Approximation Theory: Proceedings of an International Colloquium Held at Bonn, Germany, June 8–11, 1976

472 Pages·1976·8.27 MB·English

by  Hans-Peter Blatt (auth.)

Lecture Notes ni
Mathematics
Edited by .A Dold dna ,B Eckmann
655
noitamixorppA yroehT
Proceedings of na lanoitanretnI Colloquium
Held ta Bonn, Germany, June ,11-8 6791
Edited yb .R Schaback dna .K Scherer
galreV-regnirpS
Berlin-Heidelberg New York 6791
Editors
Robert Schaback
elhiLtsrheL r3(f Numerische dnu
Angewandte Mathematik
G6ttingen UniversitAt
Lotzestra6e 16-18
3400 G6ttingen/BRD
Karl Scherer
tutitsnI for Angewandte Mathematik
t.#tisrevinU Bonn
Wegelerstra6e 6
5300 Bonn/BRD
Library of Congress Cata)ogi.g in Publicatio. Da|a
Main entryu nder title:
Approximation theory.
(Lecture notes in mathematics ; 556)
English or German.
"Vom 8o bis ll. Juni 1976 veranstaltete der Sonder-
forschungsbereich 72 am Institute f'nr Angewandte Mathema-
tik der Universit~t Bonn ein internationaies Kolloquium
~ber Approximationst heorie."
1. Approximation theor#--Congresses. 2. Spline
theoryT-Congresses. 3. Numerical anaiysis--Congresses.
I. Schaback, Robert. II. Scherer t Karl. III. Sonder-
forschungsbereZiwcehi undsiebzig Approximation und 0pti-
mierun~. IV. Series: Lecture notes in mathematics
(Berl&n) ; 5~6~ ~ -
QA3oL28 no. 556 I;QA22Z~ 510'.8s ~511'.~ 76-50618
AMS Subject Classifications (1970): 41XX, 42 XX, 42 A08, 42A 24, 42A92,
65 D XX, 65 N XX, 65 N 30
ISBN 3-540-08001-5 Springer-Verlag Berlin • Heidelberg • New York
1SBN 0-387-08001-5 Springer-Verlag New York • Heidelberg • Berlin
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© by Springer-Verlag Berlin • Heidelberg 1976
Printed in Germany
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Vorwor t
Vorn 8. bis 11. Juni 1976 veranstaltete der Sonderforschungs-
bereich 72 arn Institut ffir Angewandte Mathematik der Universit~t
Bonn ein Internationales Kolloquium fiber Approximationstheorie.
Besondere Berficksichtigung fanden die Teilgebiete Spline-Approxi-
mation, Konvergenzverhalten und numerische Methoden der
Approxilnation.
Dutch die gro~zfigige Unterstfitzung der Deutschen Forschungs-
gemeinschaft, der an dieser Stelle nochmals herzlich gedankt sei,
konnte neben vielen inl~ndischen auch eine grS~ere Anzahl yon Gfisten
aus dern Ausland eingeladen werden. Die Veranstalter der Tagung
rnSchten sich ferner bei allen IV[itgliedern des Sonderforschungs-
bereichs bedanken, die zu deren organisatorischem Gelingen beige-
tragen haben, sowie den Tag~mgsteilnehmern ffir ihre Vorlr~ge und
Beitr~ge zu den Diskussionen.
GSttingen und Bonn, den 31. 8. 1976
R. Schaback
K. Scherer
Inhaltsver zeichnis Seite
Blatt, H.- P. , Rationale Approximierbarkeit singul~lrer Funktionen
tiber [ 0,oo 3 I
B6hmer, K., A Defect Correction Method for Functional Equations 61
de Boor, C., Odd-Degree Spline Interpolation at a Biinfinite Knot
Sequence 30
Braess, D., Zur numerischen Stabilit~tt des Newton-Verfahrens bei
der nichtlinearen Tschebyscheff-Approximation 54
Brosowski, B., Zur stetigen Abh~ngigkeit der Menge der Minimal-
punkte bei gewissen Minimierungsaufgaben 63
Brudnyi, J.A., Piecewise Polynomial Approximation, Embedding
Theorem and Rational Approximation 73
Carasso, C., Laurent, P.J., Un Algorithme General pour l'Approxi-
marion au Sens de Tchebycheff de Fonctions Bornees sur un
Ensemble Quelconque 99
Chui, C.K. , Smith, P.W., Ward, J. D,, On the Range of Certain
Locally Determined Spline Projections 122
Collatz, L., Einige Anwendungen der nichttinearen Approximations-
theorie auf Randwertaufgaben 136
Crornme, L., Zur Tschebyscheff-Approximation bei Ungleichungs-
nebenbedingungen im Funktionenraum 144
Dahrnen, W., Gbrtich, E., Schnelle Konvergenz: Charakterisierung
der besten Approximation und Entropie 154
Delvos, F.J., Sch~fer, W., Schempp, W., Convergence of Abstract
Splin s e 155
Devore, R., Scherer, K., A Constructive Theory for Approximation
by Splines with an Arbitrary Sequence of Knot Sets 761
Esser, H., Abschlitzungen dutch Stetigkeitsmoduli bei Folgen yon
linearen Funktionalen 184
Vl
Forst, W. , Mikhail, M. ~ Optimale Approximation von linearen
Funktionalen auf Klassen periodischer Funktionen 191
v. Golitschek, M., Approximation durch Polynome mit ganzzahligen
Koeffizienten 201
Heindl, G. , Ein Problem der Bestapproximation in geordneten
Vektorr~umen 213
Hettich, R. , A Newton-Method for Nonlinear Chebyshev Approximation 222
Hoffmann, K.-H., Klostermair, A., Approximationen mit Lbsungen yon
Differentialgleic hungen
237
Jerome, J. W., Galerkin Methods for the Existence and Approximation
of Weak Solutions of Nonlinear Dirichlet Problems with
Discontinuities 274
Jetter, K., Nullstellen yon Splines 291
Lyche, T., Local Spline - Approximation Methods and Osculatory
Interpolation Formulae 305
Mertens, H.J., Nessel, R.J,, Wilmes, G., Multipliers of Strong
Convergence 320
Nitsche, J. , Zur lokalen Konvergenz yon Projektionen auf finite Elernente 329
Sard, A., Approximation and Probability 347
Sehaback, R. , Globale Konvergenz yon Verfahren zur nichtlinearen
Approximation 253
,refI~hcS E., Ein Satz mov Jackson-Typ dnu seine fua gnudnewnA die
Diskretisierung yon Kontrollproblemen 364
Schumaker, L.L., Two - Stage Spline Methods for Fitting Surfaces 378
Stark, E.L. , Erzeugung und strukturelle Verkniipfungen yon Kernen
singul~rer Faltungsintegrale . 390
Stens, R. L., Charakterisierung der besten algebraischen Approximation
durch lokale Lipschitzbedingungen 403
Subbotin, J. N. , Approximative Properties of Splines 416
Trebels, W., On the Approximation Behavior of the Riesz-Means
ni) n R ( p L 428
IIV
Werner, H., Loeb, H., Tschebyscheff- Approximation by Regular
Splines with Free Knots 439
,kcatyuW L., Applications fo noitamixorppA ~daP ni laciremuN
sisylanA 453
Rationale Approximierbarkeit singul[rer Funktionen
[ber [0,~3.
Hans-Peter Blatt
In letzter Zeit gewinnen rationale Approximationen auf unbeschr~nk-
ten Intervallen an Interesse. Einmal verwendet man rationale Appro-
ximationen yon e -X ~ber ~,~] zur numerischen L~sung von W~rmelei-
tungsgleichungen E4~, zum anderen treten Approximationsprobleme
auf unbeschr~nkten Intervallen in der Elektrotechnik auf, beispiels-
weise um D~pfungsforderungen beim Entwurf elektrischer Schaltun-
gen zu erf~llen. Wir besch~ftigen uns hier mit Fragen der Approxi-
mationsg~te rationaler N~herungen an Funktionen auf ~0,~]. Wir be-
weisen einen Weierstra~schen Approximationssatz f~r Funktionen mit
Polen als Singularit~ten und Resultate vom Jackson- bzw. Bernstein-
Typ.
.1 Rationale Approximation auf D,~].
Im Intervall ~,~) sind L reelle Punkte (L ~ i)
0 I ~ 2 < x < x ... L < x
vorgegeben, denen nichtnegative ganze Zahlen
16
' ~2 ' "'" ' ~L
zugeordnet sind. Wir setzen
L
B :: ~ i 6 ,
il
L i )B
w(x) =: ~: (X-X i
und betrachten eine Funktion f mit den Eigenschaften:
fist in jedem Punkt i x (isiSL) 36i-mal differenzierbar, (1.1)
f : w.f, wobei f ~ber [O,~) stetig, reellwertig und # O ist,
(1.2)
1
lim ~ = c ~ O. (1.3)
i
Wir wollen jetzt f~r n ~ 38 die Funktion T bez[glich
1
{~ I ~n }
n v --: q~
approximieren~ d.h. wir minimieren die Tschebyscheff-Norm
i l}- 1 :: 2u6= i 7i7_f i _ T~VI
bez~glich q~ Hn" Dabei ist Hn die Menge der Polynome vom Grad S n.
i
Wir nennen OV (f) die Minimalabweichung zu ~ bez~glich V .n
n
Dazu bestimmen wit p~ H28_i so, da~
(1.4)
~(J)(x )i : f(J)(xi)
f~r i = 1,2, ... ~L und j = O,1, ... ,2B i - i gilt und definieren
~ { 1 1 1 P~n-2B, q(x) * O f~r 1
n V :: v - q - ~ . (1.5)
p+w p alle ~ x ~0, ~) mit x i ~ x
Man beweist ohne Schwierigkeit den
Satz : 1
1
F~r n >- 38 ist ~n ~ ~' und die Minimall~sung zu ~ bez~gllch n V
existiert und liegt in 1~n' also PV (f) : 0~ (f).
n n
~hnlich wie bei der rationalen Approximation einer Funktion ~ber
_[ O ~ , ,jT die keine Singularit~ten besitzt, l~t sich die Minimall~sung
durch eine Alternante charakterisieren.
Satz 2: ~n sei • @ und PV (f) > C.
1 n 1
Dann ist ° = v oq-- MinimallSsung zu ~ bez~glich Vn.
<~> (1) Falls qo ~ c - ~ dann existiert in EO,~)
n n-l'
1
eine Alternante der L~nge n - 2~ + 2 zu T - Vo"
(2) Falls qo ~ Hn-l' dann existiert in Lo,~)
1
eine Alternante der L~nge n - 2B + i zu T - Vo
und der gr6Bte Alternantenpunkt ist ein (+) -
1
Punkt yon ~ ° - v
Der Beweis ergibt sich durch die gleiche Beweistechnik wie in ~2~.
Im Fall (2) liegt somit nicht mehr die ~Hbliche Anzahl yon Alter-
nantenpunkten vor. Dieser mSgliche Ausartungsfall wird sich gerade
als der Ursprung f~r viele Schwierigkeiten bei Approximationsg~te-
aussagen herausstellen. Satz 2 impliziert auch die Eindeutigkeit
der Minimall5 sung.
Wir setzen jetzt lim f(x) = ~ voraus und betrachten
I
f(x) fur x _~ r
fr(X) (1.6)
If(r) ffir x ~_ r
ri~F r L > x ergibt sich bei der Approximation von ~ ~ber j[ ~ : ,
(f)- OV (fr) I ~- supl~ - 1
I PVn n r~_x fr-~ -~I
Ist weiterhin r so gew~hlt, dab
f(r) = min f(x) , (1.7)
x~r
so erh~It man
(1.8)
v (f) o ~ f--~ v + o (fr)
n n
Bezeichnen wir mit
pn(f,r) =: inf II y - qn
qn n ~ H
die Minimalabweichung von ~ i bez~glich n V fiber ~O,r], so gilt
das
Lemma :
(a) Es gibt ein r >- 0 und eine Teilfolge {nj}~ so dab
V 0 (f) S max ( , f-~ + 0n(f,r)) ¢1.9)
n
f~r allen : n. (f = 1,2,...) und alle r ~ k r mit der Eigen-
J
schaft (1.7).
(b) Existiert eine nat[rliche Zahl n, so da$ f~r n ~ nalle
Minimall~sungen zu n V \ Vn_ 1 geh~ren, so gilt die obige Aussage
f~r allen k n.
(c) Existiert eine Teilfolge {nj), so da~ die MinimallSsungen
zu T 1 bez[glich Vnj+l in Vnj liegen, so gilt die Ungleichung
(1.9) fir n = nj(j = 1,2 .... ) and alle r L > x mit (1.7).
Beweis:
Wit zeigen zun~chst (b):
Wegen (1.8) m~ssen wit nur f~r V 0 (fr) > ~,~ zeigen, da~
n 1 1
0Vn (fr) = On(f'r) f~r rkr ist.Die Mini~allSsungen n v = nq~ zu
bez~glich n V liegen f~r n k ~ nicht in Vn_ 1 . Also existiert f~r
neine Alternante der L~nge n - 2B + 2, deren gr~ter Alternanten-
! !_
punkt ~ ein (-)-Punkt yon f - q~ ist. Sei r > max (~, x L) so ge-
w~hlt, dab
at (x) > 0 f~r x _> r ist.
~n
Dann gilt f~r r k r mit (1.7) und n = n~ , falls 0V (fr) > 1
n
ist:
)o1.1(
0Vn(f r) = pn(f,r) ,
__1 ist MinimallSsung zu --~1 bez~glich
qn r )11.1(
n V mit q~(x) > 0 f~r x k r .
%
Wit zeigen (1.10) und (1.11) durch Induktion f~r allen >_ n
1
mit 0V ~fr ) > ~ :
n