Approche Duale des représentations du groupe symétrique

100 Pages·2016·1.73 MB·French

by  Valentin Féray

(cid:83)
Approche Duale des représentations
du groupe symétrique
Valentin Féray
CoursPeccot,CollègedeFrance
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(cid:83)partacus (cid:83)upérieur
CollectionLescoursPeccot
Approche Duale
des représentations
du groupe symétrique
Cours Peccot, Collège de France
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h. Valentin Féray
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c ChargéderechercheauCNRS
a
rt AssistantprofessorforpureMathematics
a
p InstitutfürMathematik,UniversitätZürich
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Préface de Pierre Cartier
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2 Janvier-février 2013
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ISBN : 978-2-36693-010-8
©Spartacus-idh,Paris2016
Préface
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. Ilestdifficiled’innoverdansunsujetaussivénérablequel’étudedescaractèresdes
h
d groupessymétriques.Lesujetaprisformedansl’articlefondateurdeFrobeniusen
i
-
s 1900,suivipresqueaussitôtparSchuren1901.Unenouvelleméthodeaétédéveloppée
u
ac parYoungen1928,àquil’ondoitl’approchecombinatoireforméeparlesdiagrammes
t
r (ettableaux)dis,depuis,deYoung.Cesderniersfournissentunereprésentationtrès
a
sp intuitiveàdesrésultatssubtilsd’algèbre.Àcôtéd’unintérêtpurementmathématique,
.
w ondoitàH.Weyldanssongrandouvrage«Théoriedesgroupesetmécaniquequan-
w
w
tique»l’introductiond’unoutilperformant(etmalcomprisaudébutdufaitdesa
nouveauté)danslathéoriedesspectresmoléculaires.
Une direction tout-à-fait indépendante a été développée par l’école de la cité
6
1 d’Euler (aux noms successifs variés : Petropolis, Saint-Petersbourg, Petrograd, Lé-
0
2 ningrad,puisànouveauSaint-Petersbourg).Danslasciencedel’époquesoviétique,
h
d Saint-Petersbourgagardésonoriginalitévis-à-visdeMoscou(hautementproclamée
I
-
s par mon ami Ludwig Faddeev). Une école brillante : Vershik, Kerov, Olshanskii,
u
c Ivanov,Okunkov,bienaucourantdesméthodesprobabilistesetinspiréeaussipar
a
t
r laphysiquemathématique,aintroduituneméthodeduale.Danslecasdugroupe
a
Sp symétrique n,lesclassesdeconjugaisonetlescaractèressontparamétréspardes
© partitionsde(cid:83)l’entiern,etlatabledescaractèressetraduitparunefonctionχλ(µ)
(oùλcorrespondaucaractèreetµàuneclassedeconjugaison).Limitons-nousaucas
oùµestdelaformek.1n k (correspondantàuncycleγ d’ordrek,avec1 k n).
〈 − 〉 k
Pourk fixéetµ=k.1〈n−k〉,considéronsχλ(µ)commeunefonctiond’une≤parti≤tion
λdetaillevariablen k.Stanleyafaitladécouverteimportanteque,lorsqueλest
≥
delaforme p q (p ligneségalesdelongueurq),alorslecaractèrenormalisé
×
Chk(λ)= (nn!k)!χχλλ((γ1k))
−
estunpolynômeen petq.Ilapostuléqu’unrésultatdecetypevautplusgénéralement
lorsqueλestmultirectangulairedelaforme(p1,...,pm) (q1,...,qm).C’estundes
×
résultats nouveaux démontrés dans cet ouvrage par son découvreur V. Féray. La
techniquenouvelleestcelledescartes(ougraphesenruban).
OnamentionnéquelaquantitéChk(λ)estpolynomialeenp,qsiλestdela
formemultirectangulairep q(avecp=(p1,...,pm)etq=(q1,...,qm)).Onpeut
×
montrerquelestermesdeplushautdegrésontdelaformeRk+1(p×q)oùRk+1est
homogènededegrék+1.LaconnaissancedespolynômeshomogènesR2,R3,...suffit
pourdéterminerlespolynômesCh ;voiciledébutd’unetablecalculéeparPh.Biane
k
Ch1=R2
Ch2=R3
Ch3=R4+R2
Ch4=R5+5R3
..................
Onconstatequelescoefficientssontdesentierspositifs.CetteconjecturedeKerova
étédémontréeparV.Féray,etexpliquéedansleprésentouvrage.
Lessujetstraitésdanscelivretouchentàtroisdéveloppementsimportants,dont
seullepremierestabordéici.
1. Lorsquentendversl’infini,laformed’undiagrammedeYoungaléatoire, m
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renormaliséparunehomothétiederapport 1 pourramenerl’airetotaleàl’unité,a .c
(cid:112)n h
unelimite(enprobabilité)(1). id
-
s
2. LesrelationsentrelespolynômesCh etR s’expliquentparcellesentre u
lescumulantsetlescumulantslibres.Ils’agitklàd’ukn+e1interventiondelathéoriedes tac
r
probabilitéslibresdeVoiculescu. a
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s
3. Lesgroupessymétriquess’organisentenunechaîne w.
w
w
(cid:83)1⊂(cid:83)2⊂(cid:83)3⊂···⊂(cid:83)n⊂(cid:83)n+1⊂···
dontlaréunionestlegroupe .L’étudedesreprésentationsdecegroupeinfini 6
discretestuneapplicationexem(cid:83)p∞lairedelathéoriedesalgèbresd’opérateursdevon 01
2
Neumann. h
d
Dansunvolumeenpréparationquiferasuiteauprésentouvrage,jedévelopperai I
-
s
l’applicationdesprobabilitéslibres(etdespartitionsnon-croisées).D’icilà,bonne u
c
lecturedutravaildeV.Féray! ta
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PierreCartier
DirecteurdeRecherchesémérite(CNRS)
InstitutdesHautesÉtudeScientifiques
91440Bures-sur-Yvette
(1) Voirpages58et59lerésultatdesimulationsnumériques.
Avant-propos
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. Celivrereprendlecontenud’unesériedequatreleçonsfaitesaucollègedeFrance
h
d enjanvier/février2013.CescoursontétédonnésdanslecadredelafondationClaude-
i
-
s AntoinePeccotquejeremerciepourm’avoiroffertcettetrèsbelleopportunité.
u
ac L’objectifducoursétaitdefaireunpetitpanoramadecertainsrésultatsrécents
t
r surlesreprésentationsdugroupesymétrique,particulièrementdesrésultatsdenature
a
sp combinatoirerentrantdanslecadredel’approcheduale,initiéeparS.KerovetG.
.
w Olshanskidanslesannées90.Ilm’estbiensûrimpossibled’êtreexhaustifsurcelarge
w
w
sujet,etleschoixfaitsontétébiaisésafind’incluremesproprestravaux.Ilyaurait
beaucoupplusàdiresurlesujet.
Aprèsquelquesrappelssurlesreprésentationsdesgroupesfinisengénéral,le
6
1 premierchapitredonneuneconstructiondesreprésentationsirréductiblesdugroupe
0
2 symétrique.Celle-ciestensuiteutiliséedansledeuxièmechapitrepourcalculerles
h
d caractèresirréductibles.Onobtientuneformuleavecunerichecombinatoiresous-
I
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s jacente. Le troisième chapitre illustre une application de cette combinatoire à un
u
c problèmeposéparS.Kerov.Onvoitenparticulierapparaîtrenaturellementune
a
t
r opérationcombinatoireintroduiterécemment,l’inclusion-exclusioncyclique.Dans
a
Sp lequatrièmechapitre,nousprésentonsl’approchedeS.Kerovpourétudierdesgrands
© diagrammesdeYoungsouslamesuredePlancherel.Quandonconnaîtlathéorie
présentéedansleschapitresprécédents,ilestrelativementaisédedécrirelaforme
limitedecesdiagrammes.Enfin,danslecinquièmechapitre,nousesquissonsuncadre
danslequellaplupartdesrésultatsprécédentssegénéralisentconjecturalement.
Lestroispremierschapitrescorrespondentchacunàuneséancededeuxheures,
alorsqueleschapitres4et5correspondentàladernièreséance.Entantquenotesde
cours,lestyledecedocumentestparfoisinformel.J’aicependantessayédedonner
lespreuvesdupluspossiblederésultatsénoncés.
Pourfinir,jesouhaiteremercierMathildeBouveletJulienCourtielquim’ont
prêtéleursnotesdesexposésfaitsàBordeauxsurlemêmesujetetPierreCartierpour
sesrelecturesattentivesetsesremarquesconstructives.Unmercitoutparticulierà
VictorRabiet,sansquicetexten’auraitpasvulejour:ilalargementdépasséson
rôle d’éditeur, tout d’abord en tapant une première version de ces notes, puis en
coordonnantactivementlesdifférentesrelectures.Merciaussiàtousceuxquiontpris
letempsdevenirassisteràcesexposés,quecesoitàParisouàBordeaux.
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Table des matières
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c Avant-proposvii
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i Tabledesmatièresix
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ta 1 Chapitre1
r
a Représentationsdugroupesymétrique
p
s
.
w 1 — Quelques notions de théorie des représentations des
w
w groupesfinis1
1.1 —Définitions1
1.2 —Classificationdesreprésentationsetreprésentations
6
1 irréductibles2
0
2 1.3 —Unoutil:lescaractères4
h
d 2 —Constructiondesreprésentationsirréductiblesdugroupe
I
-
s symétrique5
u
ac 2.1 —DéfinitiondeCλ6
t
r 2.2 —Preuvedel’irréductibilité9
a
p
S 2.3 —Non-isomorphisme13
©
17
Chapitre2
Caractèresirréductibles,fonctionsN etcartes
1 —Calculdescaractèresirréductiblesde 17
n
(cid:83)
1.1 —Premièreformulepourlescaractères17
1.2 —Réductiondel’ensembledesommation20
1.3 —Oublierl’injectivité23
2 —FonctionsNσ,τ(λ)25
2.1 —Casrectangulaire25
2.2 —Casgénéral26
2.3 —Fonctionsindexéespardesgraphes27
2.4 —Coordonnéesmulti-rectangulaires28
3 —Cartes30
3.1 —Définition30
3.2 —Cartesetcouplesdepermutations31
37
Chapitre3
PolynômesdeKerov
1 —Rappelsetcaractèresnormalisés37
2 —Quelquespropriétésdevect(Chµ)38
2.1 —StabilitédeΛparmultiplication38
2.2 —UnebasealgébriquedeΛ40
3 —PositivitédespolynômesdeKerov42
3.1 —Quelquesexemples43
3.2 —Inclusion-exclusioncyclique44
3.3 —Unensemblecompletderelations46
3.4 —Unefamilled’invariantssurlesgraphes50
3.5 —Retourauthéorème52
55
Chapitre4 om
c
GrandsdiagrammesdeYoung .
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1 —MesuredePlancherel55 -
s
2 —Convergencedesuitesdediagrammes57 u
c
3 —Graduationdel’algèbreΛ59 ta
r
4 —Unpremierrésultatdeconvergence63 pa
s
5 —Convergencegéométrique66 .
w
w
71 w
Chapitre5
VersunegénéralisationpourlespolynômesdeJack
1 —Extensiondescaractèresirréductibles71 16
0
2 —PropriétésdeCh(α)73 2
µ h
d
3 —Versunegénéralisationduthéorème2.13?74 I
-
s
77 AnnexeA acu
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Mesuredetransitiondediagramme r
a
p
S
1 —CoordonnéesentrelacéesdesdiagrammesdeYoung77
©
2 —Mesuredetransition78
3 —Momentsdelamesuredetransitionetfonctionsreliées78
4 —Lienaveclescaractères79
Bibliographie81
Index83
Indexdesnotations86
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