Approche Duale des représentations du groupe symétrique [Lecture notes]

88 Pages·2015·1.519 MB·French

by  Valentin Féray

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Approche Duale des représentations
du groupe symétrique
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Valentin Féray
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Spartacus Supérieur
CollectionRecherche
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Approche Duale
des représentations
e
du groupe symétrique
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Valentin Féray
m
ChargéderechercheauCNRS
AssistantprofessorforpureMathematics
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InstitutfürMathematik,UniversitätZürich
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6 février 2015
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ISBN : 978-2-36693-000-0
©Spartacus-idh,Paris2015
Préface
Celivrereprendlecontenud’unesériedequatreleçonsfaitesaucollègedeFranceen
janvier/février2013.CescoursontétédonnésdanslecadredelafondationClaude-Antoine
Peccotquejeremerciepourm’avoiroffertcettetrèsbelleopportunité.
L’objectifducoursétaitdefaireunpetitpanoramadecertainsrésultatsrécentssurles
représentationsdugroupesymétrique,particulièrementdesrésultatsdenaturecombinatoire
rentrantdanslecadredel’approcheduale,initiéeparS.KerovetG.Olshanskidanslesannées
90.Ilm’estbiensûrimpossibled’êtreexhaustifsurcelargesujet,etleschoixfaitsontétébiaisés
afind’incluremesproprestravaux.Ilyauraitbeaucoupplusàdiresurlesujet.
Aprèsquelquesrappelssurlesreprésentationsdesgroupesfinisengénéral,lepremiercha-
pitredonneuneconstructiondesreprésentationsirréductiblesdugroupesymétrique.Celle-ciest
ensuiteutiliséedansledeuxièmechapitrepourcalculerlescaractèresirréductibles.Onobtient
uneformuleavecunerichecombinatoiresous-jacente.Letroisièmechapitreillustreuneapplica-
tiondecettecombinatoireàunproblèmeposéparS.Kerov.Onvoitenparticulierapparaître
naturellementuneopérationcombinatoireintroduiterécemment,l’inclusion-exclusioncyclique.
Danslequatrièmechapitre,nousprésentonsl’approchedeS.Kerovpourétudierdesgrands
diagrammesdeYoungsouslamesuredePlancherel.Quandonconnaîtlathéorieprésentéedans
leschapitresprécédents,ilestrelativementaisédedécrirelaformelimitedecesdiagrammes.
Enfin,danslecinquièmechapitre,nousesquissonsuncadredanslequellaplupartdesrésultats
précédentssegénéralisentconjecturalement.
Lestroispremierschapitrescorrespondentchacunàuneséancededeuxheures,alorsque
leschapitres4et5correspondentàladernièreséance.Entantquenotesdecours,lestyledece
documentestparfoisinformel.J’aicependantessayédedonnerlespreuvesdupluspossiblede
résultatsénoncés.
Pourfinir,jesouhaiteremercierMathildeBouveletJulienCourtielquim’ontprêtéleurs
notesdesexposésfaitsàBordeauxsurlemêmesujetetPierreCartierpoursesrelecturesattentives
etsesremarquesconstructives.UnmercitoutparticulieràVictorRabiet,sansquicetexten’aurait
pasvulejour:ilalargementdépassésonrôled’éditeur,toutd’abordentapantunepremière
versiondecesnotes,puisencoordonnantactivement:lesdifférentesrelectures.Merciaussià
tousceuxquiontprisletempsdevenirassisteràcesexposés,quecesoitàParisouàBordeaux.
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Table des matières
1 Chapitre1
Représentationsdugroupesymétrique
1.1 —Quelquesnotionsdethéoriedesreprésentationsdesgroupesfinis 1
1.1.1—Définitions 1
1.1.2—Classificationdesreprésentationsetreprésentationsirréductibles 2
1.1.3—Outil:caractères 4
1.2 —Construction,parlesymétriseurdeYoung,desreprésentationsirré-
ductiblesdugroupesymétrique 5
1.2.1—DéfinitiondeC 6
λ
1.2.2—Preuvedel’irréductibilité 9
1.2.3—Non-isomorphisme 12
17
Chapitre2
Caractèresirréductibles,fonctionsN etcartes
2.1 —Calculdescaractèresirréductiblesde 17
n
S
2.1.1—Premièreformulepourlescaractères 17
2.1.2—Réductiondel’ensembledesommation 19
2.1.3—Oublierl’injectivité 23
2.2 —FonctionsNσ,τ(λ) 24
2.2.1—Casrectangulaire 24
2.2.2—Casgénéral 25
2.2.3—Fonctionsindexéespardesgraphes 26
2.2.4—Coordonnéesmulti-rectangulaires 27
2.3 —Cartes 29
2.3.1—Définition 29
2.3.2—Cartesetcouplesdepermutations 30
35
Chapitre3
PolynômesdeKerov
3.1 —Rappelsetcaractèresnormalisés 35
3.2 —Quelquespropriétésdevect(Chµ) 36
3.2.1—StabilitédeΛparmultiplication 36
3.2.2—UnebasealgébriquedeΛ 38
3.3 —PositivitédespolynômesdeKerov 40
3.3.1—Quelquesexemples 41
3.3.2—Inclusion-exclusioncyclique 41
3.3.3—Unensemblecompletderelations 44
3.3.4—Unefamilled’invariantssurlesgraphes 47
3.3.5—Retourauthéorème 49
53
Chapitre4
GrandsdiagrammesdeYoung
4.1 —MesuredePlancherel 53
4.2—Convergencedesuitesdediagrammes 55
4.3—Graduationdel’algèbreΛ 57
4.4—Unpremierrésultatdeconvergence 61
4.5 —Convergencegéométrique 63
67
Chapitre5
Généralisation?
5.1 —Extensiondescaractèresirréductibles 67
5.2 —PropriétésdeCh(α) 69
µ
5.3 —Versunegénéralisationduthéorème2.13? 69
71
AnnexeA
Mesuredetransitiondediagramme
A.1—CoordonnéesentrelacéesdesdiagrammesdeYoung 71
A.2—Mesuredetransition 72
A.3—Momentsdelamesuredetransitionetfonctionsreliées 72
A.4—Lienaveclescaractères 73
Bibliographie 75
Index 79
E e
m
CChhaappiittrree 11
R
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p
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n
Représentations du groupe t
a
t
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o
symétrique n
s
g
r
o
u
p
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f
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n
i
s
Danscechapitre,nousrappelonsquelquesrésultatsdelathéoriedesreprésentationsdu C
groupesymétriquequinousserontutilesdanslasuiteducours.Iln’yapasdeprérequis. a
r
a
Lapremièresectionestuneprésentationdelathéoriepourungroupefiniquelconque. c
t
Commecesrésultatssonttrèsclassiques,nousomettonslespreuves.Quelquesréférencessont è
r
donnéesàlafinduchapitre. es
Lasecondesectionconcernelegroupesymétriqueenparticulier.Elledécritlaconstruction ir
r
d’unefamilleimportantedereprésentations,diteirréductibles.Ilexisteplusieursméthodespour é
d
celadanslalittérature.NousprésentonsicicelleditedusymétriseurdeYoung. u
c
t
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b
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e
11..11 Quelques notions de théorie des représenta- s
P
tions des groupes finis o
l
y
n
ô
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11..11..11 Définitions
e
s
d
e
Nousnouslimitonsiciaucasd’ungroupeGfini.
K
e
r
Définition1.1(Représentationd’ungroupefini). o
v
UnereprésentationdeGestuncouple(V,ρ),où
G
V estunC-espacevectorieldedimensionfinie; ra
• n
ρestunmorphismedegroupedeGdansGL(V). d
• s
d
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a
Exemple1.2. g
r
a
SiG= n,onconsidère m
• S m
ρ: Sn →GL(Cn) es
permutation matricedepermutation.
7→ G
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ß is
a
t
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o
n
2 Représentationsdugroupesymétrique sec.1.1
Autrementdit,siCn=Vect(e1,...,en),ondéfinit
ρ(σ).ei=eσ(i).
s
ni Cettereprésentations’appellereprésentationgéométriquea.
i
f
es • SoitGungroupequelconque.SoitV =C[G]unC-espacevectorielquipossèdeune
up base(eg)g GindexéeparlesélémentsdeG.Ondéfinit
o ∈
r
g ρ(h).eg =ehg. (1.1)
s
n
o
ti Alors,(V,ρ)estunereprésentationdeG,appeléereprésentationrégulière(gauche).
a
t
n a. DanslecadredesgroupesdeCoxeter,letermedereprésentationgéométriqueestparfoisutilisépour
e
s désignerlequotientdedimensionn 1decettereprésentationconsidérédansl’exemple1.26.
ré −
p
e
R Définition1.3(Caractère).
es Soit(V,ρ)unereprésentationdeG.LecaractèreχV de(V,ρ)est,pardéfinition
l
b
i
uct χV : G→C .
d g Tr(ρ(g))
é 7→
r
r
i
s Remarque1.4. Onometsouventdanslesnotationslemorphismedelareprésentation(ici
e
èr χV devraitêtrenotéentouterigueurχV,ρ).
t ß
c
a
r Exemple1.5.
a
C
Lecaractèredelareprésentationgéométriqueestdonnépar
•
v
o χgéom(σ)=F(σ),
r
e
K
e oùσestunepermutationde nestF(σ)sonnombredepointsfixes.
d S
Lecaractèredelareprésentationrégulièregaucheestdonnépar
s
e •
m
nô χreg(h)=|G|δh,1G, (1.2)
y
l
o où h estunélémentdeG,1 sonélémentneutre, G latailledugroupeetδ le
P G | | h,1G
s symboledeKroneckerquivaut1sietseulementsih=1G.Eneffet,ρ(h)permuteles
me élémentsdelabase(eg)g GdeC[G].Satraceestdonclenombred’élémentsfixes,i.e.le
m nombrede g Gtelsqu∈ehg=g,soit G sih=1Get0sinon.
∈ | |
a
gr 11..11..22 Classificationdesreprésentationsetreprésentations
a
di irréductibles
s
d
n
a Leproblèmeprincipalenthéoriedesreprésentationsestlesuivant:pourungroupeG
r
G donné,décrire,àisomorphismeprès,toutessesreprésentations.Ilyenauneinfinité,maisonva
pouvoirlesreconstruireàpartird’uneconstructionélémentaireetd’unnombrefinidebriques
n
o debases.
i
at Construction:
s
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a
r
é
n
é
G