Appunti di Analisi Matematica Uno

301 Pages·2017·1.46 MB·Italian

Appunti di
Analisi Matematica Uno
E. Paolini
19 2019
marzo

INTRODUZIONE
Queste note sono nate come appunti per il corso di Analisi Matematica
chehosvoltoalprimoannodelcorsodistudiinFisicadell’Universita` di
Pisaneglianniaccademici2017/18e2018/19.
Queste note sono estensive, non c’e` alcun tentativo di concisione. L’o-
biettivo e` quello di raccogliere tutti quei risultati che non sempre e` pos-
sibile esporre in maniera dettagliata e rigorosa a lezione. Troveremo, ad
esempio, definizioni equivalenti della funzione esponenziale e una defi-
nizioneanalitica(tramiteseriedipotenze)dellefunzionitrigonometriche
(ediπ). Proponiamoladimostrazionedelteoremafondamentaledell’al-
gebra,dellaformuladiStirlingediWallis,edell’irrazionalita` dieediπ.
Viene proposta una definizione formale dei simboli di Landau o-piccolo
eO-grandeconirelativiteoremipertrattarequesteespressioni. Lostes-
sovienefattoperilsimbolodiintegraleindefinito. Vengonotrattatiquei
risultati algebrici che permettono di giustificare gli algoritmi per il cal-
colo delle primitive delle funzioni razionali e per risolvere le equazioni
differenzialilineariconilmetododisimilarita`.
Le note (come il corso a cui fanno riferimento) riguardano l’analisi
delle funzioni di una variabile reale. Gli argomenti trattati sono serie e
successioni numeriche, il calcolo differenziale e il calcolo integrale. Vie-
ne anche introdotta la convergenza uniforme allo scopo di considerare,
comeultimoargomento,lostudiodelleequazionidifferenzialiordinarie.
Da subito vengono introdotti i numeri complessi che vengono utilizzati
laddovepossonoaiutareadareunavisionepiu` unitariaeconcettualmen-
te piu` semplice degli argomenti trattati (in particolare nello studio delle
seriedipotenzeenelladefinizionedellefunzionitrigonometriche).
Queste note sono rese disponibili liberamente sia in formato PDF che
in forma di sorgente LATEX (puoi cliccare o scansionare il QR-code a mar-
gine). Il materiale e` costantemente in evoluzione e certamente contiene
errorieincoerenze. Ognisuggerimentoocommentoe` benvenuto!
contributi
Ringrazio gli studenti: Valerio Amico, Rico Bellani, Fabio Bensch, Davi-
de Campanella Galanti, Alessandro Canzonieri, Luca Casagrande, Ales-
sandro Casini, Luca Ciucci, Martino Dimartino, Luigina Mazzone, Mi-
chele Monti, Ruben Pariente, Paolo Pennoni, Davide Perrone, Lorenzo
ii
Pierfederici,MattiaRipepe,MariaAntonellaSecondo,AntonioTagliente,
LauraToni,GiacomoTrupiano,BiancaTurini,FrancescoVaselli,Antoine
Venturini, Matteo Vilucchio, Piero Viscone che hanno segnalato errori e
correzioni.
Ringrazio i colleghi Vincenzo Tortorelli e Pietro Majer che mi hanno
datomoltisuggerimentipreziosi.
INDICE
1 insiemi numerici 1
1.1 inumerinaturali,interi,razionali 5
1.2 estremosuperiore 11
1.3 realiestesi 14
1.4 intervalli 15
1.5 inumericomplessi 16
2 successioni 21
2.1 criteridiconvergenza 26
2.2 operazioniconilimiti 30
2.3 funzionicontinue 33
2.4 successioniestratte 36
2.5 ilteoremadeglizeri 46
2.6 potenzeeradici n-esime 49
2.7 illogaritmo 55
2.8 lacostantediNepero 56
2.9 ordinidiinfinito 61
3 serie 69
3.1 serietelescopiche 73
3.2 serieaterminipositivi 74
3.3 convergenzaassoluta 79
3.4 serieasegnialterni 81
3.5 prodottiinfiniti 87
3.6 leseriedipotenze 89
3.7 laserieesponenziale 95
3.8 lefunzionitrigonometriche 100
3.9 funzionitrigonometricheinverse 104
3.10 funzioniiperboliche 105
4 i numeri complessi 109
4.1 rappresentazionepolaredeinumericomplessi 109
4.2 interpretazionegeometrica 110
4.3 radicicomplesse n-esime 114
iv indice
4.4 polinomi 115
4.5 ilteoremafondamentaledell’algebra 121
5 calcolo differenziale 127
5.1 limitedifunzione 127
5.2 continuita` 133
5.3 derivata 136
5.4 convessita` 153
5.5 teoremadidel’Hospital 160
5.6 classidiregolarita` 164
5.7 formuladiTaylor 168
5.8 operazioniconisimbolidiLandau 176
6 calcolo integrale 183
6.1 teoremafondamentaledelcalcolointegrale 194
6.2 calcolodelleprimitive 197
6.3 integralediunafunzionerazionale 204
6.4 integralichesiriconduconoafunzionirazionali 211
6.5 integraliimpropri 215
6.6 alcuneapplicazionidelcalcolointegrale 226
7 spazi metrici e convergenza uniforme 233
7.1 spazimetrici 233
7.2 continuita` 236
7.3 completezza 239
7.4 convergenzauniforme 243
7.5 divagazionesuifrattaliautosimili 246
7.6 limiteuniformediderivateeintegrali 251
7.7 seriedifunzioni 253
8 successioni ricorsive 259
9 equazioni differenziali 277
9.1 classificazione 277
9.2 funzionivettorialiedipiu` variabili 281
9.3 IlproblemadiCauchy 283
9.4 metodirisolutivi 292
9.4.1 equazionilinearidelprimoordine 292
9.4.2 equazioniavariabiliseparabili 295
9.5 equazionilinearidiordine n 298
9.6 equazionilinearidiordine n acoefficienticostanti 300
1
INSIEMI NUMERICI
SupponiamoesistauninsiemeRsucuisonodefinitele operazioni+e· R
elarelazioned’ordine≤chesoddisfanoiseguentiassiomi. Glielementi
ditaleinsiemeverrannochiamatinumerireali. numerireali
Assioma 1.1 (campo). Sull’insieme R dei numeri reali sono definite le campo
operazionidisomma + eprodotto · chesoddisfanoleproprieta`:
1. associativa: (x+y)+z = x+(y+z), (x·y)·z = x·(y·z);
2. commutativa: x+y = y+x, x·y = y·x;
3. distributiva: x·(y+z) = x·y+x·z;
4. esistenzadeglielementineutri: 0,1∈R,0(cid:54)=1,0+x = x,1·x = x;
5. esistenzadell’opposto: perogni x esiste y taleche x+y =0;
6. esistenzadelreciproco: perogni x (cid:54)=0esiste y taleche x·y =1.
Denotiamocon −x l’oppostodi x edefiniamo x−y = x+(−y). Deno- opposto
tiamocon y−1 ilreciprocodi y (cid:54)=0edefiniamo x/y = x·y−1. reciproco
Assioma 1.2 (ordine totale). Su R e` definita una relazione ≤ con le ordine
seguentiproprieta` ≤
1. dicotomica: x ≤ y o y ≤ x;
2. riflessiva: x ≤ x;
3. antisimmetrica: se x ≤ y e y ≤ x allora x = y;
4. transitiva: se x ≤ y e y ≤ z allora x ≤ z.
Definiamo x < y se x ≤ y e x (cid:54)= y e definiamo le relazioni inverse
x ≥ y se y ≤ x e x > y se y < x. ≥<>
Assioma1.3(campoordinato). Leoperazionidicampoel’ordinamento campo
sonocompatibilinelsensochevalgonoleseguentiproprieta`: ordinato
2 1 insiemi numerici
1. positivita`: se x ≥0e y ≥0allora x+y ≥0e x·y ≥0;
2. monotonia: se x ≥ y allora x+z ≥ y+z.
continuita` Assioma1.4(continuita` oDedekind). Se A e B sonosottoinsieminon ***
vuoti di R tali che A ≤ B (cioe`: per ogni a ∈ A e per ogni b ∈ B vale
a ≤ b) allora esiste x ∈ R tale che A ≤ x ≤ B (cioe` per ogni a ∈ A e per
ogni b ∈ B vale a ≤ x ≤ b).
Teorema1.5. Inuncampoordinato(cioe`qualunqueinsiemesucuisonodefinite
somma e prodotto che soddisfano gli assiomi 1.1, 1.2 e 1.3) valgono le seguenti
familiariproprieta`:
1. l’oppostoeilreciprocosonounici(denotiamocon−xl’unicooppostodix
econ x−1 l’unicoinversodi x (cid:54)=0)
2. −(−x) = x,(cid:0)x−1(cid:1)−1
3. x·0=0
4. x ≥0 ⇐⇒ −x ≤0
5. (−x)·y = −(x·y)
6. −x = (−1)·x
7. (−1)·(−1) =1
8. x·x ≥0
9. 1>0
10. se x·y =0allora x =0oy =0
11. se x >0ey >0allora x·y >0
Dimostrazione. 1. Supponiamo y e z siano due opposti di x cioe` x+
y =0, x+z =0. Alloradaunlato x+y+z =0+z = z,dall’altro
x+y+z = y+x+z = y+0 = y. Dunque y = z. Dimostrazione
analogasipuo` fareperilreciproco.
2. Se x e` opposto di y allora y e` opposto di x in quanto la somma e`
commutativa. Dunque l’opposto di −x e` x cioe` −(−x) = x. Lo
stessovaleperilreciproco.
3. Siha
x·0= x·0+x+(−x) = x·(0+1)+(−x) = x+(−x) =0.
4. Se x ≥ 0 sommando ad ambo i membri −x si ottiene x+(−x) ≥
0+(−x) cioe` 0≥ −x. Sommando x adamboimembrisiriottiene
x ≥0.
3
5. Osserviamoche(−x)·y+x·y = ((−x)+x)·y =0dunque(−x)·
y e` l’oppostodi x·y.
6. Dunque (−1)·x = −(1·x) = −x
7. eper x = −1siottiene (−1)·(−1) = −(−1) =1.
8. Siha
(−x)·(−x) = (−1)·x·(−1)·x = x·x.
Dunque se x ≥ 0 per assioma di positivita` abbiamo x·x ≥ 0 e se
x ≤0abbiamo −x ≥0equindi x·x = (−x)·(−x) ≥0.
9. In particolare per x = 1 otteniamo 1 ≥ 0. Essendo inoltre per
assioma0(cid:54)=1otteniamo1>0.
10. Sefosse x·y =0e x (cid:54)=0allora x avrebbeinverso x−1 eavremmo:
y = x−1·x·y = x−1·0=0.
Dunqueo x =0oppure y =0.
11. Se x > 0 e y > 0 allora x ≥ 0 e y ≥ 0 da cui x·y ≥ 0. Se fosse
x·y =0unodeiduefattorisidovrebbeannullarecosacheabbiamo
esclusoperipotesi.
*** Definizione 1.6 (valore assoluto). Definiamo il valore assoluto |x| di un valoreassoluto
numero x ∈Rnelseguentemodo
(cid:40)
x se x ≥0,
|x| =
−x se x <0.
** Proposizione1.7(proprieta` delvaloreassoluto). Siha
1. |x| ≥0(positivita`)
(cid:12) (cid:12)
2. (cid:12)|x|(cid:12) = |x|(idempotenza)
3. |−x| = |x|(simmetria)
4. |x·y| = |x|·|y|(omogenita`)
5. |x+y| ≤ |x|+|y|(convessita`)
6. |x−y| ≤ |x−z|+|z−y|(disuguaglianzatriangolare)
(cid:12) (cid:12)
7. (cid:12)|x|−|y|(cid:12) ≤ |x−y|(disuguaglianzatriangolareinversa)
Useremo inoltre spesso la seguente equivalenza (valida anche con < al posto di
≤). Ser ≥0allora
|x−y| ≤r ⇐⇒ y−r ≤ x ≤ y+r.
4 1 insiemi numerici
Dimostrazione. Leprimequattroproprieta` sonoimmediateconseguenze *
delladefinizione.
Dimostriamo innanzitutto l’ultima osservazione. Se x ≥ y allora x−
y ≥ 0 e quindi |x−y| ≤ r e` equivalente a x−y ≤ r cioe` x ≤ y+r. Se
x < y allora x−y <0equindi |x−y| ≤r e` equivalentea y−x ≤r cioe`
x ≥ y−r. Viceversa se y−r ≤ x ≤ y+r allora vale sia x−y ≤ r che
y−x ≤r edunque |x−y| ≤r.
Osserviamoalloracheperlaprecedenteosservazioneapplicataa|x−0| ≤
|x| siottiene
−|x| ≤ x ≤ |x|
esommandolastessadisuguaglianzacon y alpostodi x siottiene
−(|x|+|y|) ≤ x+y ≤ |x|+|y|
chee` equivalenteallaproprieta` diconvessita`:
(cid:12) (cid:12)
|x+y| ≤ (cid:12)|x|+|y|(cid:12) = |x|+|y|.
Ponendo y = z−x nelladisuguaglianzaprecedente,siottiene
|z| ≤ |x|+|z−x|
dacui
|z|−|x| ≤ |z−x|.
Scambiando z con x si ottiene la disuguaglianza opposta e mettendole
assiemesiottieneladisuguaglianzatriangolareinversa:
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)|z|−|x|(cid:12) ≤ |z−x|.
Ladisuguaglianzatriangolareseguedallaconvessita`:
|x−y| = |x−z+z−y| ≤ |x−z|+|z−y|.
Osserviamo che dal punto di vista geometrico |x−y| rappresenta la
distanzatraipunti x e y sullarettareale.
Come applicazione dell’assioma di continuita` possiamo mostrare l’e-
radice sistenza della radice quadrata. Piu` avanti, con qualche strumento in piu`,
quadrata rivedremopiu` ingeneralelacostruzionedellaradice n-esima.
Teorema 1.8 (radice quadrata). Dato y ≥ 0 esiste un unico x ≥ 0 tale che ***
√ √
· x2 = y. Tale xverra` denotatocon y,radicequadratadiy.
Dimostrazione. Se y =0allorae` facileverificareche x2 = y hacomeuni- *
ca soluzione x = 0. Supponiamo allora y > 0 e consideriamo i seguenti
dueinsiemi
A = {x ≥0: x2 ≤ y}, B = {x ≥0: x2 ≥ y}