)−2x D)6x +2 E)x −2
c)5r −s 10 = 10
d)r −2s
−16 = −16
482C)
(cid:105) (cid:105)
(cid:105) (cid:105)
(cid:105) (cid:105)
(cid:105) (cid:105)
92 6 Abrakadabra–ArbeitenmitTermen
6.2 Multiplikation von Variablen
WiegroßisteigentlichdieneueFutterweidevonMariasKühen(sieheS.88)?
Natürlicha⋅b.
Tipp6.2
Wennduwillst,kannstdudenPunktbeia⋅b weglassen,sowieduauchnicht2⋅a,
sondern2a schreibenkannst.
Berechne(−2a)⋅5b undmachedieProbefüra = 2undb = 4!
WegendesVertauschungsgesetzesderMultiplikationkönnenwirschreiben:
= (−2)⋅5⋅a⋅b = −10ab
Probe:A = (−2⋅2)⋅(5⋅4) = (−4)⋅20 = −80
E = −10⋅2⋅4 = −80 ⇒ A = E
)
I2 H2
483a)6xy 12=12 483 BerechneundmachedieProbefürx = 2undy = 1!
K1
b)16xy 32=32 a) 2x ⋅3y = b)4x ⋅4y = c)5x ⋅2y = d)2x ⋅3y =
)
c)10xy 20=20 I2 H2
484 Gruppenarbeit: GegebensinddiefolgendenProdukte,diedurchdieMultiplikation
d)6xy 12=12 K2
zweierTermeentstandensind.WiekönnendiezweiTermeheißen?Wervoneuchfindet
diemeistenMöglichkeiten?
a) 6xy = b)16ab = c)10gh = d)8kl =
Tipp6.3
StattdasVertauschungsgesetzderMultiplikationzuverwenden,kannstdugleichdie
Vorzeichenregelverwenden:
GleicheVorzeichenergeben+,ungleicheergeben–.“
”
485a)−10ab
(SieheKap.2.6,S.42,undKap.2.7,S.45!)
−60 = −60
)
b)−12ab I2 H2
485 BerechneundmachedieProbefüra = 2undb = 3!
−72 = −72 K1
a) 2a⋅(−5b) = b)3a⋅(−4b) = c)(−4a)⋅3b =
c)−12ab
d)(−2a)⋅4b = e)(−3a)⋅(−2b) = f)(−2a)⋅(−2b) =
−72 = −72d)−8ab
−48 = −48e)6ab
36 = 36f)4ab Vereinfache9a⋅2b−3a⋅5b undmachedieProbefüra = 2undb = 1!
24 = 24 Beachte,dassPunktrechnungvorStrichrechnungkommt!
9a⋅2b−3a⋅5b = 18ab−15ab = 3ab
Probe:A = (9⋅2)⋅(2⋅1)−(3⋅2)⋅(5⋅1) = 18⋅2−6⋅5 = 36−30 = 6E = 3⋅2⋅1 = 6 ⇒ A = E
486a)9ab 18=18
)
b)10ab 20=20 I2 H2
486 VereinfacheundmachedieProbefüra = 2undb = 1!
c)5ab 10=10 K1
a) 5a⋅3b−2a⋅3b = b)3a⋅2b+2a⋅2b =
d)11ab 22=22
c)4a⋅2b−a⋅3b = d)2a⋅b+3a⋅3b =
)
I2 H2
487 VereinfacheundmachedieProbefürg = 3undh = 2!
K1
487a)−3gh
a) (−4g)⋅3h−3g ⋅(−3h) = b)3g ⋅(−4h)+(−3g)⋅2h =
–18=–18b)−18gh
c)(−2g)⋅(−3h)−(−g)⋅(−4h) = d)(−3g)⋅(−h)+(−g)⋅(−4h) =
–108=–108c)2gh
12=12d)7gh
42=42
(cid:105) (cid:105)
(cid:105) (cid:105)
(cid:105) (cid:105)
(cid:105) (cid:105)
6.2 MultiplikationvonVariablen 93
Vereinfache7ab−3ab+2a+5a+b−3b undmachedieProbefüra = 1undb = 2!
7ab−3ab+2a+5a+b−3b = 4ab+7a−2b
Probe:A = 7⋅1⋅2−3⋅1⋅2+2⋅1+5⋅1+2−3⋅2 = 14−6+2+5+2−6 = 11
E = 4⋅1⋅2+7⋅1−2⋅2 = 8+7−4 = 11 ⇒ A = E
Beachte,dassduz.B.4ab+7anichtaddierenkannst,hingegen4ab+7ab = 11abschon!
Tipp6.4
DamitdukeinenTermbeimAddierenoderSubtrahierenvergisst,istesgünstig,die
Variablenalphabetischanzuordnen.
)
I2 H2♦
488VereinfacheundmachedieProbefüra = 3,b = 2undc = 1! 488a)2ab+2bc
K1
a) 8ab−bc +3ac −6ab+3bc −3ac = b)ab+3bc +3ac +3ab−2bc −2ac = 16=16
c)2ab−4bc +ac −2ab+5bc +2ac = d)4ab−4bc −3ac −4ab+5bc +ac = b)4ab+bc +ac
e)3ab+2bc +2ac −2ab−bc +3ac = f)ab+2bc +3ac +5ab−bc −3ac = 29=29c)bc +3ac
g)ab−3bc +2ac +2ab+3bc −ac = h)2ab−2bc +ac −ab−bc +3ac = 11=11d)bc −2ac
i)5ab−2bc +3ac +ab+2bc −3ac −3a+4b+5c +2a−b+c = –4=–4
j)ab−3bc +ac −ab−bc −ac +2a−3b+4c −2a−2b−2c = e)ab+bc +5ac
23=23f)6ab+bc
Bei einem Produkt mit denselben Faktoren gibt es – wie bei den Zahlen (siehe
38=38g)3ab+ac
Kap.5.1aufS.78)–einevereinfachteSchreibweise:
21=21
a⋅a = a2 a⋅a⋅a = a3 … 􏿋a􏻰⋅􏻰􏻰a􏿌⋯􏻰􏻰􏻰􏿍a = an h)ab−3bc +4ac
n-mal 12=12
i)6ab−a+3b+6c
MannenntsoeinenTermPotenzundspricht ahoch
” 45=45
2“, ahoch3“, ahochn“.
” ” j)−4bc −5b+2c
DabeigibtdieHochzahl(=Exponent)an,wieoftdie
–16=–16
Grundzahl(=Basis)alsFaktorgenommenwird.
Fernerwirdfestgesetzt:a1 = a.
Füra2,a3,an kannmanauch azumQuadrat“, azurDritten“, azurn-ten“ sagen. 489a)x4 b)y5
” ” ” c)z3a2 d)b2c4
)
I2 H2 e)a2b2 f)c3d2
489 SchreibealsPotenzenan!
K1 g)g2h3 h)x3y2
a) x ⋅x ⋅x ⋅x b)y ⋅y ⋅y ⋅y ⋅y c)z⋅z⋅z⋅a⋅a
i)x3y2
d)b⋅b⋅c ⋅c ⋅c ⋅c e)a⋅b⋅a⋅b f)c ⋅d ⋅c ⋅d ⋅c
g)g ⋅h⋅g ⋅h⋅h h)x ⋅y ⋅y ⋅x ⋅x i)x ⋅x ⋅y ⋅y ⋅x
) 490a)6k2 b)30g2
I2 H2
K1 490 SchreibealsPotenzenan! c)15b2 d)14x2
a) 2k ⋅3k b)5g ⋅6g c)5b⋅3b e)120a2b2
d)2x ⋅7x e)2a⋅3b⋅4a⋅5b f)4w ⋅3v ⋅2w ⋅v f)24v2w2
g)m⋅2n⋅4m⋅3n h)2p⋅5q⋅p⋅q i)2r ⋅3s⋅4r ⋅s g)24m2n2
)
I2 H2♦ h)10p2q2 i)24r2s2
491WasistdasErgebnisvon
K1
2x ⋅2y ⋅z⋅x ⋅2y ⋅2z⋅2x ⋅y ⋅z? 491Richtig
Kreuzeesan! ist (3).
(1)○2x2y2z2 (2)○32x2y2z2
(3)○×32x3y3z3 (4)○32x3y2z
(cid:105) (cid:105)
(cid:105) (cid:105)
(cid:105) (cid:105)
(cid:105) (cid:105)
94 6 Abrakadabra–ArbeitenmitTermen
Vereinfache7a2+3a+2−5a2+2a+1undmachedieProbefüra = 2!
492a)a2−a+3 7a2−3a+2−5a2+2a+1 = 2a2−a+3
9=9b)5a2−a−2 Beachte,dassduz.B.2a2−a nichtsubtrahierenkannst!
40=40c)2a−1 Probe:A = 7⋅22−3⋅2+2−5⋅22+2⋅2+1 = 7⋅4−6+2−20+4+1 = 28−6+2−20+4+1 = 9
5=5d)11=1; E = 2⋅22−⋅2+3 = 2⋅4−2+3 = 8−2+3 = 9 ⇒ A = E
e)a2+2a−1
14=14f)a2+a
Potenzendürfennurdannaddiertodersubtrahiertwerden,wennsiesowohldieselbe
12=12
g)3a2−a+3 GrundzahlalsauchdieselbeHochzahlhaben!
27=27h)−a+7 )
I2 H2
492 VereinfacheundmachedieProbefüra = 3!
4=4 K1
a) 5a2+2a+4−4a2−3a−1 = b)4a2−3a+1+a2+2a−3 =
493 (1)Potenzen
c)4a2−3a+1−4a2+5a−2 = d)4a2−4a−3−4a2+4a+4 =
mitungleicher
e)3a2+a−2−2a2+a+1 = f)5a2+2a−3−4a2−a+3 =
Hochzahldarfman
g)a2+2a+5+2a2−3a−2 = h)a2−2a+4−a2+a+3 =
nichtaddieren! (2)
)
Setzez.B.für I2 H4493 PaulaKuddelmuddelrechnet:a2+a3 = a5,ihrBruder2a2+3a3 = 5a5.
a = 2: K1
(1)Washabensiefalschgemacht? (2)Erkläre,warumdasfalschist!
A = 22+23 =
)
4+8 = 12 I2 H4⋆494 WarumwurdeaufdervorigenSeitegeschrieben: Fernerwirdfestgesetzt:a1 = a.“
E = 25 = 32 K2 ”
undnicht Statta1 schreibenwirzurAbkürzunga.“?
⇒ A ≠ E und ”
)
A = 2⋅22+ I2 H2♦
495VereinfacheundmachedieProbefüra = 2!
3⋅23 = K1
3a2 5a 7 5a2 3a 5 7a2 5a 2 4a2 a 1
2⋅4+3⋅8 = a) + − + − + = b) − − − − − =
2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3
8+24 = 32E = 3a2 3a 3 3a2 a 3 a2 2a 4 4a2 3a 9
c) − − − − + = d) − − + − + =
5⋅25 = 5⋅32 = 160 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5
⇒ A ≠ E
494Weila1 kein 6.3 Knacken von Klammern
Produktist!
TretenKlammerninTermenauf,somusstdubeimVereinfachendieKLAPUSTRI-Regel
495a)4a2+a−1 beachten (siehe S.43)! Dies geht aber nicht so einfach, da du z.B. in 2a − (3a − 4b)
17=17 dieKlammernichtvorherberechnenkannst.MitdiesemProblemwerdenwirunsim
b)a2−2a−1 Folgendenbefassen!
–1=–1c)−a–2=–2
d)a2−a+13 = 3
6.3.1 UnmittelbarvorderKlammerstehtein+
StehtbeiStrichrechnungenunmittelbarvorderKlammerein+,könnenwirdasVerbin-
dungsgesetzderAddition(sieheMatheFit2,S.148)anwenden:
a b + c
a+(b+c) = a+b+c
a b c
Esgiltdaher:
(cid:105) (cid:105)
(cid:105) (cid:105)
(cid:105) (cid:105)
(cid:105) (cid:105)
6.3 KnackenvonKlammern 95
StehtbeiStrichrechnungenunmittelbarvorderKlammerein+,darfdieKlammer
weggelassenwerden!
a+(b+c) = a+b+c
Vereinfache3a+4b+(2a−3b)undmachedieProbefüra = 2undb = 1!
= 3a+4b+2a−3b = 5a+b
A = 3⋅2+4⋅1+(2⋅2−3⋅1) = 6+4+(4−3) = 10+1 = 11
E = 5⋅2+1 = 10+1 = 11 ⇒ A = E
Tipp6.5
VerwendebeiderProbekeineKlammerknackregeln,sondernrechnedenKlammer-
496a)7a+b
ausdruckextraaus,dennhastdudichbeimKnackenderKlammerngeirrt,machstdu
17=17
sonstdenselbenFehlerwahrscheinlichnocheinmal!
b)8a 16=16
)
I2 H2 c)6a−6b
496 VereinfacheundmachedieProbefüra = 2undb = 3!
K1 –6=–6
a) 3a−2b+(4a+3b) = b)6a−4b+(2a+4b) =
d)6a−8b–12=–12
c)2a−4b+(4a−2b) = d)4a−6b+(2a−2b) =
)
I2 H2
497 VereinfacheundmachedieProbefürr = 3,s = 2undt = 1! 497a)7r +4s−5t
K1
a) 3r +6s−2t +(4r −2s−3t) = b)4r −2s+6t +(2r −5s+2t) = 24=24
c)5r +(6s+4t)+(3r +6s−2t) = d)7r +(2s+9t)+(2r +5s−t) = b)6r −7s+8t
) 12=12
I2 H2
498 VereinfacheundmachedieProbefüra = 2undb = 4!
K1 c)8r +12s+2t
a) 4a+3b+(2a+b)+(3a−4b) = b)4a+2b+(a+3b)+(4a−b) =
50=50
)
I2 H2 d)9r +7s+8t
499 VereinfacheundmachedieProbefüra = 3!
K1 49=49
a) 3a+(5−2a)+(3−4a) = b)2a+(4−2a)+(5−4a) =
498a)9a 18=18
b)9a+4b 34=34
Tipp6.6
VerschachtelteKlammernsindmeistsoangeordnet:{[()]}.Dabeiistespraktischvon
innennachaußenvorzugehen. 499a)−3a+8
–1=–1b)−4a+9
–3=–3
9a − 2b + [a + b + (a − b) + (2a − b)] = 9a − 2b + [a + b + a − b + 2a − b] =
9a−2b+a+b+a−b+2a−b = 13a−3b
)
I2 H2
500 VereinfacheundmachedieProbefürm = 4undn = 3! 500a)10m+8n
K1
a) m+7n+[4m−4n+(5m+5n)] = b)2m+n+[4m−5n+(3m+2n)] = 64=64b)9m−2n
) 30=30
I2 H2♦
501VereinfacheundmachedieProbefüri = 3undk = 1!
K1
501a)9i 27=27
a) 2i+8k +[i−3k +(6i−5k)] = b)i+7k +[3i−5k +(3i−2k)] =
b)7i 21=21
c)3i+8k +[5i−6k +(i−k)] = d)8i+[3k −7i+(i−k)] =
c)9i+k 28=28
d)2i+2k 8=8
(cid:105) (cid:105)
(cid:105) (cid:105)
(cid:105) (cid:105)
(cid:105) (cid:105)
96 6 Abrakadabra–ArbeitenmitTermen
Tipp6.7
StehtbeiStrichrechnungendieKlammeramAnfang,sokannstdudirein+davor
502a)4a 12 = 12
denkenunddaherdieKlammerweglassen.
b)4a+2b 16 = 16
)
c)3a+b−c I2 H2
502 VereinfacheundmachedieProbefüra = 3,b = 2undc = 1!
10 = 10 K1
a) (2a+b)+(2a−b) = b)(2a+b)+(2a+b) =
d)3a+b+c
c)(2a+b)+(a−c) = d)(2a+b)+(a+c) =
12 = 12
e)(2a+2b)+(b+c) = f)(2a+2b)+(c −b) =
e)2a+3b+c
g)(a+b)+(2c −b) = h)(a+2b)+(b−a) =
13 = 13
i)(a+b)+(2c −b)+(a−2c) = j)(a+b)+(2c +b)+(b−a) =
f)2a+b+c 9 = 9
)
I2 H2
g)a+2c 5 = 5 503 VereinfacheundmachedieProbefürm = 4undn = 2!
K1
h)3b 6 = 6i)2a a) (6m+6n)+(3m−6n) = b)(3m+4n)+(2m−4n) =
6 = 6j)3b+2c c)(3m+4n)+(2m−2n) = d)(5m+5n)+(5m−5n) =
8 = 8 )
I2 H2
503a)9m 504 VereinfacheundmachedieProbefürx = 3undy = 2!
K1
36 = 36b)5m a) (7x +5y)+[(3x +5y)+(2x −3y)] = b)(2x +3y)+[(4x +5y)+(6x −7y)] =
)
20 = 20 I2 H2♦
505WasistdasErgebnisvon(5x −y)+[(3x +2y)+(2x −y)] =?Kreuzeesan!
c)5m+2n K1
(1)○10x +4y (2)○10x −4y (3)○10x −y (4)○×10x
24 = 24d)10m
40 = 40
504a)12x +7y;
6.3.2 UnmittelbarvorderKlammerstehtein–
50 = 50b)12x +y
38 = 38
StehtbeiStrichrechnungenunmittelbarvorderKlammerein–,sounterscheidenwir
505Richtig zweiFälle:a−(b+c)unda−(b−c)
ist (4).
a - (b + c) b c
a−(b+c) = a−b−c
b + c
a
b
c b - c a−(b−c) = a−b+c
a
a - (b - c)
AusobigerZeichnungkannstduablesen:
Steht bei Strichrechnungen unmittelbar vor der Klammer ein –, werden die
OperationszeicheninderKlammergeändertundzwarwirdaus+ein–undaus–
ein+:
a−(b+c) = a−b−c a−(b−c) = a−b+c
(cid:105) (cid:105)
(cid:105) (cid:105)
(cid:105) (cid:105)
(cid:105) (cid:105)
6.3 KnackenvonKlammern 97
Vereinfache (1)3a+4b−(2a+3b)und (2)3a+4b−(2a−3b)!
MachejeweilsdieProbefüra = 2undb = 1!
(1)= 3a+4b−2a−3b = a+b
(2)= 3a+4b−2a+3b = a+7b
506a)x −12=2
Probe: (1)A = 3⋅2+4⋅1−(2⋅2+3⋅1) = 6+4−(4+3) = 10−7 = 3
b)x +14=4
E = 2+1 = 3 ⇒ A = E
c)2x −24=4
(2)A = 3⋅2+4⋅1−(2⋅2−3⋅1) = 6+4−(4−3) = 10−1 = 9 E = 2+7 = 9 ⇒ A = E
)
I2 H2
506 VereinfacheundmachedieProbefürx = 3!
K1 507a)5x +8
a) 2x −(x +1) = b)2x −(x −1) = c)3x −(x +2) =
18=18
)
I2 H2 b)4x +513=13
507 VereinfacheundmachedieProbefürx = 2!
K1 c)2x +610=10
a) 9x −(4x −8) = b)7x −(3x −5) = c)4x −(2x −6) =
(cid:19) (cid:16) 5088a−2b
)
I2 H2
508Term: Vereinfache:(12a−3b)−(4a−b) =
(cid:18)K1 (cid:17)
)
I2 H2
509 VereinfacheundmachedieProbefüra = 2undb = 3! 509a)a+b 5=5
K1
a) 3a−2b−(2a−3b) = b)6a−4b−(2a−4b) = b)4a 8=8c)6b
c)2a+4b−(2a−2b) = d)4a−2b−(2a−2b) = 18=18d)2a 4=4
)
I2 H2
510 VereinfacheundmachedieProbefüra = 2undb = 1! 510a)4b 4=4
K1
a) (a−b)−(2a−3b)+(a+2b) = b)(2a−b)−(2a−3b)+(a−b) = b)a+b 3=3
c)(2a+2b)+(2a−2b)−(a−b) = d)(4a−4b)+(2a−b)−(a−b) = c)3a+b 7=7
)
I2 H2 d)5a−4b 6=6
511 VereinfacheundmachedieProbefüra = 1,b = 2undc = 3!
K1
a) 5a−6b−2c −(4a−2b+3c) = b)4a−2b+6c −(2a−5b+2c) = 511a)a−4b−5c
) –22=–22
I2 H2♦
512VereinfacheundmachedieProbefüri = 3undk = 1! b)2a+3b+4c
K1
a) 2i+8k +[4i−3k −(6i−5k)] = b)i+7k +[3i−5k −(4i−2k)] = 20=20
c)3i+8k +[5i−6k −(i−k)] = d)5i−[3k +7i−(8i−k)] =
512a)10k 10=10
)
I2 H2♦ b)4k 4=4
513VereinfacheundmachedieProbefürr = 3,s = 2undt = 1!
K1 c)7i+3k 24=24
a) 5r −(6s+4t)−(3r +6s−2t) = b)7r −(2s+9t)−(2r +5s−t) =
d)6i−4k 14=14
)
I2 H2
K1 514 VereinfacheundführedieProbefüra = 2aus! 513a)2r−12s−2t
a) 3a−4−(7a+5)+(8a−1) = b)4a−7+(5a−2)−(2a−1) = –20=–20
c)4a−(5a+3)+(6a−7)+1 = d)2a+(4a−1)−(a+2)+5 = b)5r −7s−8t
)
I2 H2 –7=–7
515 VereinfacheundmachedieProbefüra = 2undb = 4!
K1
514a)4a−10
a) 5a+3b−(2a+b)−(3a−4b) = b)8a+5b−(4a+3b)−(4a−b) =
–2=–2b)7a−8
6=6c)5a−91=1
(9a − 2b) − [(a + b) − (a − b) + (2a − b)] = 9a − 2b − [a + b − a + b + 2a − b] = d)5a+212=12
9a−2b−a−b+a−b−2a+b = 7a−b 515a)6b 24=24
b)3b 12=12
)
I2 H2
516 VereinfacheundmachedieProbefürm = 4undn = 3! 516a)6n18=18
K2
a) 9m+7n−[4m−4n+(5m+5n)] = b)2m+n−[4m−5n−(3m+2n)] = b)m+8n28=28
(cid:105) (cid:105)
(cid:105) (cid:105)