aplicativo educacional para o dimensionamento de concreto armado

20 Pages·2016·2.08 MB·Portuguese

APLICATIVO EDUCACIONAL PARA O
DIMENSIONAMENTO DE CONCRETO ARMADO
JanuárioPellegrinoNeto
LuizFelipeMarchettidoCouto
[email protected]
[email protected]
InstitutoMauádeTecnologia–EscoladeEngenhariaMauá
PraçaMauá,1,CEP:09580-900. SãoCaetanodoSul,SP,Brasil
Resumo. O uso de recursos multimídia no ensino da engenharia de estruturas possibilita me-
lhor visualização e interação no dimensionamento das estruturas de concreto. Este trabalho
apresenta um aplicativo didático para o dimensionamento de seções transversais retangulares
de estruturas de concreto armado. Nesta versão, apenas a flexão normal simples, usuais para
as seções de vigas e lajes de edifícios. O aplicativo mostra, didaticamente, as áreas de aço,
seja da armadura tracionada, quando da armadura simples, ou das armaduras tracionada e
comprimida, quando da armadura dupla, assim como as forças resultantes nas armaduras e
no concreto, as deformações, o estado limite último e o momento fletor resistente de cálculo.
Tambémapresentaautilizaçãodosdiagramasdetensõesnoconcreto,parábola-retânguloere-
tangular simplificado. A ferramenta desenvolvida auxilia o entendimento do dimensionamento
dasseçõesdeconcretoarmadosubmetidasàflexãonormalsimples,atendendoàúltimarevisão
danormadeprojetoABNTNBR6118:2014–Projetodeestruturasdeconcreto: Procedimento
(2014),queincluiosconcretosderesistênciamaiselevada,objetotambémdestetrabalho,entre
50 MPa e 90 MPa. No processo de criação e desenvolvimento serão utilizados conhecimentos
deprogramaçãoedecomputaçãográfica. Opresenteprojetoestávinculadoaoutrostrabalhos
emdesenvolvimentonoLCE–LaboratórioComputacionaldeEstruturas(IMT),queprocuram
serviraodesenvolvimentoeàaplicaçãodenovosmétodosnoensinodeengenharia.
Palavras-chave: Aplicativoeducacional,FlexãoNormalSimples,ConcretoArmado,Java
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Aplicativoeducacionalparaodimensionamentodeconcretoarmado
1 INTRODUÇÃO
Estetrabalhoapresentaumaplicativodidático(PellegrinoNeto,2016)paraoensinododi-
mensionamentodeseçõesretangularesdeconcretoarmado,submetidasàflexãonormalsimples
(FNS), usuais para o dimensionamento de vigas e lajes. O aplicativo atende a última revisão
na norma ABNT NBR 6118:2014 - Projeto de Estruturas de Concreto: Procedimento (2014),
(ABECE/IBRACON,2015)alterando-seoslimitesparaaconsideraçãodearmaduradupla,per-
mitindoautilizaçãodeconcretosderesistênciaacimade50MPaeaté90MPa,econsidera-se,
alémdomodeloclássicoretangularsimplificadoparaatensãodoconcreto,quepossibilitauma
solução analítica de fácil utilização, o modelo parábola-retângulo do concreto, que requer uma
soluçãonumérica,masquejápotencializaformulaçõesposterioresdedimensionamentoeveri-
ficação,taiscomo: flexãonormalcomposta,flexãooblíquaediagramasdeinteração.
O aplicativo desenvolvido em linguagem de programação Java (CAELUM, 2016), utiliza
conhecimentosdeprogramaçãoorientadaàobjetos(Santos,2013)edecomputaçãográfica,que
possibilita uma interação com o usuário na entrada dos dados e nos resultados, visualizando o
diagrama de deformações e de tensões, assim como as resultantes do concreto e das armadu-
ras, de tração e de compressão, importante para o entendimento do mecanismo resistente da
seção no Estado Limite Último (ELU). Cabe salientar que, além da utilização didática, é im-
portante o engenheiro saber sistematizar os seus procedimentos e, nesse contexto, os recursos
computacionaisinseridosnestetrabalho,facilitameaperfeiçoamodimensionamentodeseções
retangulares de concreto armado, mas é de fundamental importância a verificação e a análise
críticadosseusresultados,afimdequeerrospossamserrevisados,sejanaentradadedadosou
emprocedimentosemétodosutilizados.
NaSeção2estabelece-sedeformasucintaashipótesesbásicasparaodimensionamentode
seções transversais retangulares de concreto armado submetidas à FNS, os modelos adotados
paraosmateriais,suasdeformaçõeslimitesetensões,quedefinemosdomíniosdedeformações,
atendendoosconcretosaté50MPa,ede50MPaà90MPa,conformedefiniçãodanormaABNT
NBR6118:2014.
Na Seção 3 desenvolve-se o dimensionamento de seções retangulares de concreto armado,
atendendo as mudanças propostas pela última revisão da norma ABNT NBR 6118:2014 e Car-
valho et al. (2014), onde alterou-se o limite para consideração de armadura dupla, x = 0,45d
para concreto até 50 MPa, e x = 0,35d acima de 50 MPa e até 90 MPa. São deduzidas as ex-
pressõesanalíticas,paraomodelododiagramaretangularsimplificadodetensõesnoconcreto,
assim como o desenvolvimento do modelo parábola-retângulo (Mendes Neto, 2010), mediante
integraçãonuméricadaresultantedastensõesdecompressãodoconcretoedométodonumérico
das secantes para o cálculo da profundidade da linha neutra, mediante a resolução da equação
deequilíbriodemomentos.
NaSeção4realizam-seaplicaçõesnuméricasquepossibilitamaferiraimplementaçãocom-
putacional, comparando-se os seus resultados, seja com o cálculo manual para o modelo retan-
gular simplificado, e deste com o modelo parábola-retângulo, implementado numericamente,
para duas classes de concreto, C30 e C60. abaixo e acima de 50 MPa, e esforços que levam a
casosdedimensionamentocomarmadurassimplesedupla.
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2 FLEXÃO NORMAL SIMPLES
Nesta descreve-se as hipóteses básicas de dimensionamento, de forma sucinta, mas aten-
dendo a última revisão da norma ABNT NBR 6118:2014, permitindo-se os concretos até 50
MPa,ede50MPaà90MPa.
2.1 Hipóteses básicas e modelos constitutivos
As hipóteses básicas do dimensionamento à FNS de seções retangulares de concreto ar-
madosão:
• Asseçõestransversaispermanecemplanasapósadeformação(HipótesedeNavier);
• Traçãonulanoconcreto;
• Aderênciaperfeitaentreoaçoeoconcreto.
Estas hipóteses podem ser sumarizadas na Figura 1, que descreve a contribuição do con-
cretoedoaçonaseçãotransversal.
Figura1: Hipótesesbásicas.
A Figura 2 descreve o modelo constitutivo adotado para o concreto (modelo parábola-
retângulo),considerandoosdoisgruposdeconcreto,até50MPa,ede50MPaà90MPa.
Figura2: Modeloconstitutivodoconcreto-ABNTNBR6118:2014.
A Figura 3 indica a variação dos parâmetros n, ε e ε para concreto variando de 20 à 90
c2 cu
MPa, sendo constante de 20 MPa à 50 MPa, e não linear de 50 MPa à 90 MPa. Note que, para
f = 90MPa,ε = ε = 2,6,portantoodiagramaénãolinearde0àε .
ck c2 cu cu
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(cid:15) (‰)
3.5 c2
(cid:15) (‰)
cu
n
3
2.5
2
1.5
1
20 30 40 50 60 70 80 90
f (MPa)
ck
Figura3: Variaçãodosparâmetrosn,ε eε .
c2 cu
A Figura 4 descreve o modelo constitutivo adotado para o aço (modelo elasto-plástico
perfeito).
Figura4: Modelosconstitutivodoaço.
2.2 Domínios de deformação
A hipótese de Navier e a aderência possibilitam estabelecer uma compatibilidade de de-
formações entre os materiais concreto e aço, estabelecidos os seus modelos constitutivos, que
permitedefinirasregiõespossíveisparaasdeformações,denominadadomíniosdedeformação,
indicadanaFigura5,apartirdosestadoslimitesúltimosparaoconcretoeaço.
Parasegarantirumcomportamentodúctildaseção,odimensionamentodeveráocorrernos
domínios 2 ou 3, domínio 2 onde o ELU é caracterizado pelo alongamento plástico excessivo
(ε = 10‰), e o domínio 3 onde o ELU é caracterizado pelo esmagamento do concreto na
su
flexão(ε )conformeaFigura2. NasFigs.6e7mostram-seosdomínios2e3.
cu
É importante salientar que os limites x e x serão alterados, em função de ε para os
23 34 cu
concretosmaisresistentes,50 < f ≤ 90MPa.
ck
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Figura5: DomíniosdedeformaçãonaFNS.
Figura6: Domínio2
Figura7: Domínio3
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3 DIMENSIONAMENTO
Apresenta-seodimensionamentodaarmaduradasseçõesretangularesdeconcretoarmado
submetida à FNS, considerando o diagrama retangular simplificado de tensões, simplificação
clássica que permite uma resolução analítica simples e de fácil entendimento, assim como o
diagrama parábola-retângulo, sendo necessário uma integração numérica, obtida pelo método
das secantes, neste trabalho. A Figura 8 mostra os dois diagramas de tensões no concreto e o
parâmetro α , que representa a queda de resistência do concreto sob efeito de cargas de longa
c
duração, denominado efeito Rüsch, α = 0,85 para para f ≤ 50MPa e α = 0,85[1,0(f −
c ck c ck
50)/200] para 50 < f ≤ 90MPa. Na Figura 9 indica-se a variação dos parâmetros α e λ,
ck c
sendoconstantesde20MPaà50MPa,α = 0,85eλ = 0,8,elinearesde50MPaà90MPa.
c
Figura8: Diagramasdetensõesnoconcreto.
λ
0.85
α
c
0.8
0.75
0.7
20 30 40 50 60 70 80 90
f (MPa)
ck
Figura9: Parâmetrosdodiagramaretangularsimplificado.
3.1 Diagrama retangular simplificado
Para o dimensionamento da armadura, considerando o diagrama retangular simplificado
(Figura 10), estabelece-se o equilíbrio da seção resistente, conforme a Figura 11, considerando
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M ,ouseja,odimensionamentoeconômicoparaacondiçãodesegurançaM ≤ M .
d d rd
Figura10: Diagramadetensãoretangularsimplificada.
Do equilíbrio de momentos, Eq. 1, reduzido à armadura de tração, chega-se a Eq. 2 da
profundidadedalinhaneutra(LN),cujasoluçãoestáexplicitadanaEq.3.
Figura11: Equilíbriodosesforçosresistentesnaseção–Armadurasimples.
(cid:18) λ (cid:19) λ2
M = α f bλx d− x = α f bλdx−α bf x2 (1)
d c cd c cd c cd
2 2
onde
• M : Momentosolicitantedecálculo;
d
2 2M
x2 − dx+ d = 0 (2)
λ α λ2bf
c cd
(cid:32) (cid:115) (cid:33)
d 2M
d
x = 1− 1− (3)
λ α bd2f
c cd
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A norma ABNT NBR6 118:2014 adota os seguintes limites para armadura simples: x =
0,45dparaf ≤ 50MPa,ex = 0,35dpara50 < f ≤ 90MPa. Portanto,paraf ≤ 50MPa,
ck ck ck
resultaarmadurasimples,cujaarmaduradetraçãoindica-senaEq.4,sendof aresistênciade
yd
escoamentodoaço,pois,naarmadurasimples,σ = f .
sd yd
M
d
A = (4)
s f (cid:0)d− λx (cid:1)
yd 2 LN
onde
• A : Áreadeaço;
s
AsEqs.3e 4resultam,paraf ≤ 50MPa,nasEqs.5e 6.
ck
(cid:32) (cid:115) (cid:33)
M
d
x = 1,25d 1− 1− (5)
0,425bd2f
cd
M
d
A = (6)
s
f (d−0,4x )
yd LN
Para x > x , portanto, armadura dupla, impõe-se o x = 0,45 d para f ≤ 50MPa,
lim lim ck
e x = 0,35 d para 50 < f ≤ 90MPa, resultando na Eq. 7, para o momento resistido pelo
lim ck
concreto na armadura dupla, que também representa o momento limite para armadura simples.
AFigura12mostraasresultantesdoequilíbrioparaaarmaduradupla.
Figura12: Equilíbriodosesforçosresistentesnaseção–Armaduradupla.
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
λ λ
M = R d− x = α f bλx d− x
cd cd lim c cd lim
2 2
(cid:18) (cid:19)
λ
= α λk bd2f 1− k (7)
c x cd x
2
onde
• k : éarelaçãox /d;
x lim
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O momento que será resistido pela armadura de compressão, ∆M , pode ser obtido pela
d
diferença ∆M = M − M , resultando nas armaduras de tração, A , e de compressão, A(cid:48),
d d cd s s
conformeasEqs.8e9.
M ∆M
cd d
A = + (8)
s f (cid:0)d− λ x (cid:1) f (d−d(cid:48))
yd 2 lim yd
∆M
A(cid:48) = d (9)
s σ(cid:48) (d−d(cid:48))
sd
onde
• σ(cid:48) : éatensãonaarmaduradecompressão,verificando-seasuadeformação(cid:15)(cid:48) ;
sd sd
3.2 Parábola-retângulo
ConformeapresentadonaSeção3.1,odimensionamentocomousododiagramaretangular
simplficadopermiteumequacionamentoeumasoluçãoanalítica. Quandoutiliza-seodiagrama
parábola-retângulo como apresentado na Figura 13 é necessário um método numérico para en-
contrar a profundidade da linha neutra como também para a integração do R como pode-se
cd
observarnaFigura14.
Figura13: Diagramadetensões–parábola-retângulo.
Métododassecantes
Ométododassecanteséummétodonuméricoiterativoparabuscaderaízesdeumafunção
f(x) utilizando uma sequência de linhas secantes. Este método é um substituto ao método de
Newton-Raphson onde não há a necessidade de encontrar a derivada f(cid:48)(x), mas com a desvan-
tagemdeperderaconvergênciaquadrática.
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Figura14: Equilíbriodosesforçosresistentesnaseção–Armadurasimples.
Este trabalho utilizou este método para encontrar a profundidade da linha neutra quando
utiliza-se o diagrama da parábola-retângulo para o dimensionamento de seções retangulares
quandosubmetidasaFlexãoNormalSimples.
Umaformadeaproximaraderivadaf’(x)épormeiodaseguinteequação:
f(x )−f(x )
f(cid:48)(x ) = k k−1 (10)
k
x −x
k k−1
onde:
• x e x são aproximações para a raiz da função f(x ) e podem ser consideradas como
k k−1 k
valoresiniciaisparaoprocessoiterativo.
Afunçãodeiteraçãoéportantodefinidacomo:
x f(x )−x f(x )
k−1 k k k−1
x = (11)
k+1
f(x )−f(x )
k k−1
Afunçãof(x)édefinidacomo:
(cid:90)
f(x) = M − σ y dA = 0 (12)
d c
A
A Figura 15 mostra um exemplo de utilização do método iterativo para uma seção trans-
versal de 30 x 60 cm, concreto com f k = 30MPa e M = 250kN.m. Pode-se observar
c k
que a partir da quinta iteração a profundidade da linha neutra encontra-se com valor dentro do
esperado. A Figura 16 mostra o resultado da linha neutra utilizando o aplicativo educacional
FNS.
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