Approximations des équations de Navier-Stokes préservant le changement d'échelle

149 Pages·2010·0.86 MB·French

`
THESE De DOCTORAT De L’Universite´
´
D’Evry Val d’Essonne
pour l’obtention du grade de
Docteur de l’Universite´ d’E´vry Val d’Essonne
Sp´ecialit´e : Math´ematiques
Pr´esent´ee et soutenue publiquement par
Fre´de´ric Lelie`vre
le 10 d´ecembre 2010
Approximations des ´equations de
Navier-Stokes pr´eservant le
changement d’´echelle
Jury
M. Pierre-Gilles Lemari´e-Rieusset Directeur
Mme Isabelle Gallagher Rapporteur
M. Marco Cannone Rapporteur
M. Yves Meyer Examinateur
Mme Manuela Valeria Banica Examinateur

Remerciements
Je tiens a` remercier dans l’ordre chronologique de mes rencontres :
– Messieurs Dagorne et Lamberton, qui m’ont permis de reprendre mes ´etudes dans
de bonnes conditions, en faisant co¨ıncider mon emploi du temps au coll`ege a` celui
des cours dispens´es en M2 `a l’Universit´e de Marne-La-Vall´ee.
– M. Cannone, qui a suscit´e, lors de son cours de M2, mon int´erˆet pour les ´equations
de Navier-Stokes; qu’il soit aussi remerci´e pour son accueil et sa disponibilit´e les
(quelques) fois ou` je suis all´e le voir, l’int´erˆet port´e `a mon travail en acceptant d’en
ˆetre rapporteur et enfin...pour les livres qu’il m’a offerts.
– M.Lemari´e-Rieussetaura´evidemmentuneplacea`partdanscettepagederemercie-
ments : tout d’abord pour ses cours, dont la richesse et l’exigence n’auront eu d’´egal
que le temps pass´e a` les comprendre puis les dig´erer; ils auront ´et´e tr`es formateurs
pour la th`ese. Je lui suis surtout reconnaissant d’avoir encadr´e mes travaux pendant
le stage de M2 et de m’avoir accept´e, en d´epit de mon parcours atypique, sur ma
seule motivation comme ´etudiant en th`ese. Malgr´e un emploi du temps surcharg´e,
il aura toujours ´et´e disponible et patient, r´epondant inlassablement aux questions
qui lui ´etaient pos´ees. Ce fut une rencontre humainement et scientifiquement tr`es
enrichissante.
– N. Prioux pour sa formation LaTex acc´el´er´ee;
– Mme Gallagher (rapporteur), M. Meyer et Mme Banica (examinateurs) d’avoir
accept´e de faire partie du jury.
D’unpointdevuepersonnel,ungrandmerci`aCarolinequiaurafaitpreuved’abn´egation
et m’aura lib´er´e le temps n´ecessaire pour travailler. J’ai aussi une pens´ee pour mes pa-
rents et beaux-parents qui ont notamment assur´e une partie de la garde des enfants lors
de la r´edaction de la th`ese.
Enfin, je tiens a` d´edier ce m´emoire `a mes fils, Romain et Adrien.

R´esum´e
Nous´etudions des approximations des´equations de Navier-Stokes compatibles avec la
recherche de solutions auto-similaires. Pour ce faire, nous utilisons un mod`ele pr´eservant
le changement d’´echelle et v´erifiant une ´egalit´e d’´energie. Lorsque la donn´ee initiale est
dans L2, nous montrons qu’il converge vers une solution faible de Leray des ´equations de
Navier-Stokes. La preuve utilise une nouvelle expression (locale) de la pression : via le for-
malisme des solutions ”mild”, le th´eor`eme de r´egularit´e maximale du noyau de la chaleur
permet le controˆle de la pression approch´ee. Les chapitres suivants sont consacr´es a` la
construction d’une solution des ´equations de Navier-Stokes, globale en temps et adapt´ee
au sens de Caffarelli, Kohn et Nirenberg, lorsque la donn´ee initiale est dans M˙ 2,3 : la
pression est cette fois controˆl´ee graˆce a` l’utilisation des classes de Muckenhoupt (dont les
propri´et´es utilis´ees sont rappel´ees dans l’annexe B). De plus, nous obtenons un r´esultat
partiel d’unicit´e sur ces approximations.
Lapremi`erepartieestconsacr´eea`l’´etuded’unmod`elescalaireayantlesmˆemespropri´et´es
que celui celui des ´equations de Navier-Stokes (invariances par translation et dilatation,
antisym´etrie du terme bilin´eaire) mais contenant un op´erateur d’int´egrale singuli`ere :
nous revisitons les techniques habituelles (solutions ”mild”, faibles) et construisons une
solution v´erifiant une in´egalit´e d’´energie locale analogue `a celle des ´equations de Navier-
Stokes.
Mots cl´es : Navier-Stokes, ´egalit´e d’´energie, in´egalit´e d’´energie locale, solutions auto-
similaires, solutions d’´energie infinie, classes de Muckenhoupt, r´egularit´e maximale.
Abstract
We study some approximations for the Navier-Stokes equations compatible with the
research of self-similar solutions : for this, we use some scaling and energy equality pre-
serving models. When initial data is in L2, we show that the model converges towards
some (Leray) weak solution of the Navier-Stokes equations. In the proof, we use a new
(local) expression of the pressure, whose control is ensured using the maximal regularity
for the heat kernel thanks to the formalism of mild solutions. The following chapters are
devoted to the construction of a global-in-time suitable solution for the Navier-Stokes
equations, when initial data is in M˙ 2,3 : Muckenhout classes allow to control the pressure
(see Annex B). Besides, we obtain a partial result of uniqueness of these approximations.
In the first part, we study a scalar model whose properties are similar to the NS equa-
tions (invariance by translations and dilations, antisymmetry of the bilinear term) but
which contains a singular integral operator : using on some classical harmonic analysis
tools (mild and weak solutions), we prove that the solution also satisfies a local energy
inequality.
Keywords : Navier-Stokes, energy equality, suitable solutions, self-similar solutions,
infinite energy solutions, Muckenhoupt classes, maximal regularity for the heat kernel.
MSC : 76D05.
Table des mati`eres
Liste des notations 11
Liste des espaces 13
1 Introduction 17
1.1 Commentaires sur Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2 Pr´esentation de certaines approximations existantes . . . . . . . . . . . . 20
1.2.1 Approximation de Leray . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.2 Autres approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3 Pr´esentation des travaux de la th`ese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 E´tude d’un mod`ele scalaire 29
2.1 Formalisme des solutions ”mild” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.1 Donn´ee initiale dans L3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.2 Donn´ee initiale dans L3,∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.3 Espace M˙ 2,3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Solutions faibles de Leray . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.1 Solutions de l’´equation convol´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.2 Passage a` la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3 Solutions L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
uloc
2.3.1 Estimation a priori pour le champ de vitesse . . . . . . . . . . . . 47
2.3.2 Passages a` la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.4 Donn´ee initiale dans M˙ 2,3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.4.1 Existence de solutions globales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.4.2 In´egalit´e d’´energie locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3 EMVF - Donn´ee initiale dans L2 61
3.1 Solution du mod`ele modifi´e et convol´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
´
3.2 Egalit´e et in´egalit´e d’´energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7
3.3 Solution des ´equations modifi´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.4 Convergence vers les ´equations de Navier Stokes . . . . . . . . . . . . . . 71
3.4.1 Passage a` la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.4.2 In´egalit´e d’´energie (de Leray) v´erifi´ee par la limite. . . . . . . . . 76
3.4.3 Donn´ee initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.5 Solutions adapt´ees au sens de CKN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4 EMVF - Donn´ee initiale dans L2 81
uloc
4.1 Approximation de la donn´ee initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2 Estimations a priori du champ de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.3 Passage a` la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.3.1 Equation v´erifi´ee par la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.3.2 R´egularit´e de la limite et in´egalit´e d’´energie . . . . . . . . . . . . 88
4.3.3 Donn´ee initiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.4 Un r´esultat partiel d’unicit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5 EMVF - Donn´ee initiale dans M˙ 2,3 95
5.1 Construction d’une solution globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2 Majorations uniformes en η et α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.3 Passage a` la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.3.1 Construction d’une solution globale . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.3.2 Construction de la solution des ´equations de Navier-Stokes . . . . 107
5.3.3 Solutions adapt´ees au sens de Caffarelli, Kohn et Nirenberg . . . . 112
5.4 Equations de Navier Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.4.1 Donn´ee initiale petite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.4.2 Donn´ee initiale grande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6 Conclusion 119
6.1 Approximation solutions ”mild” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.2 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Annexes 123
A Commutateur et projecteur 125
A.1 Commutateur de Caldero´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
´
A.2 Etude de la continuit´e du projecteur de Leray . . . . . . . . . . . . . . . 128
A.2.1 L’espace L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
uloc
A.2.2 L’espace `a poids Lp(w) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
A.2.3 L’espace M˙ p,q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
A.2.4 L’espace Lp,∞, 1 < p < ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
B Classes de Muckenhoupt 133
B.1 D´efinition et premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
B.2 Continuit´e des op´erateurs d’int´egrale singuli`ere . . . . . . . . . . . . . . . 135
´ ´
B.2.1 Etape 1 : Etude de Mf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
´
B.2.2 Etape 2 : Passage de Mf a` T f. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
∗
´
B.2.3 Etape 3 : Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
B.3 R´egularit´e maximale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Bibliographie 144