Applications mathématiques avec Matlab 1. Algèbre linéaire et géométrie

320 Pages·2004·1.38 MB·French

Algèbre linéaire et géométrie
© LAVOISIER, 2005
LAVOISIER
11, rue Lavoisier
75008 Paris
Serveur web : www.hermes-science.com
2-7462-0993-4 ISBN Général
2-7462-0994-2 ISBN Volume 1
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APPLICATIONS MATHÉMATIQUES
AVEC MATLAB®
Algèbre linéaire
et géométrie
rappel de cours et exercices corrigés
Luc Jolivet
Rabah Labbas

Table des matiŁres
Avant-propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
PREMI¨RE PARTIE.PR(cid:201)SENTATION DE MATLAB . . . . . . . . . . . . . . 17
Chapitre1.CalculsavecMatlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1. CalculsnumØriquesusuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.1. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.2. Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.1.3. Conna(cid:238)trelesfonctionsutilisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.1.4. CalculsrØpØtØssurtouslesØlØmentsd(cid:146)untableau . . . . . . . . . 21
1.2. Graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.1. ReprØsentationgraphiqued(cid:146)unefonction . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.2. AutresreprØsentationsgraphiquesplanes . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3. CalculsymboliqueavecSymbolicMathToolbox . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.1. Simpli(cid:222)cationd(cid:146)expressionalgØbrique . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.2. Unexempledecalculavecunevariable . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.3. Utilisationdesyms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.4. CalculstrigonomØtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.5. RØsolutiond(cid:146)Øquationsoud(cid:146)inØquations . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.6. Misesengarde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.4. ItØrationsetØtudedesuites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.5. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.5.1. Formatlong,formatshort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.5.2. Tableaud(cid:146)Øvaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.5.3. Graphed(cid:146)unefonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.5.4. Dessind(cid:146)unquadrilatŁre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.5.5. EgalitØssymboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.5.6. ItØrØsd(cid:146)unesuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.5.7. SuitedeFibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.6. Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5
6 MathØmatiquesavecMatlab
Chapitre2.ProgrammationavecMatlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1. CrØerdessous-programmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1.1. MØmoriserdesinstructionsdansun(cid:222)chierscript . . . . . . . . . 41
2.1.2. ReprØsenterunefonctionmathØmatique. . . . . . . . . . . . . . . 42
2.1.3. CrØerunsous-programmeavecparamŁtres . . . . . . . . . . . . . 44
2.2. Traitementsconditionnels,expressionslogiques . . . . . . . . . . . . . 46
2.2.1. Exemple:Øtuded(cid:146)unefonctiondØ(cid:222)nieparmorceaux . . . . . . . 47
2.2.2. Expressionslogiquesetquanti(cid:222)cateurs . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2.3. ExempledefonctionrØcursive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3. LestypesdedonnØesutilisØsparMatlab . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.1. TypenumØrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3.2. Cha(cid:238)nesdecaractŁres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3.3. Typesymbolique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4. QuelquescommandesimportantesdeMatlab. . . . . . . . . . . . . . . 53
2.4.1. Sauvegardes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.4.2. Gestiondesvariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4.3. Gestiondel(cid:146)af(cid:222)chage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.5. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.5.1. Divisioneuclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.5.2. Suitepseudo-alØatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.5.3. P.G.C.Ddedeuxnombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.5.4. CalculssurunechainedecaractŁres . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.6. Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
DEUXI¨ME PARTIE. ALG¨BRE LIN(cid:201)AIRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Chapitre3.SystŁmeslinØaires:mØthodedeGauss . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1. SystŁmeslinØaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1.1. DØ(cid:222)nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1.2. L(cid:146)ensembledessolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.1.3. SystŁmesremarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2. OpØrationsfondamentalessurlessystŁmes . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3. MØthodederØsolutiondeGauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3.1. PrØsentationsurunexemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3.2. SystŁmesdeCramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.4. RØsolutionavecMatlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4.1. Utilisationdesolve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4.2. Utilisationderref . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.5. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.5.1. SystŁmeslinØairesclassiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.5.2. UnsystŁmelinØaireavecparamŁtre . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.6. Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
TabledesmatiŁres 7
Chapitre4.Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1. GØnØralitØs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1.1. Notationsetvocabulaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1.2. Casparticuliers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.1.3. DØ(cid:222)nirdesmatricesavecMatlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2. OpØrationssurlesmatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2.1. Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2.2. Multiplicationparlesscalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2.3. Multiplicationdesmatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2.4. TransposØed(cid:146)unematrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.2.5. CalculmatricielavecMatlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.3. InversiondematricescarrØes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.3.1. DØ(cid:222)nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.3.2. ActionsdeGausssurlesmatricescarrØes . . . . . . . . . . . . . . 92
4.3.3. Calculexplicitedel(cid:146)inversed(cid:146)unematrice . . . . . . . . . . . . . 93
4.4. DØterminantd(cid:146)unematricecarrØe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.4.1. Casd(cid:146)unematricedetype . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.4.2. Casd(cid:146)unematricedetype(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.4.3. Casd(cid:146)unematricequelcon(cid:0)q(cid:3)u(cid:0)e(cid:3)(cid:2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.4.4. DØterminantdematricesparticuliŁres . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.4.5. PropriØtØfondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.5. PropriØtØsdesdØterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.5.1. DØveloppementsuivantlescolonnesouleslignes . . . . . . . . . 102
4.5.2. QuandundØterminantest-ilnul? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.5.3. ActionsdeGausssurlesdØterminants. . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.5.4. DØterminantd(cid:146)unproduitdematrices . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.6. CalculsdedØterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.6.1. MØthodedeGauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.6.2. UtilisationdelacommandedetdeMatlab . . . . . . . . . . . . . 107
4.7. RetourauxsystŁmesetformulesdeCramer. . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.7.1. EcriturematricielledessystŁmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.7.2. RØsolutionparlesdØterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.8. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.8.1. Constructiond(cid:146)unematricediagonale . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.8.2. Calculsavectroismatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.8.3. Partsd(cid:146)unmarchØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.8.4. Calculsavecdeuxmatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.8.5. MØthodedeSylvester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.8.6. SurunsystŁmedeCramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.8.7. UnsystŁmedeVandermonde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.9. Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8 MathØmatiquesavecMatlab
Chapitre5.Espacesvectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.1. L(cid:146)espacevectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
(cid:0)(cid:0)
5.1.1. OpØrationsdans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
(cid:0)(cid:0)
5.1.2. Structured(cid:146)espacevectoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.1.3. ConsØquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.2. L(cid:146)espacevectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
(cid:0)(cid:0)
5.3. CasgØnØral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.3.1. Structured(cid:146)espacevectoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.3.2. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.3.3. CombinaisonslinØaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.3.4. Notiondesous-espacevectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.3.5. Sous-espacesvectorielsengendrØs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.4. Basesd(cid:146)unespacevectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.4.1. FamillegØnØratrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.4.2. Famillelibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.4.3. Baseetdimensiond(cid:146)unespacevectoriel . . . . . . . . . . . . . . 137
5.4.4. CaractØrisationd(cid:146)unebase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.4.5. MatricedescoordonnØesd(cid:146)unefamilledevecteurs . . . . . . . . 138
5.4.6. Rangd(cid:146)unefamilledevecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.5. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.5.1. Unplanvectorielde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
(cid:0)(cid:1)
5.5.2. UnsystŁmede4vecteursde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
(cid:0)(cid:2)
5.5.3. Uns-e.vde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
(cid:0)(cid:2)
5.5.4. Uns-e.vde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.5.5. Matricesma(cid:1)giq(cid:2)u(cid:0)(cid:0)es(cid:2)detype(3,3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.5.6. Surl(cid:146)espacevectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.5.7. Calculderangdans (cid:0)(cid:0).(cid:4)(cid:2).(cid:5). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
(cid:0)(cid:1)
5.5.8. Calculderangdans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
(cid:0)(cid:2)
5.6. Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Chapitre6.ApplicationslinØaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.1. DØ(cid:222)nitionsetexemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.1.1. Exemplesintroductifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.1.2. DØ(cid:222)nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.1.3. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.2. PropriØtØsfondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.2.1. PremiŁresconsØquences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.2.2. Noyauetimaged(cid:146)uneapplicationlinØaire . . . . . . . . . . . . . 169
6.3. ApplicationslinØairesendimension(cid:222)nie . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.3.1. DØterminationparl(cid:146)imaged(cid:146)unebase . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.3.2. Matriced(cid:146)uneapplicationlinØaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6.4. ApplicationslinØairesetmatricesdiagonales . . . . . . . . . . . . . . . 174
TabledesmatiŁres 9
6.4.1. LeproblŁmeposØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.4.2. Exempledediagonalisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6.4.3. Utilisationdelamatricediagonale . . . . . . . . . . . . . . . . 179
6.4.4. LesfonctionsprØdØ(cid:222)niesdeMatlab(cid:3). . . . . . . . . . . . . . . . . 181
6.5. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
6.5.1. Noyauetimaged(cid:146)uneapplicationlinØaire . . . . . . . . . . . . . 182
6.5.2. UneapplicationlinØaireavecparamŁtre . . . . . . . . . . . . . . 183
6.6. Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
TROISI¨ME PARTIE.G(cid:201)OM(cid:201)TRIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Chapitre7.CalculvectorieletgØomØtrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.1. Rappels:vecteursgØomØtriquesduplanoudel(cid:146)espace . . . . . . . . . 191
7.1.1. VecteurassociØ(cid:224)uncoupledepoints . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.1.2. OpØrationssurlesvecteursgØomØtriques . . . . . . . . . . . . . . 193
7.1.3. VecteurscolinØaires,vecteurscoplanaires. . . . . . . . . . . . . . 194
7.2. CalculsaveclescoordonnØescartØsiennesdansleplan . . . . . . . . . 195
7.2.1. BasesetcoordonnØesd(cid:146)unvecteur. . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.2.2. RepŁresetcoordonnØesd(cid:146)unpoint. . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
7.2.3. Exemplesd(cid:146)utilisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
7.2.4. Equationsd(cid:146)unedroiteduplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
7.3. CoordonnØescartØsiennesdansl(cid:146)espace. . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
7.3.1. BasesetrepŁresdel(cid:146)espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
7.3.2. CalculsaveclescoordonnØes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
7.3.3. Exemplesd(cid:146)utilisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
7.3.4. Equationsdedroitesetdeplansdansl(cid:146)espace . . . . . . . . . . . 204
7.3.5. AutresreprØsentationsparamØtriquesdansl(cid:146)espace . . . . . . . . 209
7.4. ChangementsdebaseetchangementsderepŁre . . . . . . . . . . . . . 211
7.4.1. Changementdebasedansl(cid:146)espace. . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
7.4.2. ChangementderepŁredansl(cid:146)espace. . . . . . . . . . . . . . . . . 213
7.4.3. ChangementsdebaseetderepŁredansleplan . . . . . . . . . . . 214
7.5. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
7.5.1. UnesuitedeparallØlogrammes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
7.5.2. SolutionsentiŁresd(cid:146)uneØquationlinØaire . . . . . . . . . . . . . 216
7.5.3. Etuded(cid:146)unparallØlipŁde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
7.5.4. Intersectiondedeuxplans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
7.5.5. Etuded(cid:146)unesymØtrievectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
7.5.6. ChangementderepŁre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7.5.7. ParaboledansunnouveaurepŁre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7.6. Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
Chapitre8.Produitscalaireetproduitvectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . 231
8.1. BasesorthonormØesdansleplanetl(cid:146)espace . . . . . . . . . . . . . . . 231
10 MathØmatiquesavecMatlab
8.1.1. Vecteursorthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
8.1.2. Normed(cid:146)unvecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
8.1.3. DØ(cid:222)nitiond(cid:146)unebaseorthonormØe . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
8.1.4. Expressionanalytiquedelanormeetdeladistance . . . . . . . . 233
8.1.5. CalculsavecMatlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
8.2. Produitscalairededeuxvecteursdansleplanoul(cid:146)espace. . . . . . . . 235
8.2.1. DØ(cid:222)nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
8.2.2. PropriØtØsdesymØtrieetbilinØaritØ . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
8.2.3. Produitscalaireetnorme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
8.2.4. ProduitscalaireetorthogonalitØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
8.2.5. ProduitscalaireetchangementdebaseorthonormØe . . . . . . . 236
8.2.6. Produitscalaireetanglededeuxvecteurs . . . . . . . . . . . . . . 237
8.2.7. Exempled(cid:146)utilisationduproduitscalaire . . . . . . . . . . . . . . 239
8.3. Produitvectorieldans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
8.3.1. Orientationdans (cid:1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
(cid:0)
8.3.2. DØ(cid:222)nitionduprodu(cid:1)itvectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
(cid:0)
8.3.3. PropriØtØsd(cid:146)antisymØtrieetdebilinØaritØ . . . . . . . . . . . . . . 242
8.3.4. Produitmixtedetroisvecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
8.3.5. PropriØtØsgØomØtriquesduproduitvectoriel . . . . . . . . . . . . 243
8.3.6. ProduitvectorieletchangementdebaseorthonormØedirecte. . . 244
8.4. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
8.4.1. Normed(cid:146)unvecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
8.4.2. Distanced(cid:146)unpoint(cid:224)unplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
8.4.3. PlanmØdiateurd(cid:146)unsegment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
8.4.4. Distanced(cid:146)unpoint(cid:224)unedroite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
8.4.5. FacesvisiblesetfacescachØesd(cid:146)uncube . . . . . . . . . . . . . . 248
8.5. Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
Chapitre9.Transformationsdansleplanetdansl(cid:146)espace . . . . . . . . . . 263
9.1. TransformationsgØomØtriquesetapplicationslinØaires . . . . . . . . . 263
9.1.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
9.1.2. Applicationaf(cid:222)neetapplicationlinØaireassociØe . . . . . . . . . 264
9.1.3. Applicationsaf(cid:222)nesetcalculmatriciel . . . . . . . . . . . . . . . 266
9.2. CoordonnØeshomogŁnesettransformationsplanes . . . . . . . . . . . 270
9.2.1. CoordonnØeshomogŁnesd(cid:146)unpointduplan . . . . . . . . . . . . 270
9.2.2. Matrice,encoordonnØeshomogŁnes,detransformationsusuelles 273
9.2.3. Imaged(cid:146)une(cid:222)gure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
9.2.4. CompositiondetransformationsetmatricesencoordonnØesho-
mogŁnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
9.2.5. RØciproqued(cid:146)unetransformationetmatricesencoordonnØesho-
mogŁnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
9.2.6. FormuledechangementderepŁreencoordonnØeshomogŁnes . . 279
9.3. CoordonnØeshomogŁnesettransformationsdel(cid:146)espace. . . . . . . . . 280