Applications de mecanique quantique

272 Pages·2006·3.799 MB·French

by  Aslangul C.

E´cole Normale Sup´erieure FIP 1`ere ann´ee
D´epartement de Physique (2005/2006)
Applications de la M´ecanique Quantique
De l’atome au solide
(FIP1 – L6)
Claude ASLANGUL
Universit´e Pierre et Marie Curie
(Paris 6)
[email protected]

Pr´eambule
Cecoursvisea`pr´esenterun tourd’horizondespremi`eresapplicationsdelaM´ecanique Quantique
en Physique des basses´energies, de l’ordredela dizaine d’eVau plus. Ses troispartiescorrespondent
au d´ecoupage naturel qui r´esulte de ce choix.
La premi`ere partie (6 a` 7 cours) traite de la physique de l’atome, en repartant du cas le plus
simple, l’atome d’hydrog`ene (ch. 1) ; les buts principaux sont d’une part d’argumenter physique-
ment sur la n´ecessit´e du spin, d’autre part d’introduire les notions ´el´ementaires permettant, dans
un traitement semi-classique, de jeter les bases de la spectroscopie atomique. Le chapitre 2 pose le
probl`emedel’indiscernabilit´edes particulesidentiques,´enonce sar´esolutionetexamine lespremi`eres
cons´equences du postulat de sym´etrisation. Le chapitre 3 est consacr´e `a l’expos´e ´el´ementaire de la
description des atomes a` plusieurs ´electrons, en insistant sur les aspects physiques, et notamment
en donnant l’explication de l’existence du magn´etisme atomique, laquelle constitue un exemple peu
cit´e des succ`es de la M´ecanique Quantique. Le chapitre 4 termine la partie consacr´ee `a la physique
atomique ; il se veut une illustration des postulats quantiques en discutant quelques exp´eriences as-
sez r´ecentes ayant fourni, de fac¸on parfois spectaculaire et tr`es inattendue, de nouvelles preuves de
l’extraordinairerobustesse de lath´eorie quantique et ayant confirm´e avec´eclat ses pr´evisions, y com-
pris dans ce qu’elles ont de plus “paradoxal” pour le sens commun (effet Z´enon, sauts quantiques,
cryptographie quantique).
La deuxi`eme partie(3cours environ)estconsacr´e `a laphysique mol´eculaire. Lechapitre5 expose
l’approximation de Born - Oppenheimer qui est la base de la description quantique des mol´ecules.
Le chapitre 6 jette les bases physiques de la notion de liaison chimique, cependant que le chapitre 7
est consacr´e `a la pr´esentation ´el´ementaire des principes de la spectroscopie mol´eculaire.
La troisi`eme et derni`ere partie (6 a` 7 cours) est consacr´ee `a quelques aspects de la physique de
la mati`ere condens´ee ordinaire. Ce domaine est trop vaste pour ne pas exiger d’embl´ee des choix
draconiens ; en particulier, la physique des verres (et des liquides) ne sera pas abord´ee, et l’objectif
est de montrer comment la M´ecanique quantique permet de comprendre les propri´et´es des cristaux,
id´ealement d´ecrits dans l’hypoth`ese du solide parfaitement ordonn´e selon un r´eseau sans d´efauts.
Une discussion semi-quantitative de la coh´esion des cristaux est propos´ee dans le chapitre 8, qui
permet de justifier la classification ´el´ementaire des diff´erents types de solides. Le chapitre 9 est
consacr´e aux cons´equences de l’ordre spatial parfait sur les propri´et´es ´electroniques ; le th´eor`eme de
Bloch y est donn´e, ainsi que ses premi`eres applications (approximation des ´electrons presque libres
et approximation des liaisons fortes). Dans un cas comme dans l’autre, l’accent est a` nouveau mis
sur les vertus explicatives de la M´ecanique quantique, seule susceptible de fournir un cadre coh´erent
`a une distinction aussi primordiale que la distinction isolant/conducteur. Dans le chapitre 10, on
abandonne l’hypoth`esedur´eseaurigideenexposantletraitement´el´ementairedesvibrationsder´eseau,
et les premi`eres cons´equences de l’existence des phonons sur la chaleur sp´ecifique et les spectres de
diffraction. Enfin, le dernier chapitre (ch. 11) est une simple introduction au transport dans les
m´etaux, afin de montrer notamment comment le mod`ele classique de Drude trouve naturellement
son prolongement dans le calcul quantique semi-classique de la conductivit´e ´electrique.
Le volume et le contenu de ces notes de cours d´epassent – et de loin – ce qu’il est raisonnable
et possible de traiter en un cours semestriel. Cette disproportion est le r´esultat d’un choix d´elib´er´e :
4
tenterdefaireletourd’horizond’unequestiondonn´ee–sanstoutefoispr´etendrel’´epuiser–enposant
les id´ees principales mais sans omettre des compl´ements conceptuels et sans n´egliger les d´etails de
calcul. En outre, et c’est tout particuli`erement vrai pour le chapitre 1 qui est le point d’articulation
avec le cours d’E´douard BREZIN, les recouvrements apparents ne seront pas repris, et ne figurent
explicitement que pour rappeler les id´ees principales, fixer les notations et fournir des compl´ements
utiles pour la compr´ehension. Enfin, certains points ne seront pas du tout abord´es oralement et
doivent ˆetre consid´er´es comme des prolongements naturels des questions en cours de discussion,
laiss´es a` la libre appr´eciation du lecteur.
Ces notes n’ont aucun caract`ere exhaustif et ne doivent surtout pas ˆetre consid´er´ees comme
un document de r´ef´erence exclusif, bien au contraire : il est souhaitable (et souhait´e !) que les
d´eveloppements qui ne seront pas mentionn´es en amphi suscitent la curiosit´e d’en savoir davantage
en allant consulter les nombreux livres traitant des questions abord´ees. Quelques r´ef´erences sont
donn´ees a` l’issue de chaque chapitre : elles sont seulement indicatives et refl`etent essentiellement
des gouˆts personnels.
L6 –ApplicationsdelaM. Q. 16Juin 2006 Cl. A.–FIP 1- 2005/2006
Table des Mati`eres
1 Atome d’hydrog`ene et compl´ements 1
1.1 Hamiltonien´electrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 E´tats propres li´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Comportements de la fonction radiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 R´esolution de l’´equation radiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Sym´etrie dynamique du potentiel Coulombien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Interaction spin-orbite et structure fine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5 E´quation de Dirac et limite de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5.1 Construction de l’´equation de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5.2 E´tats stationnaires d’un ´electron libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6 Effet d’un champ statique externe : effet Stark et effet Zeeman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.7 Interaction avec un champ ´electromagn´etique
(description semi-classique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.8 E´tats de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.8.1 Nature des ´etats de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.8.2 M´ethode des d´ephasages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.8.3 Le cas du potentiel Coulombien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2 Particules identiques 49
2.1 Indiscernabilit´e des particules identiques
en M´ecanique Quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2 Le postulat de sym´etrisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3 Permutations. Op´erateurs de sym´etrisation et
d’antisym´etrisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4 Etats d’un syst`eme de particules ind´ependantes : diff´erence
fondamentale entre bosons et fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.5 Introduction a` la Seconde Quantification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5
6 TABLEDESMATIE`RES
3 Atomes `a plusieurs ´electrons 73
3.1 Mod`ele `a ´electrons ind´ependants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2 Termes spectraux. Multiplets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3 Th´eor`eme du Viriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.4 Au-dela` de l’approximationa` ´electrons ind´ependants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.5 L’atome d’h´elium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4 Illustration des postulats de la M´ecanique Quantique 91
4.1 L’effet Zenon quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.2 Sauts quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.3 Cryptographie quantique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.3.1 Principes de la d´etection d’une ´ecoute ind´esirable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.3.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.3.3 Communicationde la cl´e secr`ete entre Alice et Bob . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5 L’approximation de Born et Oppenheimer 121
5.1 Ordres de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.2 Approximationde Born et Oppenheimer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.2.1 E´tape 1 : mouvement des ´electrons dans le champ des noyaux fixes . . . . . . . . . . . . . 124
5.2.2 E´tape 2 : inclusion du mouvement des noyaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.2.3 Approximationadiabatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.3 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.3.1 A` propos du mouvement des ´electrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.3.2 A` propos du mouvement des noyaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6 Structure´electronique des mol´ecules. Nature physique de la liaison chimique 131
6.1 L’ion mol´eculaire H+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
2
6.1.1 Solution exacte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.1.2 M´ethodologie pour une description approch´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.2 Nature physique de la liaison chimique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
L6 –ApplicationsdelaM. Q. 16Juin 2006 Cl. A.–FIP 1- 2005/2006
TABLEDESMATIE`RES 7
7 Mouvement des noyaux.
Spectres de vibration et de rotation 141
7.1 Mol´ecules diatomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
7.1.1 Fonctions propres de vibration- rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
7.1.2 Spectres de vibration et de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.2 Effet Raman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
7.3 Mol´ecules polyatomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.3.1 Coordonn´ees normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.3.2 Rotationdes mol´ecules polyatomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
8 Mati`ere condens´ee ordonn´ee 157
8.1 Classification des solides ordonn´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
8.2 E´nergie de coh´esion des solides ordonn´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
8.2.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
8.2.2 Coh´esion des solides mol´eculaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
8.2.3 Coh´esion des r´eseaux ioniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
8.2.4 Coh´esion des solides covalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
8.2.5 Coh´esion des m´etaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
8.3 Structures cristallines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8.3.1 R´eseau de Bravais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8.3.2 Structure physique d’un r´eseau de Bravais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
8.4 R´eseau r´eciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
8.4.1 D´efinition et propri´et´es du r´eseau r´eciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
8.4.2 Exemples de r´eseaux r´eciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
8.4.3 Plans r´eticulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
8.5 Diffraction par un r´eseau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
8.5.1 Diffusion des rayons X et des neutrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
8.5.2 Conditions de von Laue et de Bragg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
8.5.3 Facteurs de structure (g´eom´etrique et atomique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Cl. A.–FIP 1- 2005/2006 16Juin 2006 L6–ApplicationsdelaM. Q.
8 TABLEDESMATIE`RES
9 Electrons dans un cristal 191
9.1 Pr´eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
9.2 Th´eor`eme de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
9.3 Premi`eres cons´equences du th´eor`eme de Bloch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
9.3.1 Premi`ere zone de Brillouin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
9.3.2 E´quation pour la fonction u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
(cid:1)k
9.3.3 Impulsion de l’´electron dans le cristal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
9.3.4 Vitesse d’un ´electron de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
9.3.5 Sym´etrie de la fonction ε((cid:2)k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
9.3.6 Surface de Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
9.4 Applications choisies du th´eor`eme de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
9.4.1 L’approximationdes ´electrons presque libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
9.4.2 L’approximationdes liaisons fortes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
9.5 Conducteurs, semi-conducteurs, isolants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
10 Vibrations d’un solide ordonn´e 225
10.1 L’approximationharmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
10.2 Modes normaux d’un r´eseau unidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
10.3 Modes normaux d’un r´eseau unidimensionnel a` deux atomes par maille. . . . . . . . . . . . . . . 233
10.4 Modes normaux d’un r´eseau tridimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
10.4.1 R´eseau sans base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
10.4.2 R´eseau avec base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
10.5 Quantification des vibrations de r´eseau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
10.6 Contribution des phonons a` la chaleur sp´ecifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
10.7 Manifestation des phonons dans les spectres de diffraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
11 Notions de transport dans les solides 249
11.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
11.2 Le mod`ele semi-classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
11.3 Cons´equences du mod`ele semi-classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
11.3.1 Mouvement dans un champ ´electrique constant dans le temps . . . . . . . . . . . . . . . . 253
11.3.2 Mouvement dans un champ magn´etique constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
11.4 Conductivit´e statique statique d’un m´etal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
L6 –ApplicationsdelaM. Q. 16Juin 2006 Cl. A.–FIP 1- 2005/2006
Partie I
Physique atomique