Appunti sulle equazioni alle derivate parziali della fisica matematica AA 2016/2017

162 Pages·2016·1.57 MB·Italian

Appunti sulle equazioni alle derivate parziali
della (cid:133)sica matematica
A.A. 2016/2017
Marco Bramanti
Politecnico di Milano
23 novembre 2016
Indice
1 Deduzione di alcune equazioni di⁄erenziali della (cid:133)sica matem-
atica 5
1.1 Richiami di calcolo di⁄erenziale vettoriale . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Operatori gradiente e divergenza . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Ilteoremadelladivergenzaequalcheconseguenzamatem-
atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 L(cid:146)operatore rotore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 L(cid:146)equazione di Poisson per il potenziale newtoniano . . . . . . . 8
1.3 L(cid:146)equazione di di⁄usione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1 Temperatura in un corpo tridimensionale . . . . . . . . . 14
1.3.2 Termine convettivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.3 Temperatura in un corpo mono- o bi- dimensionale . . . . 15
1.3.4 Concentrazione di una sostanza in soluzione - densit(cid:224) di
popolazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.5 Termini di trasporto e di reazione . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.6 Equazione di di⁄usione in stato stazionario . . . . . . . . 17
1.4 Equazione delle onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.1 Equazione della corda vibrante . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.2 Equazione della membrana vibrante . . . . . . . . . . . . 19
1.4.3 Membrana elastica in equilibrio ed equazione di Poisson . 19
1.4.4 Onde sonore nei gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.5 Onde elettromagnetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Generalit(cid:224) su equazioni e problemi ai limiti per equazioni a
derivate parziali 21
2.1 Equazioni lineari del second(cid:146)ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Equazioni ellittiche, paraboliche, iperboliche . . . . . . . . . . . . 23
1
2.3 Condizioni al contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.1 Equazioni ellittiche. Problemi al contorno . . . . . . . . . 26
2.3.2 Equazioni paraboliche. Problemi al contorno e ai valori
iniziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.3 Equazioni iperboliche. Problemi al contorno e ai valori
iniziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4 Principio di sovrapposizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5 Problemi ben posti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Metodo di separazione di variabili e sviluppi di Fourier per
problemi ai limiti 35
3.1 Richiami sulle serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.1 Serie di Fourier in L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.2 Convergenza puntuale delle serie di Fourier e rapidit(cid:224) di
convergenza a zero dei coe¢ cienti. . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Equazione di Laplace e di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.1 Unicit(cid:224), principio di massimo, dipendenza continua . . . . 42
3.2.2 L(cid:146)equazione di Laplace sul cerchio . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.3 Equazione di Poisson sul cerchio . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3 Equazione di di⁄usione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.3.1 Unicit(cid:224) e principio di massimo parabolico . . . . . . . . . 71
3.3.2 Equazione di di⁄usione sul segmento . . . . . . . . . . . . 75
3.4 L(cid:146)equazione della corda vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.4.1 La corda vibrante (cid:133)ssata agli estremi . . . . . . . . . . . . 83
3.4.2 La corda vibrante illimitata . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.5 Equazione delle onde in dimensione superiore . . . . . . . . . . . 94
3.5.1 Energia e risultato di unicit(cid:224) . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.5.2 Onde sferiche tridimensionali . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.6 Esercizi sul metodo di separazione di variabili e sviluppi di Fourier 97
4 Applicazioni dei metodi di ortogonalit(cid:224) a problemi di⁄erenziali101
4.1 Laplaciano in coordinate sferiche. Polinomi di Legendre e ar-
moniche sferiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.1.1 Ildatoindipendentedallalongitudine. PolinomidiLegendre103
4.1.2 Il caso generale. Funzioni di Legendre associate e ar-
moniche sferiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.1.3 SoluzionedelproblemadiDirichletperl(cid:146)equazionediLaplace
sulla sfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.2 Oscillatore armonico quantistico e polinomi di Hermite . . . . . . 114
4.3 Ilproblemaagliautovaloriperillaplaciano(equazionediHelmholz)
e le sue applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.4 L(cid:146)equazione di Helmholz sul rettangolo . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.4.1 Membrana vibrante rettangolare . . . . . . . . . . . . . . 124
4.4.2 Equazione del calore sul rettangolo . . . . . . . . . . . . . 127
4.5 L(cid:146)equazionediHelmholzsulcerchio. FunzionidiBesseldiordine
intero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
2
4.5.1 Equazione di Bessel ed autofunzioni del laplaciano sul
cerchio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.5.2 La membrana vibrante circolare. . . . . . . . . . . . . . . 133
4.6 Equazione di Helmholz sul cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.6.1 L(cid:146)equazione del calore sul cilindro . . . . . . . . . . . . . 138
4.7 Equazione di Helmholz sulla sfera. Funzioni di Bessel sferiche . . 139
4.7.1 Equazione e funzioni di Bessel di ordine semiintero . . . . 140
4.8 L(cid:146)equazione di Schr(cid:246)dinger per l(cid:146)atomo di idrogeno e i polinomi
di Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.8.1 Equazione e polinomi di Laguerre associati . . . . . . . . 149
4.8.2 Orbitali atomici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.8.3 Soluzioni dell(cid:146)equazione di Schr(cid:246)dinger . . . . . . . . . . . 158
4.8.4 Calcoli dettagliati per la risoluzione dell(cid:146)equazione radiale 158
3
Nota bene. Questi appunti sono messi a disposizione degli studenti del
corso di Metodi Matematici per l(cid:146)Ingegneria, A.A. 2016/2017, pur non facendo
parte dell(cid:146)attuale programma d(cid:146)esame. PoichØ diverse interessanti applicazioni
delleteoriestudiatenelcorsoriguardanoleequazioniallederivateparziali(come
la risoluzione di alcuni problemi al contorno mediante la trasformata di Fourier
omediantemetodidianalisicomplessa),pu(cid:242)essereinteressante,perlostudente
curioso, allargare il discorso e dare almeno un(cid:146)occhiata a un inquadramento piø
generale di questi argomenti.
4
1 Deduzione di alcune equazioni di⁄erenziali del-
la (cid:133)sica matematica
Vogliamo mostrare come, sotto opportune ipotesi, certe equazioni a derivate
parziali (piuttosto semplici, almeno da scriversi!) modellizzino vari fenomeni
importanti. Discuteremo basilarmente tre equazioni di⁄erenziali (ognuna con
qualche variante): l(cid:146)equazione di Poisson, l(cid:146)equazione di di⁄usione, l(cid:146)equazione
delle onde. Sono considerate le principali equazioni di⁄erenziali della (cid:133)sica
matematica, per il loro ampio spettro di applicazioni e per le caratteristiche
diverse e signi(cid:133)cative che presentano. Ognuna delle tre Ł il prototipo di una
classe importante di equazioni (ellittiche, paraboliche, iperboliche).
1.1 Richiami di calcolo di⁄erenziale vettoriale
Raccogliamo qui alcuni veloci richiami di argomenti studiati nel corso di analisi
2, che entrano nella deduzione e nella formulazione delle equazioni alle derivate
parziali che ci interessano.
1.1.1 Operatori gradiente e divergenza
Se f : Rn R;G : Rn Rn sono, rispettivamente, un campo scalare e un
! !
campo vettoriale (indichiamo col grassetto le grandezze vettoriali), de(cid:133)niamo il
gradiente di f e la divergenza di G come segue:
@f @f @f
f(x)= (x); (x);:::; (x)
r @x @x @x
(cid:18) 1 n n (cid:19)
n
@G
divG(x)= G(x)= (x):
r(cid:1) @x
i
i=1
X
Valgono le seguenti identit(cid:224):
n @2f
div f(x)=(cid:1)f(x) (x)
r (cid:17) @x2
i=1 i
X
((cid:1) Ł l(cid:146)operatore di Laplace, o laplaciano)
div(fG)=fdivG+ f G
r (cid:1)
e in particolare, se g Ł un altro campo scalare,
div(f g)=f(cid:1)g+ f g
r r (cid:1)r
oltre ovviamente alla relazione
(fg)=g f +f g:
r r r
5
Esempio 1.1 (a) Se r=(x;y;z) R3, si ha:
2
r
r=
r r
j j
r =1:
jr j
(b) Se f :R3 R Ł una funzione radiale, cioŁ
!
f(r)=g(r)
j j
si ha
r
f(r)=g (r)
0
r j j r
j j
f(r) = g (r) :
0
jr j j j j j
(c) Dato in R3 il campo newtoniano
r
E= (con r=(x;y;z))
r3
j j
calcoliamo, per r=0,
6
divE= r @ xi = 3 jrj3(cid:0)xi3jrj2 jxrij
@xi r3! r6
Xi=1 j j Xi=1 j j
3 r3 3 r 3 x2 3 r3 3 r3
= j j (cid:0) j j i=1 i = j j (cid:0) j j =0:
r6 r6
j j P j j
Il campo elettrostatico generato da una carica puntiforme (o il campo gravi-
tazionale generato da una massa puntiforme) ha divergeza nulla fuori dal punto
in cui Ł collocata la carica (la massa).
1.1.2 Il teorema della divergenza e qualche conseguenza matematica
Teorema 1.2 (della divergenza) Sia (cid:10) R3 un aperto connesso, limitato,
(cid:26)
la cui frontiera Ł l(cid:146)unione di un numero (cid:133)nito di super(cid:133)ci regolari o regolari
a tratti1, e sia (cid:23) il versore normale uscente da (cid:10), nei punti di @(cid:10) in cui Ł
e
de(cid:133)nito2. Sia E un campo vettoriale C1 (cid:10) , allora
(cid:0) (cid:1)
divEdxdydz = E (cid:23) dS:
e
(cid:1)
Z Z Z(cid:10) Z Z@(cid:10)
1ad esempio, (cid:10) pu(cid:242) essere la regione tridimensionale limitata da una super(cid:133)cie regolare,
come una sfera o una corona sferica, ma anche limitata da una super(cid:133)cie come un poliedro,
cioŁ con alcunispigoli.
2cioŁ tranne che suglispigoli.
6
Detto in parole: l(cid:146)integrale di volume della divergenza di un campo, su un
certo dominio, uguaglia il (cid:135)usso di quel campo uscente dal bordo del dominio
stesso. E(cid:146)un(cid:146)equazione di bilancio (dal punto di vista puramente matemati-
co), che difatti Ł coinvolta nella formulazione di equazioni di bilancio di tipo
(cid:133)sico, e perci(cid:242) ha un ruolo chiave nella deduzione di varie equazioni della (cid:133)sica
matematica.
Cominciamo a ottenere qualche conseguenza matematica del teorema: le
identit(cid:224) di Green. Sia(cid:10)undominiolimitatodiR3 acuiŁapplicabileilteorema
della divergenza (ad esempio, con frontiera regolare a pezzi), e siano f;g :(cid:10)
!
R, f C1((cid:10)) C (cid:10) ;g C2((cid:10)) C1 (cid:10) . Applicando il teorema della
2 \ 2 \
divergenza al campo F =f g si ha:
(cid:0) (cid:1) r (cid:0) (cid:1)
(f g)dxdydz = f g n dS:
e
r(cid:1) r r (cid:1)
ZZZ(cid:10) ZZ@(cid:10)
D(cid:146)altro canto,
(f g)=f(cid:1)g+ f g,
r(cid:1) r r (cid:1)r
perci(cid:242)
f(cid:1)gdxdydz+ f gdxdydz = f g n dS:
e
r (cid:1)r r (cid:1)
ZZZ(cid:10) ZZZ(cid:10) ZZ@(cid:10)
Nell(cid:146)ultimo integrale scritto, la funzione g n Ł uguale (per la formula
e
r (cid:1)
del gradiente) alla derivata direzionale di g nella direzione del versore normale
uscente. Questa derivata direzionale porta il nome di derivata normale, e si
indica col simbolo
@g
:
@n
e
In de(cid:133)nitiva abbiamo ottenuto la prima identit(cid:224) di Green:
@g
f(cid:1)gdxdydz+ f gdxdydz = f dS (1.1)
r (cid:1)r @n
ZZZ(cid:10) ZZZ(cid:10) ZZ@(cid:10) e
valida per ogni coppia di funzioni:
f C1((cid:10)) C (cid:10) ;g C2((cid:10)) C1 (cid:10) :
2 \ 2 \
Applicando la (1.1) si prova fac(cid:0)ilm(cid:1)ente (farlo per ese(cid:0)rci(cid:1)zio) che se (cid:10) Ł come
in precedenza e f;g C2((cid:10)) C1 (cid:10) , si ha
2 \
(cid:0) (cid:1) @g @f
[f(cid:1)g g(cid:1)f]dxdydz = f g dS, (1.2)
(cid:0) @n (cid:0) @n
ZZZ(cid:10) ZZ@(cid:10)(cid:20) e e(cid:21)
detta seconda identit(cid:224) di Green.
7
1.1.3 L(cid:146)operatore rotore
Per F : R3 R3 campo vettoriale tridimensionale, de(cid:133)niamo il rotore del
!
campo come:
i j k
rotF= F= @ @ @
x y z
r(cid:2) (cid:12) (cid:12)
(cid:12)F1 F2 F3(cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(determinante formale della matrice). An(cid:12)che rotF Ł u(cid:12)n campo vettoriale tridi-
(cid:12) (cid:12)
mensionale. Ci servir(cid:224) la seguente identit(cid:224):
( F)= ( F) (cid:1)F (1.3)
r(cid:2) r(cid:2) r r(cid:1) (cid:0)
chesipu(cid:242)veri(cid:133)careperesercizio. L(cid:146)ultimoterminedell(cid:146)equazionehailseguente
signi(cid:133)cato:
(cid:1)F=((cid:1)F ;(cid:1)F ;(cid:1)F ):
1 2 3
1.2 L(cid:146)equazione di Poisson per il potenziale newtoniano
Vogliamo mostrare che il potenziale u del campo elettrostatico generato in una
certa regione (cid:10) dello spazio da una distribuzione continua di carica di densit(cid:224)
volumica (cid:26)(r) soddisfa in (cid:10) l(cid:146)equazione di Poisson:
(cid:1)u=4(cid:25)k(cid:26)
(dove k Ł la costante di Coulomb) cioŁ
@2u @2u @2u
+ + =4(cid:25)k(cid:26)(x;y;z)
@x2 @y2 @z2
e in particolare, nelle regioni in cui non c(cid:146)Ł carica ((cid:26)=0), il potenziale soddisfa
l(cid:146)equazione di Laplace
@2u @2u @2u
+ + =0
@x2 @y2 @z2
ossia, come si dice, u Ł una funzione armonica.
La legge di Coulomb dell(cid:146)elettrostatica a⁄erma che il campo elettrico gener-
ato nel punto r da una carica elettrica puntiforme q posta nel punto r Ł pari
0
a
r r
E(r0)=kq r0(cid:0)r3
j 0(cid:0) j
dove k Ł la costante di Coulomb. Per un sistema di piø cariche puntiformi, il
campototaleŁsemplicementelasommadeicampigeneratidallesingolecariche;
per una distribuzione continua di cariche, di densit(cid:224) (cid:26)(r), il campo Ł assegnato
dall(cid:146)analoga formula nel continuo, cioŁ
r r
E(r0)=k (cid:26)(r) r0(cid:0)r3dxdydz (r=(x;y;z))
ZZZ(cid:10) j 0(cid:0) j
8
dove (cid:10) Ł la regione dello spazio (che supponiamo limitata) in cui la densit(cid:224) di
carica Ł e⁄ettivamente non nulla.
Vedremo ora come dalla legge di Coulom si possa dedurre Il teorema di
Gauss dell(cid:146)elettrostatica, che a sua volta avr(cid:224) tra le sue conseguenze il fatto
che il potenziale elettrostatico soddis(cid:133) un(cid:146)importante equazione alle derivate
parziali, l(cid:146)equazione di Poisson.
Teorema 1.3 (teorema di Gauss dell(cid:146)elettrostatica ) Il (cid:135)usso del campo
elettrico uscente da una super(cid:133)cie3 chiusa (cid:6) Ł
(cid:8)(E;(cid:6))=4(cid:25)kQ
tot
dove Q Ł la carica totale racchiusa dalla super(cid:133)cie stessa.
tot
In altre parole, se (cid:6)=@(cid:10) per una certa regione limitata (cid:10) dello spazio,
Q = q
tot i
qiXin (cid:10)
nel caso discreto, e
Q = (cid:26)(r)dxdydz
tot
ZZZ(cid:10)
nel caso continuo. Il teorema vale sia per distribuzioni discrete che per dis-
tribuzioni continue di carica. Dimostriamolo, procedendo in vari passi.
Passo 1. Una sola carica puntiforme, posta nell(cid:146)origine; la super(cid:133)cie Ł una
sfera di centro l(cid:146)origine e raggio R. In questo caso
r r
E=kq con r=(x;y;z); n =
r3 e r
j j j j
(cid:8)= E n dS =
e
(cid:1)
ZZ(cid:6)
R2
=kq dS =4(cid:25)kq
(cid:1) R4
ZZ(cid:6)
Passo 2. Una sola carica puntiforme, posta nell(cid:146)origine; la super(cid:133)cie Ł una
qualsiasi super(cid:133)cie chiusa che racchiude l(cid:146)origine.
Sia (cid:6)=@(cid:10) la super(cid:133)cie, e consideriamo una sferetta B di centro l(cid:146)origine
R
e raggio R contenuta in (cid:10). Osserviamo che:
E n dS = E n dS+ E n dS
e e e
(cid:1) (cid:1) (cid:1)
ZZ(cid:6) ZZ@((cid:10)nBR) ZZ@BR
3La super(cid:133)cie (cid:6)deve avere la regolarit(cid:224) richiesta dal teorema della divergenza, quindi ad
esempio pu(cid:242) essere una super(cid:133)cie regolare a pezzi.
9
Rappresentiamo schematicamente la situazione come se fosse nel piano. Il
(cid:135)usso uscente da ((cid:10) B ) Ł pari al (cid:135)usso uscente da (cid:6) meno il (cid:135)usso uscente
R
n
da B . Ora il secondo addendo a 2 membro Ł quello calcolato al passo 1, pari
R (cid:14)
a 4(cid:25)kq. Mostriamo che il primo addendo a 2 membro Ł zero, da cui seguir(cid:224)
(cid:14)
il risultato che ci interessa in questo passo. Il campo E nella regione ((cid:10) B )
R
n
Ł regolare (perchØ questa regione non contiene l(cid:146)origine, unico punto in cui il
campo Ł irregolare), perci(cid:242) possiamo applicare ad ((cid:10) B ) il teorema della
R
n
divergenza, e scrivere
E n dS = Edxdydz =0
e
(cid:1) r(cid:1)
ZZ@((cid:10)nBR) ZZZ((cid:10)nBR)
perchØ E=0 fuori dall(cid:146)origine, come veri(cid:133)cato in precedenza.
r(cid:1)
Passo 3. (In realt(cid:224) non ci servir(cid:224) questo caso nel seguito, ma lo presentiamo
per completezza). Un sistema di piø cariche puntiformi, in numero (cid:133)nito; la
super(cid:133)cie Ł una qualsiasi super(cid:133)cie chiusa che le racchiude tutte.
Seguedalpasso2perlinearit(cid:224): ilcampogeneratodaq ;q ;:::;q Łlasomma
1 2 n
dei campi generati separatamente da q ;q ;:::;q ; quindi il (cid:135)usso del campo
1 2 n
generato da q ;q ;:::;q Ł la somma dei (cid:135)ussi dei campi generati separatamente
1 2 n
da q ;q ;:::;q ; questi (cid:135)ussi, per il Passo 2, valgono
1 2 n
4(cid:25)kq ;4(cid:25)kq ;:::;4(cid:25)kq
1 2 n
perci(cid:242) il (cid:135)usso totale Ł
4(cid:25)kq +4(cid:25)kq +:::+4(cid:25)kq =4(cid:25)kQ :
1 2 n tot
Questo completa la dimostrazione del teorema di Gauss nel caso di una
distribuzione discreta di cariche.
Passo 4. Distribuzione continua di cariche, di densit(cid:224) (cid:26)(x;y;z), non nulla
in un aperto limitato (cid:10); calcoliamo il (cid:135)usso attraverso una super(cid:133)cie chiusa (cid:6)
che avvolge (cid:10). Supponiamo inoltre che (cid:6) sia disgiunta da (cid:10) (cioŁ la super(cid:133)cie
10