aplicaciones en relatividad especial y ge

297 Pages·2008·1.02 MB·Spanish

DEPARTAMENT D’ASTRONOMIA I ASTROFÍSICA

MAGNETOHIDRODINÁMICA RELATIVISTA NUMÉRICA:
APLICACIONES EN RELATIVIDAD ESPECIAL Y
GENERAL

LUIS ANTÓN RUIZ

UNIVERSITAT DE VALÈNCIA
Servei de Publicacions
2008
Aquesta Tesi Doctoral va ser presentada a València el dia 14 de
març de 2008 davant un tribunal format per:

- D. José María Ibáñez Cabanell
- D. José Luís Ballester Mortes
- D. Enrique García-Berro Montilla
- D. Fernando Moreno Insertis
- D. Joan Josep Ferrando Bargues

Va ser dirigida per:
D. José María Martí Puig
D. Juan Antonio Miralles Torres

©Copyright: Servei de Publicacions
Luis Antón Ruiz

Depòsit legal:
I.S.B.N.: 978-84-370-7162-6

Edita: Universitat de València
Servei de Publicacions
C/ Artes Gráficas, 13 bajo
46010 València
Spain
Telèfon: 963864115
1
Magnetohidrodin´amica relativista
num´erica: Aplicaciones en
Relatividad Especial y General
Tesis Doctoral
Luis Ant´on Ruiz
Departamento de Astronom´ıa y Astrof´ısica
Universitat de Val`encia
14 de Marzo de 2008
2
Jos´e Mar´ıa Mart´ı Puig,ProfesorTitulardelDepartamentodeAstronom´ıay
Astrof´ısica de la Universidad de Valencia, y Juan Antonio Miralles Torres,
Catedr´aticodelDepartamentodeF´ısicaAplicadadelaUniversidaddeAlicante,
CERTIFICAN:
Que la presente memoria Magnetohidrodin´amica Relativista Num´erica: Aplica-
ciones en Relatividad Especial y General, ha sido realizada bajo su direcci´on
por D. Luis Ant´on Ruiz en el Departamento de Astronom´ıa y Astrof´ısica de la
UniversidaddeValencia,yqueconstituyesuTesisDoctoralparaoptaralgrado
de Doctor en F´ısica.
Burjassot, 27 de julio de 2007
Jos´e Mar´ıa Mart´ı Puig Juan Antonio Miralles Torres
3
Nox atra cava circumvolat umbra.
La Eneida, Virgilio.
Como nadie se ocupaba en estas cuestiones, pronto se me consider´o un ex-
perto en ellas.
Heinz Guderian.
Su carencia de fe resulta molesta.
Lord Darth Vader.1
1Citaincluidaporpetici´onexpresa.
4
Mientras por competir con tu cabello,
oro brun˜ido al sol relumbra en vano,
mientras con menosprecio en medio el llano
mira tu blanca frente el lilio bello;
mientras a cada labio, por cogello,
siguen m´as ojos que al clavel temprano,
y mientras triunfa con desd´en lozano
del luciente cristal tu gentil cuello;
goza cuello, cabello, labio y frente
antes que lo que fue en tu edad dorada
oro, lilio, clavel, cristal luciente,
no s´olo en plata o v¨ıola troncada
se vuelva, mas tu´ y ello juntamente
en tierra, en humo, en polvo, en sombras, en nada
Luis de G´ongora
5
Agradecimientos
Antes de escribir estas l´ıneas revis´e las que hab´ıa escrito con igual finalidad
en mi tesina. La conclusi´on a la que llegu´e, es que eran totalmente vigentes.
Pero au´n as´ı, es mi deber reescribirlas:
Losprimerosdelalista,comonopodr´ıaserdeotraforma,est´anmispadresy
mishermanas. Sinellos,esevidentequeestonohabr´ıapodidoser. Sinceramente
muchas gracias por todo.
Tambi´en quisiera hacer un recordatorio a mis abuelas y abuelos, que si bien
no pudimos compartir muchos an˜os, estoy seguro que si no hubiera sido por
ellos, hoy no estar´ıamos aqu´ı.
Siguientes en la lista est´an mis directores de tesis, Juan Antonio Miralles y
Jos´e Mar´ıa Mart´ı. Para quienes no los conozcan, los describir´e compar´andolos
a dos grandes ajedrecistas, ambos campeones del mundo. Juan Antonio tiene
el genio y la intuici´on de Tahl. Al igual que cuando jugaba Tahl, las piezas
parec´ıan cobrar vida, cuando Juan Antonio hace f´ısica, son las ecuaciones las
que parecen cobrar vida, yendo m´as all´a de la l´ogica cl´asica y lo irresoluble
deja de serlo y lo imposible sucede. Jos´e Mar´ıa por contra es m´as parecido a
Petrosian,perseveranteypreciso,nomueveunapiezasintenerpresentetodoel
tablero y cada matiz de la posici´on. Pueden estar seguros que por complicada
que sea la maniobra, la posici´on final obtenida ser´a la inicialmente calculada.
Deborecordartambi´enaJos´eMar´ıaIb´an˜ez,quecomojefedelgrupo,fuem´as
o menos responsable de que nos embarcaramos en esta Odisea, r´ıanse ustedes
de la de Ulises. Si seguimos con los ejemplos ajedrec´ısticos, le corresponder´ıa el
papeldadogeneralmenteaSteinizoaBotvinnik,geniosquemarcaronsu´epoca,
que abrieron valiosas l´ıneas de desarrollo. Y que mientras siguieron jugando,
como es el caso, son verdaderos colosos que aportan valiosas lecciones a sus
colaboradores.
QuisierarecordaryagradeceraJuanAntonioMoraleslascharlasyconsejos
dadosalolargodetodosestosan˜os, especialmenteunacharlaenlacualencon-
tramos la pista que nos dio la llave del cambio de sistema de variables para los
autovectores. Como Capablanca, del total ve sus partes, y de las partes ve su
total, de forma totalmente clarividente.
Tambi´endeboyquierorecordaraDiegoS´aez,elcualfuemijefedurantecasi
un an˜o, en el cual confieso que fue un muy buen jefe, motivador y comprensivo.
Y del cual aprend´ı bastantes cosas del Universo y de la ciencia. Si debiera
describirlo, dir´ıa que al igual que Spassky es un jugador universal, juega igual
de bien todas las posiciones.
A nivel de trabajo cient´ıfico debo recordar tambi´en a Tobias, Miguel Angel,
Olindo, Jos´e Luis y Vicent Romero, sin los cuales la historia de la RMHD y de
esta tesis ser´ıa otra muy distinta.
Ya a un nivel m´as personal quiero destacar a Vicent Quilis, un verdadero
genio de la f´ısica y del c´alculo num´erico, a la manera de Morphy, Lasker o
Kasparov. A quien, sin olvidar todas las ayudas t´ecnicas dadas y que tuve el
privilegio de ser alumno suyo durante la carrera, debo agradecerle sobre todo
sus consejos y bromas, a la hora del caf´e (la m´as importante del d´ıa, como todo
6
el mundo sabe) que han hecho m´as llevadero este cruce de la Beresina que ha
sido esta tesis.
En esta funci´on de animarnos ante la adversidad a la hora del caf´e tambi´en
destacan con nombre propio Manolo, Pablo, Arturo y Guillermo estos u´ltimos
an˜os, y Alicia, Bel´en, J`erˆome,...en los anteriores.
Yfueradel´ambitom´asformal,tengotodaunaseriedeamigosquenopuedo
dejar de recordar y agradecer el estar ah´ı y el haber compartido tanto, Kike,
Pepe, Rogers, Ortega, Inma, Cilindro, Maynero, Conra, Victoria, Mati, Tapi,
Marisol, Juan Pablo, Rafa, Don Juan y un muy largo etc´etera que no puedo
nombrar por falta de espacio y temor de no citar alguno.
Deborecordartambi´enaManel,FeliyEnric,yaquesinelloseldepartamento
habr´ıa colapsado ya hace eones.
Tambi´en debo citar al entonces Ministerio de Educaci´on y Cultura por la
concesi´on que me hizo de una beca FPI al inicio de este estudio.
En fin, a todos, nombrados y no nombrados, que me han acompan˜ado estos
diezlargosydurosan˜os,quisieradarles,contodomicarin˜o,lasgraciasybrindar
con ellos: Para que desde las noches de un pasado imperfecto, pasando por el
amanecer de un presente simple, lleguemos al brillante mediod´ıa de un futuro
perfecto.
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Indice
1 Introducci´on 13
1.1 Campos magn´eticos y astrof´ısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2 Chorros extragal´acticos y magnetohidrodin´amica num´erica. . . . 16
1.3 Objetivos de la Tesis y organizaci´on de la presente Memoria . . . 18
2 Introducci´on a la Magnetohidrodin´amica 21
2.1 Campo electromagn´etico en un fluido . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Fluido en un campo magn´etico. Ecuaciones de la MHD ideal . . 23
2.3 Las ecuaciones de la MHD como sistema hiperb´olico de leyes de
conservaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3 Electromagnetismo en relatividad 27
3.1 Transformaciones de campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Formalismo covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 Aproximaci´on magnetohidrodin´amica . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 Ecuaciones de la RMHD y su estructura caracter´ıstica 35
4.1 Ecuaciones de la hidrodin´amica relativista ideal . . . . . . . . . . 36
4.2 Las ecuaciones de la RMHD como sistema hiperb´olico de leyes
de conservaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.3 El sistema de variables de Anile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.4 Autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.5 Autovectores en el sistema de variables de Anile. . . . . . . . . . 44
4.6 Descomposici´on de bµ en componentes normal y tangencial al
frente de onda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.7 Ordenaci´on de los autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.8 Degeneraciones en RMHD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.8.1 Degeneraci´on de tipo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.8.2 Degeneraci´on de tipo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.8.3 Autovectores para los casos degenerados . . . . . . . . . . 60
4.9 No convexidad de las ecuaciones de la magnetohidrodin´anica . . 61
4.10 Discontinuidades en RMHD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.10.1 Discontinuidades tangenciales . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.10.2 Discontinuidades no tangenciales . . . . . . . . . . . . . . 64
7
8
4.11 Rarefacciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5 Cambios de sistema de variables 69
5.1 Autovectores a derechas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.1.1 Sistema de Anile-Sistema reducido de variables . . . . . . 70
5.1.2 Sistema de Anile-Sistema de variables conservadas . . . . 71
5.1.3 Sistema reducido de variables-Sistema de variables con-
servadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.2 Autovectores a izquierdas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.2.1 Sistema de Anile-Sistema reducido de variables . . . . . . 77
5.2.2 Sistema de Anile-Sistema de variables conservadas . . . . 78
5.3 Sistema reducido de variables-Sistema de variables conservadas . 84
5.3.1 Forma de los autovectores a izquierdas en el sistema de
variables conservadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.4 Sistema de variables conservadas modificado . . . . . . . . . . . . 88
6 Renormalizaci´on de los autovectores a derechas 89
6.1 Autovector entr´opico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.1.1 Sistema de variables de Anile . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.1.2 Sistema reducido de variables . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.1.3 Sistema de variables conservadas . . . . . . . . . . . . . . 90
6.2 Autovectores de Alfv´en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.2.1 Sistema de variables de Anile . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.2.2 Sistema reducido de variables . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.2.3 Sistema de variables conservadas . . . . . . . . . . . . . . 93
6.3 Autovectores magnetoso´nicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.3.1 Sistema de variables de Anile . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.3.2 Sistema reducido de variables . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.3.3 Sistema de variables conservadas . . . . . . . . . . . . . . 98
7 Autovectores a izquierdas. Definici´on y renormalizaci´on 101
7.1 Autovectores en el sistema de variables de Anile. . . . . . . . . . 101
7.2 Autovector entr´opico a izquierdas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.2.1 Sistema reducido de variables . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.2.2 Sistema de variables conservadas . . . . . . . . . . . . . . 103
7.2.3 Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.3 Autovectores de Alfv´en a izquierdas . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.3.1 Renormalizaci´on en el sistema de variables de Anile . . . 104
7.3.2 Autovectoresrenormalizadosenelsistemareducidodeva-
riables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.3.3 Autovectores renormalizados en el sistema de variables
conservadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.3.4 Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.4 Autovectores magnetos´onicos a izquierdas . . . . . . . . . . . . . 110
7.4.1 Sistema de variables de Anile . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.4.2 Sistema reducido de variables . . . . . . . . . . . . . . . . 110