Apontamentos de Análise Complexa

115 Pages·07.552 MB·Portuguese

by  Ricardo Coutinho

Apontamentos de An(cid:19)alise Complexa
por
Ricardo Coutinho
1a Edi(cid:24)c~ao. Dezembro 2012, Lisboa .
Ricardo Coutinho (cid:19)e membro do
Grupo de F(cid:19)(cid:16)sica Matem(cid:19)atica, Universidade de Lisboa
e DM, IST, Universidade T(cid:19)ecnica de Lisboa
[email protected]
Departamento de Matem(cid:19)atica
Instituto Superior T(cid:19)ecnico
Av. Rovisco Pais
1049-001 Lisboa, Portugal
iii
Pref(cid:19)acio
Estes apontamentos nasceram das aulas que leccionei no Instituto Superior
T(cid:19)ecnico entre 1999 e 2007 correspondentes (cid:18)a primeira parte da disciplina de An(cid:19)alise
Matem(cid:19)atica IV para alunos dos cursos de engenharia. Tratava-se de uma disciplina
do 2o semestre do 2o ano dos curr(cid:19)(cid:16)culos desses cursos e aparecia como a quinta
cadeira de matem(cid:19)aticas fundamentais que era leccionada. Pressup~oe portanto o
(cid:19)
conhecimento de Algebra e An(cid:19)alise Matem(cid:19)atica ministrado nessas cadeiras prece-
dentes.
A exposi(cid:24)c~ao que aqui apresento (cid:19)e balizada pelo Teorema dos Res(cid:19)(cid:16)duos. Ser~ao
abordados apenas os t(cid:19)opicos necess(cid:19)arios (cid:18)a compreens~ao e utiliza(cid:24)c~ao deste teorema.
O objectivo(cid:19)e por um lado de dar a conhecer (de forma introdut(cid:19)oria) a teoria cl(cid:19)assica
da An(cid:19)alise Complexa e por outro desenvolver per(cid:19)(cid:16)cia de c(cid:19)alculo e manipula(cid:24)c~ao de
express~oes com valores complexos.
As subdivis~oes destes apontamentos n~ao est~ao subordinadas a uma l(cid:19)ogica de
parti(cid:24)c~ao da mat(cid:19)eria em cap(cid:19)(cid:16)tulos, mas sim (cid:18)a lecciona(cid:24)c~ao deste curso; cada sec(cid:24)c~ao
corresponde aproximadamente a uma aula. A leitura destas deve ser intercalada
com a resolu(cid:24)c~ao de exerc(cid:19)(cid:16)cios que devem ser procurados fora deste texto.
O conteu(cid:19)do destas aulas est(cid:19)a pensado para cursos de engenharia e n~ao (cid:19)e ade-
quado para cursos de licenciatura em Matem(cid:19)atica. Um exemplo evidente desta
op(cid:24)c~ao (cid:19)e quando se de(cid:12)ne fun(cid:24)c~ao holomorfa como uma fun(cid:24)c~ao diferenci(cid:19)avel com de-
rivada cont(cid:19)(cid:16)nua em conjuntos abertos; indicando apenas que se pode omitir nesta
de(cid:12)ni(cid:24)c~ao a continuidade da derivada. Pretende-se portanto evitar detalhes que, em-
boraimportantesdopontodevistadeculturamatem(cid:19)atica, s~aoirrelevantesdoponto
de vista das aplica(cid:24)c~oes, obtendo-se assim uma exposi(cid:24)c~ao simpli(cid:12)cada, sem contudo
descurar o rigor matem(cid:19)atico necess(cid:19)ario em qualquer ensino de matem(cid:19)atica.
Por outro lado como j(cid:19)a referi estas notas destinam-se a alunos que j(cid:19)a t^em uma
(cid:19)
forma(cid:24)c~ao em Algebra e An(cid:19)alise ao n(cid:19)(cid:16)vel de um curso superior, em particular dever~ao
conhecer bem as s(cid:19)eries de pot^encias reais, a de(cid:12)ni(cid:24)c~ao da exponencial e das fun(cid:24)c~oes
trigonom(cid:19)etricas atrav(cid:19)es destas s(cid:19)eries, an(cid:19)alise diferencial e integral em uma e duas
dimens~oes, integrais de linha, campos gradientes (conservativos), campos fechados
(irrotacionais de classe C1) e a sua equival^encia em conjuntos simplesmente conexos.
Ser~ao usados sem mais coment(cid:19)arios os seguintes resultados: o integral ao longo de
um caminho fechado (seccionalmente regular) de um campo gradiente (de classe
C1) (cid:19)e nulo; e num conjunto aberto simplesmente conexo um campo (cid:19)e gradiente (de
um potencial escalar de classe C2) se e s(cid:19)o se (cid:19)e um campo fechado. A falta deste
conhecimento pode ser colmatada por exemplo pela leitura das partes relevantes do
texto [4] citado na bibliogra(cid:12)a.
Lisboa, Dezembro de 2012 Ricardo Coutinho
iv [email protected]
v
(cid:19)
Indice
Pref(cid:19)acio iii
(cid:19)Indice v
1 Introdu(cid:24)c~ao aos nu(cid:19)meros complexos 1
1.1 Um pouco da hist(cid:19)oria dos nu(cid:19)meros complexos . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Propriedades alg(cid:19)ebricas e geom(cid:19)etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Representa(cid:24)c~ao polar dos nu(cid:19)meros complexos . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Potencia(cid:24)c~ao e exponencial complexa 7
2.1 F(cid:19)ormula de De Moivre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 F(cid:19)ormulas de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 No(cid:24)c~ao de converg^encia no plano complexo. . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Fun(cid:24)c~ao exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Fun(cid:24)c~oes complexas de vari(cid:19)avel complexa 13
3.1 Parte real e parte imagin(cid:19)aria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3 De(cid:12)ni(cid:24)c~ao de diferenciabilidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4 Fun(cid:24)c~oes anal(cid:19)(cid:16)ticas. 19
4.1 Condi(cid:24)co~es necess(cid:19)arias para a diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . 19
4.2 Condi(cid:24)co~es su(cid:12)cientes para a diferenciabilidade. . . . . . . . . . . . . . 20
4.3 Fun(cid:24)c~oes anal(cid:19)(cid:16)ticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.4 Fun(cid:24)c~oes elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5 Exponencial e logaritmo 27
5.1 A fun(cid:24)c~ao exponencial como transforma(cid:24)c~ao conforme . . . . . . . . . . 27
5.2 Logaritmo de um nu(cid:19)mero complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6 Analiticidade do logaritmo e de fun(cid:24)c~oes relacionadas 33
6.1 Analiticidade e derivada do logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.2 Exponencia(cid:24)c~ao complexa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.3 Fun(cid:24)c~oes trigonom(cid:19)etricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
vi [email protected]
7 Integra(cid:24)c~ao complexa 39
7.1 Fun(cid:24)c~oes complexas de vari(cid:19)avel real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
7.2 Integra(cid:24)c~ao de fun(cid:24)c~oes complexas de vari(cid:19)avel real . . . . . . . . . . . . 40
7.3 De(cid:12)ni(cid:24)c~ao do Integral de fun(cid:24)c~oes complexas de vari(cid:19)avel complexa . . . 43
8 F(cid:19)ormulas para o c(cid:19)alculo de integrais 47
8.1 Integra(cid:24)c~ao de fun(cid:24)c~oes derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
8.2 O Teorema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
8.3 F(cid:19)ormula integral de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
9 Derivadas de ordem superior (cid:18)a primeira 53
9.1 F(cid:19)ormulas integrais de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
9.2 Fun(cid:24)c~oes Harm(cid:19)onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
10 S(cid:19)eries de pot^encias 59
10.1 Converg^encia uniforme de s(cid:19)eries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
10.2 S(cid:19)eries de pot^encias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
10.3 Analiticidade das s(cid:19)eries de pot^encias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
11 S(cid:19)erie de Taylor 67
12 S(cid:19)erie de Laurent e Teorema dos Res(cid:19)(cid:16)duos 71
12.1 S(cid:19)erie de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
12.2 Teorema dos Res(cid:19)(cid:16)duos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
13 Singularidades 79
13.1 Singularidades isoladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
13.2 Classi(cid:12)ca(cid:24)c~ao de singularidades isoladas . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
14 C(cid:19)alculo de res(cid:19)(cid:16)duos 85
14.1 C(cid:19)alculo de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
14.2 C(cid:19)alculo de res(cid:19)(cid:16)duos em p(cid:19)olos de ordem m . . . . . . . . . . . . . . . . 87
15 Aplica(cid:24)c~oes do Teorema dos Res(cid:19)(cid:16)duos 89
15.1 Integrais de fun(cid:24)c~oes trigonom(cid:19)etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
15.2 Integrais de fun(cid:24)c~oes racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
15.3 Lema de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
(cid:19)Indice vii
16 Polin(cid:19)omios e frac(cid:24)c~oes racionais 97
16.1 De(cid:12)ni(cid:24)c~oes de polin(cid:19)omio e frac(cid:24)c~ao racional . . . . . . . . . . . . . . . 97
16.2 Teorema de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
16.3 Factoriza(cid:24)c~ao de polin(cid:19)omios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
16.4 Decomposi(cid:24)c~ao em frac(cid:24)c~oes simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Bibliogra(cid:12)a 104
(cid:19)Indice alfab(cid:19)etico 105
viii [email protected]
1
1 Introdu(cid:24)c~ao aos nu(cid:19)meros complexos
1.1 Um pouco da hist(cid:19)oria dos nu(cid:19)meros complexos
Considere-se a seguinte equa(cid:24)c~ao
z2 +2z +5 = 0:
Aplicandoprecipitadamenteaf(cid:19)ormularesolventeparaequa(cid:24)c~oesquadr(cid:19)aticasobtemos
as ra(cid:19)(cid:16)zes:
z = 1+p 4 e z = 1 p 4:
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
Do ponto de vista da an(cid:19)alise real o s(cid:19)(cid:16)mbolo p 4 n~ao est(cid:19)a de(cid:12)nido e por outro lado a
(cid:0)
identi(cid:12)ca(cid:24)c~ao da express~ao z2+2z+5 com o gr(cid:19)a(cid:12)co de uma par(cid:19)abola retira qualquer
du(cid:19)vida sobre o facto da equa(cid:24)c~ao z2 +2z +5 = 0 n~ao ter ra(cid:19)(cid:16)zes reais.
Contudo, se utilizarmos as seguintes as regras formais:
2
p a2 = a p 1 e p 1 = 1;
(cid:0) j j (cid:0) (cid:0) (cid:0)
obtemos objectos "imagin(cid:19)arios" (cid:0) (cid:1)
z = 1 p 4 = 1 2p 1;
(cid:0) (cid:6) (cid:0) (cid:0) (cid:6) (cid:0)
quepodemserconsideradosra(cid:19)(cid:16)zesdaequa(cid:24)c~aoz2+2z+5 = 0. Defacto, formalmente
temos:
2
1 2p 1 +2 1 2p 1 +5 = 1 4p 1 4 2 4p 1+5
(cid:0) (cid:6) (cid:0) (cid:0) (cid:6) (cid:0) (cid:7) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:6) (cid:0)
= 0:
(cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1)
Este tipo de considera(cid:24)c~oes teve uma import^ancia hist(cid:19)orica na resolu(cid:24)c~ao de
equa(cid:24)c~oes, n~ao do segundo grau (que eram bem compreendidas na altura), mas do
terceiro grau quando ainda se desconhecia uma forma de resolu(cid:24)c~ao geral destas
equa(cid:24)c~oes.
No s(cid:19)eculo XVI, o matem(cid:19)atico Cardano aperfei(cid:24)coou uma misteriosa f(cid:19)ormula
resolvente paraequa(cid:24)c~oes do3o grau (f(cid:19)ormula de Cardano). Estaaplica-se a equa(cid:24)c~oes
na forma1 normal x3 +3px 2q = 0 e escreve-se (em nota(cid:24)c~ao actual)
(cid:0)
1
x = u p onde u = 3 q + q2 +p3:
(cid:0) u
q
Contudo, embora esta f(cid:19)ormula funcionasse muito bepm em certos casos (p3 q2),
>
(cid:0)
havia outros (p3 < q2) em que a f(cid:19)ormula envolvia as imagin(cid:19)arias ra(cid:19)(cid:16)zes quadra-
(cid:0)
das de nu(cid:19)meros negativas. O caso era ainda mais misterioso pois eram conhecidos
exemplos de equa(cid:24)c~oes cu(cid:19)bicas com tr^es ra(cid:19)(cid:16)zes reais em que a referida f(cid:19)ormula supos-
tamente n~ao funcionava por envolver ra(cid:19)(cid:16)zes quadradas de nu(cid:19)meros negativos.
1Pode-se transformar qualquer equa(cid:24)c~ao do 3o grau numa equa(cid:24)c~ao com esta forma (normal)
atrav(cid:19)es de uma mudan(cid:24)ca de vari(cid:19)aveis a(cid:12)m ( x (cid:11)x+(cid:12)).
!
2 [email protected]
Exemplo 1.1 Para a equa(cid:24)c~ao
x3 15x 4 = 0; (1.1)
(cid:0) (cid:0)
G. Cardano (princ(cid:19)(cid:16)pio do s(cid:19)eculo XVI) obteve a solu(cid:24)c~ao2
x = 3 2+p 121+ 3 2 p 121:
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
q q
Mais tarde R. Bombelli (meados do s(cid:19)eculo XVI) observou que formalmente
3
2+p 1 = 2+11p 1 = 2+p 121
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
e (cid:0) (cid:1)
3
2 p 1 = 2 p 121
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
Pelo que uma solu(cid:24)c~ao da equa(cid:24)c~ao (1:1) (cid:19)e
(cid:0) (cid:1)
x = 2+p 1+2 p 1
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
= 4
As outras duas solu(cid:24)c~oes (reais!), 2+p3 e 2 p3 podem ser obtidas de forma
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
semelhante ou atrav(cid:19)es da regra de Ru(cid:14)ni.
O mist(cid:19)erio adensava-se. S(cid:19)o no princ(cid:19)(cid:16)pio do s(cid:19)eculo XIX (cid:19)e que Gauss e outros
matem(cid:19)aticos, conseguiram um avan(cid:24)co signi(cid:12)cativo neste problema, identi(cid:12)cando
cada nu(cid:19)mero imagin(cid:19)ario da forma x + yp 1 com um ponto (x;y) do plano (real-
(cid:0)
R2). Outra barreira psicol(cid:19)ogica que foi ultrapassada, foi a de ver o s(cid:19)(cid:16)mbolo p 1,
(cid:0)
n~aocomoumaraizinexistentedeumacertaequa(cid:24)c~ao, mascomoumnu(cid:19)merodepleno
direito, designado por i, que era exterior ao corpo de nu(cid:19)meros reais conhecidos, e
que satisfazia a propriedade i2 = 1. Portanto, por um lado concretizou-se com
(cid:0)
uma interpreta(cid:24)c~ao geom(cid:19)etrica, por outro lado idealizou-se alargando o conceito de
nu(cid:19)mero.
2Fazendo x=u+v, vem x3 =u3+v3+3uvx, pelo que a equac(cid:24)~ao (cid:12)ca
u3+v3+3uvx 15x 4=0:
(cid:0) (cid:0)
Esta (cid:19)e satisfeita se
u3+v3 4=0
(cid:0) ;
uv =5
(cid:26)
donde se obt(cid:19)em a equac(cid:24)~ao quadr(cid:19)atica em u3:
u6 4u3+125=0:
(cid:0)
Resolvendoestaequac(cid:24)~ao(cid:12)camoscomu3 =2 p 121. Determinadoastr^esra(cid:19)(cid:16)zescu(cid:19)bicasde(por
(cid:6) (cid:0)
exemplo) 2+p 121 obtemos as tr^es solu(cid:24)c~oes da equa(cid:24)c~ao cu(cid:19)bica original atrav(cid:19)es de
(cid:0)
5
x= 3 2+p 121+ :
(cid:0) 3 2+p 121
q (cid:0)
p