Approximation und Nichtlineare Optimierung in Praxisaufgaben: Anwendungen aus dem Finanzbereich und der Standortplanung PDF
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Alfred Göpfert Thomas Riedrich Christiane Tammer Approximation und Nichtlineare Optimierung in Praxisaufgaben Anwendungen aus dem Finanzbereich und der Standortplanung Studienbücher Wirtschaftsmathematik Herausgegebenvon Prof.Dr.BerndLuderer,TechnischeUniversitätChemnitz DieStudienbücherWirtschaftsmathematikbehandelnanschaulich,systematischund fachlichfundiertThemenausderWirtschafts-,Finanz-undVersicherungsmathematik entsprechenddemaktuellenStandderWissenschaft. Die Bände der Reihe wenden sich sowohl an Studierende der Wirtschaftsmathema- tik,derWirtschaftswissenschaften,derWirtschaftsinformatikunddesWirtschaftsinge- nieurwesensanUniversitäten,FachhochschulenundBerufsakademienalsauchanLeh- rendeundPraktikerindenBereichenWirtschaft,Finanz-undVersicherungswesen. WeitereBändedieserReihefindenSieunter http://www.springer.com/series/12693 (cid:2) (cid:2) Alfred Göpfert Thomas Riedrich Christiane Tammer Approximation und Nichtlineare Optimierung in Praxisaufgaben Anwendungen aus dem Finanzbereich und der Standortplanung AlfredGöpfert ChristianeTammer InstitutfürMathematik InstitutfürMathematik Martin-Luther-UniversitätHalle-Wittenberg Martin-Luther-UniversitätHalle-Wittenberg Halle,Deutschland Halle,Deutschland ThomasRiedrich InstitutfürAnalysis TechnischeUniversitätDresden Dresden,Deutschland StudienbücherWirtschaftsmathematik ISBN978-3-658-14760-0 ISBN978-3-658-14761-7(eBook) DOI10.1007/978-3-658-14761-7 DieDeutscheNationalbibliothekverzeichnetdiesePublikationinderDeutschenNationalbibliografie;detaillier- tebibliografischeDatensindimInternetüberhttp://dnb.d-nb.deabrufbar. SpringerSpektrum ©SpringerFachmedienWiesbadenGmbH2017 DasWerkeinschließlichallerseinerTeileisturheberrechtlichgeschützt.JedeVerwertung,dienichtausdrücklich vomUrheberrechtsgesetzzugelassenist,bedarfdervorherigenZustimmungdesVerlags.Dasgiltinsbesondere fürVervielfältigungen,Bearbeitungen,Übersetzungen,MikroverfilmungenunddieEinspeicherungundVerar- beitunginelektronischenSystemen. DieWiedergabevonGebrauchsnamen,Handelsnamen,Warenbezeichnungenusw.indiesemWerkberechtigt auchohnebesondereKennzeichnungnichtzuderAnnahme,dasssolcheNamenimSinnederWarenzeichen- undMarkenschutz-Gesetzgebungalsfreizubetrachtenwärenunddahervonjedermannbenutztwerdendürften. DerVerlag,dieAutorenunddieHerausgebergehendavonaus,dassdieAngabenundInformationenindiesem WerkzumZeitpunktderVeröffentlichungvollständigundkorrektsind.WederderVerlagnochdieAutorenoder dieHerausgeberübernehmen,ausdrücklichoderimplizit,GewährfürdenInhaltdesWerkes,etwaigeFehler oderÄußerungen.DerVerlagbleibtimHinblickaufgeografischeZuordnungenundGebietsbezeichnungenin veröffentlichtenKartenundInstitutionsadressenneutral. Planung:UlrikeSchmickler-Hirzebruch GedrucktaufsäurefreiemundchlorfreigebleichtemPapier. SpringerSpektrumistTeilvonSpringerNature DieeingetrageneGesellschaftistSpringerFachmedienWiesbadenGmbH DieAnschriftderGesellschaftist:Abraham-Lincoln-Str.46,65189Wiesbaden,Germany Danksagung BesonderenDankrichtenwiranHerrnBerndLudererundHerrnWolfgangW.Breckner für dieäußerstgründlicheDurchsichtdes Manuskriptesund sehr konstruktiveAnregun- gen. Für die Anfertigung mehrerer Abbildungen danken wir Herrn Christian Günther, weiterhinFrauElisabethKöbisfürvielenützlicheHinweiseundHerrnChristianRothfür dieBereitstellungvonAufgabenausderVersicherungsmathematik. BeiderHerstellungdercomputergestütztenAnfertigungdesManuskriptshatunsFrau Sylke Sauter unterstützt. Wir möchten uns herzlich bedanken, ebenso bei Frau Ulrike Schmickler-HirzebruchvomSpringerVerlagfürdieguteZusammenarbeit. Leipzig,Dresden,Halle AlfredGöpfert September2016 ThomasRiedrich ChristianeTammer V Inhaltsverzeichnis 1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 Approximationstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1 GrundsätzlicheszuApproximationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2.1 AufgabenzuProjektionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2.2 AufgabenzuProjektionenbeiderBild-undSignalverarbeitung . 14 2.2.3 AufgabenzuverallgemeinertenFourier-Entwicklungen . . . . . . 17 2.2.4 Gram’scheMatrixundApproximationsaufgaben. . . . . . . . . . . 19 2.2.5 AufgabenzurOptimalenSteuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3 NichtlineareOptimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.1 GrundsätzlicheszurNichtlinearenOptimierung. . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.1.1 AbbildungenundFunktionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.1.2 AlgebraischeundtopologischeEigenschaftenvonFunktionalen . 31 3.1.3 SatzvonHahn-Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.1.4 Fenchel-Konjugierte, Subdifferentiale und Lagrange-Technik derKonvexenAnalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.1.5 Limiting,Mordukhovich-Subdifferential. . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.1.6 UnterhalbstetigkeitundInfimumannahme . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.1.7 AufgabenzurOptimierungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2 Skalarisierungsfunktionale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.2.1 NichtlineareSkalarisierungsfunktionale . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.2.2 AufgabenzuSkalarisierungsfunktionalen . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.3 CharakterisierungssatzderkonvexenOptimierung . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4 DualitätsaussagenundökonomischeInterpretationen . . . . . . . . . . . . 62 3.4.1 Dualität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.4.2 AufgabenzurAnwendungderDualitätinderlinearenOptimierung 64 3.5 VariationsprinzipvonEkelandundMaximalpunkttheoreme . . . . . . . . 67 3.5.1 DasVariationsprinzipvonEkeland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.5.2 AufgabenzurAnwendungdesVariationsprinzips . . . . . . . . . . 69 VII VIII Inhaltsverzeichnis 3.6 Equilibriumprobleme,VariationsungleichungenundVerallgemeinerungen 78 3.6.1 VomGleichgewichtsproblemzurVariationsungleichung . . . . . . 78 3.6.2 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.7 DasMaximumprinzipinderOptimalenSteuerung . . . . . . . . . . . . . . 86 3.7.1 EinProblemderOptimalenSteuerungbeimAbbau nichterneuerbarerRessourcen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.7.2 DasMaximumprinzipalsnotwendigeOptimalitätsbedingung. . . 91 3.7.3 AufgabenausderKontrolltheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4 Risiko,Robustheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.1 Risikomaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.1.1 Akzeptanzmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.1.2 KohärenteRisikomaße. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.1.3 AufgabenzurRisikotheorie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.2 Robustheit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.2.1 StrikteRobustheit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.2.2 Abweichungs-Robustheit(DeviationRobustness) . . . . . . . . . . 102 4.2.3 VerlässlicheRobustheit(ReliableRobustness) . . . . . . . . . . . . 102 4.2.4 AufgabenzurOptimierungunterUnsicherheiten. . . . . . . . . . . 103 5 Finanzmathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.1 GrundsätzlicheszurPortfolio-Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.1.1 DasMarkowitz-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.1.2 Private-Equity-Fonds. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.2 AufgabenzurPortfolio-Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5.2.1 AufgabenzurEffizienzundVektorminimalität . . . . . . . . . . . . 110 5.2.2 AufgabenzuKegelnundPräferenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.2.3 AufgabenzurSkalarisierungundLinearisierung inderVektoroptimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 6 Standort-undApproximationsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 6.1 GrundsätzlicheszurStandortoptimierung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 6.1.1 PlanareStandortprobleme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 6.1.2 RichtungsminimaleZeitfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 6.1.3 VerallgemeinerungendesFermat-Weber-Problems . . . . . . . . . 127 6.2 AufgabenzuStandortproblemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 6.3 NäherungslösungenvonApproximationsproblemen . . . . . . . . . . . . . 144 6.4 AufgabenzurApproximationstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 7 Versicherungsmathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 7.1 GrundsätzlicheszurVersicherungsmathematik . . . . . . . . . . . . . . . . 151 7.1.1 Marginalsummengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Inhaltsverzeichnis IX 7.1.2 StochastischeDominanz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 7.2 AufgabenzuMarginalsummengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 7.3 AufgabenzurStochastischenDominanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 7.4 WeitereAufgabenausderpraktischenVersicherungsmathematik . . . . . 163 8 EinführungindieFourier-Transformation,einBlickaufdieSignaltheorie 167 8.1 ÜberSignale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 8.2 DistributionenundFourier-Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 8.2.1 S.Rn/;S0.Rn/alstopologischeVektorräume.DerSignalbegriff . 168 8.2.2 DasRechnenmittemperiertenDistributionen . . . . . . . . . . . . 170 8.2.3 BeispielefürtemperierteDistributionen . . . . . . . . . . . . . . . . 172 8.2.4 AufgabenzuS.Rn/undS0.Rn/ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 8.2.5 EinImpulskamm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 8.2.6 DieFourier-TransformationinS.Rn/undS0.Rn/ . . . . . . . . . . 177 8.2.7 AufgabenzurFourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 8.3 DieDistributionenaufdemRaumDderfinitenFunktionen . . . . . . . . 184 8.3.1 DerRaumderfinitenFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 8.3.2 AufgabenzuTestfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 8.3.3 DistributionenüberD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 8.3.4 AufgabenzuDistributionenüberdenRäumenDundS . . . . . . 186 8.4 UnendlicheReihenvontemperiertenDistributionen . . . . . . . . . . . . . 187 8.4.1 AufgabenzuunendlichenReihenvontemperiertenDistributionen 187 8.4.2 DiePoisson’scheSummenformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 8.4.3 AufgabenzurPoisson’schenSummenformel . . . . . . . . . . . . . 188 8.4.4 PeriodischetemperierteDistributionen undihreFourier-Transformierten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 8.4.5 AufgabenzuperiodischentemperiertenDistributionen . . . . . . . 192 8.4.6 AufgabenzurFourier-TransformationdesImpulskamms. . . . . . 195 8.4.7 Fourier-TransformationundFaltungsoperation . . . . . . . . . . . . 196 8.4.8 AufgabenzurFaltungtemperierterDistributionen . . . . . . . . . . 196 8.4.9 GrundlösungenlinearerpartiellerDifferentialgleichungen . . . . . 197 8.4.10 AufgabenzuGrundlösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 8.4.11 DiskussionzurDigital-Analog-WandlungvonSignalen . . . . . . 200 8.4.12 AbtastungmitrealenImpulsen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 8.4.13 AufgabezumEffizienzmaß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 9 NormierteRäumeinderOptimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 9.1 Cauchy-FolgenundVollständigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 9.1.1 DerVollständigkeitsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 9.1.2 AufgabenzuCauchy-FolgenundNormänderungen . . . . . . . . . 206 9.2 AufgabenzuStützfunktionenundOrbiformen . . . . . . . . . . . . . . . . 209 9.3 MonotoneAbbildungenundMinty-Variationsungleichungen . . . . . . . 213 X Inhaltsverzeichnis 9.3.1 DerMinty-Trick. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 9.3.2 AufgabenzumonotonenAbbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 9.4 Generizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 9.4.1 F -undG -Mengen.Wasistgenerisch? . . . . . . . . . . . . . . . . 217 (cid:2) ı 9.4.2 AufgabeninVerbindungmitgenerischenAussagen . . . . . . . . . 218 9.5 OptimalitätsbedingungenzweiterOrdnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 9.5.1 KoerzitivitätundHesse-Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 9.5.2 AufgabezurKoerzitivitätundZwei-Normen-Diskrepanz . . . . . 221 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
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