(cid:83) Approche Duale des représentations du groupe symétrique Valentin Féray CoursPeccot,CollègedeFrance m o c . h d i - s u c a t r a p s . w w w 6 1 0 2 h d I - s u c a t r a p S © m o c . h d i - s u c a t r a p s . w w w 6 1 0 2 h d I - s u c a t r a p S © (cid:83)partacus (cid:83)upérieur CollectionLescoursPeccot Approche Duale des représentations du groupe symétrique Cours Peccot, Collège de France m o c h. Valentin Féray d i - s u c ChargéderechercheauCNRS a rt AssistantprofessorforpureMathematics a p InstitutfürMathematik,UniversitätZürich s . w w w Préface de Pierre Cartier 6 1 0 2 Janvier-février 2013 h d I - s u c a t r a p S © m o c . h d i - s u c a t r a p s . w w w 6 1 0 2 h d I - s u c a t r a p S © ISBN : 978-2-36693-010-8 ©Spartacus-idh,Paris2016 Préface m o c . Ilestdifficiled’innoverdansunsujetaussivénérablequel’étudedescaractèresdes h d groupessymétriques.Lesujetaprisformedansl’articlefondateurdeFrobeniusen i - s 1900,suivipresqueaussitôtparSchuren1901.Unenouvelleméthodeaétédéveloppée u ac parYoungen1928,àquil’ondoitl’approchecombinatoireforméeparlesdiagrammes t r (ettableaux)dis,depuis,deYoung.Cesderniersfournissentunereprésentationtrès a sp intuitiveàdesrésultatssubtilsd’algèbre.Àcôtéd’unintérêtpurementmathématique, . w ondoitàH.Weyldanssongrandouvrage«Théoriedesgroupesetmécaniquequan- w w tique»l’introductiond’unoutilperformant(etmalcomprisaudébutdufaitdesa nouveauté)danslathéoriedesspectresmoléculaires. Une direction tout-à-fait indépendante a été développée par l’école de la cité 6 1 d’Euler (aux noms successifs variés : Petropolis, Saint-Petersbourg, Petrograd, Lé- 0 2 ningrad,puisànouveauSaint-Petersbourg).Danslasciencedel’époquesoviétique, h d Saint-Petersbourgagardésonoriginalitévis-à-visdeMoscou(hautementproclamée I - s par mon ami Ludwig Faddeev). Une école brillante : Vershik, Kerov, Olshanskii, u c Ivanov,Okunkov,bienaucourantdesméthodesprobabilistesetinspiréeaussipar a t r laphysiquemathématique,aintroduituneméthodeduale.Danslecasdugroupe a Sp symétrique n,lesclassesdeconjugaisonetlescaractèressontparamétréspardes © partitionsde(cid:83)l’entiern,etlatabledescaractèressetraduitparunefonctionχλ(µ) (oùλcorrespondaucaractèreetµàuneclassedeconjugaison).Limitons-nousaucas oùµestdelaformek.1n k (correspondantàuncycleγ d’ordrek,avec1 k n). 〈 − 〉 k Pourk fixéetµ=k.1〈n−k〉,considéronsχλ(µ)commeunefonctiond’une≤parti≤tion λdetaillevariablen k.Stanleyafaitladécouverteimportanteque,lorsqueλest ≥ delaforme p q (p ligneségalesdelongueurq),alorslecaractèrenormalisé × Chk(λ)= (nn!k)!χχλλ((γ1k)) − estunpolynômeen petq.Ilapostuléqu’unrésultatdecetypevautplusgénéralement lorsqueλestmultirectangulairedelaforme(p1,...,pm) (q1,...,qm).C’estundes × résultats nouveaux démontrés dans cet ouvrage par son découvreur V. Féray. La techniquenouvelleestcelledescartes(ougraphesenruban). OnamentionnéquelaquantitéChk(λ)estpolynomialeenp,qsiλestdela formemultirectangulairep q(avecp=(p1,...,pm)etq=(q1,...,qm)).Onpeut × montrerquelestermesdeplushautdegrésontdelaformeRk+1(p×q)oùRk+1est homogènededegrék+1.LaconnaissancedespolynômeshomogènesR2,R3,...suffit pourdéterminerlespolynômesCh ;voiciledébutd’unetablecalculéeparPh.Biane k Ch1=R2 Ch2=R3 Ch3=R4+R2 Ch4=R5+5R3 .................. Onconstatequelescoefficientssontdesentierspositifs.CetteconjecturedeKerova étédémontréeparV.Féray,etexpliquéedansleprésentouvrage. Lessujetstraitésdanscelivretouchentàtroisdéveloppementsimportants,dont seullepremierestabordéici. 1. Lorsquentendversl’infini,laformed’undiagrammedeYoungaléatoire, m o renormaliséparunehomothétiederapport 1 pourramenerl’airetotaleàl’unité,a .c (cid:112)n h unelimite(enprobabilité)(1). id - s 2. LesrelationsentrelespolynômesCh etR s’expliquentparcellesentre u lescumulantsetlescumulantslibres.Ils’agitklàd’ukn+e1interventiondelathéoriedes tac r probabilitéslibresdeVoiculescu. a p s 3. Lesgroupessymétriquess’organisentenunechaîne w. w w (cid:83)1⊂(cid:83)2⊂(cid:83)3⊂···⊂(cid:83)n⊂(cid:83)n+1⊂··· dontlaréunionestlegroupe .L’étudedesreprésentationsdecegroupeinfini 6 discretestuneapplicationexem(cid:83)p∞lairedelathéoriedesalgèbresd’opérateursdevon 01 2 Neumann. h d Dansunvolumeenpréparationquiferasuiteauprésentouvrage,jedévelopperai I - s l’applicationdesprobabilitéslibres(etdespartitionsnon-croisées).D’icilà,bonne u c lecturedutravaildeV.Féray! ta r a p S © PierreCartier DirecteurdeRecherchesémérite(CNRS) InstitutdesHautesÉtudeScientifiques 91440Bures-sur-Yvette (1) Voirpages58et59lerésultatdesimulationsnumériques. Avant-propos m o c . Celivrereprendlecontenud’unesériedequatreleçonsfaitesaucollègedeFrance h d enjanvier/février2013.CescoursontétédonnésdanslecadredelafondationClaude- i - s AntoinePeccotquejeremerciepourm’avoiroffertcettetrèsbelleopportunité. u ac L’objectifducoursétaitdefaireunpetitpanoramadecertainsrésultatsrécents t r surlesreprésentationsdugroupesymétrique,particulièrementdesrésultatsdenature a sp combinatoirerentrantdanslecadredel’approcheduale,initiéeparS.KerovetG. . w Olshanskidanslesannées90.Ilm’estbiensûrimpossibled’êtreexhaustifsurcelarge w w sujet,etleschoixfaitsontétébiaisésafind’incluremesproprestravaux.Ilyaurait beaucoupplusàdiresurlesujet. Aprèsquelquesrappelssurlesreprésentationsdesgroupesfinisengénéral,le 6 1 premierchapitredonneuneconstructiondesreprésentationsirréductiblesdugroupe 0 2 symétrique.Celle-ciestensuiteutiliséedansledeuxièmechapitrepourcalculerles h d caractèresirréductibles.Onobtientuneformuleavecunerichecombinatoiresous- I - s jacente. Le troisième chapitre illustre une application de cette combinatoire à un u c problèmeposéparS.Kerov.Onvoitenparticulierapparaîtrenaturellementune a t r opérationcombinatoireintroduiterécemment,l’inclusion-exclusioncyclique.Dans a Sp lequatrièmechapitre,nousprésentonsl’approchedeS.Kerovpourétudierdesgrands © diagrammesdeYoungsouslamesuredePlancherel.Quandonconnaîtlathéorie présentéedansleschapitresprécédents,ilestrelativementaisédedécrirelaforme limitedecesdiagrammes.Enfin,danslecinquièmechapitre,nousesquissonsuncadre danslequellaplupartdesrésultatsprécédentssegénéralisentconjecturalement. Lestroispremierschapitrescorrespondentchacunàuneséancededeuxheures, alorsqueleschapitres4et5correspondentàladernièreséance.Entantquenotesde cours,lestyledecedocumentestparfoisinformel.J’aicependantessayédedonner lespreuvesdupluspossiblederésultatsénoncés. Pourfinir,jesouhaiteremercierMathildeBouveletJulienCourtielquim’ont prêtéleursnotesdesexposésfaitsàBordeauxsurlemêmesujetetPierreCartierpour sesrelecturesattentivesetsesremarquesconstructives.Unmercitoutparticulierà VictorRabiet,sansquicetexten’auraitpasvulejour:ilalargementdépasséson rôle d’éditeur, tout d’abord en tapant une première version de ces notes, puis en coordonnantactivementlesdifférentesrelectures.Merciaussiàtousceuxquiontpris letempsdevenirassisteràcesexposés,quecesoitàParisouàBordeaux. E a e m o c . h d i - s u c a t r a p s . w w w 6 1 0 2 h d I - s u c a t r a p S © Table des matières m o c Avant-proposvii . h d i Tabledesmatièresix - s u c ta 1 Chapitre1 r a Représentationsdugroupesymétrique p s . w 1 — Quelques notions de théorie des représentations des w w groupesfinis1 1.1 —Définitions1 1.2 —Classificationdesreprésentationsetreprésentations 6 1 irréductibles2 0 2 1.3 —Unoutil:lescaractères4 h d 2 —Constructiondesreprésentationsirréductiblesdugroupe I - s symétrique5 u ac 2.1 —DéfinitiondeCλ6 t r 2.2 —Preuvedel’irréductibilité9 a p S 2.3 —Non-isomorphisme13 © 17 Chapitre2 Caractèresirréductibles,fonctionsN etcartes 1 —Calculdescaractèresirréductiblesde 17 n (cid:83) 1.1 —Premièreformulepourlescaractères17 1.2 —Réductiondel’ensembledesommation20 1.3 —Oublierl’injectivité23 2 —FonctionsNσ,τ(λ)25 2.1 —Casrectangulaire25 2.2 —Casgénéral26 2.3 —Fonctionsindexéespardesgraphes27 2.4 —Coordonnéesmulti-rectangulaires28 3 —Cartes30 3.1 —Définition30 3.2 —Cartesetcouplesdepermutations31 37 Chapitre3 PolynômesdeKerov 1 —Rappelsetcaractèresnormalisés37 2 —Quelquespropriétésdevect(Chµ)38 2.1 —StabilitédeΛparmultiplication38 2.2 —UnebasealgébriquedeΛ40 3 —PositivitédespolynômesdeKerov42 3.1 —Quelquesexemples43 3.2 —Inclusion-exclusioncyclique44 3.3 —Unensemblecompletderelations46 3.4 —Unefamilled’invariantssurlesgraphes50 3.5 —Retourauthéorème52 55 Chapitre4 om c GrandsdiagrammesdeYoung . h d i 1 —MesuredePlancherel55 - s 2 —Convergencedesuitesdediagrammes57 u c 3 —Graduationdel’algèbreΛ59 ta r 4 —Unpremierrésultatdeconvergence63 pa s 5 —Convergencegéométrique66 . w w 71 w Chapitre5 VersunegénéralisationpourlespolynômesdeJack 1 —Extensiondescaractèresirréductibles71 16 0 2 —PropriétésdeCh(α)73 2 µ h d 3 —Versunegénéralisationduthéorème2.13?74 I - s 77 AnnexeA acu t Mesuredetransitiondediagramme r a p S 1 —CoordonnéesentrelacéesdesdiagrammesdeYoung77 © 2 —Mesuredetransition78 3 —Momentsdelamesuredetransitionetfonctionsreliées78 4 —Lienaveclescaractères79 Bibliographie81 Index83 Indexdesnotations86 E m e