Appunti di topologia generale (corso di Geometria II, 2010)

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by  Matessi

INDICE 1
Appunti di topologia generale
.
Prima parte del corso di Geometria II
Diego Matessi.
Versione del 9 Marzo 2010
Indice
1 Dagli spazi metrici alla topologia 2
Richiami sugli spazi metrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
La continuita` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Gli spazi topologici. 7
Funzioni continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Omeomorfismi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 La topologia indotta 11
4 Qualche esempio di omeomorfismo. 12
5 Spazi connessi 14
Componenti connesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6 Spazi quoziente 18
Funzioni continue e spazi quoziente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Gli spazi proiettivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7 Azioni di gruppo 27
8 Spazi prodotto 30
Prodotti di G-spazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
9 Spazi compatti 32
10 Spazi di Hausdorff 37
Alcune applicazioni del Teorema 62. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Prodotto di spazi di Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Spazi quozienti e proprieta` di Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1 DAGLI SPAZI METRICI ALLA TOPOLOGIA 2
1 Dagli spazi metrici alla topologia
Richiami sugli spazi metrici
Ricordiamo la definizione di spazio metrico:
Definizione 1 Uno spazio metrico `e un insieme X con una funzione
d:X X R,
× →
chiamata funzione distanza tale che per ogni x,y,z X valgono
∈
i) d(x,y) 0 e d(x,y)=0 se e soltanto se x=y;
≥
ii) d(x,y)=d(y,x) (simmetria);
iii) d(x,y)+d(y,z) d(x,z) (disuguaglianza triangolare).
≥
Gli elementi di X si chiamano punti e d(x,y)`e la distanza tra x e y. A volte d`e anche chiamata una metrica
su X.
Esempi:
1) L’insieme R con la distanza
d(x,y)= x y .
| − |
Chiameremo questa distanza usuale oppure euclidea.
2) L’insieme Rn con la distanza
n
d(x,y)= (x y )2.
k k
v −
uk=1
uX
t
dove x=(x ,...,x ) e y =(x ,...,x ). Ad esempio se n=3, la distanza tra x=(1,2,3) e y =(3,2,1)
1 n 1 n
`e
d(x,y)= (1 3)2+(2 2)2+(3 1)2 =2√2
− − −
Questa `e la distanza euclidea e lo spapzio (Rn,d) `e chiamato spazio euclideo n dimensionale.
3) Dato uno spazio metrico (X,d ) e un suo sottoinsieme A, su A si puo` definire la distanza indotta da
X
X data da d :A A R tale che per ogni a,b A
A
× → ∈
d (a,b):=d (a,b).
A X
Quindi, ad esempio, ogni sottoinsieme di Rn `e uno spazio metrico con la distanza indotta.
4) Su un insieme qualsiasi X possiamo definire la distanza discreta data da
1 se x=y,
d(x,y)= 6
(0 se x=y.
Un tale spazio (X,d) `e chiamato spazio metrico discreto.
5) Sia X lo spaziodelle funzionicontinuef :[0,1] R, dove[0,1]`el’intervallochiusoin R. SuX definiamo
→
la distanza
d(f,g)= max f(t) g(t).
t∈[0,1]| − |
1 DAGLI SPAZI METRICI ALLA TOPOLOGIA 3
6) Sia ℓ l’insieme delle successioni (a ,a ,...,a ,...) a valori reali tali che
2 1 2 n
+∞
a2 <+ ,
k ∞
k=1
X
allora su ℓ possiamo porre la distanza
2
∞
d((an)n∈N,(bn)n∈N)= (ak bk)2.
v −
uk=1
uX
t
L’insieme ℓ con questa distanza si chiama spazio delle successioni a quadrato sommabile.
2
7) Un esempio di funzione che non definisce una distanza su R `e la funzione
δ(x,y)=(x y)2.
−
Infatti, sebbene δ soddisfi le prime due proprieta`, `e facile verificare che se prendiamo ad esempio x =
1,z = 1 e y =0, questi tre punti non soddisfano la disuguaglianza triangolare.
−
Definizione 2 Sia (X,d) uno spazio metrico. Dati un punto x X e un numero reale positivo r, si dice bolla
∈
di centro x e raggio r l’insieme
Bd(x):= y X d(x,y)<r .
r { ∈ | }
L’apice d puo` essere omesso quando non vi `e ambiguita`. Notiamo che una bolla non `e mai l’insieme vuoto,
poich`e x Bd(x) comunque scegliamo x X o r >0. I termini boccia o palla sono sinonimi di bolla.
∈ r ∈
Esempi:
1) In R, con la distanza usuale d (vedi sopra l’Esempio 1) la bolla di raggio r e centro x `e l’intervallo
(x r,x+r).
−
2) In R2, conla metrica euclidea, le bolle di centrox sonodischi centratiin x. In R3 le bolle sonodelle sfere
piene.
3) In R conla distanza usuale, sia A=[0,1]e sia d la distanza indotta su A. Allora la bolla in A di raggio
A
r =1/2 con centro 1 A `e l’intervallo (1/2,1].
∈
4) Sia (X,d) uno spazio metrico con la metrica discreta. Allora per ogni 0 < r < 1 e ogni x X, Bd(x)
∈ r
contiene il solo punto x, poich`e tutti i punti diversi da x hanno distanza da x uguale a 1 > r. Se invece
r 1 allora Bd(x)=X, poich`e ogni punto di X dista da x al piu` 1.
≥ r
5) Su R2 consideriamo la funzione d :R2 R2 R data da
1
× →
d (x,y)=max x y , x y , (1)
1 1 1 2 2
{| − | | − |}
dovex=(x ,y )ey =(y ,y ). Siverificached `eunadistanza. Infattileprimedue proprieta`sonofacili
1 1 1 2 1
da verificare, dimostriamo la disuguaglianza triangolare. Dati x= (x ,x ), y =(y ,y ) e z =(z ,z ) tre
1 2 1 2 1 2
punti, la disuguaglianza triangolare del valore assoluto ci dice che
x y x z + z y .
1 1 1 1 1 1
| − |≤| − | | − |
Quindi a maggior ragione
x y max x z , x z +max z y , z y =d (x,z)+d (z,y).
1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1
| − |≤ {| − | | − |} {| − | | − |}
1 DAGLI SPAZI METRICI ALLA TOPOLOGIA 4
Analogamente si dimostra che
x y d (x,z)+d (z,y).
2 2 1 1
| − |≤
Ne segue quindi la disuguaglianza triangolare
d (x,y)=max x y , x y d (x,z)+d (z,y).
1 1 1 2 2 1 1
{| − | | − |}≤
Calcoliamo ora la bolla B =Bd1 (r). Chiaramente x=(x ,x ) sta in B se e solo se x <r e x <r,
(0,0) 1 2 | 1| | 2|
quindi B =( r,r) ( r,r). Ovvero B `e un quadrato di lato 2r centrato in (0,0).
− × −
Molte nozioni che avete imparato nei corsi di Analisi, possono essere generalizzate agli spazi metrici. Per
esempio la nozione di limite di una successione:
Definizione 3 Dato uno spazio metrico (X,d), una successione in X `e un insieme di elementi di X indicizzati
dai numeri naturali: (an)n∈N, dove an X per ogni n. Diciamo che una successione (an)n∈N converge a un
∈
elemento l X se per ogni ǫ>0 esiste un N N tale che per ogni n N, a Bd(l). Ovvero se ogni bolla di
∈ ∈ ≥ n ∈ ǫ
centro l contiene tutti gli elementi di (an)n∈N da un certo indice in poi. Se (an)n∈N converge a l X, il punto
∈
l `e detto limite di (an)n∈N.
Esempi:
1) In R con la distanza usuale le successioni convergentisono le stesse che avete visto in Analisi.
2) In Rk una successione (an)n∈N `e una successione di n-uple an = (a1n,...,akn). Questa converge a un
limite l = (l1,...,lk) se e soltanto se per ogni j = 1,...,k la successione di numeri (ajn)n∈N converge a
l . Per esempio, in R2 la successione
j
1 3n2 1
a = , −
n n n2+7
(cid:18) (cid:19)
converge a l=(0,3), poich`e la prima coordinata di a converge a 0 e la seconda a 3.
n
3) Se (X,d)`e uno spazio metrico discreto, una successione (an)n∈N converge a un limite l X se e soltanto
∈
se esiste N N tale che per ogni n N si ha a =l, ovvero se e solo se a `e costante da un certo indice
n n
∈ ≥
in poi. Infatti se a converge,allora la bolla B (l) deve contenere tutti gli a da un certo indice in poi,
n 1/2 n
ma il solo elemento di B (l)`e l stesso, perci`o tutti gli a da un certo indice in poi devono essere uguali
1/2 n
a l.
4) SeX `el’insiemedellefunzionicontinuef :[0,1] Rconlametricadell’Esempio5sopra,unasuccessione
→
f di funzioni converge a una funzione f se e soltanto se f converge uniformemente a f.
n n
La continuit`a
Un’altro concetto dell’Analisi che puo` essere generalizzato agli spazi metrici`e quello di funzione continua.
Definizione 4 Siano (X,d ) e (Y,d ) due spazi metrici. Una funzione f : X Y si dice continua in un
X Y
→
punto p X se per ogni ǫ>0 esiste un δ >0 tale che
∈
f(BdX(p)) BdY(f(p)).
δ ⊆ ǫ
Una funzione si dice continua se`e continua in ogni punto. Indichiamo con C((X,d ),(Y,d )) l’insieme delle
X Y
funzioni continue da X a Y.
Chiaramente nel caso in cui X e Y siano R, oppure intervalli in R, con la metrica usuale, la definizione
coincide con quella data in Analisi. Si ha anche che la composizione di funzioni continue `e continua:
Proposizione 5 Siano (X,d ), (Y,d ) e (Z,d ) tre spazi metrici e f : X Y e g : Y Z due funzioni
X y z
→ →
continue. Allora anche g f `e continua.
◦
1 DAGLI SPAZI METRICI ALLA TOPOLOGIA 5
Omettiamo la dimostrazione.
Esempi
1) Se (X,d ) `e uno spazio metrico discreto e (Y,d ) uno spazio metrico qualsiasi, allora qualsiasi funzione
0 Y
f : X Y `e continua. Infatti per ogni p X se scegliamo 0 < δ < 1, la bolla Bd0(p) contiene solo p,
→ ∈ δ
perci`o, per ogni ǫ>0 si ha
f(p) =f(Bd0(p)) BdY(f(p)).
{ } δ ⊆ ǫ
2) SuR2siad ladistanzaeuclideaed ladistanza(1)econsideriamolafunzioneidentita`,I(p)=p. Notiamo
e 1
che (R2,d ) e (R2,d ) sono due spazi metrici distinti, infatti, anche se come insiemi sono uguali, le due
e 1
distanze d e d sono diverse. Dimostriamo che I C((R2,d ),(R2,d )). Infatti, poich`e I(Bd1(p)) =
e 1 ∈ 1 e δ
Bd1(p)`e sufficiente mostrareche ogni d -bolla di centro p contiene una d -bolla. Una d -bolla di raggioǫ
δ e 1 e
`e un disco di raggio ǫ, mentre una d -bolla di raggio δ `e un quadrato di lato 2δ. E` facile vedere che ogni
1
disco contiene un quadrato. In modo analogo possiamo anche dimostrare che I C((R2,d ),(R2,d ))
e 1
∈
(mostrando che ogni quadrato contiene un disco!).
Ora dato uno spazio metrico (Y,d ) e una funzione f C((R2,d ),(Y,d )), per il fatto che la com-
Y e Y
posizione di funzioni continue `e continua, si ha che f∈ I C((R2,d ),(Y,d )), ma f I = f,
1 Y
quindi f C((R2,d ),(Y,d )). Viceversa si mostra◦anch∈e che se f C((R2,d ),(Y◦,d )) al-
1 Y 1 Y
lora f ∈C((R2,d ),(Y,d )). Abbiamo quindi dimostrato che per ogn∈i spazio metrico (Y,d ),
e Y Y
C((R2,d∈),(Y,d ))=C((R2,d ),(Y,d )), ovvero (R2,d ) e (R2,d ) hanno le stesse funzioni continue.
1 Y e Y 1 e
3) Mostriamo che se d `e la metrica discreta su R2 allora I / C((R2,d ),(R2,d )). Infatti se ǫ = 1/2, per
0 e 0
ogni p R2, Bd0 (p) = p , d’altra parte per ogni δ > 0∈la d -bolla Bd2(p) contiene infiniti elementi.
∈ 1/2 { } e δ
Quindi non si puo` mai verificare Bd2(p) Bd0 (p).
δ ⊆ 1/2
Diamo la seguente definizione
Definizione 6 Due distanze d e d su uno stesso insieme X si dicono topologicamente equivalenti se e
1 2
soltanto se I C((X,d ),(X,d )) e I C((X,d ),(X,d )). O, equivalentemente, se per ogni p X e ogni
1 2 2 1
ǫ>0 esistono∈δ ,δ >0 tali che Bd1(p)∈ Bd2(p) e Bd2(p) Bd1(p). ∈
1 2 δ1 ⊆ ǫ δ2 ⊆ ǫ
Nell’Esempio 2 sopra, le metriche d e d su R2 sono topologicamente equivalenti, mentre d e d non lo
e 1 e 0
sono (Esempio 3 sopra).
Definizione 7 Dato uno spazio metrico (X,d ), un sottoinsieme A X si dice aperto se per ogni p A
X
esiste un δ >0 tale che BdX(p) A. Un sottoinsieme C X si dice c⊆hiuso se X C `e aperto. ∈
δ ⊆ ⊆ −
Esempi
1) InRconladistanzausuale,gliintervalli(a,b)sonoapertimentrequelliditipo[a,b]nonsonoaperti(infatti
ognibolladicentrobescefuoridall’intervallo[a,b]equindinonvipuo` esserecontenuto),l’intervallo[a,b]
`e per`o chiuso. Gli intervalli di tipo [a,b) oppure (a,b] non sono ne aperti ne chiusi.
2) Le bolle, in uno spazio metrico, sono sempre aperte.
3) Si puo` facilmente vedere che ogni sottoinsieme A di uno spazio metrico discreto`e aperto.
Un criterio utile per stabilire se un sottoinsieme`e chiuso oppure no `e il seguente
Proposizione 8 Un sottoinsieme C di uno spazio metrico (X,d) `e chiuso se e solo se per ogni successione
(an)n∈N di elementi di C convergente a un limite l in X, si ha che l C.
∈
Lasciamoladimostrazioneperesercizio. Questocriterio`eutilesoprattuttopermostrarecheunsottoinsieme
non`e chiuso. Mostriamo qualche esempio:
Esempi
1 DAGLI SPAZI METRICI ALLA TOPOLOGIA 6
1) In R2 con la distanza euclidea, il sottoinsieme C = [0,1) [0,1) non `e chiuso, infatti prendiamo la
×
successione
n 1 n 1
a = − , − .
n
n n
(cid:18) (cid:19)
Si ha che a C per ogni n, ma a converge al limite l =(1,1) che non`e un elemento di C.
n n
∈
2) In R3 consideriamo la sfera
S2 = (x,y,z) R3 x2+y2+z2 =1
{ ∈ | }
Si ha che S2 `e chiuso, infatti sia a = (x ,y ,z ) una successione di punti in S2 convergente al limite
n n n n
l =(x,y,z), si ha allora
1= lim (x2 +y2 +z2)=x2+y2+z2.
n n n
n→∞
Quindi l S2.
∈
3) In R3, l’insieme C =S2 (0,0,1) non`e chiuso. Infatti la successione
−{ }
1 1 n 2
a = , , −
n
√n √n n
r !
di punti contenuti in C converge a (0,0,1) che non`e un punto di C.
Gli insiemi aperti di uno spazio metrico soddisfano le seguenti importanti proprieta`
Proposizione 9 Sia (X,d) uno spazio metrico, la famiglia dei sottoinsiemi aperti di X soddisfa le seguenti
proprieta`
i) e X sono aperti;
∅
ii) per ogni famiglia di aperti A , si ha che A `e un aperto;
j j∈J j∈J j
{ } ∪
iii) dati due aperti A e A anche A A `e un aperto.
1 2 1 2
∩
Lasciamo la dimostrazione di queste proprieta` al lettore.
Dimostriamo ora il seguente, importante teorema:
Teorema 10 Una funzione f :(X,d ) (Y,d ) tra due spazi metrici `e continua se e solo se per ogni aperto
X Y
→
A di Y, f−1(A) `e un aperto di X
Dimostrazione. Supponiamo che f sia continua e A Y un aperto. Dato p f−1(A), sia q = f(p) A.
⊆ ∈ ∈
Per mostrare che f−1(A) `e aperto, dobbiamo trovare una bolla di centro p tutta contenuta in f−1(A). Poich`e
A `e aperto, esiste ǫ>0 tale che BdY(f(p)) A, inoltre poich`e f `e continua esiste δ >0 tale che f(BdX(p))
ǫ ⊆ δ ⊆
BdY(f(p)) A. Ovvero abbiamo trovato δ tale che BdX(p) f−1(A), e questa `e la bolla che cercavamo.
ǫ ⊆ δ ⊆
Quindi f−1(A) `e aperto.
Supponiamo ora che per ogni aperto A in Y, f−1(A) sia aperto e dimostriamo che f `e continua. Dato
p X e ǫ > 0, la bolla BdY(f(p)) `e aperta, quindi per ipotesi f−1(BdY(f(p))) `e un sottoinsieme aperto di X
e p∈ f−1(BdY(f(p))). Qǫuindi esiste δ > 0 tale che BdX(p) f−1(BǫdY(f(p))), ovvero tale che f(BdX(p))
BdY∈(f(p)). Qǫuesto dimostra che f `e continua. δ ⊆ ǫ δ ⊆2
ǫ
Questo teorema`emolto importante,poich`e`eil punto dipartenzadella topologia. Cidice che per studiare
la continui`a non occorre conoscere la distanza, ma soltanto la famiglia di sottoinsiemi aperti. La topologia`e lo
studio delle trasformazionicontinue, piu` precisamente delle proprieta` di uno spazio che sono conservate da una
trasformazione continua. Per fare questo, la topologia dimentica il concetto di distanza e conserva solo quello
di sottoinsieme aperto e delle sue proprieta` sotto forma di assiomi e vedremo piu` avanti che, in questa nuova
teoria, il Teorema 10 diventa una definizione.
Osservazioni. Notiamocheduedistanzed ed suuninsiemeX sonotopologicamenteequivalentiseesolose
1 2
inducono la stessa famiglia di aperti, ovvero se e solo se un aperto rispetto a d `e aperto anche rispetto a d e
1 2
viceversa. Inoltred ed sonotopologicamenteequivalentiseesoloseC((X,d ),(Y,d ))=C((X,d ),(Y,d ))
1 2 1 Y 2 Y
per qualsiasi spazio metrico (Y,d ).
Y
2 GLI SPAZI TOPOLOGICI. 7
2 Gli spazi topologici.
Cominciamo a definire e illustrare gli assiomi della nuova teoria: la topologia. Dato un insieme X, nel seguito
denoteremo con P(X) l’insieme di tutti i sottoinsiemi di X, detto anche insieme delle parti di X.
Definizione 11 Dato un insieme X, una topologia T su X `e una famiglia di sottoinsiemi di X che soddisfa
le seguenti proprieta`:
i) ,X T;
∅ ∈
ii) per ogni famiglia A di elementi di T, si ha che A `e un elemento di T;
j j∈J j∈J j
{ } ∪
iii) se A,B T anche A B T.
∈ ∩ ∈
Uno spazio topologico `e una coppia (X,T) dove X `e un insieme e T una topologia su X. Gli elementi di T
sono chiamati sottoinisiemi aperti di X e gli elementi di X sono chiamati i punti di X.
Osserviamo che dalla Proposizione 9 segue che gli aperti di uno spazio metrico X formano una topologia
T su X. Quindi tutti gli spazi metrici sono spazi topologici. Tuttavia non ogni spazio topologico `e uno spazio
metrico.
Definizione 12 Uno spazio topologico (X,T) si dice
1) metrizzabile se T coincide con la famiglia degli aperti di X rispetto a una distanza d su X.
2) di Hausdorff se dati due punti distinti p,q X, esistono aperti U,V di X tali che p U, q V e
∈ ∈ ∈
V U =
∩ ∅
Si puo` facilmente vedere che ogni spazio metrico `e di Hausdorff, inoltre in ogni spazio metrico il comple-
mentare di un punto `e un aperto. Diamo ora qualche esempio da cui si vede che invece non ogni spazio topo-
logico `e di Hausdorff e non sempre il complementare di un punto `e aperto. Quindi non ogni spazio topologico
`e metrizzabile. Diamo qui una serie di esempi.
Esempi
1) Tutti glispazimetrici,quindi ancheRn e ognisottoinsiemediRn `euno spaziotopologico,conladistanza
euclidea.
2) SuogniinsiemeX,possiamodefinireT=P(X),ovverolatopologiaincuiognisottoinsiemediX `eaperto.
Ovviamente T `e una topologia, detta topologia discreta. Questa `e metrizzabile, poich`e `e indotta dalla
distanza discreta.
3) La topologia discreta su un insieme X `e ovviamente quella con il maggior numero possibile di aperti,
all’altro estremo possiamo definire quella con il minor numero, ovvero= X, ,detta topologia banale
{ ∅}
o concreta. SeX hapiu` diunpunto,inquestatopologiaicomplementarideipuntinonsonomaiaperti,
quindi la topologia banale non`e metrizzabile.
4) Sia X = a,b,c e poniamo T = , a,b,c , a,b , b . Si verifica facilmente che T `e una topologia su
{ } {∅ { } { } { }}
X e che inoltre non `e metrizzabile, poich`e il complementare del punto b, cio`e a,c , non sta in T. Si
{ }
puo` dimostrare che la sola topologia metrizzabile su un insieme finito `e quella discreta. Potete provare a
trovare tutte le topologie possibili su un insieme di tre o quattro elementi.
5) Su un insieme qualsiasi X sia
T= A X X A`e finito X,
{ ⊂ | − }∪{ ∅}
2 GLI SPAZI TOPOLOGICI. 8
verifichiamo che `e una topologia. La prima proprieta` di una topologia `e soddisfatta per definizione. Sia
ora A una famiglia di elementi di T, allora
j j∈J
{ }
X A = (X A ).
j j
− −
j∈J j∈J
[ \
Segue perci`o che X A `e finito, essendo intersezione di insiemi finiti e quindi che A sta in T.
j∈J j j∈J j
−∪ ∪
Questo dimostra che anche la seconda proprieta``e soddisfatta. Siano ora A e B due elementi di T, allora
X (A B)=(X A) (X B),
− ∩ − ∪ −
ovverocheX (A B)`efinitoequindiA B T. Questatopologia`echiamatatopologiadeicomplementari
finiti. E` ovvi−o ch∩e se X `e finito, allora∩la to∈pologia dei complementari finiti coincide con quella discreta
e quindi `e metrizzabile. Se invece X `e infinito, questa topologia non `e mai metrizzabile, poich`e non `e di
Hausdorff (esercizio).
6) Su R definiamo
T= (a,+ ) a R R, .
{ ∞ | ∈ }∪{ ∪∅}
Verifichiamo che`e una topologia. Sia (a ,+ ) una famiglia di elementi di T. E` facile verificareche
j j∈J
{ ∞ }
(a ,+ )=(inf a ,+ ),
j j
∞ j∈J ∞
j∈J
[
quindi che T soddisfa la seconda proprieta`. Dati ora (a,+ ) e (b,+ ) si vede facilmente che
∞ ∞
(a,+ ) (b,+ )=(max a,b ,+ ),
∞ ∩ ∞ { } ∞
e quindi anche la terza proprieta` vale. Chiamiamo questa topologia la topologia delle semirette positive.
Chiaramente `e una topologia non di Hausdorff e quindi non metrizzabile.
Comeneglispazimetrici,ancheperglispazitopologicidiciamocheunsottinisiemeC X `echiusoseX C
`e aperto. E` facile verificare che dalle proprieta` degli aperti segue che i chiusi soddisfano⊂le seguenti proprie−ta`:
Proposizione 13 I sottoinsiemi chiusi di uno spazio topologico (X,T) soddisfano le seguenti proprieta`:
i) ,X sono chiusi;
∅
ii) per ogni famiglia C di sottoinsiemi chiusi, si ha che C `e chiuso;
j j∈J j∈J j
{ } ∩
iii) se C,D sono chiusi anche C D sono chiusi.
∪
Perdefinireunatopologia,sipuo`anchespecificareunafamigliaTcdisottoinisiemichesoddisfanoleproprieta`
(i),(ii) e (iii) dei chiusi, dopodich`e si verifica che T= A X X A Tc `e una topologia. Una famiglia Tc
{ ⊆ | − ∈ }
che soddisfa le proprieta` dei chiusi si chiama una topologia di chiusi.
Funzioni continue
Diamo ora la definzione di funzione continua
Definizione 14 Una funzione f :X Y tra due spazi topologici si dice continua se per ogni aperto A Y,
→ ⊂
f−1(A) `e aperto in X.
Si ha anche che
Lemma 15 Una funzione f : X Y tra spazi topologici `e continua se e soltanto se per ogni chiuso C Y,
→ ⊆
f−1(C) `e chiuso in X.
2 GLI SPAZI TOPOLOGICI. 9
Naturalmente le funzioni continue tra glispazimetrici sonoquelle che gi`a conoscete. Vediamo qualche altro
esempio un po’ piu` “esotico”:
Esempi
1) Se X `e uno spazio topologico discreto, allora qualsiasi funzione f : X Y in qualsiasi altro spazio
→
topologico`e continua.
2) SeY halatopologiabanale,alloraperqualsiasispaziotopologicoX eognifunzionef :X Y `econtinua,
→
infatti f−1(Y)=X e f−1( )= .
∅ ∅
3) Indichiamo con R lo spazio R con la topologia delle semirette positive. Allora la funzione f :R R
S S S
→
data da f(x)=x2 non`e continua. Infatti
f−1((1,+ ))=( , 1) (1,+ )
∞ −∞ − ∪ ∞
che non`e una semiretta positiva. Sia ora
1 se x>0,
f(x)=
(0 se x 0
≤
Verifichiamo che questa `e continua come funzione f :R R . Ad esempio
S S
→
f−1((1/2,+ ))=(0,+ )
∞ ∞
e in generale per ogni a R si ha
∈
se a 1,
∅ ≥
f−1((a,+ ))= (0,+ ) se a [0,1), .

∞ ∞ ∈
R se a<0.
Quindi la controimmagine di una semiretta positiva, se non `e vuota, `e una semiretta positiva oppure R.
Quali sono, in generale, le funzioni continue f :R R ?
S S
→
4) Sia R lo spazio R con la topologia dei complementari finiti e cerchiamo di capire quali sono le funzioni
c
continue f :R R . E` comodoinquestocasoutilizzareilLemma15,infattiinquestocasoichiusisono
c c
→
semplicementedatidaisottoinsiemifinitidiR,eunafunzione`econtinuaseesoloselacontroimmaginedi
un insieme finito `e finita, vuota, oppure tutto R. Ad esempio le funzioni costanti f(x)=c sono continue,
poich`e la controimmagine di un sottoinisieme `e tutto R se il sottoinsieme contiene c, altrimenti `e vuoto.
La funzione f(x) = sinx non `e continua, infatti f−1(0) = kπ, k Z , che non `e finito. E` chiaro che la
{ ∈ }
controimmagine di un insieme finito `e finito se e solo se la controimmagine di ogni punto `e finita (oppure
vuota). Ad esempio se f(x) `e un polinomio di grado n, allora per ogni c R, f−1(c) `e vuota oppure
∈
contiene al piu` n elementi (le soluzioni dell’equazione f(x)=c). Quindi i polinomi sono continui.
Lasciamo per esercizio la dimostrazione del seguente teorema
Teorema 16 Se f :X Y e g :Y Z sono funzioni continue, allora g f :X Z `e continua.
→ → ◦ →
Una funzione f :X Y tra spazi topologici si dice aperta se per ogni aperto A X, f(A) Y `e aperto.
→ ⊆ ⊆
Glistudentitendonoaconfonderefunzionicontinueefunzioniaperte,maiduetipidifunzioninonhannonulla
a che fare una con l’altra. Ad esempio la funzione f(x) = x2 `e continua su R con la topologia usuale, ma se
A=R,che`eapertoinR, sihache f(R)=[0,+ )che non`eunapertodiR,quindif non`eaperta. Viceversa,
∞
se Y `e uno spazio topologico discreto, ogni funzione f : X Y `e aperta, ma non necessariamente continua
→
(perch´e?).
Una funzione f : X Y si dice chiusa se per ogni chiuso C X, f(C) `e chiuso in Y. Le funzioni chiuse
→ ⊂
non hanno nulla a che fare n`e con le funzioni aperte n`e con quelle continue. Ad esempio su R con la topologia
usuale, f(x)=x2 `e chiusa (ma non aperta); f(x)=arctanx non`e chiusa, infatti f([0,+ ))=[0,π) che non`e
chiuso, tuttavia arctan`e una funzione aperta (esercizio); f(x)=e−x2 non`e n`e chiusa n`e∞aperta (esercizio).
2 GLI SPAZI TOPOLOGICI. 10
Omeomorfismi
Siamo pronti a definire il concetto piu` importante di tutto il corso:
Definizione 17 Una funzione f : X Y tra due spazi topologici `e un omeomorfismo se f `e continua,
→
bigettiva e la sua inversa f−1 :Y X `e anch’essa continua. Due spazi topologici X e Y si dicono omeomorfi
→
e scriviamo X =Y se esiste un omeomorfismo f :X Y.
∼ →
Il seguente Lemma puo` risultare utile in taluni casi
Lemma 18 Una funzione f : X Y tra due spazi topologici `e un omeomorfismo se e solo se f `e continua,
→
bigettiva e aperta (oppure chiusa).
Dimostrazione. Se f `e bigettiva, allora per ogni x X, si ha che
∈
f(x)=(f−1)−1(x)
e per ogni sottoinsieme A X si ha che
⊆
f(A)=(f−1)−1(A).
Quindi f−1 `e continua se e solo se f `e aperta. 2
Un’espressione del linguaggiocorrente che si avvicina al concetto di omeomorfismo`e quella di “L’oggettoA
`e a forma di B”. Ad esempio l’espressione “il salvagente`e a forma di ciambella”, nel linguaggio del topologo`e
tradotto“ilsalvagenteelaciambellasonoomeomorfe”. Inrealta`per`osonotraloroomeomorfeanchefigureche
nonsiassomiglianopoicos`ıtanto,adesempiounatazzaconilmanicoeuna ciambellasonotraloroomeomorfe
(provate ad esempio a digitare “homeomorphism” nella versione inglese di Wikipedia!).
La relazione “X `e omeomorfo a Y” definisce una relazione di equivalenza tra spazi topologici, ovvero il
topologo considera due spazi topologici omeomorfi “la stessa cosa”, ad esempio considera “la stessa cosa” una
tazzaconilmanicoeunaciambella,(opinionechepuo`risultaresconvenientelamattinaquandosifacolazione!).
Uno degli scopi della topologia `e quello di sviluppare degli strumenti per classificare gli spazi topologici “a
meno di omeomorfismi”, ossia di determinare metodi che consentono di dimostrare rigorosamente se due spazi
topologici sono o no omeomofi.
Un concetto molto importante `e quello di invariante topologico. Una proprieta` (P) `e un invariante
topologico se dato X che soddisfa (P), allora anche ogni spazio topologico omeomorfo a X soddisfa (P). Ad
esempio la proprieta` “X ha un numero n di elementi” oppure “X ha un numero infinito di elementi” sono
invarianti topologici. La maggior parte degli invarianti topologici sono piu` efficaci nel dimostrare che due spazi
X e Y non sono omeomorfi, facendo vedere che uno dei due soddisfa un invariante che l’altro non soddisfa.
Ad esempio nessun insieme finito puo` essere omeomorfo a R, poich`e R contiene un numero infinito di elementi.
Non `e per`o vero che due insiemi infiniti sono tra loro omeomorfi. In questo corso studieremo alcuni invarianti
topologici importanti. L’invariante topologico ideale `e quello che ci consente di dire che se X e Y soddisfano
(P) allora X e Y sono omeomorfi. In topologia esistono esempi molto sofisticati di questo tipo di invariante,
che tuttavia non vedremo in questo corso.
Esempi
1) Se d `e la distanza euclidea su R2 e d la distanza data in (1) allora l’identita` I :(R2,d ) (R2,d )`e un
2 1 e 1
→
omeomorfismo.
2) Se d `e la metrica discreta su R2 alloral’identita` I :(R2,d ) (R2,d )`e continua, bigettiva ma l’inversa
0 0 2
→
non `e continua, infatti I non`e una funzione aperta.
Dato uno spazio topologico X, un automorfismo di X `e un omeomorfismo f : X X. Denotiamo con
→
Aut(X) l’insieme degli automorfismi di X.
Teorema 19 L’insieme Aut(X) `e un gruppo rispetto alla composizione f g :=f g.
· ◦