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******************************************************* Vittorio Lubicz Appunti di Meccanica Quantistica Appunti delle lezioni del corso di Meccanica Quantistica A cura degli ex-studenti Matteo Altorio, Ilaria Carlomagno, Paolo Costantini, Marco De Cicco, Eleonora Diociaiuti, Emilia Margoni, Cristina Martellini, Carmen Monaco, Emanuele Navisse, Irene Schiesaro, Valerio Serpente, Giulio Settanta, Carlotta Trigila, Valentina Vecchio, Antonio Vigilante Corso di Laurea in Fisica Dipartimento di Matematica e Fisica Università degli Studi “Roma Tre” Quest’opera è stata rilasciata sotto la licenza Creative Commons Attribuzione-Non Commerciale-Non opere derivate 2.5 Italia, vedi http://creativecommons.org//licenses/by-nc-nd/2.5/it/ Ultima revisione: Gennaio 2022 Un ringraziamento a Sergio Giannelli per la copertina e un’accurata revisione tipo- grafica degli Appunti. Cover image licensed under CC BY-SA by Ruslan Julbarissow. https://zerofy.de Premessa degli studenti Gli Appunti di Meccanica Quantistica sono da anni il testo di riferimento per il corso di Istituzioni di Fisica Teorica del CdL in Fisica a Roma Tre e rappresenta- no un ottimo punto di partenza per chi si affaccia, per la prima volta, al vasto e complesso mondo della Meccanica Quantistica. Tutti noi ne abbiamo apprezzato la semplicità, la chiarezza e l’esaustività con cui gli argomenti del corso venivano af- frontati. Eppure, sapevamo che la fruibilità degli Appunti potesse essere, in qualche modo, affinata. L’idea di base era quella di realizzare una sorta di “nuova edizione”, in cui venissero curati maggiormente gli aspetti grafici (coinvolgendo l’indice, le figu- re e l’impaginazione), il tutto senza perdere il minimo dettaglio per ciò che riguarda le dimostrazioni e, in generale, gli argomenti trattati, che sono rimasti immutati. Dato il vasto numero di argomenti trattati negli Appunti, la nostra idea ha ri- chiesto un lungo tempo per la realizzazione ed ha coinvolto un team molto ampio di persone. Speriamo che il risultato vi sia utile e vi possa piacere: è il nostro piccolo regalo. Da studenti, per gli studenti. Matteo Altorio Ilaria Carlomagno Paolo Costantini Marco De Cicco Eleonora Diociaiuti Emilia Margoni Cristina Martellini Carmen Monaco Emanuele Navisse Irene Schiesaro Valerio Serpente Giulio Settanta Carlotta Trigila Valentina Vecchio Antonio Vigilante i Premessa dell’autore Questi Appunti non sono un libro. Nascono così, come Appunti delle lezioni, scritti in preparazione del corso di Meccanica Quantistica all’Università Roma Tre. Intendevo raccogliere in queste pagine quello che avrei voluto insegnare agli studenti della Meccanica Quantistica. Questi Appunti non sono un libro, dunque, ma nascono certamente dai libri, in particolare dai testi citati nella successiva bibliografia. Gli autori di questi testi sono stati grandi didatti oltre che grandi fisici: Feynman, Landau, Sakurai. A loro devo certamentemolto, comefisicomaanchecomedocente. Dimio, inquestiAppunti, c’è la scelta dei contenuti, della successione con cui vengono presentati i vari argomenti, in molti casi una loro riformulazione. A partire dalla prima stesura, il testo è stato continuamente rivisto, integrato, modificato. Ogni lezione in classe è stata, ed è ancora oggi, per me l’occasione per ripensare qualcosa. All’epoca della prima stesura degli Appunti il corso era denominato “Istituzioni di Fisica Teorica” e conteneva, oltre alla Meccanica Quantistica, anche una parte dedicata alla Meccanica Statistica. I contenuti di Meccanica Quantistica erano inol- tre più estesi, e gli argomenti qui presentati nella PARTE III non rientrano oggi nel programma del corso di Meccanica Quantistica. Per molti anni questi Appunti sono esistiti solo in forma manoscritta, nei miei quaderni, fotocopiati e messi a disposizione degli studenti sulla mia pagina web. Molte volte ho ricevuto la richiesta di riportarli in forma dattiloscritta, ma non mi sono mai risoluto. Le altre mie attività non mi lasciavano abbastanza tempo per dedicarmi alla riscrittura. Poi, per me completamente inaspettato, è giunto questo dono da parte di alcuni miei ex-studenti. Come scrivono nella loro premessa, “un piccolo regalo, da studenti, per gli studenti”. Anche io li ringrazio calorosamente per questo regalo, e spero che lo sforzo da loro profuso in questa opera possa essere stato, almeno in parte, ricompensato da parte mia dalla passione e dall’impegno dedicato ad insegnare la fisica. Roma, Settembre 2019 ii Indice I PARTE I 1 1 Crisi della fisica classica 2 1.1 Lo spettro di corpo nero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 L’effetto fotoelettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 L’effetto Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Diffrazione degli elettroni e relazione di De Broglie . . . . . . . . . . . 12 1.5 L’esperimento di Rutherford e gli spettri atomici . . . . . . . . . . . . 13 1.6 Modello di Bohr dell’atomo di idrogeno (1913) . . . . . . . . . . . . . 15 2 Onde e particelle 18 2.1 Principi base della Meccanica quantistica: probabilità e ampiezza di probabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Il principio di indeterminazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.1 Il principio di indeterminazione e l’esperimento delle due fen- diture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3 Vettori di stato ed operatori 29 3.1 L’esperimento di Stern e Gerlach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2 Esperimenti di Stern e Gerlach ripetuti . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.3 Vettori di stato bra e ket. Principio di sovrapposizione . . . . . . . . 36 3.4 Operatori. Rappresentazioni matriciali e relazione di completezza . . 38 iii 3.5 Prodotto di Operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.6 Cambiamenti di Base e Trasformazioni Unitarie . . . . . . . . . . . . 43 3.7 Esempio: vettori di stato, operatori e rappresentazioni matriciali per particelle di spin 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4 Misure, osservabili e relazione di indeterminazione 54 4.1 Autovalori ed autovettori di osservabili . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.2 Autovettori di osservabili come vettori di base . . . . . . . . . . . . . 57 4.2.1 Misura selettiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.3 Osservabili compatibili ed operatori commutanti . . . . . . . . . . . . 60 4.4 Osservabili incompatibili e relazione di indeterminazione . . . . . . . 62 4.5 Esempio: autovalori ed autovettori dello spin per particelle di spin 1/2 e relazioni di indeterminazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5 Operatore posizione 69 5.1 Normalizzazione degli autostati dell’operatore posizione e funzione δ di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.2 Operatori nella rappresentazione delle coordinate . . . . . . . . . . . 73 5.3 Regole di commutazione per gli operatori posizione . . . . . . . . . . 74 6 Traslazioni e impulso 75 6.1 Le regole di commutazione canoniche e la relazione di indeterminazione di Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 6.2 L’operatore impulso nella rappresentazione delle coordinate. Auto- funzioni dell’impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 6.3 Funzioni d’onda nella rappresentazione degli impulsi . . . . . . . . . . 83 6.4 Pacchetti d’onda gaussiani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6.5 Operatore posizione nella rappresentazione degli impulsi . . . . . . . 87 7 Evoluzione temporale ed equazione di Schrödinger 89 7.1 Evoluzione temporale degli stati. Operatore Hamiltoniano ed equazione di Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 iv