Appunti di Analisi Reale aa 2005-2006

138 Pages·2005·0.91 MB·Italian

Appunti di
Analisi Reale
a.a. 2005-2006
Luigi Orsina
3 ottobre 2005
Indice
1 Spazi metrici 2
1.1 Definizioni ed esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Propriet`a degli spazi metrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Spazi metrici completi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Teoria della misura 23
2.1 La misura secondo Peano-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 La misura secondo Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Misurabilit`a e misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4 Funzioni misurabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3 Teoria dell’integrazione 53
3.1 L’integrale secondo Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2 L’integrale secondo Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2.1 Funzioni limitate su insiemi di misura finita . . . . . . 56
3.2.2 Funzioni non negative . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2.3 L’integrale di Lebesgue generale . . . . . . . . . . . . . 75
3.2.4 Convergenza in misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4 Gli spazi Lp 81
4.1 L1(E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2 Lp(E) e L∞(E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.3 Convergenza in Lp(E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.4 Separabilit`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.5 L2(E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.5.1 Gli spazi di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.5.2 L2([−π,π]) e serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 104
5 Misure prodotto 113
5.1 Definizione della misura in R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.2 Il teorema di Fubini-Tonelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
1
Capitolo 1
Spazi metrici
1.1 Definizioni ed esempi
Definizione 1.1.1 Sia X un insieme qualsiasi. Una distanza su X `e un’ap-
plicazione d : X ×X → R tale che
i) d(x,y) ≥ 0 per ogni x, y in X, e d(x,y) = 0 se e solo se x = y
(positivit`a);
ii) d(x,y) = d(y,x) per ogni x, y in X (simmetria);
iii) d(x,y) ≤ d(x,z)+d(z,y) per ogni x, y e z in X (disuguaglianza trian-
golare).
Uno spazio metrico `e una coppia (X,d) con X insieme qualsiasi, e d
distanza su X.
Esempio 1.1.2 SiaX uninsiemequalsiasied(x,y) = 1sex 6= y,d(x,y) = 0
se x = y. Si verifica facilmente che i) e ii) valgono; per la iii), se x = y non c’`e
nulladadimostrare; sex 6= y, sideveprovareched(x,z)+d(z,y) ≥ 1perogni
x, y e z in X con x 6= y, fatto questo che risulta essere vero, essendo almeno
uno tra i valori d(x,z) e d(y,z) uguale a 1 (non possono essere entrambi nulli,
dato che se lo fossero, si avrebbe x = z e z = y per la i), da cui x = y, il che
non `e). La distanza d prende il nome di distanza discreta.
Esempio 1.1.3 Sia X = R e d(x,y) = |x−y|. Allora (R,|·|) `e uno spazio
metrico (le tre propriet`a sono ben note...).
2
CAPITOLO 1. SPAZI METRICI 3
Teorema 1.1.4 (Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz) Date
due N-ple di numeri reali (s ,...,s ) e (t ,...,t ), si ha:
1 N 1 N
N 1 N
X |s t | ≤ X(s2 +t2). (1.1)
i i 2 i i
i=1 i=1
N N !12 N !21
X |s t | ≤ Xs2 Xt2 . (1.2)
i i i i
i=1 i=1 i=1
Dimostrazione. La formula (1.1) si ottiene sommando (per i che va da 1
a N) le disuguaglianze
s2 +t2
|s t | ≤ i i ,
i i
2
evidentemente vere essendo equivalenti alla disuguaglianza (|s |−|t |)2 ≥ 0.
i i
Perdimostrarela(1.2),osserviamoche`eevidentementeverase(s ,...,s ) =
1 N
(0,...,0) o se (t ,...,t ) = (0,...,0); altrimenti, applichiamo la (1.1) alle
1 N
N-ple (x ,...,x ) e (y ,...,y ) definite da
1 N 1 N
|s | |t |
i i
x = , y = .
i (cid:16) (cid:17)1 i (cid:16) (cid:17)1
PN s2 2 PN t2 2
i=1 i i=1 i
Si ottiene, essendo PN x2 = 1 = PN y2,
i=1 i i=1 i
1 N N |s t |
X X i i
|s t | = ≤ 1,
(cid:16) (cid:17)1 (cid:16) (cid:17)1 i i (cid:16) (cid:17)1 (cid:16) (cid:17)1
PN s2 2 PN t2 2 i=1 i=1 PN s2 2 PN t2 2
i=1 i i=1 i i=1 i i=1 i
da cui la tesi.
Esempio 1.1.5 Sia X = RN e
N !12
d((x ,...,x ),(y ,...,y )) = X(x −y )2 .
1 N 1 N i i
i=1
Si ha che (RN,d) `e uno spazio metrico. La i) e la ii) sono evidenti, mentre
per la iii) procediamo come segue, indicando con X = (x ,...,x ), Y =
1 N
CAPITOLO 1. SPAZI METRICI 4
(y ,...,y ) e Z = (z ,...,z ) tre vettori di RN:
1 N 1 N
N N
[d(X,Y)]2=X(x −y )2 = X(x −z +z −y )2
i i i i i i
i=1 i=1
N
=X[(x −z )2 +2(x −z )(z −y )+(z −y )2]
i i i i i i i i
i=1
N
=[d(X,Z)]2 +[d(Z,Y)]2 +2 X(x −z )(z −y ).
i i i i
i=1
Applicando la (1.2), si ha
N N !21 N !12
X(x −z )(z −y ) ≤ X(x −z )2 X(z −y )2 = d(X,Y)d(Z,Y).
i i i i i i i i
i=1 i=1 i=1
Pertanto,
[d(X,Y)]2 ≤ [d(X,Z)]2+[d(Z,Y)]2+2d(X,Z)d(Z,Y) = [d(X,Z)+d(Z,Y)]2,
che `e la iii).
Teorema 1.1.6 (Disuguaglianza di Young) Siano s, t due numeri reali
e siano p e q due numeri reali tali che
1 1
p > 1, q > 1, + = 1.
p q
Allora
|s|p |t|q
|st| ≤ + . (1.3)
p q
Dimostrazione. Se uno tra s e t `e zero, non c’`e nulla da provare. Se sono
entrambi non nulli, dividiamo la (1.3) per |t|q, ottenendo
|s| |s|p 1
≤ + .
|t|q−1 p|t|q q
Definiamo
|s|
ρ = .
|t|q−1
CAPITOLO 1. SPAZI METRICI 5
Essendo 1/p+1/q = 1, si ha p(q −1) = q, e quindi
|s|p |s|p
ρp = = .
|t|p(q−1) |t|q
Dimostrare la (1.3) `e quindi equivalente a mostrare che
ρp 1
ρ ≤ + ,
p q
per ogni ρ ≥ 0, ovvero che
ρp 1
ϕ(ρ) = −ρ+
p q
`e positiva su [0,+∞). Si ha ϕ(0) = 1/q, mentre ϕ diverge per ρ tendente a
+∞ (essendo p > 1). Si ha poi
ϕ0(ρ) = ρp−1 −1,
e quindi ϕ0(ρ) = 0 se e solo se ρ = 1. Si vede facilmente che ρ = 1 `e di
minimo (assoluto) per ϕ; essendo
1 1
ϕ(1) = −1+ = 0,
p q
si ha la tesi.
Semplice conseguenza del Teorema precedente (si ragiona come nella di-
mostrazione del Teorema 1.1.4) `e il risultato che segue.
Teorema 1.1.7 (Disuguaglianza di H¨older) SianodatedueN-pledinu-
meri reali (s ,...,s ) e (t ,...,t ). Siano p e q due numeri reali tali che
1 N 1 N
1 1
p > 1, q > 1, + = 1.
p q
Allora
N 1 N 1 N
X |s t | ≤ X|s |p + X |t |q. (1.4)
i i i i
p q
i=1 i=1 i=1
N N !p1 N !1q
X |s t | ≤ X|s |p X|t |q . (1.5)
i i i i
i=1 i=1 i=1
CAPITOLO 1. SPAZI METRICI 6
Si osservi che essendo 1/2+1/2 = 1 (!), le formule (1.1) e (1.2) sono casi
particolari di (1.4) e (1.5).
Esempio 1.1.8 Sia X = RN, p > 1 e
N !p1
d ((x ,...,x ),(y ,...,y )) = X |x −y |p .
p 1 N 1 N i i
i=1
Allora (RN,d ) `e uno spazio metrico. Al solito, i) e ii) sono evidenti, men-
p
tre la disuguaglianza triangolare `e di dimostrazione piu` complicata; si ha
(supponendo d (X,Y) 6= 0, altrimenti la tesi `e banale)
p
N N
[d (X,Y)]p=X |x −y |p = X |x −y |p−1|x −y |
p i i i i i i
i=1 i=1
N
=X |x −y |p|x −z +z −y | (1.6)
i i i i i i
i=1
N N
≤X |x −y |p−1|x −z |+X |x −y |p−1|z −y |.
i i i i i i i i
i=1 i=1
Applicando la (1.5), si ha
N N !1q N !p1
X |x −y |p−1|x −z | ≤ X |x −y |(p−1)q X |x −z |p ,
i i i i i i i i
i=1 i=1 i=1
e
N N !1q N !p1
X |x −y |p−1|z −y | ≤ X |x −y |(p−1)q X |z −y |p .
i i i i i i i i
i=1 i=1 i=1
Essendo (p−1)q = p, si ha allora
N
X |xi −yi|p−1|xi −zi| ≤ [dp(X,Y)]pq dp(X,Z),
i=1
e
N
X |xi −yi|p−1|zi −yi| ≤ [dp(X,Y)]pq dp(Z,Y).
i=1
CAPITOLO 1. SPAZI METRICI 7
Sostituendo in (1.6), si ha
[dp(X,Y)]p ≤ [dp(X,Y)]pq [dp(X,Z)+dp(Z,Y)].
Dividendo per d (X,Y) (che `e diverso da zero per ipotesi), si ottiene la
p
disuguaglianza triangolare osservando che p−p/q = 1.
Sempre in RN `e possibile definire
d ((x ,...,x ),(y ,...,y )) = max{|x −y |,i = 1,...,N}.
∞ 1 N 1 N i i
Lo spazio (RN,d ) `e uno spazio metrico (verifica molto semplice, in questo
∞
caso).
Esercizio 1.1.9 Dimostrare che
lim d ((x ,...,x ),(y ,...,y )) = d ((x ,...,x ),(y ,...,y )).
p 1 N 1 N ∞ 1 N 1 N
p→+∞
Teorema 1.1.10 (Cauchy-Schwartz e H¨older) Siano date {s } e {t }
n n
due successioni di numeri reali;
a) se
+∞ +∞
Xs2 < +∞, Xt2 < +∞,
n n
n=1 n=1
si ha
+∞ +∞ !21 +∞ !12
X |s t | ≤ Xs2 Xt2 ; (1.7)
n n n n
n=1 n=1 n=1
b) dati p e q due numeri reali tali che
1 1
p > 1, q > 1, + = 1,
p q
se
+∞ +∞
X|s |p < +∞, X|t |q < +∞,
n n
n=1 n=1
si ha
+∞ +∞ !p1 +∞ !1q
X |s t | ≤ X|s |p X|t |q . (1.8)
n n n n
n=1 n=1 n=1
CAPITOLO 1. SPAZI METRICI 8
Dimostrazione. Dimostriamo solo la prima formula (l’altra ha dimostra-
zione analoga). Sia N fissato; applicando (1.2), si ha
N N !21 N !12 +∞ !12 +∞ !12
X |s t | ≤ Xs2 Xt2 ≤ Xs2 Xt2 ;
n n n n n n
n=1 n=1 n=1 n=1 n=1
la seconda disuguaglianza `e dovuta al fatto che le serie sono a termini non
negativi (e quindi la successione delle somme parziali `e monotona crescente).
Pertanto, essendo la disuguaglianza precedente vera per ogni N in N, si ha
( N ) +∞ !21 +∞ !12
sup X |s t |,n ∈ N ≤ Xs2 Xt2 .
n n n n
n=1 n=1 n=1
Essendo la serie di termine generico |s t | una serie a termini non negativi,
n n
la successione delle somme parziali `e monotona crescente, cosicch´e l’estremo
superiore coincide con il limite per N tendente a +∞, cio`e la somma della
serie.
Esempio 1.1.11 Sia p ≥ 1, e siano
( +∞ )
X = ‘p = {x } ⊂ R : X|x |p < +∞ ,
n n
n=1
+∞ !p1
d ({x },{y }) = X |x −y |p .
p n n n n
n=1
Allora (‘p,d ) `e uno spazio metrico. Come al solito, i) e ii) sono di verifica
p
immediata, piu` complicato `e il controllo della disuguaglianza triangolare. La
verifica si effettua come nel caso di (Rn,d ), usando (1.8). Se p = 1, la
p
verifica discende semplicemente dalla disugaglianza triangolare in R.
Si noti che gli spazi ‘p soddisfano le seguenti inclusioni, se q > p ≥ 1:
‘1 ⊂ ‘p ⊂ ‘q,
e le inclusioni sono strette. Per verificare le inclusioni, `e sufficiente osservare
che se {x } appartiene a ‘p, allora |x |p tende a zero, e quindi |x | tende a
n n n
zero. Pertanto, |x | `e definitivamente minore di 1, il che implica che |x |q ≤
n n
CAPITOLO 1. SPAZI METRICI 9
|x |p definitivamente (essendo q > p). Quindi {x } appartiene a ‘q (per il
n n
criterio del confronto). L’inclusione `e stretta in quanto (ad esempio) x =
n
1/[n1/q ln2(n)] `e in ‘q ma non in ‘p se p < q.
Sia poi
X = ‘∞ = {{x } ⊂ R : {x } `e limitata} ,
n n
d ({x },{y }) = sup{|x −y |,n ∈ N}. (1.9)
∞ n n n n
Allora (‘∞,d ) `e uno spazio metrico (la verifica questa volta `e facile!) tale
∞
che ‘p ⊂ ‘∞ per ogni p ≥ 1, con inclusione stretta (ogni successione limitata
ma non infinitesima non appartiene ad ‘p dal momento che la condizione
necessaria di convergenza della serie non `e verificata).
Esempio 1.1.12 Siano
X = C0([a,b],R) = {f : [a,b] → R f continua},
e
d (f,g) = sup{|f(x)−g(x)|,x ∈ [a,b]} = max{|f(x)−g(x)|,x ∈ [a,b]}.
∞
Allora (C0([a,b],R),d ) `e uno spazio metrico, come si verifica facilmente
∞
(anche la disuguaglianza triangolare!).
Esempio 1.1.13 Siano
X = C0([a,b],R) = {f : [a,b] → R f continua},
e
Z b
d (f,g) = |f(x)−g(x)|dx.
1
a
Allora (C0([a,b],R),d ) `e uno spazio metrico: la ii) e la iii) sono facilmente
1
verificate (ricordando la monotonia dell’integrale), mentre la i) segue dall’os-
servazione che se l’integrale del modulo di una funzione continua h `e nullo,
allora h `e identicamente nulla. Infatti, se h non fosse nulla, esisterebbe x
0
in [a,b] tale che |h(x )| > 0; per il teorema della permanenza del segno,
0
esisterebbe un intorno (x − δ,x + δ) sul quale si ha |h(x)| > |h(x )|/2.
0 0 0
Pertanto
Z b Z x0+δ
0 = |h(x)|dx ≥ |h(x)|dx > δ|h(x )| > 0,
0
a x0−δ
da cui l’assurdo.