Appunti di Fisica Matematica AA 2010-2011

80 Pages·2011·0.58 MB·Italian

Appunti di Fisica Matematica
A.A. 2010-2011
Matteo Di Nunno
7 febbraio 2011
Indice
1 Introduzione 3
1.1 Le equazioni del corso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Classificazione delle PDE del II ordine . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 L’equazione delle onde 5
2.1 Soluzioni particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Derivazione euristica dell’equazione della corda vibrante . . . . . 5
2.3 Derivazione microscopica dell’equazione della corda vibrante . . . 6
2.4 Conservazione dell’energia nella corda vibrante . . . . . . . . . . 7
2.5 Problema di Cauchy globale: ricerca delle soluzioni e formula di
D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.6 Cenni di Teoria delle distribuzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.7 Soluzione fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.8 Problema di Cauchy con forzante e metodo di Duhamel . . . . . 13
2.9 ProblemadiCauchy-Dirichlet emetododelle riflessioni . . . . . . 14
2.10 Problema di Cauchy-Dirichlet e metodo di Fourier . . . . . . . . 15
2.11 Sulla Teoria delle Serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.12 D’Alembert & Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.13 Equazione delle onde con d>1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.14 La formula di Kirchhoff (d=3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.15 La formula di Poisson (d=2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.16 Relazioni didispersionee pacchettid’onda . . . . . . . . . . . . . 27
3 L’Equazione del Calore 29
3.1 Derivazione euristica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Principio del Massimo per l’Equazione del Calore . . . . . . . . . 30
3.3 Soluzione fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4 Convergenza ai dati iniziali della Soluzione fondamentale . . . . . 33
3.5 Problema di Cauchy in d>1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.6 Esistenza ed Unicit´a in d>1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.7 Propriet´a caratteristiche della Soluzione fondamentale . . . . . . 35
3.8 Equazione del calore con sorgente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.9 Esistenza ed Unicit´a in Rd in presenza di una forzante . . . . . . 37
3.10 Metodo delle riflessioni per il problema di Cauchy-Dirichlet . . . 38
3.11 Metodo di Fourier per il problema di Cauchy-Dirichlet . . . . . . 40
3.12 Ipotesi di regolarit´a su g(x) e loro indebolimento . . . . . . . . . 40
3.13 Metodo di Fourier per il Problema di Cauchy-Neumann . . . . . 41
3.14 Osservazioni...spettrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1
3.15 Derivazione microscopica dell’equazione del calore . . . . . . . . 43
3.16 Sul coefficiente di diffusione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.17 Interpretazione generale nel continuo . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4 Teoria del potenziale 48
4.1 Definizioni e prime propriet´a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2 Soluzioni per d=1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3 Propriet´a del Nucleo risolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.4 Soluzione fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.5 Le formule di Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.6 Propriet´a delle funzioni armoniche . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.7 Buona posizione del problema di Dirichlet . . . . . . . . . . . . 58
4.8 La formula di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.9 Sulla convergenza al dato iniziale della formula di Poisson . . . . 61
4.10 Caratterizzazione delle funzioni armoniche . . . . . . . . . . . . . 62
4.11 La disuguaglianza di Harnack . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.12 Il teorema di Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.13 L’equazione di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.14 L’equazione di Poisson in domini limitati . . . . . . . . . . . . . 68
4.15 Il metodo delle cariche immagine: esempi e applicazioni . . . . . 71
5 Esercizi importanti 73
5.1 Formulazione variazionale dell’equazione della corda vibrante . . 73
5.2 Metodo di Fourier per il problema di Cauchy-Neumann . . . . . 74
5.3 MetododiFourierperilproblemadiCauchy-Dirichletconforzante 75
5.4 Continuit´a rispetto ai dati iniziali per la
soluzione dell’equazione delle onde . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.5 Un problema misto... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.6 Energia in termini di serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2
Capitolo 1
Introduzione
1.1 Le equazioni del corso
1. Equazione delle Onde ∂ u(x,t)=c2∆u(x,t)1 ∀x∈Rd
tt
2. Equazione del Calore ∂ u(x,t)=D∆u(x,t)
t
3. Equazione di Laplace ∆u(x,t)=0
4. Equazione di Poisson ∆u(x,t)+f(x,t)=0
Di tali equazioni studieremo la buona positura dei problemi al contorno e ai
dati iniziali, derivazioni di natura euristica e conseguente interpretazione fisica.
Infine si passer´a a costruire le soluzioni fondamentali ad esse associate.
1.2 Classificazione delle PDE del II ordine
Sia y ∈ Rn ed u(y) l’incognita. La generica PDE del II ordine avr´a una
formulazione del tipo:
n n
(cid:88) (cid:88)
A (y)∂ ∂ u(y)+ B (y)∂ u(y)+c(y)u(y)=f(y)
ij yi yj i yi
i,j=1 i=1
Supponiamo per adesso f(y)=0. In questo caso avremo delle PDE omogenee,
per le quali vale il Principio di Sovrapposizione in base al quale se abbiamo
u (y) ed u (y) soluzioni di un’equazione, allora u(y) = αu (y)+βu (y) ´e una
1 2 1 2
nuova soluzione, con α,β ∈R. Supporremo inoltre,come conseguenza di oppor-
tune ipotesi di regolarit´a poste su u(y), che A =A . Se questo vale per ogni
ij ji
y allora A ´e diagonalizzabile e gli autovalori ad essa associati sono tutti reali.
Adessosianon (y)=numeroautovaloriugualia0,n (y)=numeroautovalori
0 +
> 0, n (y)=numero autovalori < 0. Sia, quindi, n = n +n +n . Adesso
− 0 + −
possiamo procedere con la classificazione:
• Eq. Ellittica in y se n (y)=n
±
• Eq. Parabolica in y se n (y)>0
0
1∆u(x,t)=(cid:80)d ∂2 u(x,t) d=1,2,3
i=1 xi
3
• Eq. Iperbolica in y se n (y)=n−1 ed n (y)=1 o viceversa2
+ −
Facciamo degli esempi. Sia y =(x,t) ed x∈R3 con ∂ u−c2∆u=0. Avremo
tt
 
1 0 0 0
 0 −c2 0 0 
A= =⇒ L’equazione delle onde ´e iperbolica in y
 0 0 −c2 0 
0 0 0 −c2
Nel caso di ∂ u−D∆u=0 abbiamo
t
 
0 0 0 0
 0 −D 0 0 
A= =⇒ L’equazione del calore ´e parabolica in y
 0 0 −D 0 
0 0 0 −D
Infine, nel caso di ∆u=0 , non avendo piu´ la dipendenza da t avremo y =(x)
e di conseguenza A assumer´a forma:
 
1 0 0
A= 0 1 0 =⇒ L’equazione di Laplace ´e ellittica in y
0 0 1
2In realt´a basta semplicemente la presenza sia di autovalori positivi che di autovalori
negativi.
4
Capitolo 2
L’equazione delle onde
2.1 Soluzioni particolari
Sia d=1. Avremo:
∂ u(x,t)=c2∂ u(x,t) (x,t)∈R×R (2.1)
tt xx
Notiamo la presenza di soluzioni evidenti, in un certo qual senso. Sia u (x) e
0
siano u (x,t)=u (x∓ct). Notiamo che u sono soluzioni di (2.1).
± 0 ±
∂ u (x,t)=∂ u (x−ct)=∂ (−cu(cid:48)(x−ct))=c2u(cid:48)(cid:48)(x−ct)=c2∂ u (x,t)
tt + tt 0 t 0 0 xx +
Queste soluzioni rappresentano, rispettivamente, un’onda viaggiante diretta
ed un’onda viaggiante inversa; inoltre esse mostrano la natura propagatoria
dell’equazione.
Ma non sono le uniche...abbiamo le Onde Armoniche:
u (x,t)=Acos(kx∓ωt+ϕ) con k,ω >0 ed ϕ∈[0,2π]
±
Le u possono essere poste come u (x,t) = Acos[k(x∓ ωt)+ϕ]; esse sono
± ± k
soluzioni della (2.1) se ω = c. A soluzioni di questo genere sono associati in
k
particolareilperiodo temporaleT = 2π equellospazialedettolunghezza d’onda
ω
λ= 2π dove k = 2π ´e il numero d’onda.
k λ
Sia ora u¯(x,t)=u (x,t)+u (x,t)=2Acos(kx)cos(ωt). Abbiamo sovrap-
+ −
posto due onde viaggianti in direzioni opposte. Tali soluzioni sono dette Onde
Stazionarie, le quali hanno natura non propagatoria bens´ı vibratoria.
2.2 Derivazione euristica dell’equazione della cor-
da vibrante
Alfinediderivarel’equazionesar´anecessarioporrealcuneipotesisulcomporta-
mento del sistema che pretendiamo di poter descrivere. A posteriori riusciremo
aconvincercichel’equazionedescrivebenefenomeniditipoondulatoriodeltipo
che segue.
Supponiamo una corda unidimensionale, con densit´a omogenea ρ , elastica
0
eflessibile. Inoltreponiamoinstatodiequilibrioilsistemaaltempoinizialet=
5
0. Adesso prendiamo in considerazione un segmento della corda e mettiamolo
sotto sollecitazione: in risposta il segmento vibrer´a. Possiamo ipotizzare tali
vibrazioni trasversali e piccole. Siano
N =(x,0) M =(x,u(x,t)) N(cid:48) =(x+∆x,0) M(cid:48) =(x+∆x,u(x+∆x,t))
La massa di MM(cid:48) ´e ρ ∆x. Dal fatto che le vibrazioni sono, per ipotesi, pic-
0
cole e trasversali, segue che |u(x,t)| (cid:28) 1 ed |∂ u(x,t)| (cid:28) 1. Poich´e l’ogget-
x
to ´e sollecitato possiamo dedurre la presenza di una forza F(x,t) con inten-
sit´a F(x,t)∆x. Inoltre introduciamo T e T’ ovvero la tensione esercitata sul
segmento di corda rispettivamente in M ed in M’.
Dalleipotesisegueche|T(cid:126)|=|T(cid:126)(cid:48)|=τ edinprimaapprossimazionepossiamo
0
porre tanα(x,t) = ∂ u(x,t) dove α(x,t) ´e l’angolo tra il segmento di corda ed
x
NN(cid:48). Ne consegue che:
1 tanα
cosα= √ (cid:39)1 sinα= √ (cid:39)tanα(cid:39)∂ u
x
1+tan2α 1+tan2α
Isoliamo un tratto di corda e cerchiamo di ricondurci ad un’equazione del tipo
diquelladiNewton: affinch´elatensionesiasemprelastessaagliestremisideve
avere |T(cid:126)(cid:48)|cosα(cid:48) =|T(cid:126)|cosα. Definiamo τ come:
vert
τ =|T(cid:126)(cid:48)|sinα(cid:48)−|T(cid:126)|sinα≡τ [∂ u(M(cid:48),t)−∂ u(M,t)]
vert 0 x x
Possiamo porre il pezzo di corda come un unico corpo rigido e quindi avere
ρ ∆x∂ u(x,t)=m(cid:126)a ed infine proiettando sull’asse delle y si ha
0 tt
ρ ∆x∂ u(x,t)=τ [∂ u(x+∆x,t)−∂ u(x,t)]+F(x,t)∆x=ρ ∂ u(x,t)=
0 tt 0 x x 0 tt
(cid:20) (cid:21)
∂ u(x+∆x,t)−∂ u(x,t)
=τ x x +F(x,t)=(∗)
0 ∆x
Infine si ha:
lim (∗)=ρ ∂ u(x,t)=τ ∂ u(x,t)+F(x,t) (2.2)
0 tt 0 xx
∆x→0
(cid:113)
Ponendo f(x,t) = F(x,t) (forza per unit´a di massa) ed c = τ0 ritroviamo la
ρ0 ρ0
(2.1) con forzante ovvero:
∂ u(x,t)=c2∂ u(x,t)+f(x,t) (2.3)
tt xx
2.3 Derivazione microscopica dell’equazione del-
la corda vibrante
Supponiamo la nostra corda formata da atomi in movimento oscillatorio ver-
ticale; ´e una catena di oscillatori armonici legati tra loro da molle di costante
elastica K. Il nostro intento ´e di effettuare un limite di scala sul sistema; cos´ı
facendo la catena di oscillatori si infittir´a tendendo a rassomigliare an un corpo
continuo. Tale procedura sar´a effettuata supponendo che esista una soluzione
u(x,t) a cui far convergere le u .
N
6
Siano P =(x ,y ) ed x =jL1 dove N´e il numero degli oscillatori ed L la
j j j j N
lunghezza del tratto di asse x preso in considerazione.
Si avr´a
my¨ =−K(y −y )−K(y −y ) y =y =0 (2.4)
j j j−1 j j+1 0 N
La (2.4) rappresenta le forse elastiche sentite dall’oscillatore in posizione y
j
dovuteallapresenzarispettivamentedialtrioscillatoriinposizioney ed y .
j−1 j+1
Sia adesso ε = L il passo tra un oscillatore e l’altro. Allora y = u (x ,y) =
N n n j
u (jε,t); inoltre faremo alcune opportune modifiche affinch´e il modello non
n
perda senso passando al limite: per evitare che per N → ∞ si abbia m = ∞
poniamom=ερ ;vogliamoaltres´ıcheperN →∞ladistanzatraglioscillatori
0
si annulli e quindi poniamo K =τ ε−1. Si ha
0
my¨ =ρ ε∂ u (jε,t)=ε−1τ [u (jε+ε,t)+u (jε−ε,t)−2u (jε,t)]⇒
j 0 tt N 0 N N N
⇒my¨ =ρ ∂ u (jε,t)=ε−2τ [u (jε+ε,t)+u (jε−ε,t)−2u (jε,t)]
j 0 tt N 0 N N N
. Siano ora le gli operatori di derivazione discreta sinistra e destra:
f(x+ε)−f(x) f(x)−f(x−ε)
D+f(x)= D−f(x)= (2.5)
ε ε ε ε
In definitiva avremo
ρ ∂ u (jε,t)=τ D+D−u (jε,t)
0 tt N 0 ε ε N
C2
Adesso, per ipotesi, abbiamo che u (jε,t) −→ u(x,t) quindi per N → ∞ si ha
n
ancora la
ρ ∂ u(x,t)=τ ∂ u(x,t) (2.6)
0 tt 0 xx
2.4 Conservazione dell’energia nella corda vibrante
Prendendo in considerazione la (2.4) si ha che la lagrangiana ad essa associata
sar´a:
H =T +U =N(cid:88)−1my˙j2 +N(cid:88)−1k(y −y )2 (2.7)
N 2 2 j j+1
j=1 j=0
DimostreremocheH ´eunintegraleprimosealpostodi(y,y˙)sipone(u ,∂ u ):
N N t N
H =N(cid:88)−1ρ0ε∂ u (jε,t)2+N(cid:88)−1ε−1τ0[u (jε,t)−u (jε+ε,t)]2 =(β)+(α)
N 2 t N 2 N N
j=1 j=0
in (α) moltiplico e divido per ε e supponendo una buona regolarit´a di u ho
N
che:
ρ (cid:90) L τ (cid:90) L
lim(β)= 0 dx(∂ u)2 lim(α)= 0 dx(∂ u)2 (2.8)
ε→0 2 0 t ε→0 2 0 x
Sia ora la funzione H :(u,v)−→H(u,v) espressa come:
(cid:90) L ρ (cid:90) L τ
H(u,v)= dx 0v(x)2+ dx 0(∂ u(x))2 (2.9)
2 2 x
0 0
1Questo modo di porre le cose ci servir´a a breve per potere concretamente effettuare il
limitediscala.
7
.
Teorema 2.1 Sia u(x,t) soluzione di (2.6), T > 0 , Q = (0,L) × (0,T).
T
Inoltre sia u ∈C2(Q )∩C1(Q ). Sia E(t)=H(u(·,t),∂ u(·,t)). Allora E(t)=
T T t
E(0) ∀t∈[0,T] ovvero E(t) ´e una costante del moto.
Dim. Mostriamo che ∂ E(t)=0. Si ha:
t
(cid:90) L
E˙(t)= dx[ρ (∂ u)(∂ u)+τ (∂ u)(∂ u)]
0 t tt 0 x tx
0
ma notiamo che
(cid:90) L
dx(∂ u)(∂ u)=
x tx
0
(cid:12)L
(cid:90) L (cid:12) (cid:90) L
= dx(∂ u)∂ (∂ u)=[∂ u(x,t)∂ u(x,t)](cid:12) − dx(∂ u)(∂ u)⇒
x x t x t (cid:12) xx t
0 (cid:12) 0
0
(cid:90) L
⇒E˙(t)= dx(∂ u)(ρ ∂ u−τ ∂ u)+τ [∂ u(L,t)∂ u(L,t)−∂ u(0,t)∂ u(0,t)]
t 0 tt 0 xx 0 x t x t
0
Adesso notiamo che il secondo termine sotto il segno di integrale´e nullo perch´e
per ipotesi u(x,t)´e soluzione della (2.6); inoltre il termine di bordo´e anch’esso
nullo perch´e gli estremi sono fissati. Di conseguenza E˙(t) = 0 e quindi E(t) si
mantiene costante in ogni t. (cid:5)
Capiter´a spesso di utilizzare i contenuti del precedente teorema per di-
mostrare l’unicit´a delle soluzioni, sia per l’equazione delle onde che per altre.
Vediamo un primo esempio di quanto detto.
Teorema 2.2 Sia
∂ u=c2∂ u−αu−γ∂ u+f
tt xx t
(cid:113)
l’equazionegeneralizzatadelleonde.Sianoc= τ0 ,α=α1 ,γ=β1 edf= F con
ρ0 ρ0 ρ0 ρ0
α ,β ∈R ; x ∈ [0,L].Supponiamo inoltre che u(x,0)=g(x) ed ∂ u(x,0)=h(x).
1 1 t
Allora esite al piu´ una soluzione in C2(Q )∩C1(Q )
T T
Dim. Siano per assurdo u ed u soluzioni distinte dell’equazione. Poniamo
1 2
w =u −u . Si avr´a che w soddisfa 2
1 2

∂ w =c2∂ w−αw−γ∂ w+f (x,t)∈Q
 tt xx t T
w(x,0)=0 ∀x∈[0,L]
 ∂ w(x,0)=0 ∀x∈[0,L]
t
Sia adesso
(cid:90) L (cid:110)ρ τ α (cid:111)
E(t)= dx 0(∂ w)2+ 0(∂ w)2+ w2 ⇒
2 t 2 x 2
0
(cid:90) L
E˙(t)=− dx(∂ w)2 ≤0
t
0
Quindi E(t) ´e non crescente. Inoltre E(0) = 0 ed E(t) ≥ 0. Tutto ci´o implica
che
(cid:90) L (cid:90) L
dx(∂ w)2 =0= dx(∂ w)2
t x
0 0
2L’equazione´e rimasta la stessa ma poich´e u1 ed u2 hanno gli stessi dati inizial,i w(x,t)
soddisfalecondizionidiCauchyomogenee.
8
Adesso, poich´e w ´e sufficientemente regolare (continua) per ipotesi, si ha che
∂ w = 0 = ∂ w. Quindi w(x,t) ´e costante sia in t che in x. Allora arrivamo a
t x
dire che
w(x,t)=0=w(0,t)⇒u =u
1 2
Assurdo... perch´e per ipotesi erano due soluzioni distinte. (cid:5)
2.5 Problema di Cauchy globale: ricerca delle
soluzioni e formula di D’Alembert
Il nostro obiettivo ´e trovare l’integrale generale del Problema di Cauchy per la
corda infinita. Abbiamo
 ∂ u=c2∂ u u∈C2(R×R )
 tt xx +
u(x,0)=g(x) g ∈C2(R)
 ∂ u(x,0)=h(x) h∈C1(R)
t
Operiamo il seguente cambio di coordinate per le onde viaggianti trovate nella
sezione 1.
(cid:26) ξ =x−ct (cid:26) x= η+ξ
⇒ 2 ⇒u(x,t)−→u˜(ξ,η)=u˜(x−ct,x+ct)
η =x+ct t= η−ξ
2
Questo cambio di coordinate soddisfa ancora il sistema perch´e
∂ =(∂ ξ)∂ξ+(∂ η)∂η =c(∂ −∂ )
t t t η ξ
∂ =c2(∂ −∂ )(∂ −∂ )=c2(∂ +∂ −2∂ )
tt η ξ η ξ ξξ ηη ξη
∂ =(∂ +∂ +2∂ )
xx ξξ ηη ξη
Di consegenza avremo
(∂ −c2∂ )u=0⇐⇒∂ u˜=0 (2.10)
tt xx ξη
Abbiamo fatto un piccolo passo. Adesso sia
u(x,t)=x2−c2t2 =(x−ct)(x+ct)=ξη =u˜(ξ,η)
Poniamo
(cid:90)
ϑ(ξ)=∂ u˜(ξ,η)⇒u˜(ξ,η)= dξϑ(ξ)+ϑ (η)
ξ 2
con
(cid:90)
ϑ (ξ)= dξϑ(ξ)
1
eϑ (η)unacostantenecessariaperch´eu˜dipendeanchedaη . Allorascopriamo
2
che
u˜(ξ,η)=ϑ (ξ)+ϑ (η)⇒u(x,t)=ϑ (x−ct)+ϑ (x+ct)
1 2 1 2
con ϑ ,ϑ ∈ C2(R) funzioni qualsiasi!!! Quindi notiamo che la soluzione del-
1 2
l’equazione delle onde, nel caso piu´ generale possibile, deve essere vista come
sovrapposizione di un’onda viaggiante diretta e di una inversa.
9